20屆高考數(shù)學(xué)一輪(江蘇版)習(xí)題-第1講空間幾何體及其表面積與體積

第1講空間幾何體及其表面積與體積一、填空題1．(2017·無(wú)錫模擬)若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則此三棱錐的體積為_(kāi)_______．解析該正三棱錐的底面積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2)，高為eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)＝eq\f(\r(3),3)，所以該正三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)2．(2017·宿遷模擬)用半徑為2cm的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的高為_(kāi)_______cm.解析用半徑為2cm的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，該圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面圓的周長(zhǎng)為2π，所以底面圓的半徑為1，則這個(gè)圓錐筒的高為eq\r(22－12)＝eq\r(3)(cm)．答案eq\r(3)3．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案eq\f(\r(3),12)4．(2017·鹽城模擬)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為4π的半圓面，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．解析由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為4π的半圓面，得該半圓的半徑是2eq\r(2)，即為圓錐的母線長(zhǎng)．半圓周長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，設(shè)圓錐底面圓半徑為r，則2eq\r(2)π＝2πr，解得r＝eq\r(2)，所以圓錐的高是h＝eq\r(2\r(2)2－r2)＝eq\r(6)，體積是V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(2\r(6),3)π.答案eq\f(2\r(6),3)π5．(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知△ABC為等腰直角三角形，斜邊BC上的中線AD＝2，將△ABC沿AD折成60°的二面角，連接BC，則三棱錐C－ABD的體積為_(kāi)_______．解析由題意可得∠CDB＝60°，DC＝DB，所以△DCB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且AD⊥平面DCB，所以三棱錐C－ABD的體積為eq\f(1,3)S△BCD·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2sin60°×2＝eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)6．(2017·南京、鹽城模擬)設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(10)的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析由題意可得正四棱錐的高為2，體積為eq\f(1,3)×(2eq\r(3))2×2＝8，則正方體的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2.答案27．(2017·蘇州調(diào)研)將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________.解析由題意可得三個(gè)扇形的弧長(zhǎng)分別為eq\f(5π,3)，eq\f(10π,3)，5π，分別等于三個(gè)圓錐底面圓的周長(zhǎng)，則r1＝eq\f(5,6)，r2＝eq\f(5,3)，r3＝eq\f(5,2)，所以r1＋r2＋r3＝eq\f(5,6)＋eq\f(5,3)＋eq\f(5,2)＝5.答案58．(2017·泰州模擬)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為BD1的中點(diǎn)，三棱錐O－ABD的體積為V1，四棱錐O－ADD1A1的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值為_(kāi)_______．解析V1＝eq\f(1,2)V三棱錐D1－ABD＝eq\f(1,2)V三棱錐B－ADD1＝eq\f(1,4)V四棱錐B－ADD1A1＝eq\f(1,2)V四棱錐O－ADD1A1＝eq\f(1,2)V2，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)二、解答題9．(2015·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖：(2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)(eq\f(7,9)也正確)．10．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D－ABC的體積．(1)證明在題圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2eq\r(2)，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BC＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為eq\f(4\r(2),3).11．(2015·全國(guó)Ⅰ卷改編)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有________斛(保留整數(shù))．解析設(shè)圓錐底面半徑為r，因?yàn)槊锥训撞炕￠L(zhǎng)為8尺，所以eq\f(π,2)r＝8，r＝eq\f(16,π)≈eq\f(16,3)(尺)，所以米堆的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)))2×5＝eq\f(320,9)(立方尺)，又1斛米的體積約為1.62立方尺，所以該米堆有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．答案2212．(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，則eq\f(S1,S2)的值為_(kāi)_______．解析棱長(zhǎng)為a的正方體的體積V1＝a3，表面積S1＝6a2，底面半徑和高均為r的圓錐的體積V2＝eq\f(1,3)πr3，側(cè)面積S2＝eq\r(2)πr2，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(a3,\f(1,3)πr3)＝eq\f(3,π)，則a＝r，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,\r(2)πr2)＝eq\f(3\r(2),π).答案eq\f(3\r(2),π)13．(2017·南通調(diào)研)在體積為eq\f(\r(3),2)的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，則CD的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．解析四面體ABCD的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3sin∠CBD×1＝sin∠CBD＝eq\f(\r(3),2)，則∠CBD＝60°或∠CBD＝120°.當(dāng)∠CBD＝60°時(shí)，CD2＝9＋4－2×3×2×eq\f(1,2)＝7，CD＝eq\r(7)；當(dāng)∠CBD＝120°時(shí)，CD2＝9＋4＋2×3×2×eq\f(1,2)＝19，CD＝eq\r(19)，故CD的長(zhǎng)度為eq\r(7)或eq\r(19).答案eq\r(7)或eq\r(19)14．一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm.(1)求三棱臺(tái)的斜高；(2)求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．解(1)設(shè)O1，O分別為正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O＝eq\f(3,2)，過(guò)O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，則D1D為三棱臺(tái)的斜高；過(guò)D1作D1E⊥AD于E，則D1E＝O1O＝eq\f(3,2)，因O1D1＝eq\f(\r(3),6)×3＝eq\f(\r(3),2)，OD＝eq\f(\r(3),6)×6＝eq\r(3)，則DE＝OD－O1D1＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).在Rt△D1DE中，D1D＝eq\r(D1E2＋ED2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)(cm)．故三棱臺(tái)的斜高為eq\r(3)cm.(2)設(shè)c，c′分別為上、下底的周長(zhǎng)，h′為斜高，S