2024-2025年重慶中考數(shù)學重要考點分類匯編：三角函數(shù)實際問題 （解析版）

二輪復習2024-2025年中考數(shù)學重要考點

名校模擬題分類匯編專題12

三角函數(shù)實際問題（重慶專用）

1.（2023上?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在公園里，同一平面內(nèi)的五處

景點的道路分布如圖所示，經(jīng)測量，點E均在點C的正北方向且CE=900米，點B在點C

的正西方向，且BC=300舊米，點8在點A的南偏東60。方向且48=600米，點。在點A

的東北方向.（參考數(shù)據(jù)：V2-1.414,73~1.732,V6~2.449）

（1）求道路AD的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）若甲從A點出發(fā)沿4—0—E的路徑去點E,與此同時乙從點B出發(fā)，沿B—4—E的路徑

去點E,在兩人速度相同的情況下誰先到達點E?（結(jié)果精確到十分位）

【答案】⑴道路4D的長度約為600區(qū)米

（2）乙先到達點E

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，勾股定理的應用，根據(jù)題目的已

知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

（1）過點A作AFLCB,交CB的延長線于點尸，過點A作4G10C,垂足為G,根據(jù)題意

可得：AF=CG,AG=CF,然后在RtAAFB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4F,B尸的

長，從而求出CF的長，再在RtAADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4D的長，即可解

答；

（2）利用（1）的結(jié)論可求出EG的長，再在RtAAGE中，利用勾股定理可求出4E的長，

然后在RtAAOG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長，從而求出甲和乙的路程，最后

進行判定即可解答.

【詳解】（1）解：過點A作4F1CB,交CB的延長線于點F,過點A作？1G1DC,垂足為

G,如圖所不：

北D

二Fi~BC

由題意得：

AF=CG,AG=CF,

在RtAAFB中，/.BAF=60°,48=600米，

???AF=AB-cos60°=600x|=300（米），

BF=AB-sin600=600Xy=300V3（米），

???CG=AF=300米，

???BC=300百米，

???CFBF+BC300V3+300V3=600V3（米），

AG=CF=600百米，

在RtAADG中，H4G=90°-45°=45。，

AD==空警=600V6（米），

cos450%,

2

???道路力D的長度約為600粕米；

（2）解：???CE=900米，CG=300米，

???EG=CE-CG=600（米），

在RtAAGE中，4G=600百米，

AE=y/AG2+GE2=J（60062=00（米），

丫+60012

在RtAADG中，Z.DAG45°,

???DG=AG-tan45°=600V3（米），

甲的路程=AD+DE=AD+DG-EG=600V6+600V3-600?1908.6（米），

乙的路程=AB+AE=600+1200=1800（米），

E1908.6>1800,兩人速度相同，

回乙先到達點E.

2.（2023上?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學校考期末）在公園里，同一平面內(nèi)的五處景點

的道路分布如圖所示，經(jīng)測量，點。、E均在點C的正北方向且CE=600米，點B在點C的

正西方向，且BC=200百米，點B在點4的南偏東60。方向且48=400米，點。在點4的東

北方向.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732,n=2.449）

⑴求道路力。的長度（精確到個位）;

⑵若甲從力點出發(fā)沿力一D—E的路徑去點E,與此同時乙從點B出發(fā)，沿B—4—E的路徑

去點E,其速度為40米/分鐘.若兩人同時到達點E,請比較誰的速度更快？快多少？（精確

到十分位）

【答案】⑴980米；

⑵甲的速度更快，快2.4米/分鐘.

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，勾股定理的應用；

（1）過點4作4F1CB,交CB的延長線于點F,過點A作2G1DC,垂足為G,根據(jù)題意可

得：AF=CG,AG=CF,然后在RtAAFB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4F，8F的

長，從而求出CF的長，再在RtAADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4D的長，即可解

答；

（2）利用（1）的結(jié)論可求出EG的長，再在RtAAGE中，利用勾股定理可求出HE的長，然

后在RtAADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長，從而求出甲和乙的路程，最后進

行計算即可解答.

