2024-2025學(xué)年人教版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期專項復(fù)習(xí)：空間向量及其應(yīng)用（九大重難點）原卷版

空間向量及其應(yīng)用(九大重難點)

成專率點目錄

空間向量的線性運算

已知平行或垂直，求其它

共線、共面向量定理

利用空間向量證明平行與垂直

空間向量及空間向量基本定理

向量的投影及投影向量其應(yīng)用

空間向量的數(shù)量積

利用數(shù)量積求夾角

利用數(shù)量積求長度

一、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

1.空間直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向X軸的正方向，食指指向了軸的正方

向，如果中指指向Z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所

示.y

2.空間兩點間的距離公式、中點公式

(1)距離公式

①設(shè)點幺(項,必,馬)，8(%,%/2)為空間兩點，

222

則A,B兩點間的距離IAB|=-x2)+(J]-v2)+(Z]-Z2).

②設(shè)點尸(x/,z),則點尸(x/,z)與坐標(biāo)原點。之間的距離為|。尸|=戰(zhàn)+/+z?.

(2)中點公式

2

設(shè)點P(x,y,z)為耳(再,％,々),6(%,%,Z2)的中點，貝卜y=

2

Z1+Z2

Z=

2

3.空間向量的有關(guān)概念

空間向量：在空間中，具有大小和方向的量

單位向量：長度（或模）為1的向量

零向量：長度（或模）為0的向量

相等向量：方向相同且模相等的向量

二、空間向量的有關(guān)定理及運算

1.共線向量定理

對空間任意兩個向量￡3,片可，的充要條件是存在實數(shù)九使得￡=宓

推論：對空間任意一點。，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)%使而=xE+y礪（其中

x+j=l）.

2.共面向量定理

如果兩個向量33不共線，那么向量，與向量￡石共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使

p=xa+yb.

推論：空間一點P位于平面N2C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x,歷，使Q=行+＞就；

或?qū)臻g任意一點。，^OP=OA+xAB+yAC.

3.空間向量基本定理

如果三個向量反工不共面，那么對空間任一向量力，存在有序?qū)崝?shù)組｛X，歹，z｝,使得升z）.

其中，｛￡,瓦工｝叫做空間的一個基底，/友工都叫做基向量.

注意：（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底；

（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；（3）。不能作為基向量.

4.空間向量的運算

設(shè)。二-31也也），

則a土B=（%±伍,的土&嗎±&），4a=（4%"。2,4。3）（丸￡火），a-b=帖、+a2b2+%4，

a//bob=Aaobi=4%也=%%也-2a3（%￡R），aLboa-b=afy+tz2Z72+%&=0，

門Fn―2―ren/5h\=_。出+^/辦+一仇

H="=屈+/+%，S\5/麗亞+"+其冊;,+公,

三、直線的方向向量和平面的法向量

（1）直線的方向向量就是指和這條直線平行（或共線）的向量，記作7,顯然一條直線的方向向量可以有無

數(shù)個.

（2）若直線/la,則該直線/的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作2,有無數(shù)多個，任意

兩個都是共線向量.

四、利用空間向量表示空間線面平行、垂直

設(shè)直線/，切的方向向量分別為7,五，平面％4的法向量分別為￡,耳.

位置關(guān)系平行垂直

線線3與加）1/lmo~l=2m(2GR)1.\_m=7?加=0

線面（/與a）7_Lao7?a=07//a=7=GR)

面面（1與萬）all0oa=2^(2GR)a工f3=a、B=Q

重難點01空間向量的線性運算

【解題必備】

用已知向量表示未知向量，是向量線性運算的基礎(chǔ)類型,解決這類問題，要注意兩個方面:

（1）熟練掌握空間向量線性運算法則和運算律.（2）要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用

例1.在四棱柱N5CD-44GA中，CM=MDt,CQ=^QAX,則（）

.1—?2—?—?-------1.1—?1—?

A.AM=-AB+-AD+AA.B.AMAB+-AD+-AA

332321

c.AQ=-AB+-AI5+-AA,D.AQ=-AB+-AD+-AA.

44415551

例2.（多選）已知四面體/BCD,E,尸分別是8C,CO的中點，則而=（）

B.1(^C-5C)

A.

c.2F-1(2B+^C)D.刀+；(前+就)

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.如圖，在四棱錐P-45CD中,底面4BCD是正方形，E是尸。的中點，點廠滿足赤=2麗，若

PA=a>PB=b>PC=c<則麗=()

A.-a-^b+^c1-41-

B.—a——b7——c

236236

1-7-1-1一7：1-

—a——D+——a——D——c

266266

―?2―?

練習(xí)2.在三棱錐O—48。中，已知=G是線段々的中點，則。G=()

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

236623

1—?1―-1―?1—?1—?1―?

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

362263

練習(xí)3.如圖，三棱柱ZBC-44G中，￡尸分別為5Ade中點，過4旦尸作三棱柱的截面交4。于M,

一

A.-B.一D.1

32

練習(xí)4.已知平行六面體Z8CQ-48'。'。，化簡下列向量表達式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量:

WAB+AD+AA';

(2)DD'-AB+BC

⑶方㈣.

