2024-2025學(xué)年承德市承德縣高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

河北省承德市承德縣六溝高級中學(xué)

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知全集0為實(shí)數(shù)集R,若集合口J,L>,則加[8=()

A.[1,3)B.(-1,3)

C.(1,3)D.(-1.1)

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式可得各集合，進(jìn)而可得

【詳解】由已知幺=卜|衣斤<2}=1,5),

5={X|X2-2X-3<0}=(-1,3)-

則Nc8=[l,3),

故選：A

5(14)

2.已知i為虛數(shù)單位，則

(2+。(2T

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求解可得.

5(1旬5(1+0

;

【詳解】--=-L^=i+i.

(2+i)(2-i)22+12

故選：D.

3.在△48C中，〃為8c的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，若而=4赤+〃就，則2+〃等于()

A

M

BHC

【答案】B

【解析】

【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出入〃的值即可.

【詳解】在△4SC中，”為8c的中點(diǎn)，M為ZH的中點(diǎn)，

則而=（方+%）,所以4=〃=；,2+^=1.

故選：B

4.已知曲線/（%）=6"'一1一ln（x+l）,（x>-1）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線與直線x+2y+5=0垂直，則.

的值為（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)（0,/（0））處的切線斜率，再根據(jù)兩條互相垂直的直線斜率之積等于-1算

出即可.

【詳解】/（x）=eOT-l-ln（x+l）,則/，（x）=ae"—-—,

則/'（0）=。一1,曲線/（x）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線與直線x+2y+5=0垂直，

所以a—1=2,解得。=3.

故選：C

5.已知3sin9+4cos9=5,則tan，等于（）

3,333-3

A.一B.±-C.一D.一或一

44545

【答案】A

【解析】

【分析】方法一：由3sin9+4cos。=5得3sin。=5-4cos。，兩邊平方得9sin?9=（5—4cos3）2,與

sin2夕+cos?6=1聯(lián)立即可求解;

方法二：由3sin6+4cos8=5得9sin?6,+24sin6）cos^+16cos28=25，再根據(jù)sin?8+cos?6=1可

得24$也。（：05。+7（：052。=16，在等式兩邊同時(shí)除以“1”即可求解.

【詳解】解法一：由3sin1+4cos6=5得3si+4=5—4cos8,

兩邊平方得9sin28=(5—4cos0)2,

又知sin20+cos2夕=1,

所以可得25cos26—40cos6+16=0,即(5cos0—4)2=0,

43

解得cos6=m，所以sin9=w，

「”八sin。3

因止匕tan0=------=—.

cos<94

解法二：由3sin+4cos0=5得9sin?+24sin0cos<9+16cos20=25

又知sin?0+cos20=19所以有24sin0cos0+1cos29=16，

24sin0cos<9+7cos20

于是左邊作力”的代換有二16,

sin26^+cos20

24tan9+7

從而可得—16,

1+tan20

所以16tan20-24tan。+9=0，即(4tan0-3)2=0,

3

解得tan0——,

4

故選:A.

6.已知都是正實(shí)數(shù)，ab+2a+b=A,則a+b的最小值為（）

A.2B.V6-2C.276-3D.76-1

【答案】C

【解析】

【分析】由條件得6=—&--2,通過配湊變形，利用基本不等式求6的最小值.

1+1

4-2Q6

【詳解】由ab+2a+b=4,得6=-------=---------2,

Q+1Q+1

則--2=a+l+—--3>2.L+1）---3=2V6-3,

Q+1Q+1va+1

當(dāng)且僅當(dāng)。+1=—9—,即a=C-1時(shí)等號成立，此時(shí)6=指—2〉0，

?+1

所以a+6的最小值為2指一3.

故選：C.