【詳解】（1）過點2作ZF1C8,交CB的延長線于點尸，過點4作4G1DC,垂足為G,

AF=CG,AG=CF,

在RtAAFB中，/.BAF=60°,4B=400米,

AF=AB-cos60°=400x|=200（米），

BF=AB-sin60°=400Xy=200V3（米）,

???CG=AF=200米，

BC=200百米,

???CF=BF+BC=200A/3+200A/3=400V3（米）,

???AG=CF=400/米,

在RtAADG中，ADAG=90°-45°=45°,

???AD==400V6x980（米）,

cos45V2

2

道路40的長度約為980米；

（2）?.?CE=600米，CG=200米，

???EG=CE—CG=400（米），

在RtAAGE中，4G=400百米，

AE='AG?+GE2=J（400V3）2+4002=800（米）,

在RtAADG中，/.DAG=45°,

???DG=AG-tan45°=400V3（米）,

.?.甲的路程=AD+DE=AD+DG-EG=（400V6+400V3-400）米,

乙的路程=AB+4E=400+800=1200（:米），

???乙的速度為40米/分鐘，

二乙所用的時間=噤=30（分鐘）,

40

???甲所用的時間也是30分鐘，

400V6+400V3-400

???甲的速度=42.4（米/分鐘）,

30

42.4-40=2.4（米/分鐘）,

??.若兩人同時到達點以甲的速度更快，快2.4米/分鐘.

3.（2023上?重慶北碣?九年級西南大學附中校考期末）如圖，甲、乙兩隊同時從A點出

發(fā)，相約去河對面的公園。游玩.甲隊選擇的線路為4-BTCTD,其中在BC段劃船過

河；乙隊選擇的線路為A-F-E-D,其中在FE段乘坐游船過河.已知四邊形BCEF為

矩形，A、B、C三點在同一直線上，4B長為600米，AAFB=37°,CD1DE,乙CED=

30°.

(1)求。至】JCE的距離；(結(jié)果精確到個位)

(2)甲、乙兩隊在陸地上都是步行，且步行速度均為50m/m譏.己知甲隊劃船的速度為

120m/min,乙隊游船的速度為360m/m譏，若BC長為1800米，請通過計算說明哪一隊先

到達公園￡>?(參考數(shù)據(jù):sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,巡81.732,

V2-1.414)

【答案】⑴346m；

⑵甲隊先到達公園。

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的應用，實數(shù)的混合運算，靈活運用銳角

三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

(1)過點。作DH_LCE于點利用銳角三角函數(shù)，分另IJ求得8F=CE=800m,DE=

^-CE=400V3m,DH=^DE?346m,即可得出。至!JCE的距離；

(2)由(1)可知2B=600m,AF=1000m,CD=400m,DE=400V3m,結(jié)合甲、乙

兩隊步行和劃船的速度，分別求出兩隊所用時間，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，過點。作DH_LCE于點

???四邊形BCEF為矩形，

???ACBF=90°,BF=CE,BC=FE,

：.^ABF=90°,

^.AFB=37°,AB=600m,

clAB600cccAB?600_

BF=--------x—=800m,AF=1000m,

tan37°0.75sin37°~0.60-

???CE—800m,

VCD1DE,MED=30°,

???DE=cos30°-CE=—CE=400V3m,CD=sin30°-CE=-CE=400m,

22

???DHICE,

???DH=sin30°-DE=|z)F=200V3?346m,

即。到CE的距離346m；

(2)解：BC=1800m,

FE=1800m,

由(1)可知，AB-600m,AF-1000m,CD-400m,DE=400V3m,

???甲、乙兩隊在陸地上都是步行，且步行速度均為50m/znin.甲隊劃船的速度為

120m/min,乙隊游船的速度為360m/m譏，

二甲隊所用時間=6004-50+1800+120+400+50=35(min),

乙隊所用時間=10004-50+1800+360+40073+50=25+238.9(min),

35<38.9,

???甲隊先到達公園。.

4.(2023上?重慶沙坪壩?九年級重慶八中?？计谀?如圖，一貨船從港口A出發(fā)，以40海

里/小時的速度向正北方向航行，經(jīng)過1小時到達8處，測得小島C在B的東北方向，且

在點A的北偏東30。方向.(參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,V3?1.73,V6?2.45,sin37°?

0.60,cos37°~0.80)

⑴求BC的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）由于貨船在2處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時的速度沿BC趕往小島C維修，同時

向維修站。發(fā)出信號，在。處的維修船接到通知后立即準備維修材料，之后以50海里/小

時的速度沿DC前往小島C,已知。在A的正東方向上，C在。的北偏西37。方向，通知時

間和維修船準備材料時間一共6分鐘，請計算說明維修船能否在貨船之前到達小島C.

【答案】（1）BC的距離為77海里

⑵維修船能在貨船之前到達小島C

【分析】（1）過C作CM交4B延長線于M,由題意可得=設MC=MB=

x,則AM=x+40,通過勾股定理和三角函數(shù)進行列方程求解即可；

（2）結(jié)合三角函數(shù)和平行線的性質(zhì)進行求解并比較即可得到解答.

