平面向量基礎(chǔ)練習(xí)(含答案)

平面向量基礎(chǔ)練習(xí)（含答案）

一、單選題（本大題共21小題，共105.0分）

1.下列命題正確的是（）

A.若。、。都是單位向量，則方

B.若則A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

C.若兩向量〃、b相等，則它們是始點(diǎn)、終點(diǎn)都相同的向量

D.與34是平行向量

2.下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小.

B.方向不同的向量不能比較大小，，旦同向的可以比較大小.

C.向量的大小與方向有關(guān).

D.向量的?？梢员容^大小.

3.已知。是“5C內(nèi)一點(diǎn)，若|OA|=|OB|=|OC|,則。一定是》45。的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

4.在邊長為1的正三角形ABC中，|AB—BC|的值為（）

A.1B.2C.—D.6

2

5.已知正方形ABCD的邊長為夜，m|AB+2AC+AD|=（）

A.2B.6C.4D.25/2

6.在四邊形ABC。中，|A8|二|AO|且=則四邊形ABC。的形狀一定是（）

A.正方形B.長方形C.菱形D.等腰梯形

7.設(shè)a,6都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使/_=2成立的充分條件是（）

l〃lW

A.|=|小|且4〃8B.d=-b

C.aIIbD.d=2b

8.在"46C中，AD為5C邊上的中線：E為AD的中點(diǎn)，則=（）

3一1一1一3—?3—1一1-?3

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB^-AC

44444444

9.已知向量a=(l,2),Z>=(1,1),且d與4+的夾角為銳角，則之滿足()

A.A<--B.A>--

33

C.4>一*且;I/OD.且;1/一5

33

10.已知。，E,b分別是AABC的邊AB,BC,C4的中點(diǎn)，則下列等式中不正確的是()

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=O

C.DE+DA=ECD.DA+DE=FD

11.已知向量a,b是兩個(gè)不共線的向量，且向量加。一36與a+（2-相訪共線，則實(shí)數(shù)用的值為（）

A.一1或3B.5/3C.—1或4D.3或4

12.已知平面內(nèi)O,A,B,C四點(diǎn)，其中A,B,C三點(diǎn)共線，且OC=xOA+yOB,則x+y=（）

A.—B.1C.—1D.0

2

13.已知向量|。|=4,￡為單位向量，當(dāng)他們之間的夾角為生時(shí)，。在e上投影向量的模與N在力上投影

3

向量的模分別為（）

A.2百，—B.2,-C.—,2>/3D.2,2

222

14.在中，C=90°,點(diǎn)”在A4上，AD=3DB,|CB|=4,則C5CD=（）

A.8B.10C.12D.16

15.已知向量6,〃不共線，且向量；la-b與。+（24-1）6的方向相反，則實(shí)數(shù)力的值為（）

A.1B.--C.1或一,D.-1或

222

2則也為（）

16.已知尸=+若A、B、C三點(diǎn)共線，

314cl

221

A.-B.-c.-D.2

352

17.如圖，在“3C中，點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，AG=2GD,則用向量A氏4c

笫2頁，共20頁

表示BG%()

2112

A.BG=——AB+-ACB.BG=-AB+-AC

3333

21?2I

C.BG=-AB——ACD.BG=-AB+-AC

3333

18.已知向量人滿足〃二(1,2),4+方=(l+"z,l),若d〃兒則加二()

A.2B.—2C.—D.—

22

19.在矩形ABCO中，AB=1,4。=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)(7為圓心且與8。相切的圓上.若4尸=/143+44￡),

則4+4的最大值為（）

A.3B.2x/2C.yf5D.2

jr---—?

20.若。是垂心，ZA=—且sin3coscA3+sinCeosB?4C=2msinBsinCAO,則

6

m=()

A1R6「石n石

A.-D.C?D?

