2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2.3第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE1-第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1.進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)．2．能運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決比較對(duì)數(shù)式大小、求最值、解不等式等綜合問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)的探討(1)定義域：由f(x)＞0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域．(2)值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域．(3)單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，依據(jù)__同增異減__法則判定(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定)．(4)奇偶性：依據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定．(5)最值：在f(x)＞0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再依據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最終確定最值．學(xué)問(wèn)點(diǎn)logaf(x)＜logag(x)型不等式的解法(1)探討a與1的關(guān)系，確定單調(diào)性．(2)轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)的不等關(guān)系求解，且留意真數(shù)大于零．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像┃┃典例剖析__■典例1如圖所示，曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則相應(yīng)于C1、C2、C3、C4的a值依次為(A)A．eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10) B．eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C．eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10) D．eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)[解析]解法一：視察在(1，＋∞)上的圖像，先排C1、C2底的依次，底都大于1，當(dāng)x＞1時(shí)圖像靠近x軸的底大，C1、C2對(duì)應(yīng)的a分別為eq\r(3)、eq\f(4,3).然后考慮C3、C4底的依次，底都小于1，當(dāng)x＜1時(shí)圖像靠近x軸的底小，C3、C4對(duì)應(yīng)的a分別為eq\f(3,5)、eq\f(1,10).綜合以上分析，可得C1、C2、C3、C4的a值依次為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10).故選A．解法二：作直線y＝1與四條曲線交于四點(diǎn)，由y＝logax＝1，得x＝a(即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于底數(shù))，所以橫坐標(biāo)小的底數(shù)小，所以C1、C2、C3、C4對(duì)應(yīng)的a值分別為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，故選A．規(guī)律方法：函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的底數(shù)改變對(duì)圖像位置的影響．視察圖像，留意改變規(guī)律：(1)上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，a＞1時(shí)，a越大，圖像越靠近x軸，0＜a＜1時(shí)，a越小，圖像越靠近x軸．(2)左右比較：比較圖像與y＝1的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．(1)如圖，若C1、C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖像，則(B)A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1 D．b＞a＞1[解析]如圖，作直線y＝1，則直線與C1、C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b，易知0＜b＜a＜1．(2)函數(shù)f(x)＝loga(3x－2)＋2的圖像恒過(guò)點(diǎn)__(1,2)__．[解析]依據(jù)題意，令3x－2＝1，解得x＝1，此時(shí)y＝0＋2＝2，所以函數(shù)f(x)的圖像過(guò)定點(diǎn)(1,2)．題型形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性┃┃典例剖析__■典例2求函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x2)的單調(diào)區(qū)間．[分析]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必需先求函數(shù)的定義域．[解析]要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿(mǎn)意1－x2＞0，∴－1＜x＜1.∴函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)．令u＝1－x2，對(duì)稱(chēng)軸為x＝0．∴函數(shù)u＝1－x2在(－1,0]上為增函數(shù)，在[0,1)上為減函數(shù)，又∵y＝logeq\s\do8(\f(1,2))u為減函數(shù)．∴函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1)，遞減區(qū)間為(－1,0]．規(guī)律方法：1.求形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，肯定樹(shù)立定義域優(yōu)先意識(shí)，即由f(x)＞0，先求定義域．2．求此類(lèi)型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種思路：(1)利用定義求解；(2)借助函數(shù)的性質(zhì)，探討函數(shù)t＝f(x)和y＝logat在定義域上的單調(diào)性，從而判定y＝logaf(x)的單調(diào)性．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．(1)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4．令g(x)＝x2－2x－8，函數(shù)g(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．(2)若函數(shù)f(x)＝ln(x2－ax＋1)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A．(－∞，4] B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4))[解析]設(shè)g(x)＝x2－ax＋1．要使f(x)＝ln(x2－ax＋1)在區(qū)間(2，＋∞)上為單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(－a,2)＝\f(a,2)≤2,g2＝5－2a≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤4,a≤\f(5,2)))，解得a≤eq\f(5,2)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，eq\f(5,2)]．題型形如y＝logaf(x)的函數(shù)的奇偶性┃┃典例剖析__■典例3推斷函數(shù)y＝lg(eq\r(x2＋1)－x)的奇偶性．[分析]推斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先求函數(shù)的定義域，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．[解析]∵eq\r(x2＋1)＞x，∴eq\r(x2＋1)－x＞0恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)镽．f(－x)＝lg(eq\r(x2＋1)＋x)＝lgeq\f(\r(x2＋1)－x\r(x2＋1)＋x,\r(x2＋1)－x)＝lgeq\f(1,\r(x2＋1)－x)＝－lg(eq\r(x2＋1)－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)y＝lg(eq\r(x2＋1)－x)是奇函數(shù)．規(guī)律方法：推斷函數(shù)的奇偶性，必需先求函數(shù)的定義域，因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性所需具備的條件．若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再利用奇偶性定義推斷f(x)與f(－x)的關(guān)系．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．已知f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a＞0且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性．[解析](1)由題意得eq\f(1＋x,1－x)＞0，∴(x＋1)(x－1)＜0，∴－1＜x＜1．∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又f(－x)＝logaeq\f(1－x,1＋x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－logaeq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．題型形如y＝logaf(x)的函數(shù)的值域┃┃典例剖析__■典例4求函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(x2－6x＋17)的值域．[分析]利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0及內(nèi)函數(shù)的值域求解．[解析]∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又0＜eq\f(1,2)＜1，∴y＝logeq\s\do8(\f(1,2))t在[8，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)≤logeq\s\do8(\f(1,2))8＝－3，故所求函數(shù)的值域是(－∞，－3]．規(guī)律方法：對(duì)于形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的復(fù)合函數(shù)，求值域的步驟：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；(2)求logaf(x)的定義域；(3)求u的取值范圍；(4)利用y＝logau的單調(diào)性求解．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■4．求函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(3－2x－x2)的值域．[解析]∵3－2x－x2＞0，∴－3＜x＜1，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－3,1)．令t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4，∵－3＜x＜1，∴0＜t≤4．又0＜eq\f(1,2)＜1，∴y≥logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(4)＝－1，∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇－1，＋∞)．易錯(cuò)警示┃┃典例剖析__■典例5已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)(x是自變量)，則a的取值范圍是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)[錯(cuò)解]選A．令u＝2－ax，因?yàn)閡＝2－ax是減函數(shù)，所以a＞0．在對(duì)數(shù)函數(shù)中底數(shù)a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故選A．