【詳解】（1）過C作CMJ.4B交2B延長線于

由題意得，AB=40x1=40海里，

由題意得，在RtABCM中，NCBM=45。,

SMC=MB,

設MC=MB=x,則M4=x+40,

在Rt△ACM中，tan30°=tanzCXM=-=—,

MB3

0^^=—,

x+403

解得X=20次+20,

0MB=MC=(20V3+20)海里，

在RtAMBC中，MB2+MC2=BC2,

0BC=<MB2+MC2=A/2(20V3+20)?77海里；

(2)ECM=(20V3+20)海里，

SL4H=CM=(20V3+20)海里,

HAM||CW,

EZ1=^LCAM=30°,

?AHV3

0tanzl=—=一,

CH3

0CH=V3AH=V3(20V3+20)=(60+20b)海里,

團CHIIDN,乙NDC=37°,

0Z2=乙NDC=37°,

f-jj

0cosz2=cos37°=—=0.8,

CD

團CD=*==（75+25⑹海里，

貨船從8到C用時：77+30=卷（小時）,

-1

回6分鐘=G小時，

曾717437，?

E-----------------------=—=一（小時）

30103015

dx50=言"123（海里），

0C￡?=75+25V3?118（海里）,

團能在貨船之前到達小島C.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合、勾股定理的應用、分式方程的應用和平行線的性

質(zhì)，靈活運用所學知識求解是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2023上?重慶?九年級重慶一中?？计谥?為了方便市民出行，建委決定對某街道一條

斜坡進行改造，計劃將原斜坡坡角為45。的BC改造為坡角為30。的力C,已知BC=10魚米,

點4B,C,D,E,F在同一平面內(nèi).

(1)求4B的距離；(結(jié)果保留根號)

(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高Ef1為3米，EFLAC,若CF=16米，求此

時貨車頂端E到水平線CD的距離DE.(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：V2~1.41,V3~1.73)

【答案】(1)10b-10

(2)5.4米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用一坡度坡角問題；

(1)過點C作CG14B,交48的延長線于點G,在RtABCG中，利用銳角三角函數(shù)的定義

求出CG和8G的長，然后在RtAACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4G的長，從而利用

線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答；

(2)延長DE交AC于點”，根據(jù)題意可得：DC||AG,DE1CD,從而可得/CD"=90。，

AA=ADCA=30°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得NDHC=60。，再根據(jù)垂直定

義可得N￡T4=90。，從而在RtAEFH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH和EH的長，進

而求出CH的長，最后在RtACDH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出DH的長，從

而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答.

【詳解】（1）解：過點C作CG148,交48的延長線于點G,

???CG=BC-sin45°=10V2xy=10（米）,

BG=BC-cos45°=10夜Xj=10（米），

在RtAACG中，ACAG=30°,

XG=V3CG=10V3（米），

???AB=AG-BG=（10V3-10）米，

.??48的距離為（10V3—10）米；

（2）延長。E交AC于點H,

由題意得：DCWAG,DE1CD,

???乙CDH=90°,

???DC||AG,

Z.A=/.DCA=30°,

???乙DHC=90°-ADCA=60°,

???EF1AC,

Z.EFA=90°,

在RtAEFH中，EF=3米，

???FH=2=百（米）,

tan60°V3kJ

EH==2V3（米），

sin60°V3'一

2

???CF=16米，

???CH=CF+FH=（16+V3）米，

在RtACDH中，/.DCA=30°,

DH=^CH=（8+9米，

■.DE=DH-EH=8+y-2V3=8-?5.4（米），

此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE約為5.4米.

6.（2023上?重慶北碣?九年級西南大學附中校考期中）如圖為挖掘機某工作時刻的示意

圖，挖掘機的底座高=1米，大臂由BC和CD兩部分構(gòu)成，其中BC=3米，CD=4米,

BC與CD的固定夾角，Z.BCD=140°,此時測得大臂的前部BC與4B的夾角乙4BC=140。,

小臂DE與地面2M的夾角NZE4=45。.（參考數(shù)據(jù)：sinl0°?0.17,cosl0°~0.98,

sin40°?0.64,cos40°?0.77）.