2236

21.在中，向量AB與Ad滿足(d-+±~>8C=0,且旦?鑿=立，則”3。為()

\AB\\AC\IBA|\BC\2

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等腰直角三角形

二、多選題（本大題共5小題，共25.0分）

22.給出下列四個(gè)條件中能使4〃6成立的條件是（）

A.d=bB.\a\=\b\

C.2與?方向相反D.|點(diǎn)|=0或|b|=0

23.下列敘述中錯(cuò)誤的是（）

A.若&=3,則3d>2b

B.已知非零向量方與,且〃〃b,則C與「的方向相同或相反

C.若6"b,bile,則?！ā?/p>

D.對任一非零向量d,二是一個(gè)單位向量

24.若點(diǎn)D,E,尸分別為拄。的邊BGC4AB的中點(diǎn)，且BC=/，C/U6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AD=--d-bB.BE=a+—b

22

C.CF=—a+—bD.EF=—d

222

25.下列命題中，正確的是（）

A.對于任意向量d/，有薜+臼,,|才|+E|

B.若五為=0,則6=0或6=0

C.對于任意向量d,6,有力I,,m|附|

D.若4,6共線，則〃d=±|〃||A|

26.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)爪0,1）,巴（4,4）.當(dāng)尸是線段42的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（）

A?件2）B.件3）C.（2,3）D.停31

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

27.在四邊形ABCO中，若A3〃C。且|43同。。|,則四邊形A8CO的形狀是.

28.已知|。|二4,|〃|=3,（2a-3by（la+b）=61,則a與b的夾角8為.

JTEk

29.如圖，在＜^45。中，已知A5=10,AC=5,Z.BAC=—，點(diǎn)M

3/^\N

是邊從8的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線AC上,且AC=3AN,直線CM與

BN相交于點(diǎn)P,則線段4尸的長為_

B

笫4頁，共20頁

30.已知和點(diǎn)M滿足M4+M8+MC=0,若存在實(shí)數(shù)機(jī)使得A3+AC=mA/成立，則〃2

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

31.已知向量萬和1,\a\=\b\=l,且|a+幼|=-姑

⑴若2與人的夾角為60。，求A的值；

⑵記/（Q=G*+L（F_3Z-；+3）,是否存在實(shí)數(shù)x,使得/（。.1一比對任意的在[-1』恒成

4k

立？若存在，求出實(shí)數(shù)X的取值范圍；若不存在，試說明理由.

32.設(shè)兩個(gè)向量d,6,滿足|d|=2,|b|二L

⑴若（4+2力）?（〃一力）=1,求〃力的夾角；

]2）若。方夾角為60。，向量2s+7,與。+活的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)z的取值范圍.

33.已知向量。=（1,〃。，b=（3,-2）.

⑴若（4+〃）_!_人，求機(jī)的值；

]2）若匕力二-1,求向量方在向量點(diǎn)上的投影向量.

34.設(shè)向量益=（2,sin6）,Z?=（l,cos6）,3為銳角.

⑴若。//b,求tan0的值;

13.八八

(2)若〃?/?=%■,求sinJ+cos。的值.

35.如圖，在“8C中，。為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)5,E,F分別為AC,4。的三等分點(diǎn)，且分別靠

近A,。兩點(diǎn)，設(shè)AB=a,AC=b.

b表示BC,AD,BE；

36.如圖，在平行四邊形A8C0中，AP±BD,垂足為P.

⑴若APAO18,求AP的長；

JTX

(2)設(shè)|481=6,|AC|=8,ZBAC=-,AP=\AB+yAC,求一的值.

3y

笫6頁，共20頁

答案和解析

1.【答案】D

解：A、單位向量長度相等，但方向不一定相同，故4不對；

B、A、B、C、。四點(diǎn)可能共線，故5不對；

C、只要方向相同且長度相等，則這兩個(gè)向量就相等，與始點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān)，故C不對;

。、因48和B4方向相反，是平行向量，故力對.

2.【答案】D

解：數(shù)量可以比較大小，向量不可以比較大小，

故A,B,C錯(cuò)誤；

D向量的模是實(shí)數(shù)，可以比較大小，正確.

