2024-2025學年滬科版八年級數(shù)學上冊期末沖刺復習：全等三角形模型之一線三等角和三垂直模型（原卷版）

專題11全等三角形模型之

一線三等角和三垂直模型

目錄

解題知識必備....................................................................

壓軸題型講練....................................................................2

模型一、一線三等角模型..........................................................2

模型二、分三垂直模型............................................................5

壓軸能力測評....................................................................9

X解題知識必備X

模型三、一線三等角模型

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BDLDE,AB±AC,CE±DE,那么一定有NB=NCAE.

模型四、三垂直全等模型

【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直。

【常見模型】

x壓軸題型講練2

模型一、一線三等角模型

例.如圖，點A,B的坐標分別是（0,1）和（-3,0）,分別以點A,B為圓心，以的長為半徑作弧，兩弧在

第二象限交于點C,連接C4,CB.則點C的坐標為（）

3+63A/3+T

【變式訓練1】.如圖，點尸，。分別是0ABe邊BA,8C上的點，且50=4,ZABC=60°.連結尸。，以

PD為邊,在的右側作等邊aDPE,連結BE,貝崛BOE的面積為（）

【變式訓練2】.課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖），0ACB=9O。，AC

=BC,從三角板的刻度可知AB=20cm,小聰想知道砌墻磚塊的厚度（每塊磚的厚度相等），下面為砌墻磚塊

厚度的平方的是（）.

DCE

200.150,100.

A.-----cm2B.----cm2C.----cm2D.——cm2

13131313

【變式訓練3】.如圖，在她BC中，A5=AC=9,點E在邊AC上，AE的中垂線交5。于點。，若她。石=團3,

99

C.一D.

2

【變式訓練4].如圖，在四邊形中，AB=4,EF=6,點C是旗上一點，連接AC、若AC=CF,

NB=NE=ZACF,則班的長為.

【變式訓練5】.如圖，在等腰放△MC中，AC=BC,。為VABC內一點，S.ZBCD=ZCAD,若C￡>=4,

則LBCD的面積為.

【變式訓練6].(1)如圖(1),在VABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直線機經過點A,直線相于

點。，CE_L直線機于點E.求證：DE=BD+CE.

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為：在VABC中，AB=AC,ZBAC=ZBDA=ZAEC=a,其中a為

任意銳角或鈍角.請問結論上=9+8是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

圖⑴圖⑵

【變式訓練71.如圖，在VABC中，AB=BC.

⑴如圖1,直線M0過點8,AM_LMN于■點、M,CN1MN于■點、N,且/ABC=90。，求證：MN=AM+CN.

(2)如圖2,直線過點8,AM交NM于點、M,CN交NM于點、N,且.ZAMB=ZABC=NBNC,貝U

MN=AM+CN是否成立?請說明理由！

【變式訓練8】.在直線機上依次取互不重合的三個點。，A,E,在直線相上方有AB=AC,且滿足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

【積累經驗】

(1)如圖1,當￡=90。時，猜想線段QE,BD,CE之間的數(shù)量關系是

C

圖1

【類比遷移】

(2)如將2,當0＜打＜180。時，問題(1)中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請

說明理由；

(3)如圖3,在VA3C中，/BAC是鈍角，AB^AC,ZBAD＜ZCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直線機

與CB的延長線交于點孔若BC=3FB,VABC的面積是12,請直接寫出△陽。與/XACE的面積之和.

圖3

【變式訓練9】.如圖，在VABC中，AB=AC=2,N3=NC=40。，點D在線段上運動（。不與8、C

重合），連接AD,作ZADE=40。，DE交線段力C于E.

⑴當乙見4=115。時，ZEDC=。，ZDEC=。；點。從2向C運動時，/BZM逐漸變（填"大"

或“小”

（2）當。C等于多少時，AABD必DCE,請說明理由；

⑶在點。的運動過程中，VADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出/3D4的度數(shù).若不可

以，請說明理由.

模型二、分三垂直模型

例.如下圖所示，在回ABC中，0ACB=9O°,AC=BC,BEEICE于點E,AD國CE于點D.DE=6cm,AD=9cm,則BE

A.6cmB.1.5cmC.3cmD.4.5cm

【變式訓練1】.如圖，AC^CE,0ACE=90°,ABSBD,ED3\BD,AB=6cm,Z）E=2cm,則2。等于（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【變式訓練21.一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子

之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度。=8cm,則

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【變式訓練3】.如圖，在平面直角坐標系中，點A、8分別在尤軸的負半軸和正半軸上，以為邊向上作

正方形ABCD,四邊形。EFG是其內接正方形，若直線。尸的表達式是y=2x,則2g的值為（）

?正方形OEFG

【變式訓練4】.如圖，在Rt^ABC中，NS4c=90。，AB=AC,分別過點B,C作經過點A的直線的垂

線段3D,CE,若BD=2,CE=4,則。E的長為.

【變式訓練5】.如圖，E,尸分別是正方形ABCD的邊CO,AD上的點，且CE=DbwO,AE,正相交

于點。，則AE與所的數(shù)量與位置關系為.