⑴求點C到地面4M的距離.（結(jié)果精確到0.1米）

（2）已知挖掘機A正前方10米外為禁止施工路段，請通過計算說明此時控掘機挖掘的地方是

否為禁止施工路段？（結(jié)果精確到0.1米）

【答案】（1）3.3米

（2）不是

【分析】（1）本題考查解直角三角形的應用，過點C,。分別作CFL4E,DM1AE,F,

M分別為垂足，再過點8,C分別作8N1CF,CH1DM,N,H為垂足，根據(jù)平行線得到

ZSCF=40°,結(jié)合三角函數(shù)求解即可得到答案

（2）本題考查解直角三角形的應用與等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正余弦得到DH、

CH,再證出ADMC為等腰直角三角形即可得到答案；

【詳解】（1）解：過點C,D分別作CFJ.AE,DMLAE,F,M分別為垂足，

再過點3,C分別作BN1CF,CHLDM,N,H為垂足，如圖所示：

D

團4B14E,CFLAE,

回43||CF,

^ABC+^.BCF=180°,

^ABC=140°,

^BCF=40°,

在Rt^BCN中，coszBCF=—,sin乙BCF=型,

BCBC

WN=BC-sin40°?3x0.64=1.92（米），

CN=BC-cos400=3cos400=3X0.77=2.31（米），

0CF=CN+NF=CN+AB*2.31+1?3.3（米），

團點C到地面AM的距離3.3米；

（2）解：0CF1AE,DMLAE,CH1DM,

0CF=MH,CH=FM,CH||FM,

0ZSCO=140°,乙BCF=40°,4FCH=90°,

EZDCH=10°,

在RtACHD中，CD=4米，

sinzDCW=—,cosZ-DCH=—,

CDCD

ECH=CD-coslO0?4x0.98?3.92（米），

DH=CD-sinzDCH=4sinl0°?4x0.17=0.68（米），

0￡）M=DH+HM=DH+CF0.68+3.3=3.98（米），

S\Z.DEA=45°,DMLAE,

0ADMC為等腰直角三角形，

0FM=DM3.98（米），

回AE=AF+FM+ME=BN+CH+DM1.92+3.92+3.98=9.82?9.8（米），

回9.8<10,

回控掘機挖掘的地方不是禁止施工路段.

7.（2023上?重慶?九年級重慶南開中學?？计谥校┬c期間，小南同學從天津到北關(guān)中學

瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學校的辦校故事.他從沙坪壩火車站出站后，導航給出兩條

線路，如圖：①A-E-D-M；②A-B-C-M.經(jīng)勘測，點E在點A的北偏西45。方向

400&米處，點。在點E的正北方向200米處，點M在點。的正東方向250米處，點B

在點E的正東方向，且在點A的北偏東30。方向，點C在點。的正東方向，且在點8的北

偏西37。方向.

(1)求防的長度；(結(jié)果保留根號)

(2)由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明他應

該選擇線路①還是線路②？(參考數(shù)據(jù)企71.41,V3?1.73,sin37°?0.6,cos37°?

0.8,tan37°?0.75)

【答案】⑴紀券+400

⑵應該選擇線路②，理由見解析

【分析】本題主要考查解直角三角形的應用.

(1)過點C做CH交于點做交于點G,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)以

及銳角三角函數(shù)解題即可.

(2)利用解直角三角形和線段之間的關(guān)系解題即可.

【詳解】(1)解：過點C作交于點H,做4G1BE交于點G,如下圖：

團在等腰RtAAEG中，AE400V2,

團在RtZkABG中，AG=400,

團BG=AG-tan30°=

3

回BE=BG+EG=竺照+400.

3

⑵根據(jù)題1的詳解，貝函=高片等

在RtABHC中，BH=DE=200,

SCH=BH-tan37°=200X0.75=150.

BBC=7cH2+BH2=V1502+2002=250,

BMC=DH-DM-CH=400+-250-150=

33

線路①：AE+DE+DM=400V2+200+250?1014（米），

線路②：AB+BC+CM=巴羅+250+把箸?942（米），

故線路②距離較短.

8.（2023上?重慶沙坪壩?九年級重慶市第七中學校?？计谥校┤鐖D，在河流兩邊有甲、乙

兩座山，現(xiàn)在從甲山4處的位置向乙山B處拉電線.已知甲山上2點到CD的垂直高度4C=

120米；乙山BD的坡比為4:3,乙山上B點到河邊。的距離BD=650米，從B處看力處的俯

角為25。.（2、B、C、。在同一平面內(nèi)，參考值：sin25°~0.423,cos25°~0.906,tan25°~

（1）求乙山B處到河邊CD的垂直距離；

（2）求河CD的寬度（結(jié)果保留整數(shù)）.

【答案】⑴乙山8處到河邊CD的垂直距離為520米

⑵河CD的寬度約為468米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題.

（1）過點B作BE1CD,垂足為E,根據(jù)已知可設BE=4k米，則DE=3k米，然后在

RtABDE中，利用勾股定理進行計算即可解答；

（2）過點A作AF1BE,垂足為F,根據(jù)題意可得：AF=CE,AC=EF=120米，

BGWAF,從而可得乙4BG=AB4F=25。，再利用（1）的結(jié)論可得BF=400米，然后在

RtAABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4F的長，從而求出CE的長，進行計算即可解

答.

