2024-2025學年四川省遂寧市高二上冊強基班第一次月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年四川省遂寧市高二上學期強基班第一次月考數(shù)學檢測試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡對應題號的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線與平行，則（）A.1 B. C.0 D.1或3.如圖，在三棱錐中，設，若，，則（）A. B. C. D.4.杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖，現(xiàn)將三張分別印有“琮蹤”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片（卡片的形狀?大小和質(zhì)地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（）A. B. C. D.5.圓關于直線對稱，則實數(shù)（）A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或36.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）A4 B.5 C.6 D.77.點在以為焦點的橢圓上，若線段的中點在軸上，則是的（）A.3倍 B.4倍 C.5倍 D.7倍8.如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.若兩個不同平面的法向量分別是，，且則D.直線的方向向量，平面的法向量，則直線與平面所成角的大小為10.下列說法正確的有（）A.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件“點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)3點”，則B.袋中有大小質(zhì)地相同的3個白球和2個紅球.從中依次不放回取出2個球，則“兩球不同色”的概率是C.甲，乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靬率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D.某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為11.在平面直角坐標系中，圓，點為直線上的動點，則（）A.圓上有且僅有兩個點到直線距離為B.已知點，圓上的動點，則的最小值為C.過點作圓的一條切線，切點為可以為D.過點作圓的兩條切線，切點為，則直線恒過定點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為______.13.如圖所示，在平行六面體中，，，，則________．14.某商場在618大促銷活動中，活動規(guī)則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知矩形ABCD兩條對角線相交于點，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在的直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的標準方程.16.為了了解某市今年高二年級男生的身體素質(zhì)情況，從該市高二年級男生中抽取一部分進行“立定跳遠”項目測試．立定跳遠距離（單位：cm）小于195時成績?yōu)椴缓细?，在上時成績及格，在上時成績?yōu)榱己?，不小?55時成績?yōu)閮?yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)分成以下5組：，，，，，畫出頻率分布方圖如圖所示，已知這次測試中有2名學生的成績?yōu)椴患案瘢?）求這次測試中成績?yōu)榧案窕蛄己玫膶W生人數(shù)；（2）若從這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀和不及格男生中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生中至少1人成績?yōu)椴患壐竦母怕剩?7.已知，，動圓與圓外切且與圓內(nèi)切．圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線C的方程；（2）是否存在過點的直線交曲線C于A，B兩點，使得點Q為中點時，直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值？如果存在，求出這個定值，如果不存在，說明理由．18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．19.人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點，，求的最大值；（3）已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由。2024-2025學年四川省遂寧市高二上學期強基班第一次月考數(shù)學檢測試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡對應題號的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關系即可得傾斜角．【詳解】設直線的傾斜角為，因為該直線的斜率為，所以，所以，故選：A2.已知直線與平行，則（）A.1 B. C.0 D.1或【正確答案】B【分析】由兩直線平行的條件求解．【詳解】因為，所以解得.故選：B．3.如圖，在三棱錐中，設，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意，結(jié)合空間向量的線性運算即可求解.【詳解】連接，.故選：C4.杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖，現(xiàn)將三張分別印有“琮蹤”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片（卡片的形狀?大小和質(zhì)地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為，用列舉法即可求解.【詳解】記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為，代表依次摸出的卡片，，則基本事件分別為：，其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的共有兩種情況：，所以從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是.故選：B.5.圓關于直線對稱，則實數(shù)（）A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3【正確答案】B【分析】求出圓心坐標，代入直線方程即可求解.【詳解】的圓心坐標為，因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，也即，解得：或.當時，可得：，符合圓的方程；當時，可得：，配方可得：，舍去.故選：B6.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.7【正確答案】B【分析】按百分位數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可.【詳解】由題意該組數(shù)據(jù)共7個數(shù)，,故第60百分位數(shù)為從小到大第5個數(shù)，又眾數(shù)為4，故，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選：B7.點在以為焦點的橢圓上，若線段的中點在軸上，則是的（）A.3倍 B.4倍 C.5倍 D.7倍【正確答案】D【分析】根據(jù)線段的中點M在y軸上，推出軸，由此可設，代入橢圓方程求出，再根據(jù)兩點間的距離公式求出和可得解.【詳解】由可知，，所以，所以，∵線段的中點M在y軸上，且原點O為線段的中點，所以，所以軸∴可設，把代入橢圓，得.∴，.∴.故選：D.8.如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】取BD中點O，連結(jié)AO，CO，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值的最大值．【詳解】取BD中點O，連接AO，CO，，則，且，于是是二面角的平面角，顯然平面，在平面內(nèi)過點作，則，直線兩兩垂直，以O為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，，設二面角的大小為，，因此，，，于是，顯然，則當時，，所以的最大值為.故選：B關鍵點點睛：建立空間直角坐標系，求出動點的坐標，利用向量建立函數(shù)關系是解題的關鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.若兩個不同平面的法向量分別是，，且則D.