2024-2025學年人教版高二數(shù)學期末模擬卷（全解全析）

2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.測試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊、第二冊（空間向量與立體幾何+平面解析幾何+排

列、組合與二項式定理+概率與統(tǒng)計）。

4.難度系數(shù)：0.7o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知向量。=（2,4,x）,S=（2,y,2）,若忖=6,alb＞貝也+了的值是（）

A.-3或1B.3或1C.-3D.1

【答案】A

【詳解】因為3=(2,4,x),b=(2,y,2),且同=6,a_Lb<

同:也+4?+/=6,解得x=4x=-4

所以k-3或

a-b=4+4y+2x=0J=1

所以x+y=l或x+y=_3.

故選：A

2.某市人民政府新招聘進6名應屆大學畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，每人只去一個部門，每

個部門必須有人，若甲部門必須安排2人，則不同的方案數(shù)為（）

A.540B.1080C.520D.360

【答案】A

【詳解】6名應屆大學畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門,

甲部門先安排2人有C1=15種,

剩余4個人分配到乙、丙、丁三個部門有卑6A；=36種，

故由分步乘法計數(shù)原理得晨等CA；=540,

A2

故選：A.

3.已知5個成對數(shù)據(jù)(x,y)的散點圖如下，若去掉點。(4,3),則下列說法正確的是()

蜂

41,4)

*.5(2,3.5)

.刃(4,3)

C(3,2.5)

______________￡(11)

Ox

A.變量x與變量y呈正相關B.變量x與變量y的相關性變強

C.殘差平方和變大D.樣本相關系數(shù)r變大

【答案】B

【詳解】由散點圖可知，去掉點。(4,3)后，y與X的線性相關加強，且為負相關，

所以B正確，A錯誤；

由于歹與x的線性相關加強，所以殘差平方和變小，所以C錯誤，

由于歹與x的線性相關加強，且為負相關，所以相關系數(shù)的絕對值變大，

而相關系數(shù)為負的，所以樣本相關系數(shù)r變小，所以D錯誤.

故選：B.

4.隨機變量X服從N(〃，。2),若p(X21)=P(XW3),則下列選項一定正確的是()

A.P(X>3)=1B.<7=1C.〃=2D.P(X>3)+P(X<1)=1

【答案】C

【詳解】因為尸(X21)=尸(X<3),由正態(tài)分布的對稱性，可得〃=2,正態(tài)分布方差無法判斷，

P(X>3)<1,P(X>3)+P(X<1)<1,

所以ABD錯誤.

故選：C.

5.芻薨是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻薨如圖所示，底面BCDE

7T

為矩形，力尸//平面BCDE,△Z8E和VCD廠是全等的正三角形，BC=3,BE=2,ZABC=y,則異面直

線/￡與所成角的余弦值為（

AF

2V133V13

【答案】A

【詳解】依題意得運=麗-豆，麗=灰?+而,

所以左.麗=匪_茄）?回+礪）

=BE-BC+BE2-BA-JC-BA-BE

.____TV

=4-2x3cos2x2cos—=-1,

33

又|延卜2,|麗卜而,

所以設異面直線AE與BD所成的角為6，

故選：A.

6.已知圓G+（y-l）~=1與圓C2：（尤+3）2+（）-2『=1,過動點M（冽,"）分別作圓G、圓的切線,

MB（A,5分別為切點），若=則/+/的最小值是（）

【答案】B

【詳解】由題意得G（L1），Q（-3,2）,

2

因為7,\MB\^^|MC2|-I,

又即=

即（/-+（〃-I）~-i=（〃?+3）~+2y-i,

化簡得M點的軌跡為8加-2〃+ll=0,即在直線8x-2y+ll=0上,

蘇+二表示的幾何意義為〃點到原點距離的平方,

故只需計算原點到直線8〃L2”+11=0的距離再平方就可得最小值,

即最小值為/=—.

U82+22J68

故選：B.