3.【答案】C

解：由條件知點(diǎn)。在內(nèi)，且到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

所以0一定是?鉆。的外心.

4.【答案】D

解：因?yàn)閨A3—3d|=|—函一Bl|=+2班.B(j

又正三角形ABC邊長為1,

所以,(二

l,2BABC=2xlxlxcos60°=l,

所以IA8—6C|=瓜

5.【答案】B

解：如圖

DC

由向量加法的平行四邊形法則可知:

AB-^AD=AC,

.?」AB+2AC+AD|=3|AC|,

又正方形ABCD邊長為0,

AC|=2,

/.3|AC|=6,

6.【答案】C

解：因?yàn)锽A=CO,所以H4//CD且B4=CO,

所以四邊形ABC。是平行四邊形，又因?yàn)閨A8|二|AQ|,

所以AB=4),所以四邊形48co是菱形，

7.【答案】D

解：由幺=上-得向量〃，方方向相同，且均為非零向量,

⑷\b\

對照各個(gè)選項(xiàng)，可得：

A項(xiàng)中向量C、b的方向不一定相同，可能相反；

3項(xiàng)中向量4、6的方向相反；

。項(xiàng)中向量。、6的方向相同或相反；

只有。項(xiàng)能確定向量。、匕方向相同.

8.【答案】A

1

解：如圖，由E為A。的中點(diǎn)，得AE=-AO,

2

EB=AB-AE=AB--AD.

2

又為的中點(diǎn)，

AD=-AB+-AC.

22

1—?1—3?1一

:.EB=AB——AB——AC=-AB——AC.

4444

故選A.

笫8頁，共20頁

A

9.【答案】C

解：由題意，「C與a+2人的夾角為銳角，

4(4+2人)>0且力與6+力?不同向，

即a4力)>0

[x^O

+J|a「?Aab=5I3A>0

故(1,

4工0

解得且4wO.

3

10.【答案】D

11.【答案】A

解：向量加。一3方與。+(2-⑼b共線，

.?.存在實(shí)數(shù)2使得：ma-3b=k[a+(2-m)b],

化為：(n:-k)a+[-3-k(2-m)]b=0,

向量6,b是兩個(gè)不共線的向量,

m-k=O

,解得加=3或一1.

-3-k(2-m)=0

12.【答案】B

解：?.?A,B,C三點(diǎn)共線,

.?.存在;IwR,AC=2AB.

/.OC-OA=A(OB-OA),

OC=(i-A)OA-^-WB,

.\x=l—A,y=A,二1+y=L

13.【答案】B

解：向量I。1=4,6為單位向量，且夾角為巳；

3

則)在6上投影向量的模是|a|cos?=4x；=2

e在〃上投影向量的模是|g|cos巳=lx'=L

322

14.【答案】C

解：因?yàn)椤癇C中，C=90。，點(diǎn)。在AB上，AD=3DB,\CB\=4,

故CZ)=CA+4拉=CA+a4B=CA+3(Ae+CB)=LcA+3cB,

4444

,■■■1.3?1■-3?2

所以CO=CB(—C4+2CB)=—C4C5+2C5=12,

4444

15.【答案】B

解：設(shè)d=；la+Z?,d=a+(2X-\)b,［與2共線反向，

/.c=-md(m>0),

c+md=%&+〃+md+m(2A-V)b

=(4+m)a+(1+2mX-m)b=0,

..4+機(jī)=0,且1+2/返一機(jī)二0，777>0?

解得施=』，2=--.

22

16.【答案】C

9

解：因?yàn)镻A=4P8+fPC,且4、B、。三點(diǎn)共線，

3

21

則一+1=1,解得/=一，

33

即抬=2pB+，PC,

33

21

即一(PA—明=_(PC-PA),

33

即28A=AC,即

\AC\2

笫10頁，共20頁

17.【答案】A

o21

解：由題意可得，BG=BA+AG=BA+-AD=I3A+-x-(AI3+AC)

332

1117

=BA+-AB+-AC=-AC——AB.