直線的方向向量，平面的法向量，則直線與平面所成角的大小為【正確答案】AC【分析】根據(jù)向量共線定理，可判斷A選項；由即可判斷B選項；由即可判斷C選項；根據(jù)線面角的向量公式直接計算可判斷D選項.【詳解】A選項：若對空間中任意一點，有，滿足，所以，，，四點共面，故A正確；B選項：因為，所以，所以或，故B錯誤；C選項：因，所以，所以，故C正確；D選項：記直線與平面所成角為，所以，因為線面角的取值范圍為，所以直線與平面所成角大小為，故D錯誤；故選：AC.10.下列說法正確的有（）A.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件“點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)3點”，則B.袋中有大小質(zhì)地相同的3個白球和2個紅球.從中依次不放回取出2個球，則“兩球不同色”的概率是C.甲，乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靬率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D.某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為【正確答案】BC【分析】計算古典概率判斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計算判斷B；利用對立事件及相互獨立事件求出概率可判斷CD.【詳解】對于A，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，共有種不同的結(jié)果，事件“點數(shù)之和為奇數(shù)且出現(xiàn)3點”有共6種不同的結(jié)果，則，故A錯誤；對于B，記3個白球為，2個紅球為，從5個球中任取2個的不同結(jié)果有：，共10個，其中兩球不同色的結(jié)果有：共6個，所以“兩球不同色”的概率是，故B正確；對于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為，故C正確；對于D，該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈，即在前兩個路口都沒有遇到紅燈，第3個路口遇到紅燈，所以到第3個路口首次遇到紅燈的概率為，故D錯誤.故選：BC.11.在平面直角坐標系中，圓，點為直線上的動點，則（）A.圓上有且僅有兩個點到直線的距離為B.已知點，圓上的動點，則的最小值為C.過點作圓的一條切線，切點為可以為D.過點作圓的兩條切線，切點為，則直線恒過定點【正確答案】ABD【分析】對A，轉(zhuǎn)化為與直線距離為的兩條直線與圓的交點個數(shù)即可；對B，由點與圓在直線的同側(cè)，利用對稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)，則當四點共線時取最小值，且最小值為；對C，求出最大值為，即最大為；對D，設點坐標，求出切點弦方程，不論如何變化，直線恒過定點.【詳解】選項A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個公共點，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個點到直線的距離為，故A正確；選項B，設點關于直線的對稱點，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項C，由切點為，則在中，，當最小時，取最大值，最大，過點作，垂足為，此時最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯誤；選項D，設點，切點，可得切線方程為，由點在切線上，得，同理可得，故點都在直線上，即直線的方程為，又由點在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過定點，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計算，即可求解.【詳解】由條件可得，，所以在方向上的投影向量的坐標為.故13.如圖所示，在平行六面體中，，，，則________．【正確答案】2【分析】據(jù)空間向量基本定理把用，，作基底表示，利用向量數(shù)量積運算即可求解.【詳解】在平行六面體中,，所以，因為，所以，又，所以，，所以所以.故2.14.某商場在618大促銷活動中，活動規(guī)則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為______．【正確答案】##0.7【詳解】利用概率性質(zhì)求解【分析】設擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)點數(shù)為1或2為事件，則，骰子出現(xiàn)點數(shù)為3，4，5，6為事件，則，甲箱摸出紅球為，乙箱摸出紅球為，設顧客中獎為事件，所以，，所以．故．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在的直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的標準方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)斜率關系，再應用點斜式求出直線方程；（2）根據(jù)矩形求出外接圓的圓心及半徑得出圓的標準方程.【小問1詳解】因為AB邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為又因為點在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為，即【小問2詳解】由，解得點A的坐標為因為矩形ABCD兩條對角線的交點為所以M為矩形ABCD外接圓的圓心．又，從而矩形ABCD外接圓的方程為16.為了了解某市今年高二年級男生的身體素質(zhì)情況，從該市高二年級男生中抽取一部分進行“立定跳遠”項目測試．立定跳遠距離（單位：cm）小于195時成績?yōu)椴缓细?，在上時成績及格，在上時成績?yōu)榱己茫恍∮?55時成績?yōu)閮?yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)分成以下5組：，，，，，畫出頻率分布方圖如圖所示，已知這次測試中有2名學生的成績?yōu)椴患案瘢?）求這次測試中成績?yōu)榧案窕蛄己玫膶W生人數(shù)；（2）若從這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀和不及格的男生中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生中至少1人成績?yōu)椴患壐竦母怕剩菊_答案】（1）44人（2）【分析】（1）應用頻率分布直方圖計算及格或良好學生人數(shù)；（2）根據(jù)古典概型計算可得.【小問1詳解】由題意可知抽取進行測試的人數(shù)為：故測試中成績?yōu)榧案窕蛄己玫膶W生人數(shù)為人【小問2詳解】測試中成績?yōu)閮?yōu)秀的有人，記作，，，成績?yōu)椴患案竦挠腥?，記作甲，乙從這6人隨機抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，．，，{甲，乙}，共15個，其中至少有一人不及格的基本事件有，，，，{甲，乙}，，，，，共9個．故所抽取的2名學生中至少1人成績?yōu)椴患案竦母怕适牵?7.已知，，動圓與圓外切且與圓內(nèi)切．圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線C的方程；（2）是否存在過點的直線交曲線C于A，B兩點，使得點Q為中點時，直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值？如果存在，求出這個定值，如果不存在，說明理由．【正確答案】（1）（2）存在，【分析】（1）先根據(jù)題意得到圓與圓的圓心和半徑，再根據(jù)題意求得，，從而根據(jù)橢圓的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點，4為半長軸長的橢圓，進而即可求得曲線C的方程；（2）先根據(jù)題意可得過點的直線的斜率存在，從而設直線為，再聯(lián)立曲線C的方程，消整理得到關于的一元二次方程，再結(jié)合點Q為中點，從而求得的值，進而即可得到結(jié)論．【小問1詳解】依題意可得圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為7，設動圓的半徑為，由動圓與圓外切且與圓內(nèi)切，則，且，則由橢圓的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點，4為半長軸長的橢圓，所以，，，故曲線C的方程的方程為．【小問2詳解】依題意可得過點的直線的斜率存在，則設直線為，聯(lián)立，消整理得，當點Q為中點時，有，解得，又，所以(定值)，故直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值．18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；的長為或【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量數(shù)量積公式求