10r\*

8x-2yMl=0

7.已知片，片分別為雙曲線，=l(a>0,b〉0)的左、右焦點，P為第一象限內一點，且滿足|尸用=2c,

\F2P\=a,線段用尸與雙曲線C交于點。，若名尸=5月。，則雙曲線C的離心率為()

A.V3B.觀rV5n布

322

【答案】C

【詳解】由題意可知：區(qū)。=?區(qū)2卜?出0"+小。|考,且寓閶=2c,

p

一a2121a2

,比可+紗/-紗/_4c+25-25_5c06/

在△片。鳥中，由余弦定理可得cos/GEQ=

2|甲訃以12X2CX@m

5

山閭2+1尸鳥2T尸用2二4c2+。2_4C2二2

在△片尸與中，由余弦定理可得cos/月鳥尸二

2?PF2\2X2CXQ4C

即5c2二6a-",可得且=9,

ac4c/4

所以雙曲線c的離心率為0=9=、目=苴

a\a22

故選：C.

8.已知/={xeN|x<12},5={xwN|x<3},函數(shù)工：/fN"(x)的值等于x除以6得到的余數(shù),

力：N-3.設/(幻=力(工(x)),若存在使得對于任意的xe/,都不滿足y=/(x),則函數(shù)f(x)

的個數(shù)是()

A.729B.189C.378D.540

【答案】B

【詳解】4={0』,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},8={0,1,2,3},函數(shù)解與力的關系如下圖所示:

可以看出，由于函數(shù)/(x)的對應關系固定，

函數(shù))(司=人(工(X))的個數(shù)只取決于N的0,1,2,3,4,5到3的對應關系.

因為存在yeB,使得對于任意的xe/,都不滿足丫=打%),

所以N的0,1,2,3,4,5沒有對應滿B中的所有元素.

考慮其反面，即對于任意的,總存在xeN,使得y=/(%),

即N的0,1,2,3,4,5對應滿了B中的所有元素.

求滿足反面的/(x)的個數(shù)的問題等價于“6名工人到3間工廠應聘，

每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應聘，求應聘情況的總數(shù)”,

即滿足反面的/(力有540個，沒有限制條件的f(x)有3,=729個,

因此滿足題目條件的f(x)有729-540=189個，故B正確.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.若自~"(4。2),若函數(shù)〃X)=P(XVJVX+1)為偶函數(shù)，貝=；

B.數(shù)據(jù)7,5,3,10,2,6,8,9的上四分位數(shù)為8

C.已知0〈尸(河)<1,0(尸(N)<1,若尸(MN)+P(瘋)=1,則M,N相互獨立

D.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到力2=3.937,依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗

(X005=3.841),可判斷X與y有關且犯錯誤的概率不超過0.05

【答案】ACD

【詳解】對A：因為〃X)=P(XWJVX+1)為偶函數(shù)，gp/(-x)=/(x),

可得：F(x<^<x+l)=P(-x<^<-x+l),故可得〃==故A正確；

對B：將8個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排序：2,3,5,6,7,8,9,10,

故8x0.75=6,故上四分位數(shù)為丫=8.5,故B錯誤；

2

/I\\P(MN)/、

對c根據(jù)題意,P(M\N)+P[M)=\,即3而+1-尸(M)=I,

即尸(M?V)=P(M)P(N),故MN相互獨立，c正確;

對D：3.937>3.841,根據(jù)獨立性檢驗，可判斷X與V有關且犯錯誤的概率不超過0.05,故D正確.

故選：ACD.

10.已知拋物線C:/=4x,尸為其焦點，直線/與拋物線交C于〃(再,乃)，兩點，則下列說法正

確的是()

A.若點A為拋物線上的一點，點B坐標為(3,1),則刊+以目的最小值為3

B.若直線/過焦點尸，則以"N為直徑的圓與x=-l相切

C.若直線/過焦點尸，當尸時，則|O"HON|=5

D.設直線MN的中點坐標為(%,為乂％WO),則該直線的斜率與%無關，與%有關

【答案】BCD

【詳解】對于A選項，如下圖所示:

D

拋物線的焦點為廠(1,0),準線為/：尤=-1,

設點A在直線/上的射影點為。，由拋物線的定義可得以必=|工目,

則同=]/目+恒4,

當且僅當A、B、。三點共線時，即當3。，/時，|48|+|Z尸]取最小值3+1=4,A錯;