7.已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝中，%+出=。3且%。3=〃2，則/+電+…+/0=()

100110

A.30B.---C.---D.40

33

【答案】c

【解析】

【分析】假設(shè)首項(xiàng)和公差，列等式即可求解，再用前"項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】假設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為％,公差為d,

%+%+d=%+2d

由q+&=%且=。2得<

%(q+2d)=%+d

因?yàn)楣罱鈊wO,所以解得q=d=g,

…?！?10x92110

所以q+。2+…+%0=do=1°*§+—-—xy=^-

故選：C.

|3-2x|+l,x>0

8.已知函數(shù)/(x)="X+2)2.若函數(shù)>=[f(切~一/(%)+2有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值

----^-,x<0

1ev

范圍是()

A.(-272,+00)u(—oo?—25/2^B.(272,8)

D.(272,3)

【答案】D

【解析】

【分析】畫出函數(shù)/(x)的圖象并利用函數(shù)與方程的思想結(jié)合圖象可知方程/一辦+2=0有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根公右，且/"26(1，4),再由二次函數(shù)根的分布解不等式可得a的取值范圍.

?,3

4-2x,0<x?,

【詳解】根據(jù)題意對于函數(shù)>=|3-2乂+1,x>0可得y=<

2x-2,x>—

當(dāng)xWO時(shí)，令g(x)=(W)_,x<o,可得g，(x)=r(：+2)

ee

所以-2<xW0時(shí)，g'(x)>0,可得g(x)在(-2,0]上單調(diào)遞增,

當(dāng)x<-2時(shí)，g'(x)<o,此時(shí)g(x)在(-。，-2)上單調(diào)遞減；

因此g(x)在x=—2處取得極小值，也是最小值g(x)mm=g(-2)=0；

畫出函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示：

令f(x)=t,可得了="一4(%)+2=t~-at+2,

若函數(shù)y=[/(x)了—4(x)+2有8個(gè)不同的零點(diǎn)，可知方程2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

’1，’2'

結(jié)合圖象可知?1,4),

A=Q?—8〉0

、a

]<一<44

所以需滿足《2，解得2行<a<3

12-O+2>0

42-4G+2>0

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解復(fù)合函數(shù)根的個(gè)數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常利用函數(shù)與方程的思想畫出函數(shù)圖象并根據(jù)圖

象之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來限定參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，解不等式即可得出結(jié)論.

二、多選題(本大題共3小題，共18分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列命題中是真命題的是()

A."x>1”是“J〉1”的充分不必要條件

B.命題“Vx20,都有+]20”的否定是，與為<0,使得一年+1<0”

x—3

C.不等式-----20成立的一個(gè)充分不必要條件是》<-1或%>4

2x+l

D.“a>b”是“a>b+1”的必要不充分條件

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用充要條件的定義與全稱命題的否定結(jié)合一元二次不等式和分式不等式的解法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對于A,“X〉l”可以推出而“》2〉1，，不能推出%>1（如x<—1）,

所以“x>1”是“一>1”的充分不必要條件，故A正確；

對于B,命題“Vx20,者B有—Y+120”的否定是“切20,使得f；+l<0"，故B錯(cuò)誤；

x-31

對于C,不等式-----20成立，即或——，

2x+l2

即x>4或能推出即x23或％<-工，

2

123或％<-,不能推出1>4或、<一1,

2

Y—3

所以不等式一一20成立的一個(gè)充分不必要條件是x<-1或x>4,故C正確；

2x+l

對于D,由成立得不出。>6+1成立，所以>6"是>6+1”的不充分條件，

因?yàn)閍〉6+1〉6,所以“a>6”是“a>6+1”的必要條件，

所以“a>6”是“a>b+1”的必要不充分條件，故D正確.

故選：ACD.

10.下列說法中正確的是（）

A.若。>6,則/〉〃B.若a>b>c>0,則二<￡

ab

C.若a>b,c>d,則a-c>3-dD.若a〉b〉0,則/〉。/）〉/

【答案】BD

【解析】

【分析】對A,舉反例判斷即可；對B,根據(jù)分式的性質(zhì)判斷即可；對C,舉反例判斷即可；對D,根據(jù)不

等式性質(zhì)判斷即可.

【詳解】對A,若6<。<0,則/<〃，故A錯(cuò)誤；

11cC

對B,若Q>Z）〉C>0,則一<—,故一<一,故B正確；

abab

對C,若。=4,6=3,c=2,d=0,則Q-c<b-d,故C錯(cuò)誤；

對D,若a>b>0,則孑>ab，ab>b2?即Q2>Q〃>〃2,故D正確.