【詳解】（1）過點B作BE1CD,垂足為E,

乙山

，甲山

4~~^4

團乙山8。的坡比為4：3,

「團-B-E=一4,

DE3

國設BE=4k米，則DE=3k米，

在Rt△BDE中，BD=VDF2+BE2=J(3k)2+(4吠=5k(米),

ZBD=650米，

05fc=650>

Efc=130,

回BE=520米，DE=390米，

回乙山8處到河邊CD的垂直距離為520米；

（2）如圖：過點A作4F18E,垂足為R

由題意得：AF=CE,4C=EF=120米，BGWAF,

團乙4BG=4BAF=25°,

WE=520米，

EBF=BE—EF=520-120=400（米），

在RtZiABF中，AF=?858.4（米），

tan25°0.466

0CF=AF=858.4米,

回CD=CE-DE=858,4一390?468（米），

國河CD的寬度約為468米.

9.（2023上?重慶萬州,九年級重慶市萬州第二高級中學?？计谥校┲苣?，小明和小紅相約

爬山到山頂點c處觀景（山腳處的點力、B在同一水平線上），小明在a點處測得山頂點c的

仰角為37。，他從點4出發(fā)，沿2C爬山到達山頂C.小紅從點B出發(fā)，先爬長為260米的山坡

8。到達點D,BD的坡度為2.4：1,然后沿水平觀景步道DE走了450米到達點E,此時山頂

C正好在點E距離900米且仰角30。處，最后爬山坡EC到達山頂C（點4、B、C、D、E在同

一平面內(nèi)，小明、小紅的身高忽略不計），（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6,cos37°=0.8,

tan37°=0.75）

北

⑴求山頂C到4B的距離；

（2）若小明和小紅分別從點4、點8同時出發(fā)，小明的爬山速度為50米/分，小紅的爬山速度

為58米/分（小紅在山坡80、山坡EC段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請問誰

先到達山頂C處？請通過計算說明理由.

【答案】⑴山頂C到48的距離為（450g+240）m

⑵小紅先到山頂，理由見詳解

【分析】本題主要考查仰俯角、勾股定理與行程問題，三角函數(shù)的計算的綜合，掌握仰俯

角求路程，勾股定理的運用，三角函數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵.

（1）如圖所示，過點。作DFLAB于點F,過點E作MG,48于點G,過點C作4B于

點H,過點E作EN1CH于點N,由坡比可算出DF,EG,NH的值，在RtAAEN中，根據(jù)含

30。角的直角三角形的性質(zhì)可求出CN的值，由此即可求解；

（2）根據(jù)行程問題的數(shù)量關(guān)系分別算出小明，小紅的時間，進行比較即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點。作DF,43于點F,過點E作MG14B于點G,過點C作

CH14B于點H,過點E作EN1CH于點N,

根據(jù)題意可得，8。=260m,且8。的坡度為2.4：1,即笠=2.4,

BF

國在RtABD尸中，BF2+DF2=BD2,

WF2+(2.4BF)2=2602,

解得，BF=100m,

BDF=2ABF=240m,

根據(jù)題意可得，DF=EG=NH=240m,

國點E的仰角為30。，即NCEM=30°,

回NCEN=60°,CE=900m,

國在RtA4EN中，乙ECN=30°,

MN=(CE=[x900=450(m),CN=有EN=450V3(m),

SCH=CN+NH=(450百+240)m,

團山頂C到AB的距離為(450百+240)m.

(2)解：小紅先到山頂，理由如下，

根據(jù)題意可得，在RtAACH中，乙4=37。,

fflsin370=—,

CH450舊+240450X1.7+240

SAC=---------?-----------=1675(m),

sin37°0.60.6

回小明的爬山速度為50米/分,

回小明在4點處測得山頂點C的時間為：1675+50=33.5（分鐘）,

根據(jù)題意，BD+EC=260+900=1160m,小紅的爬山速度為58米/分,

回小紅上坡的時間為：1160+58=20（分鐘），

0DF=450m,小紅的平路速度為90米/分，

國小紅平路的時間為：450+90=5（分鐘），

團小紅從BtC的時間為：20+5=25（分鐘），

025<33.5,

團小紅先到山頂.

10.（2023上?重慶九龍坡?九年級重慶市楊家坪中學校考期中）如圖，海面上有A,2兩個

小島，A在8的正東方向.有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60。的方向，從

8處測得漁船在其東北方向，且測得8,P兩點之間的距離為30海里.