對于B選項，若直線/過焦點廠，則|〃時=石+%+2,

線段九W的中點E到直線/的距離為d=七三+1,所以，|兒叫=2"

因此，以為直徑的圓與x=-l相切，B對；

對于C選項，當MN_L。尸時，直線ACV的方程為x=l,

聯(lián)立可得I；1:'不妨取可(1，2)、"(1,-2),則10M=|ON|=右，

此時，|。“卜|0叫=5,c對;

對于D選項，線段的中點坐標為(%,為乂%40),

若MNLx軸，則線段的中點在x軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在,

再+x=2x

由題意可得20

yi+y2=2%

“2一￥作差得（%-%）5+%）=4（X]-X2）,

故選：BCD.

11.如圖，V4BC內接于圓。，48為圓。的直徑，AB=4,BC=2,CD,平面4BC,￡為4D的中點,

若三棱錐。-BEC的體積為2,則下列結論正確的有（）

異面直線BE與AC所成角的余弦值為燈

10

直線5。與平面8CE所成的角的余弦值為逅

C.點/到平面3CE的距離為逐

7T

D.平面8CE與平面所成的角的大小為I

【答案】AC

【詳解】為圓。的直徑，且43=4,BC=2,；.V/BC為直角三角形，AC=20

設CD=h,

由￡為3的中點可得VD_BEC=="32瓜2=2,

解得力=2#,

以c為坐標原點，cits,。所在直線分別為xj,z軸建立空間坐標系如下圖所示：

則C（0,0,0）,“（26,0,0）,8（0,2,0）,D（0,0,2^3）,E出0,C）,

C4=（2^,0,0）,前=（。,-2,。），前=（0,-2,2班），區(qū)=（6,0,。）,

對于A,易知cos<CA,BE>=一尸———

所以異面直線的與ZC所成角的余弦值為叵，選項A正確;

10

n-CE=Oy/3x+也z=0

對于B,設平面5CE的法向量為力=(xj,z),,一，即

n-BE=Oy/3x-2y+后z=0

取x=l,y=0,z=—l,n=(l,0,-l)，

設AO與平面BCE所成的角為。，則sin8=cos＜BD,萬＞=?——---7==U，選項B不正確;

11\BD\-\n\4-V24

對于C,點A到平面3CE的距離為4=^^=半=指，選項C正確.

\n\V2

對于D,設平面48。的法向量為五=(a,b,c),DA=(273,0,-273),DB=(0,2,-2A/3),

2sf3a-2V5c=0\a-c=0

則＜即6-八=0'取c=l/3a=l，

2bse=0

粉=m-n=0,

所以平面BCE與平面ABD的夾角大小為90°,選項D不正確.

故選：AC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1-2初1+3姍的展開式中，含/的項的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】99

【詳解】由題意得(1+3x)6的展開式的通項為=4(3尤)'=3(""

所以(1-2x)(1+3x)6的展開式中,含以的項為3?C^2-2X-31C%]=99x2,

所以展開式中含爐的項的系數(shù)為99.

故答案為：99.

13.為培養(yǎng)學生體育鍛煉的習慣，以及強化科學健身的理念，某校創(chuàng)建了田徑類、球類、武術類三個體育

社團.甲、乙、丙三位同學各自參加其中一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，記三位同學所

參加的社團種類的個數(shù)為X,貝IJE(X)=.

191

/2

【答案】79

【詳解】依題意X的可能取值為1,2,3,

當X=1時，甲、乙、丙三位同學選擇同一個社團，有3種選法;

當X=2時，甲、乙、丙三位同學僅選擇兩個社團，有C；C；A；種選法;

當X=2時，甲、乙、丙三位同學選擇不同的社團，有A；種選法;

C；C；A；_18_2

尸(X=2)=

?~-27-3

尸(X=3)=2

33-27-9

1?219

所以E(X)=lx—+2x—+3x—=—.