故選：BD

11.如圖，/BCD是邊長為2的正方形，BB】,CG，都垂直于底面Z5C。，且

33

DR.AArCCQBBQ,點(diǎn)E在線段CG上，平面BEQ交線段幺4于點(diǎn)尸，貝|()

A.4，Bx,G，A四點(diǎn)不共面

B.該幾何體的體積為8

C.過四點(diǎn)4，G，B,。四點(diǎn)的外接球表面積為12兀

D.截面四邊形8￡。尸的周長的最小值為10

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,利用耳。//44證明四點(diǎn)共面；對于B,通過補(bǔ)形可知，此幾何體體積是底面邊長為2

的正方形，高為4的長方體體積的一半，進(jìn)而求體積；對于C,過4，G，B,。構(gòu)造正方體

則外接球直徑為正方體的體對角線，進(jìn)而求表面積；對于利

ABCD-A,B2CAD2,4BCD-482cl3D,

用面面平行的性質(zhì)定理證明四邊形或?yàn)槠叫兴倪呅?，則周長/=2(8￡+￡9)，進(jìn)而求8E+E2的

最小值即可.

【詳解】對于A,取中點(diǎn)取。。i靠近。1的三等分點(diǎn)N,

易知四邊形NM4G為平行四邊形，四邊形為平行四邊形,

所以4W//4Q,MN11BQ,則gG//4A，

所以4,B［,G，。四點(diǎn)共面，故A錯(cuò)誤；

對于B,由對稱性知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，所以

V=2x2x4x-=8,故B正確;

2

對于c,過四點(diǎn)4，G，B,。構(gòu)造正方體4BCD-4B2CQ2,

所以，外接球直徑為正方體46。＞-4層。］。2的體對角線，

所以2A=2百，則R=G，所以此四點(diǎn)的外接球表面積為4兀K2=12兀，故C正確;

對于D,

￡>i

由題意，平面4DDd//平面BCBiG,平面ADDXAXn平面BED,=DXF,平面BCB￡n平面

BED,=BE,

所以DF//BE,同理可得8F//RE,

所以四邊形BED7為平行四邊形，貝惆長/=2(+￡〃)，

沿CG將相鄰兩四邊形推平，當(dāng)B,E,A三點(diǎn)共線時(shí)，BE+ED］最小,最小值為5,

所以周長的最小值為10,故D正確，

故選：BCD

三、填空題(本大題共3小題，共15分)

3x,x>0

12.已知函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為={1,則滿足/(機(jī))2/(m+2)的實(shí)數(shù)加的最大值為

—,x<0

13、

【答案】-1

【解析】

【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義可得/(x)為偶函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)對稱性解出不等式即可得.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，有/(―x)=g=3x=/(x),又/⑴定義域?yàn)镽,故/⑴為偶函數(shù)，

又當(dāng)x>0時(shí)，/(x)單調(diào)遞增,故對/(加)2/(加+2)有帆2帆+2|,

即機(jī)機(jī)+2/，即有4根+4<0,解得加<一1,

故m的最大值為-1.

故答案為：-1.

13.若函數(shù)/(x)=x+L—aliu在區(qū)間(0』上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的最小值為.

X

【答案】0

【解析】

【分析】由題意，可推得a2x-工在區(qū)間(0,1］上恒成立，可通過求g(x)=x-工在區(qū)間(0,1］上的最大值

XX

得到實(shí)數(shù)。的最小值.

1Z7

【詳解】由題意，可知/'(x)=l--7—在區(qū)間(0,1］上恒成立，

XX

即a2x-L在區(qū)間(0』上恒成立，

因g(x)=x-1在(0,1］上為增函數(shù)，g(x)=x--<g(l)=0，

xx

故得a20,即實(shí)數(shù)。的最小值為0.

故答案為：0.

14.如圖，在棱長均相等的正四棱錐尸一/3CO中，。為底面正方形的中心，M,N分別為側(cè)棱尸區(qū),網(wǎng)的

中點(diǎn)，有下列結(jié)論：

p

①尸C〃平面OMN；

②平面PCD〃平面OMN-,

③OMU/；

④直線PD與直線MN所成角的大小為90°.

其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定可判定①；由面面平行的判定可判斷②；由勾股定理可得PC，尸/,結(jié)合

PCL/M可判斷③；通過線面直線所成角的定義及題設(shè)可證得/PDC即為直線尸。與直線CD所成的角，結(jié)

合△PDC為等邊三角形可判斷④.