⑴求小島A,8之間的距離（結(jié)果保留根號）；

（2）漁船在P處發(fā)生故障，在原地等待救援.一艘救援船以每小時45海里的速度從A地出

發(fā)先沿正西方向前往2點去取修理的材料（取材料的時間忽略不計），再沿射線8P方向以

相同的速度前往尸點進行救援.救援船從A點出發(fā)的同時，一艘補給船從C點出發(fā)，以每

小時30海里的速度沿射線CP方向前往P點，已知A,P,C三點在同一直線上，從8測得

C在B的北偏西15。方向.請通過計算說明救援船能否在補給船到達P點后的40分鐘之內(nèi)

趕到尸點.（參考數(shù)據(jù)：V2~1.41,V3-1.73,e=2.45）

【答案】⑴（15或+15前）海里

（2）不能，理由見解析

【分析】（1）過點P作PD于。點，可得ZBOP=乙4。0=90。，然后在RtAPB。中，

利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD,DP的長，再在RtAPAO中，利用銳角三角函數(shù)的定義

求出4）的長，進行計算即可解答；

（2）過點B作BFL4C,垂足為F,利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求出BF,證明ABCF

是等腰直角三角形，求出CF,利用勾股定理求出PF,得到CP,再分別算出兩艘船分別到

達點尸的時間，根據(jù)差值判斷即可.

【詳解】（1）解：過點P作PO于。點，

乙BDP=4ADP=90°,

在RtAPBD中，Z.PBD=45°,BP=30海里，

???DP=BP-sin45°=30x曰=15企（海里）,

BD=BP-cos45°=30Xy=15近（海里），

在RtAPAD中，/.PAD=90°-60°=30°,

AD-=15V6（海里），

tan300V3

3

???AB=BD+AD=（15V2+15前）海里，

???小島4B之間的距離為（15e+15遍）海里；

（2）不能，理由是：過點B作BF1AC,垂足為F,

???Z.AFB=Z.CFB=90°,

由題意得：/-ABC=90°+15°=105°,^PAD=90°-60°=30°,

Z.C=180°-/.ABC-4PAD=45°,

團ABCF是等腰直角三角形，

在RtAABF中，ABAF=30°,

BF=^AB=（yV2+蔡①）海里，/.ABF=60°,

ECF=BF=—V2+—V6,

22

團PF=<BP2-BF2=—V6-—V2,

22

回PC=CF+PF=15V6,

回補給船到達尸點所用時間為：第=半。1,23小時，

救援船到達P點所用時間為：二三=15個y+3。=停+號+1"1.95小時，

4545\333/

0（1.95-1.23）X60=43.2分鐘，

國救援船不能在補給船到達P點后的40分鐘之內(nèi)趕到P點.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形

添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

11.（2023上?重慶沙坪壩?九年級重慶市鳳鳴山中學校聯(lián)考期中）如圖，某校無人機興趣小

組為測量教學樓的高度，在操場上展開活動.此時無人機在離地面30m的。處，操控者從

A處觀測無人機。的仰角為30。，無人機。測得教學樓BC頂端點C處的俯角為37。，又經(jīng)過

人工測量測得操控者A和教學樓BC之間的距離為60m,點A,B,C,。都在同一平面

上.

A

（1）求此時無人機。與教學樓8c之間的水平距離BE的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求教學樓的高度（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：V3?1.73,sin37°~0.60,cos37°~

0.80,tan37°~0.75)

【答案】(1)(60-30V3)m

(2)24m

【分析】本題考查三角函數(shù)的實際應用.根據(jù)題意建立直角三角形是解題關(guān)鍵.

(1)過點C作CF1DE,在RtZkHDE中即可求解；

(2)在RtADCF中求出DF,可進一步求解.

【詳解】(1)解:過點C作CFJ.DE,如圖所示：

由題意得：CF=BE,BC=EF,AB=60m,DE=30m,/.DAE30°,4GDC=

37。，

在RtAADE中，Z.DAE=30°,DE=30m,

SAE==30V3m,

tan30°

0CF=BE=AB-AE=(60-30V3)m

故：無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度是(60-30V3)m.

(2)解：在RtADCF中，ADCF=37°,

0DF=CFxtan37°x(60-30V3)x0.75=(45-萼)m,

WC=EF=DE-DF=30-(45-等)x24m,

故：教學樓8c的高度為24m.

12.(2023上?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學?？茧A段練習)(1)如圖1,4B表示一個窗

戶的高，AM和BN表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距離BC=1m,已知某一時

刻BC在地面的影長CN=1.5m,AC在地面的影長CM=4.5m,求窗戶的高度.

(2)如圖2,小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退

后，使眼睛通過竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.6m,竹桿頂端離地面

2.4m,小明到竹桿的距離。尸=2m,竹桿到塔底的距離DB=33m,求這座古塔的高度.

A

A

Xi

MNC

圖1圖2

【答案】(1)窗戶的高度4B為2m；(2)古塔的高度是15.6米.