V'9399

19

故答案為：~

14.甲乙兩人射擊一架進入禁飛區(qū)的無人機.已知甲乙兩人擊中無人機的概率分別為0.5,0.4,且甲乙射擊

互不影響，則無人機被擊中的概率為.若無人機恰好被一人擊中，則被擊落的概率為0.2；若恰

好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無人機被擊落的概率為

【答案】0.70.22.

【詳解】設甲擊中無人機為事件A,乙擊中無人機為事件B,無人機被擊中為事件C,無人機被擊落為事件

D，

貝1］尸(4)=0.5,尸(8)=0.4,所以尸(才=0.5,尸(石)=06,

所以P(C)=1-P(AB)=1-尸(7)尸(5)=1-0.5x0.6=0.7,

若無人機恰好被一人擊中，即事件初+/豆，

則P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5，

若無人機被兩人擊中，即事件42,

則P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.4=0.2,

所以P(D)=P(AB+AB)P(D\AB+AB)+P(AB)P(D、AB)

=0.5x0.2+0.2x0.6=0.22.

故答案為：0.7,0.22.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知(2-3工)9_為+呼+,/+….

(1)求％+。2+。3---*~，9；

(2)指出同，聞，同,…，|%|中最大的項.

【詳解】(1)令x=0,得%=29=512,

令X=],得+%+%■*---。9=(2—3)0=-1,

以Q]+〃2+〃3,,?+。9=一5]3;------------------------------5分

(2)判斷同，同，同，…，同中誰最大即判斷(2+3x)9展開式的系數(shù)誰最大.

(2+3x)9展開式的通項刀+1=72>(3無丫,

\Cr.29-r.3r>C'T?210-r-3r-1

由jc：.29T.3r；c",28,3'+i，得5VT6,因為reN，所以r=5或6.

故同，同，同，…,同中最大的項為IGI,I&I?------------------------------13分

16.(15分)

如圖，已知等腰梯形/3C。中，ADUBC,AB=AD=；BC=2,E是8C的中點，AE^BD=M,將

沿著NE翻折成△8/E,使用"，平面/ECO.

⑴求證：CD,平面8QM；

(2)求平面鳥兒少與平面片4D夾角的余弦值；

B、P

(3)在線段8c上是否存在點尸，使得MP//平面耳4。，若存在，求出笠的值；若不存在，說明理由.

【詳解】(1)如圖，在梯形/8CO中，連接￡)￡,因為￡是3C的中點，所以2石=，8。，

2

又AD=>BC=2,所以4D=BE,

2

又因為4D//5E,所以四邊形/BED是平行四邊形,

AD

因為4B=4D,所以四邊形/BED是菱形，從而4E18方,

△BAE沿著AE翻折成△弓/E后，有/￡_L4MAE_LDM

又B\M[\DM=M,BXM,DMu平面BQM,所以，平面BtDM,

由題意，易知AD〃CE,AD=CE,所以四邊形NECD是平行四邊形，

故AE//CD,所以C0_L平面-----------------------------5分

(2)因為4M_L平面/ECD,DVfu平面4ECD,則有8也_LDW,

由（1）知/￡_L4",/￡_1,。河，故兩兩垂直,

以M為坐標原點，M瓦旭），兒由所在直線分別為尤//軸，建立空間直角坐標系,

因為4B=8E=/E,所以為等邊三角形，同理V4DE1也為等邊三角形,

則耳（0,0,百）,/（-1,0,0）,0（0,百,0）,

設平面耳力。的一個法向量為成=(xj,z),

m-AD=(1,6,0)=%+y/^y=0

應.為。二(x,y,z)(0,6,-6)=\fiy-6=。

令、=1得%=—百,Z=l,故應=卜6,1,1),

又平面用的一個法向量為為二（1,0,0）,

\m'n\_/其1,11(1,0,0)[岳

則卜os〈比㈤|

|補向V3+1+165

故平面與加。與平面8/D夾角的余弦值為姮；------------------------------10分

5

(3)假設線段與C上存在點尸，使得MP//平面B/D,

過點P作尸0〃。交于0,連接MP，AQ,如圖所示:

所以/M//C。//尸0,所以4M,P,。四點共面,

又因為〃尸//平面440,所以"P///0,

所以四邊形/"P0為平行四邊形，

所以尸0=/M=；CD,所以P是用C的中點，

故在線段4c上存在點P，使得“P//平面B/D,且煞=)------------------------------15分

17.(15分)

為了給學生提供更為豐富的校園文化生活，學校增設了兩門全新的課程48,學生根據(jù)自己的興趣愛好在

這兩門課程中任選一門進行學習.學校統(tǒng)計了學生的選課情況，得到如下表格.