【詳解】連接NC,如圖

為底面正方形的中心，二。是NC的中點(diǎn)，

又M為側(cè)棱P4的中點(diǎn)，：.PC//OM,

又尸CC平面QW,OAfc平面。AW,所以尸C〃平面OAW,

故結(jié)論①正確；

同理PD〃平面（WN,又PCCPD=P,PC,P0U平面PC。,

所以平面尸8〃平面OW,故結(jié)論②正確；

由于四棱錐的棱長均相等，所以幺82+8。2=尸幺2+尸。2=幺。2,所以尸。尸4

又（W〃尸C,所以故結(jié)論③正確；

由于跖N分別為側(cè)棱取，PB的中點(diǎn)，所以肱V〃4B.

又四邊形/BCD為正方形，所以4B〃CD,所以〃N〃CD,

所以直線尸。與直線所成的角即為直線尸。與直線CD所成的角，即NPDC.

又△PDC為等邊三角形，所以NPQC=60°,故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

/7「Acin片+〃sin「

15.記△48C的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知——+——=---------------.

sinCsinAsinAsinC

（1）求8；

（2）若a—c=l,△48C的面積為￡1,求A

2

JT

【答案】（1）B=-

3

⑵b=5

【解析】

1兀

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到cos8=—,求出5=—；

23

（2）由三角形面積公式得到ac=6,結(jié)合a-c=l,利用余弦定理求出/?=J7.

【小問1詳解】

,acbsinB+asinC

由-----+-----=---------------

sinCsinAsinAsinC

得asinZ+csinC=6sin5+asinC,

由正弦定理得。2+°2—/=ac，

所以由余弦定理得cosB=Ad=^￡=1,

2aclac2

又8e（O,兀）,

71

所以5=；；

3

【小問2詳解】

甲%c1.nV33A/3

acsm=aC=

因?yàn)镾-BC~~2^~4~~2~，

所以QC=6.

22

由余弦定理得人2=&2+c~-2accosB=a+c-ac

=（a-c）~+2ac-ac=（a-c）~+ac=7,

所以6=V7.

16.已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且為是6a2和火的等差中項(xiàng)?

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛〃｝滿足4=^-------:----------,求抄"｝的前2024項(xiàng)和5024.

log?%,log2a;I+]

【答案】（1）%=2"

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解；

（2）利用裂項(xiàng)相消法結(jié)合對數(shù)運(yùn)算公式求數(shù)列的前"項(xiàng)和即可.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為q>0,則an=2q"T.

因?yàn)闉槭?a2和色的等差中項(xiàng)，所以2a4=6a2+a3,

32

即2x2q=6x2q+2q,

3

解得q=2或q=—5（舍去）或q=0（舍去）

所以4=2X2"T=2".

【小問2詳解】

由（1）知%=2",

?b,—--------1-------------1------1----1-

wn+1

〃log22-log22+n〃+1，

20242025

故｛，｝的前2024項(xiàng)和%024=—.

17.如圖，在直五棱柱4BCOE—481CQ1G中，ABHED,ABLAE,AB=ED=1,

AE=AAX=2,BC=CD,BCLCXD.

(2)求平面5c4與平面5CG4的夾角余弦值；

(3)求點(diǎn)￡到平面BCE1的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵里

17

⑶晅

17

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)條件證明5CJ_平面CGA。，然后即可證明C3LBC；

(2)建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面BCE1與平面8cq用的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量夾角的

余弦值求解出結(jié)果;

(3)根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式d=

丁直接求解出結(jié)果.

【小問1詳解】

因?yàn)閹缀误w為直五棱柱，所以CG，平面/2CDE,又BCu平面，BCDE,所以

因?yàn)?C，G。，所以平面CGA。，

又因?yàn)镃Qu平面CG2。，所以8CLC。.