【分析】(1)由題意可得BNIIAM,根據(jù)平行線分線段成比例列式求出4C,然后可得窗戶

的高；

(2)證明四邊形EFDG和四邊形GDBH是矩形，可得BH=DG=EF=1.6m,EG=DF=

2m,GH=DB=33m,然后證明△EGO△E/M,利用相似三角形的性質(zhì)求出力”，進而

可得這座古塔的高度4B.

【詳解】(1)解：由題意可得BNII4M,

根據(jù)平行線分線段成比例可得：差=3，即行=與

24c=3m,

團48=AC—BC=3—1=2m,

答：窗戶的高度4B為2m；

(2)如圖，CD與EH交于點G,

圖2

回小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EHWFB,

^EFD=乙FDG=4DGE=乙HGD=乙GDB=ADBH=90°,

回四邊形EFDG和四邊形GDBH是矩形，

I3BH=DG=EF=1.6m,EG=DF=2m,GH=DB=33m,

回竹桿頂端離地面2.4m,即CO=2.4m,

0CG=CD—DG=0.8m,

^\CD\\AB,

0AEGC~△EHA,

r回—,EG訪=初CG'即pi-t石2石=購0.8'

解得AH=14m,

回AB=AH+BH=14+1.6=15.6m,

答：古塔的高度是15.6米.

【點睛】此題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的應用，熟練掌握平行線分線段成

比例定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2023上?重慶?九年級字水中學校考期中）3月份，長江重慶段開始進入枯水期，有些

航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加.為及時掌握轄區(qū)通航環(huán)境實時情況，嚴防船舶擱

淺、觸礁等險情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開展巡航檢查，確保近七百公里的長江

干線通航安全.如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的a處發(fā)現(xiàn)，航標B在a處的北偏東

45。方向200米處，以航標B為圓心，150米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會使過往船舶

有危險.

北

（1）由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在4處北偏西15。方向300米的C處，露出一片礁石，求

B、C兩地的距離；（精確到1米）

（2）為保證航道暢通，航道維護項目部會組織挖泥船對該條航道被淺灘影響的航段進行保航

施工.請判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請求出被影響的航道長

度為多少米？如果沒有被影響，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：V2~1.414,舊《2.646）

【答案】（1）265米

（2）會影響，長度為100米，理由見解析

【分析】（1）過點B作BD14C,垂足分別為D,E,根據(jù)方位角求得NB4C=

60°,解即可求解；

(2)根據(jù)題意，設BF=150,勾股定理求得尸。，即可求解.

【詳解】(1)如圖，過點B作BDJ.AC,垂足分別為，E,

A'FD

根據(jù)題意可得NBP4=45°,^PAC=15°,

?-?/.BAE=60°,

RtAABE中，AB=200米，

???BE=AB-sin60°=200Xy=1008米,AE=AB-cos60°=200X|=100米,

vAC=300米，

.?.EC=4C—4E=200米，

RtABCE中，BC=\EB2+EC2=J2OO2+(100V3)2-10V7?265^；

(2)會影響，長度為100米，理由如下，

AB=200米，

RtAABD中，BD=AB-sm/.ABC=200xy?141米，

v141<150,

;該條航道被這片淺灘區(qū)域影響，

根據(jù)題意，150米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，

設=150米，

Rt△BFD中，F(xiàn)D=VBF2-BD2=J1502-(100V2)2=50米，

根據(jù)對稱性，可得被影響的航道長度為100米.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解直角三角形的應用，理解題意構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

14.(2023上,重慶沙坪壩?九年級重慶一中?？计谥?如圖，光明中學一教學樓頂上豎有一

塊高為4B的宣傳牌，點E和點。分別是教學樓底部和外墻上的一點(A,B,D,E在同一

直線上)，小紅同學在距E點9米的C處測得宣傳牌底部點2的仰角為67。，同時測得教學

樓外墻外點。的仰角為30。，從點C沿坡度為1:百的斜坡向上走到點尸時，DF正好與水平

線CE平行.

A

⑴求點尸到直線CE的距離（結(jié)果保留根號）；

⑵若在點尸處測得宣傳牌頂部A的仰角為45。，求出宣傳牌2B的高度（結(jié)果精確到

0.01）.（注：sin67°?0.92,tan67°?2.36,V2-1.41,V3?1.73）

【答案】⑴3百米

（2）1.95米

【分析】（1）過點尸作FH1CE于X,可得四邊形FHED是矩形，從而得到FH=DE,在

RtACDE中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解；

（2）根據(jù)CF的坡度為1:次，可得（:”=次?"=9（米），從而得到EH=DF=18（米）,

在RtABCE中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出BE的長，即可求解.