選擇課程A選擇課程3

男生4060

女生2080

(1)根據(jù)上表，依據(jù)小概率值a=0.005的％2獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關？

(2)現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，再從這5名男生中抽取3人做問卷調查,

求這3人中選擇課程3的人數(shù)比選擇課程A的人數(shù)多的概率.

附:，+H)(…)

a0.050.010.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

【詳解】(1)零假設4：選擇課程與性別無關.

=

/=(?)(；坊？)(6+.)ZxfZ14?x60"9524>7.879=x,005

根據(jù)小概率值c=0.005的/獨立性檢驗，推斷“。不成立，

即認為選擇課程與性別有關.-----------------------------5分

40

(2)選出的5名男生中，選擇課程A的人數(shù)為5x——=2,

40+60

選擇課程8的人數(shù)為5、/^=3,---------------------------------------------9分

40+60

這3人中選擇課程B的人數(shù)比選擇課程A的人數(shù)多有如下兩種可能:

選擇課程3有3人，數(shù)選擇課程A有0人，此種有C；種選法；

選擇課程8有2人，數(shù)選擇課程A有1人，此種有C；C；種選法；

記“這3人中選擇課程B的人數(shù)比選擇課程A的人數(shù)多”為事件M,

7

----------------------------------------------15分

10

18.(17分)

某工廠生產一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)X,如下表:

性能指標X6677808896

產品件數(shù)102048193

(1)求該項性能指標的樣本平均數(shù)彳的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布NJ,/),其中〃近似

為樣本平均數(shù)元的值，4=36,試求尸(74<XW92)的值.

(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產效率是乙機床的生產效率的2倍，甲機

床生產的零件的次品率為0.02,乙機床生產的零件的次品率為0.01,現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.

①求這件零件是次品的概率：

②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產的概率；

③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次品，

且該項性能指標恰好在(74,92］內的零件個數(shù)為y,求隨機變量Y的數(shù)學期望(精確到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量4服從正態(tài)分布NJ,/),則-。464〃+。0.6827,

P(〃-2crWJW〃+2cr)*0.9545,-3crW"〃+3<r)*0.997.

【詳解】(1)1=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80,

因為X~N(80,36),所以b=6,

貝!|P(74<XV92)=gp(M-2bWXV"+2b)+；P(M-bVXW〃+b)

0.9545+0.6827

=0.8186----------------------------------------------5分

2

（2）①設“抽取的零件為甲機床生產”記為事件4,

“抽取的零件為乙機床生產”記為事件4,

“抽取的零件為次品”記為事件8,

71

則尸（4）=：,尸（4）=；，P（刃4）=o.O2,P（5|4）=O.OI,----------------------------------------------8分

則尸⑶=尸⑷尸⑷4）+尸（4）p⑷4）=卜。。2+20.01=學=白：------------------11分

-x0.02

尸(4)尸(34)4

②，（4忸）=爺格3_____----------------------------------------------13分

P(B)15

60

③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標在（86,92］內的概率。=亮乂0.8186,

且隨機變量y~8（300,p）,

所以E（y）=300p=300x^x0.8186=4.093土4,

所以隨機變量y的數(shù)學期望為4.---------------------------------------------17分

19.（17分）

如圖_,OP'y軸垂足為，點，點”在。尸的延長線上,且\DM向\='.當點尸在圓f,+,丁=8上運動時,點M

（1）求點M的軌跡C的方程;

(2)當彳=加時，點M的軌跡方程記為Cr

(i)若動點N為軌跡。外一點，且點N到軌跡C］的兩條切線互相垂直，記點