【小問2詳解】

由直五棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知Eg，平面/2CDE,因?yàn)锳BIIED,所以

故以￡為原點(diǎn)，分別以E4,ED,EEi為x，N，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系E-》尸，如圖所示,

因?yàn)锳BHED,AB=ED,AB工AE,所以四邊形ZRDE是矩形,

因?yàn)?C=C￡),CD1BC,所以△BCD是等腰直角三角形，

所以5(2,1,0),。。,2,0),耳(0,0,2),4(2,1,2),所以

正=(-1,1,0),西=(-1,-2,2),函=(0,0,2),

設(shè)平面5c4的一個(gè)法向量為或=(xj,z),

n?C￡1=-x-2y+2z=0

所以」y,取x=2,則y=2/=3,所以々二（2,2,3）,

nx-BC=-x+y=0

設(shè)平面5cq用的一個(gè)法向量為%=(a,仇c),

n?BB、=2c=0—?

所以《二?—.，取a=1,則6=l,c=0,所以巧=

%,BC=-a+b=Q

…/——\卜2+2+02734

所以COS（〃i，〃2）=I-一|=/—I-------TZ—，

'/同聞V4+4+9-V1+1*

所以平面BCE1與平面的夾角余弦值為2叵.

所以點(diǎn)E到平面g的距離為八審=妾=岑

18.已知函數(shù)/(x)=x1-(2a+l)x+a\wc{aeR).

(1)若函數(shù)y=/(x)在x=l處的切線平行于X軸，求。的值；

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

(3)若g(x)=/(x)-一(4-1)1nx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)》“芯2，求。的取值范圍.

【答案】(1)a=l；

11-e

(2)答案見解析；(3)——<。<——.

22e

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a.

(2)利用導(dǎo)數(shù)分類討論求出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)利用零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，借助直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)求出范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)f(x)=x2-(2a+l)x+alnx，求導(dǎo)得f'(x)=2x-2a-l+—,

x

由函數(shù)J=/(x)在x=l處的切線平行于X軸，得=1—a=0,則a=l,

此時(shí)/0)=/—3x+hu,/(D=—2,函數(shù)y=/(x)圖象在x=l處的切線為y=—2,符合題意,

所以a=1.

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),由(1)知，/Xx)=2x-2a-l+-=(2x~1)(X-a),

XX

當(dāng)a〉工時(shí)，由/'(x)〉0,得0<x<L或X〉a,由/'(x)<0,解得」<x<a,

222

函數(shù)/(x)在(0,；),(a,+s)上單調(diào)遞增，在(%,。)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，f\x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<!時(shí)，由/'(x)〉0,得0cx<a或x>L,由/'(x)<0,a<x<-,

222

函數(shù)/(x)在(0,a),(1,+如上單調(diào)遞增，在(a,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)aWO時(shí)，由/"'(X)〉。，得x>,，由/'(x)<0,得0cxe工，

22

函數(shù)/(￡)在(%,+8)上單調(diào)遞增，在(0,g)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a〉；時(shí)，函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間是(0,；),(a,+s),遞減區(qū)間是(；,a)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間是(0,+8)；

當(dāng)0<。<；時(shí)，函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間是(0,a),(；,+8),遞減區(qū)間是(a,；)；

當(dāng)aW0時(shí)，函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間是(；,+s),遞減區(qū)間是(0,g).

【小問3詳解】

依題意，g(x)=x2~(2a+l)x+alnx-x2-(^-l)lnx=~(2a+l)x+lux，

由g(x)=0,得2a+l=蛔，記人(幻=則，求導(dǎo)得少(力=匕裝,

XXX

當(dāng)0<x<e時(shí)，/0)=匕￥^>0,當(dāng)％>e時(shí)，力'(》)=上隼<0,

XX

函數(shù)〃(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，且/z(e)=L,當(dāng)x>l時(shí)〃(x)>0恒成立,

e

因此要使g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線歹=2a+1與函數(shù)歹二力(工)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

_111-e

必有0<2。+1<一,即——<a<----,

e22e

11-e

所以。的取值范圍是一—<。<——.

22e

jr

19.如圖，等腰直角三角形48C中，ZACB=~,。是NC中點(diǎn)，E、尸分別是氏4、3c邊上的動(dòng)點(diǎn),

2

且EFHAC,將△BE/沿EF折起，將點(diǎn)8折至點(diǎn)尸的位置，得到四棱錐P—NC在.

—-2—■

⑵若BE=—BA,二面角尸―￡尸—C是直二面角，求平面尸斯與平面P4C夾角的余弦值；

3