【詳解】（1）解:過點尸作于〃，

EFH||DE,DF||HE,Z.FHE=90°,

EZFWE=乙DEH=4FDE=90°,

回四邊形FHED是矩形，

0FH=DE,

在RtACOE中，DE=CE?tan/OCE=9xtan30°=38（米）,

0FH=DE=3V3（米）.

答：點尸到CE的距離為3百米.

（2）解：EICF的坡度為1:百，

團在RtAFCH中，CH=WFH=9（米），

在RtADCE中，Z.DCE=30°,

回CE=1=9（米）,

0FW=DF=18（米），

0Zi4F￡）=45°,

回AADF是等腰直角三角形,

0AD=DF=18米,

在RtABCE中，BE=CE?tan/BCE=9xtan67°=21.24（米）,

0XB=AD+DE-BE=18+3A/3-21.24?1.95（米），

答：宣傳牌4B的高度約為1.95米.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構(gòu)造直角三角形是解

題的關(guān)鍵.

15.（2023上?重慶沙坪壩?九年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，某工廠準備開發(fā)一塊四邊形

4BCD的空地，點C在點。的南偏東45。方向上，點A在點。的北偏東60。方向上，點B在

點A的正東方向，點C在點8的正南方向.已知AB=2千米，CD=5/千米.（參考數(shù)

據(jù)：V2-1.414,V3-1.732）

⑴如果要在空地四周建立防護欄，需要多少千米的防護欄？（精確到0.1千米）

⑵該工廠計劃用380萬元改造該地塊，如果每平方千米的改造費用為20萬元，通過計

算，判斷改造費用是否充足？

【答案】（1）需要19.3千米的防護欄

（2）改造費用充足，計算見詳解

【分析】（1）過點。作BC的垂線段，交BC于點F,過點4作DF的垂線段，交DF于點E,根

據(jù)題意可得NFDC=45o,zADE=9（T-60o=30。，解直角三角形求出4D,BC的值，即可

解答；

（2）根據(jù)（1）求得數(shù)據(jù)，求出四邊形4BCD的面積，即可解答.

【詳解】（1）解：如圖，過點。作BC的垂線段，交BC于點F,過點4作DF的垂線段，交DF

于點E,

據(jù)題意可得NFDC=45°,Z.ADE=90°一60°=30°,

???sinZ.FDC=sin45°=—=—,

DC2

FC=DF=^-DC=5千米，

Z.AEF=Z.EFB=(B=90°,

???四邊形ZEFB為矩形，

EF=AB=2千米，

???OE=OF-EF=3千米，

???cosZ-ADE=cos30°=—

AD2

AD-=2A/3,

BF=AE=-AD=V3,

2

???四邊形48。。的周長=AB+BF+FC+CD+DA=7+5V2+3百~19.3千米，

答：需要19.3千米的防護欄；

(2)解：四邊形4BCD的面積=S矩形MF-+SAADE+SADFC=2百+學+§七18.562平方

千米，

-■?18.562x20=371.24<380,

???判斷改造費用充足.

【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練畫出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

16.(2023上?重慶北倍?九年級西南大學附中?？计谥?如圖，筆直的海岸線/上有A、B

兩個觀測站，A在2的正東方向.有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60。的方

向，從8處測得漁船在其東北方向，且測得8、尸兩點之間的距離為20海里.

BA

⑴求觀測站A、2之間的距離（結(jié)果保留根號）；

（2）漁船從點尸處沿射線2P的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得

漁船在北偏西15。的方向.在漁船到達C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時20

海里的速度前往C處，請問補給船能否在83分鐘之內(nèi)到達C處？（參考數(shù)據(jù)：V3?

1.73）

【答案】⑴觀測站A、B之間的距離為（1。夜+10區(qū)）海里.

⑵補給船能在83分鐘之內(nèi)到達C處，理由見解析.

【分析】（1）過點P作PD于。點，可得NBDP="DP=90。，然后在Rt△PBD

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD,DP的長，再在口△PAD中，利用銳角三角函數(shù)的

定義求出4。的長，進行計算即可解答；

（2）過點2作BFIAC,垂足為凡根據(jù)題意得：乙4BC=105。，/PAD=30。，從而求

出NC=45。，然后在RtAABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在RtABCF

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答.

【詳解】（1）解：過點尸作P。LAB于。點，

SZ.BDP=Z.ADP=90°,

在RtAPB。中，/.PBD=90°-45°=45°,BP=20海里，

WP=BP-sin45°=10V2(海里)，BD=BP?cos45°=1072(海里),

在口△PAD中，^PAD=90°-60°=30°,

財。==10V6(海里)，

tan30°

EXB=BD+AD=(10V2+10&)海里，

團觀測站42之間的距離為(10a+10函)海里；

(2)補給船能在82分鐘之內(nèi)到達C處，

理由