3333

18.【答案】D

解：b=(a+b)-a=(14-1)-(1,2)=(/??,-1).

因?yàn)椤！?。?/p>

所以2〃?+1=0,

解得加=.

2

19.【答案】A

解：如圖：以A為原點(diǎn)，以4B,A。所在的直線為x,y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則40,0),5(1,0),0(0,2),C(l,2),

動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與5。相切的圓上，

設(shè)圓的半徑為r,

vBC-2,CD-\,

:.-BCCD=-BDr,

22

2

/.圓的方程為(x-I)2+(y-2)2=|,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(竽cos6+1,乎sin夕+2),

vAP=AAB+pAD,

cos。+1,~Y~sin。+2)=2(1,0)+〃(0,2)=(2,2〃)，

.?.竽cosO+1"平sin9+2=2〃,

4+〃=^^cose+^^sine+2=sin(e+0)+2,其中tan=2,

一探hn（e+o）i,

.,.掇必+ju3?

故;1+〃的最大值為3,

20.【答案】。

解：在中，sinBsinC^O,由sin8cosCAB+sinCcosB?=2znsinBsinCAO,

gcosCA八cosB…3…

得----ABH---------AC=2mAO，

sinCsinB

連接CO并延長交AB于

。是金。垂心，.?.CDJLA5,又4。=4。+/）0,

兩端同乘以A8得:

cosC，

-------c-2+c°s'-becosA=2mbe-cosA

sinCsinB

萬cosCcosB,./T,

Z/.A4=—,/.-------c2+--------becosA=73mbe,

6sinCsinB

由正弦定理化為

c°sCsin2C+c°s"sin8sinCcosA=GmsinBsinC,

sinCsinB

cosCsinC+cosBsinC=>/3wsinBsinC，又sinCwO,

2

得cosC+#cosBuV3wsinB?,

笫12頁，共20頁

C=TT-A-B=——B,

6

cosC=cos(?一B)=-立cos3+」sin8,代入①式，得：

622

—sinB=V3/??sinB,又sinBwO,約去sin8,

2

俎石

倚機(jī)二——.

6

21.【答案】D

ARAr

解：因?yàn)?1—T+]—T),BC=0>

網(wǎng)附

所以N84C的平分線與BC垂直，

所以三角形A8C是等腰三角形，且A3=AC.

/2

網(wǎng)網(wǎng)2，

所以乙鉆C=45。，

所以三角形A8C是等腰直角三角形.

22.【答案】ACD

解：因?yàn)?與b為相等向量，所以Q//。，即A能夠使成立；

由于la|二2I并沒有確定而與。?的方向，即8不能夠使成立；

因?yàn)?與B方向相反時(shí)，d!1b,即C能夠使4//b成立；

因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，所以|。|二0或1〃1=0時(shí)，。//匕能夠成立:

故使a//b成立的條件是ACD.

23.【答案】AC

解：人向量無法比較大小，故4錯(cuò)誤；

B,共線向量的方向相同或相反，故B正確；

C,若b是零向量，則不成立，故C錯(cuò)誤；

D,對任一非零向量。，上■是一個(gè)與C方向相同且模長為1的單位向量，故O正確.

24.【答案】ABC

解：如圖,

_____一1-1

在乙48C中，AD=AC+CD=-CA+-CB=-b--a,故A正確;

22

BE=BC+CE=a+-b,故B正確;

2

AB=AC+CB=-b-a?

CF=CA+-AB=b+-x(-b-a)=--a+-b,故C正確；

2222

EF=-CB=--a,故。不正確.