重難點02共線、共面向量定理

【解題必備】利用向量方法證明四點共面的基本途徑：

對空間任意四點尸，M,A,B,可通過證明下列結(jié)論來證明四點共面：

(1)MP=xMA+yMB.

(2)對空間任意一點。，而=0祝+xJ扇+y標(biāo).

(3)對空間任意一點。，麗=x57+yE+z礪(x+y+z=l).

例3.(多選)下列命題正確的是()

A.若萬=2f+3J5,則/與T,y共面

B.若礪=2疝+3話，則監(jiān)尸,48共面

C.若布+麗+反+而=G,則42c。共面

—一1—?5—1—

D.^OP=-OA+-OB一一OC,則P,42,C共面

263

例4.如圖，在四棱錐尸-N8CD中，BCHAD,4。=25。，點E是棱的中點、PC與平面48E交于產(chǎn)

_____,__,__>PP

點，^PF=xPA+yPB+zPE,則拓=:y+z-2x=

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.已知八）,人是不共面向量，a=2i-j+Sk,b=-i+4j+2k,c=1i+5j+Ak,若&,B、萬三個向

量共面，則實數(shù)X=.

練習(xí)2.有下列命題：

①若AB//CD,則4瓦。四點共線；

②若抽〃就，則C三點共線；

③若「￡為不共線的非零向量，1=4弓-1^23=-6+$02,則

④若向量華0,是三個不共面的向量，且滿足等式/6+后202+&03=。，則左=左2=%=。.

其中是真命題的序號是（把所有真命題的序號都填上）.

練習(xí)3.（多選）如圖，在三棱柱N3C-4AG中，P為空間一點，且滿足而=2旅+〃甌，尢〃?0』］,

A.當(dāng)2=1時，點P在棱臺4上B.當(dāng)〃=1時，點P在棱4G上

C.當(dāng)彳+〃=1時，點P在線段2c上D.當(dāng)a=必時，點尸在線段3G上

練習(xí)4.已知空間中三點/（2,0,-2）,5（1,-1,-2）,C（3,0,-4）

⑴若「|=3,且"〃正，求向量之；

（2）若點尸。,-1,加）在平面ABC上,求加的值.

重難點03空間向量基本定理

【解題必備】用基底表示向量的三個步驟：

（1）定基底:根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底.

（2）找目標(biāo):用確定的基底（或已知基底）表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向

量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果.

（3）下結(jié)論:利用空間向量的一個基底｛2》,《可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有

2,61,不能含有其他形式的向量.

例5.已知忖石可為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）

A.a+b,c+b,a-cB.a+2b,b,a-c

C.2a+b,2c+b,a+b+cD.a+c,b+2a,b-2c

例6.如圖，在空間四邊形O4BC中，G是△4BC的重心，若南=+y礪+z反，則x+y+z=.

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.若加/同和而｝都為基底，則而不可以為（）

A.aB.cC.a+cD.a-c

練習(xí)2.向量｛落A，｝是空間的一個單位正交基底，向量力在基底b,1下的坐標(biāo)為(-1,2,3),則力在基

底M+的坐標(biāo)為()

練習(xí)3.如圖，已知￡、F、G、〃分別是空間四邊形ABC。的邊/仄BC、CD、。/的中點，用豆，麗,

瑟表示而，貝!1的=

—?1—.

練習(xí)4.在空間四邊形O48C中，若及尸分別是的中點，27是斯上的點，S.EH=-EF,記

OH=xOA+yOB+zOC,貝！|(x/,z)等于()

A

A。(M￡lB.g巖)C.g：,胃口.

重難點04空間向量的數(shù)量積

【解題必備】

在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的向量的

組合形式；其次利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的

定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特殊角.

例7.（多選）如圖所示，在棱長為1的正四面體/BCD中，E,尸分別是N8,的中點，則下列計算結(jié)果

正確的是（）

A

C

—?—1—?―?1

A.EFBA=—B.EFBD=—

42

C.EFDC=--D.~ABCD=-

42

例8.向量值=(2,1,1),b=(x-l,x,O)(x>l),且網(wǎng)=159，若(加5—,則實數(shù)加的值為（）

A13「13八13Tl3-1：3T13

A.一B.--C.一或一D.—「或一5

78787

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.已知空間向量加=(1,2,3),空間向量［滿足蔡〃7且浣i=7,則］=（）

A-B.12'T-a1

C1-2T-2)D.1』」

練習(xí)2.有一長方形的紙片4B。，48的長度為4cm,BC的長度為3cm,現(xiàn)沿它的一條對角線4c把它折

成直二面角，則折疊后k.麗=()

D

B

A.-4B.-16C.-7D.-9

練習(xí)3.設(shè)。為坐標(biāo)原點，向量厲=（1,2,3）,05=（2,1,2）,麗=0,1,2）,點0在直線。尸上運動，則）.班

的最小值為（）

2211

A.-B.——C.-D.——

3333

練習(xí)4.已知即是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點〃滿足癥.赤=T0,48是正方體的一