【變式訓練6】.某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.

圖1圖2圖3

(1)如圖L己知：在VA3C中，N3AC=90。，AB^AC,直線/經過點A,3D2直線/,CEL直線/,垂

足分別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

(2)組員小明對圖2進行了探究，若NB4c=90。，AB=AC,直線/經過點A.BDJ_直線I,CEL直線/,

垂足分別為點。、從他發(fā)現(xiàn)線段。E、BD、CE之間也存在著一定的數(shù)量關系，請你直接寫出段。E、BD、

CE之間的數(shù)量關系，

⑶數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：

如圖3,過VABC的邊A3、AC向外作正方形ABDE1和正方形ACFG(正方形的4條邊都相等，4個角都

是直角)，A”是BC邊上的高，延長交EG于點/,若BH=3,CH=7,求分的長.

【變式訓練7】.在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經過點C,且AT>_LMV于。，BEA.MN

于E.

⑴當直線A7N繞點C旋轉到圖1的位置時，求證:

①AADC四△CEB；

@DE=AD+BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，AD=5,BE=2,求線段DE的長.

【變式訓練8】.如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=3C,直線肱V經過點C,且AD_LMV于BELMN

于E.

①②③

⑴當直線MN繞點C旋轉到①的位置時，求證：①/②DE=AD+BE；

⑵當直線肋V繞點C旋轉到②的位置時，求證：DE=AD-BE-,

⑶當直線MN繞點C旋轉到③的位置時，試問DE、AD.AE具有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出這個等量

關系，不需要證明.

【變式訓練9】.(1)模型建立，如圖1,等腰直角三角形ABC中，0ACB=9O。，CB=CA,直線經過點

C,過A作于。，過B作3￡0即于E.求證：OBEOaElCZM；

(2)模型應用：

①已知直線y=3x+3與y軸交于A點，與x軸交于2點，將線段AB繞點2逆時針旋轉90度，得到線段

BC,過點A,C作直線，求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形ABC。，。為坐標原點，8的坐標為(8,6),A,C分別在坐標軸上，尸是線段8C上動點，

已知點。在第一象限，且是直線y=2x-5上的一點，若0APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請

直接寫出所有符合條件的點D的坐標.

”壓軸能力測評8

1.如圖，VABC為等腰直角三角形AC=3C,若A（-3,0）,C（0,2）,則點3的坐標為

2.如圖，在0ABe中,0ACB=9O。，以AC,BC和AB為邊向上作正方形ACE。和正方形BCA//和正方形ABGF,

點G落在上，若AC+BC=7,空白部分面積為16,則圖中陰影部分的面積是.

3.如圖，VABC中，AC=BC,ZACB=90°,A(0,3),C(1,0),則點B的坐標為

4.如圖1,在VABC中，ZBAC=90。，AB^AC,AD1BC于點Z),/EPF=90。，點P在AD上，射線PE,

圖1圖2

⑴當點尸與點。重合時，如圖2所示，直接寫出：

①AF與BE之間的數(shù)量關系：;

②AE+AF與AP之間的數(shù)量關系：；

⑵當點尸在線段AD上時(不與端點重合)，如圖1所示，則AE+AF與AP之間的數(shù)量關系:

5.綜合與實踐：如圖1,已知VABC中，ZACB=90°,AC=BC,BE、AD分別與過點C的直線垂直,

且垂足分別為E,D.

(1)猜想線段A。、DE、的三者之間的數(shù)量關系，并給予證明.

(2)如圖2,當過點C的直線繞點C旋轉到VABC的內部，其他條件不變，線段AD、DE、3E三者之間的

數(shù)量關系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關系，若不改變，請說明理由；

6.已知:如圖(1),在平面直角坐標系中，點A、點8分別在x軸、y軸的正半軸上，點C在第一象限，AC=BC,

點A坐標為(〃,0),點C坐標為(肛4),且加2+"2-2”-8根+17=0.

⑴求出山，〃的值；

(2)求點B的坐標，并證明VABC為等腰直角三角形；

⑶在坐標平面內有點G(點G不與點A重合)，使得A^BCG是以為直角邊的等腰直角三角形，請求出滿

足條件的點G的坐標.

7.如圖，在VABC中，AB=AC,NA4C=9O。，點。是線段8C上一個動點，點尸在線段上，且

NFDB=gzACB,BELDF.垂足E在。尸的延長線上.

（1）如圖1,當點。與點C重合時，線段8E和DF的數(shù)量關系是；

（2）如圖2,當點。不與點B,C重合，（1）的結論是否成立？若成立，請說明理由.

8.如圖，在VABC中，AB^AC,ABAC^90°,BE為VABC的中線，。在2c上，ADLBE,垂足為H,

連接DE*.求證：

(1)ZABE=ZCAD；

(2)ZAEB=ZCED.

9.在平面直角坐標系中A、5兩點的坐標分別為A（a,O）、B（0,&）,且4、/?滿足“2-12〃+JZ?-8+36=0,

點。為x軸負半軸