22

25.【答案】ACD

解：對于4,對任意向量A,b,有,+討”同+卜卜

當(dāng)且僅當(dāng)e與方共線時(shí)取等號，故4正確；

對于8,若小〃=0,則。=0或方=6或。_Lb,故B錯(cuò)誤;

對于C,對任意向量方，b,

因?yàn)椤炅?|?||/?|cos<a,b同忖，

當(dāng)且僅當(dāng)6、6同向共線時(shí)取等號，故C正確；

對于。，若向量。，5共線，則G與b的夾角為0?；?80。,

有6,=±同44故O正確.

26.【答案】4。

解：由題意,設(shè)P（x,y）,

???P是線段P}P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，

笫14頁，共20頁

qP=2R或=2尸，

即(工,丫_1)=2(4_.4_丫)或(乂)—1)=3(4-再4_)),

x=2—84

x=S-2x卜2，解得，x=—

即4或''=3或3，

y-1=8-2y

yT=2、y=3y=2

27.【答案】梯形

解：由于AB〃CD,

AB//CD.

又|AB同CDI，

/.ABwCD.

四心形ABC。為梯形.

28.【答案】—

3

解：:|a|=4,|Z?|=3,(2a-3b)-(2d+b)=6\,

22

:.4a-4ab-3b=61t

/.16x4-4x4x3cos^-3x9=61,

八1

「.cos”—,

2

?.?嚼|87i,：,o=—,

3

29.【答案】V21

解：因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)x滿足AP=xAB+(1-x)AN=xAB+寧AC,

因?yàn)镃,P,M三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)v滿足AP=yAM+(1-y)AC=上A8+(1-y)AC,

2

又A3,AC不共線，則上

21

所以AP=-A8+-4C,

55

所以,尸(=*(4,8(+448.4。+卜。1)

1917

=_(4X102+4X10X5X-+52)=21,

25X2

所以卜尸卜舊，

30.【答案】3

解：由已知條件得MB+MC=—MA,

如圖，延長人”交BC于。點(diǎn)，

則。為8C的中點(diǎn).

延長BM交AC于E點(diǎn)，延長CM交A8于F點(diǎn)，

同理可證E,尸分別為AC,48的中點(diǎn)，

即例為以BC的重心，

21

,AM=-AD=-(AB+AC),

即AB+AC=3AM,

31.【答案】解：⑴|a|=|力|=1,3與]的夾角為60。,

則a6■aHbIcos60°=lxix-=-,

22

由|4十揚(yáng)卜石|a-歷I，兩邊平方可得，

(a+kb)2=3(a-kb『,

a2+2kd-b+k2b2=3(/-2妨?5+M),

即有1+%+&2=3(]_女+公)，

笫16頁，共20頁

解得k=l；

⑵由(1)得,a2+2kab+k2b2=3(a2-2kab+k2b2)

即1+/+2N力=3(1+/—2心?〃)

即可得6%=乙女+3，

4k

/(t)=：(4+：)+：(4*-3^--+3)

4k4k

=L/_24+3)」[(k-I)2+2],

44

.??/(%1，

因?yàn)閒(Z)..1-a對于任意fW[-1,1]恒成立，

???/Wmin，*，

所以L.l-a,

2

即a.g對于任意/就一1』恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(f)=tx~~^，

1

g(T)..O=心~2

從而

g⑴..0='1.

X..;~

2

由此可知不存在實(shí)數(shù)X使之成立.

32.【答案】解：⑴設(shè)的夾角為氏

由(d+2b)?(〃-b)=l得，a2+db-2b2=1,

又,2=4,京=1,

:.ab=-1,

ab\_

/.cos6=

|4|.|很|2

a>b的夾角為120°.

(2)由已知得。/=2xlxcos60°=1.

(2ta+7，)?(3+而=2ta2+(2t2+7)d?J+7tb2=2產(chǎn)+15,+7,

;向量2s+7b與〃+必的夾角為鈍角,

.\2r2+15r+7<0,且向量2柩+7力與a+仍不共線,

解得一7</<一」.

2

當(dāng)向量2%+76與。+后共線時(shí)，

設(shè)2〃i+Jb=A(a+tb),(2<0).