條棱，則而.存的最小值為（）

A.16（V2-4）B.16（2-V2）C.16（4-72）D.16（72-2）

重難點05利用數(shù)量積求長度

【解題必備】

運用公式同一=a-a,可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題

例9已知點尸-2）,0（4,0,叫。為坐標(biāo)原點，且無?麗=0,則屆=（）

A.36B.V6C.6D.277

例10.如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱N5C。-4耳。。，底面是正方形，CG=3,。。=3,且

zc1cs=zc1cz）=60°,則向量4c的模長為（）

34C.52

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.己知二面角a7-力的大小為120。，Aea,Dc0,Bel,Cel,且48，/,CD11,則線段

AD的長度為.

練習(xí)2.如圖，平面4BFE與平面CDE尸夾角為60。，四邊形/3FE,CDE尸都是邊長為1的正方形，則3,

。兩點間的距離是.

練習(xí)3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC=4,原點。是8c的中點，點看1?,；,0,點。在平面"9z內(nèi),

\22J

且/&)C=90。，ZDCB=30°,則/￡>的長為.

練習(xí)4.如圖所示棱長為1的正四面體N8CD,E、尸分別為43、/C中點，G為靠近。的三等分點.記

a=AB,b=AC-若c=a+正，feR,求同的最小值;

重難點06利用數(shù)量積求夾角

【解題必備】

a-b

設(shè)向量所成的角為，，則cos（a）,進而可求兩異面直線所成的角，注意異面直線所成的角范

?7T

圍是0,—

例11.在空間四邊形O4BC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC,則刀，瑟的夾角為（）

如圖所示，尸。垂直于正方形N2CD所在平面，AB=2,E為尸2的中點，cos而，荏;手，若以

例12.

DA,DC,DP所在直線分別為x,丹z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點E的坐標(biāo)為（）

C.(1//D.(1,1,V3)

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.已知空間向量b,1滿足同=2,問=3,同=近且1+另+1=0,則不與方的夾角大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

練習(xí)2.（多選）設(shè)空間兩個單位向量。3=（加,",0）,礪=（0,〃,同與向量次=（1,1,1）的夾角都等于：，則

cosZAOB=（）

A.空

B.

44

Q2—^3

D.

44

IDPI

練習(xí)3.如圖，為正方體，動點P在對角線8。上，記9=4.當(dāng)N/PC為鈍角時，2

的取值范圍為.

練習(xí)4.如圖，在平行六面體/BCD-4用GA中，4B=5,AD=3,AAX=4,/DAB=90°,

ZBAA,=ZDAAI=60°,E是CQ的中點，設(shè)善=萬，AD=b，AAx=c.

⑴求孤的長；

⑵求荏和就夾角的余弦值.

重難點07向量的投影及投影向量

例13.已知點/（3,1,0）,8（2,3,0）,C（TT1）,0（3,3,1）,則向量方在向量而上的投影向量的模為.

例14.如圖，圓臺。。1的軸截面為等腰梯形/8CD,/3=2C2E在上底面的圓周上，且NCQE=45。，則荏

在森上的投影向量為（）

E

bB

A.任立冠B.丘立存

88

c.三立刀D.七除

88

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.已知)為單位向量.1=(1,0,0),若卜-同1=1,貝IU在3上的投影向量為.

練習(xí)2.在棱長為2的正方體NBCD-HB'C'。'中，點E是CC'的中點.設(shè)森在7萬上的投影向量為Z,則

|a|=()

A.；B.|C.gD.V2

練習(xí)3.在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，已知向量。=(T1,2),3=(2,3,1),求向量成=1+23在f和斤上的投影.

練習(xí)4.如圖，在三棱錐P-4BC中，P/_L平面48C,平面尸43_L平面尸5C,BCLPB,PA=2,

PB=2亞.若方方向上的單位向量為則/在向量益方向上的投影向量為.

P

B

重難點08利用空間向量證明平行與垂直

例15.在正方體/BCD-445。中，E,F,G分別是CR,4。的中點，則()

A.48〃平面斯GB.4c〃平面EFG

C.8JC_L平面EPGD.8Q_L平面￡FG

例16.如圖，正方形4BC￡＞和四邊形/C跖所在的平面互相垂直，CE1AC,EF〃AC,AB=正，

CE=EF=1.求證：

⑴4F//平面BDE；

⑵CF_L平面8DE.

【跟蹤練習(xí)】

練習(xí)1.（多選）在長方體中，AB=26,AD=AA1=2,p,Q,R分別是48,BB、,Afi

上的動點，下列結(jié)論正確的是（）

A.對于任意給定的點P,存在點。使得

B.對于任意給定的點。，存在點衣使得

c.當(dāng)/火，4c時，AR1DiR

D.當(dāng)4。=34尺時，。尺與平面如G的法向量垂直

練習(xí)2.如圖所示，在直三棱柱/3C-44G中，G