2024-2025學年新教材高中數學第五章三角函數5.5.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式一課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修第一冊

PAGE8-兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)(15分鐘30分)1.若sin(π+θ)=-QUOTE，θ是其次象限角，sinQUOTE+φ=-QUOTE，φ是第三象限角，則cos(θ-φ)的值是 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為sin(π+θ)=-sinθ=-QUOTE，所以sinθ=QUOTE，又θ是其次象限角，所以cosθ=-QUOTE.又因為sinQUOTE=cosφ=-QUOTE，φ為第三象限角，所以sinφ=-QUOTE.所以cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.已知α∈QUOTE，cosQUOTE=QUOTE，則sinα的值等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.因為α∈QUOTE，所以QUOTE+α∈QUOTE，由cosQUOTE=QUOTE，得sinQUOTE=QUOTE=QUOTE，則sinα=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE-cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.【補償訓練】已知α，β均為銳角，sinα=QUOTE，cos(α+β)=QUOTE，則sinβ=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為α，β∈QUOTE，cos(α+β)=QUOTE>0，所以α+β∈QUOTE，所以cosα=QUOTE，sin(α+β)=QUOTE，sinβ=sinQUOTE=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知α∈QUOTE，β∈QUOTE，且cos(α-β)=QUOTE，sinβ=-QUOTE，則角α的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為α∈QUOTE，β∈QUOTE，所以α-β∈(0，π)，由cos(α-β)=QUOTE，知sin(α-β)=QUOTE.由sinβ=-QUOTE，知cosβ=QUOTE.所以sinα=sinQUOTE=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.又α∈QUOTE，所以α=QUOTE.4.sinθ+sinQUOTE+sinQUOTE的值為_______.

【解析】原式=sinθ+sinθcosQUOTE+cosθsinQUOTE+sinθcosQUOTE+cosθsinQUOTE=sinθ-QUOTEsinθ+QUOTEcosθ-QUOTEsinθ-QUOTEcosθ=0.答案：05.已知函數f(x)=2cosQUOTE，x∈R.設α，β∈QUOTE，fQUOTE=-QUOTE，fQUOTE=QUOTE，求cos(α+β)的值.【解析】因為fQUOTE=-QUOTE，所以2cosQUOTE=2cosQUOTE=-QUOTE，所以sinα=QUOTE.又因為fQUOTE=QUOTE，所以2cosQUOTE=2cosβ=QUOTE，所以cosβ=QUOTE.又因為α，β∈QUOTE，所以cosα=QUOTE，sinβ=QUOTE，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分，共15分)1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-QUOTEcos(θ+15°)= ()A.±1 B.1 C.-1 D.0【解析】選D.原式=sinQUOTE+cos(θ+45°)-QUOTEcos(θ+15°)=-QUOTEcos(θ+15°)+QUOTEsin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=0.【補償訓練】QUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.原式=QUOTE=QUOTE=sin30°=QUOTE.2.在△ABC中，假如sinA=2sinCcosB，那么這個三角形是 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【解析】選C.因為A+B+C=π，所以A=π-(B+C).由已知可得sin(B+C)=2sinCcosB?sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB?sinBcosC-cosBsinC=0?sin(B-C)=0.因為0<B<π，0<C<π，所以-π<B-C<π.所以B=C.故△ABC為等腰三角形.3.若α，β∈QUOTE，P=sin(α+β)，Q=sinα+sinβ，R=P+Q，則P，Q，R從大到小的排列為 ()A.P>Q>R B.P>R>QC.R>P>Q D.R>Q>P【解析】選D.因為α，β∈QUOTE，所以0<α+β<π.所以sinα>0，sinβ>0，sin(α+β)>0，0<cosβ<1，0<cosα<1，所以R>Q，又P=sin(α+β)=sinαcosβ+cosα·sinβ<sinα+sinβ，即P<Q，所以R>Q>P.二、多選題(共5分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)4.cosα-QUOTEsinα化簡的結果可以是 ()A.QUOTEcosQUOTE B.2cosQUOTEC.QUOTEsinQUOTE D.2sinQUOTE【解析】選BD.cosα-QUOTEsinα=2QUOTE=2QUOTE=2cosQUOTE=2sinQUOTE.三、填空題(每小題5分，共10分)5.若cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-QUOTE，且450°<β<540°，則sinβ=_______，sin(60°-β)=_______.

【解題指南】先逆用兩角差的余弦公式求出cosβ的值，進而得到sinβ，再利用兩角差的正弦公式求出sin(60°-β)的值.【解析】由已知得cosQUOTE=cosβ=-QUOTE，因為450°<β<540°，所以sinβ=QUOTE，所以sin(60°-β)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.答案：QUOTE-QUOTE【補償訓練】已知α∈QUOTE，tanα=2，則cosQUOTE=_______.

【解析】由tanα=2得sinα=2cosα，又sin2α+cos2α=1，所以cos2α=QUOTE，因為α∈QUOTE，所以cosα=QUOTE，sinα=QUOTE，因為cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE，所以cosQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知sin10°+mcos10°=2cos140°，則m=_______.

【解析】由sin10°+mcos10°=2cos140°可得，m=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案：-QUOTE四、解答題7.(10分)已知QUOTE<α<QUOTE，0<β<QUOTE，cosQUOTE=-QUOTE，sinQUOTE=QUOTE.(1)求sin(α+β)的值.(2)求cos(α-β)的值.【解析】(1)因為QUOTE<α<QUOTE，所以QUOTE<QUOTE+α<π，所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE.因為0<β<QUOTE，所以QUOTE<QUOTE+β<π，所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE，所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sinQUOTE=-sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTE·sinQUOTE=-QUOTE=QUOTE.