2024-2025學年高二數(shù)學試題（人教A版2019）431等比數(shù)列的概念（八大題型）

4．3．1等比數(shù)列的概念目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：等比數(shù)列的判斷 2題型二：等比數(shù)列的通項公式及其應用 3題型三：等比數(shù)列的證明 5題型四：等比中項及應用 6題型五：等比數(shù)列的實際應用 7題型六：等比數(shù)列通項公式的推廣及應用 8題型七：等比數(shù)列性質的應用 10題型八：靈活設元求解等比數(shù)列問題 11【重難點集訓】 12【高考真題】 20【題型歸納】題型一：等比數(shù)列的判斷1．（2024·高二·上海浦東新·期末）已知是等數(shù)列，則下列數(shù)列必為等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設等差數(shù)列的公差為，對于A，當?shù)炔顢?shù)列的各項都為時，不是等比數(shù)列，故A錯誤；對于B，當?shù)炔顢?shù)列的各項都為時，不是等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，當?shù)炔顢?shù)列的各項都為時，無意義，故C錯誤；對于D，因為為常數(shù)，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，故D正確；故選：D2．（2024·陜西西安·模擬預測）等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說法錯誤的選項是（

）A．數(shù)列一定是等比數(shù)列 B．數(shù)列一定是等比數(shù)列C．數(shù)列一定是等差數(shù)列 D．數(shù)列一定是等比數(shù)列【答案】D【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，設其通項公式為，所以是定值，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，選項正確;因為數(shù)列為等比數(shù)列，設其通項公式為，所以是定值，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，選項正確;因為，所以，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，選項正確;當時，，則不是等比數(shù)列，選項錯誤，故選:.3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均為等比數(shù)列，則下列各項中不一定為等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設的公比為，的公比為，對于A，令，則，顯然不是等比數(shù)列；對于B，，故是等比數(shù)列；對于C，，故是等比數(shù)列；對于D，，故是等比數(shù)列.故選：A.4．（2024·高三·山東濟寧·開學考試）“數(shù)列和都是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列都是等比數(shù)列，設其公比分別為為常數(shù))，則，所以當時，，為常數(shù)，由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列是等比數(shù)列，設，當，時，滿足，但都不是等比數(shù)列，故必要性不成立.所以“數(shù)列、都是等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A題型二：等比數(shù)列的通項公式及其應用5．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知，是等比數(shù)列圖象上的兩點，則．【答案】【解析】由題意知，，∴，∴，∴．故答案為：6．（2024·高二·甘肅蘭州·期中）在等比數(shù)列中，(1)已知，求(2)已知，求.【解析】（1）設公比為，則，所以，解得，由，所以可知或；（2）設公比為q，由題意得：，兩式相除得：，所以，又因為，所以，解得.7．（2024·高二·全國·課前預習）在等比數(shù)列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．【解析】（1）因為，則，解得，當時，；當時，．綜上所述：或.（2）因為，則，即．又因為，則，即．兩式相除得，所以．題型三：等比數(shù)列的證明8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，．(1)求，并猜想的通項公式（不需證明）；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．【解析】（1）由得．結合可猜想數(shù)列的通項公式為．（2）因為，所以為正項遞增數(shù)列，所以，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．9．（2024·高二·全國·專題練習）已知數(shù)列和滿足，，，其中為常數(shù)，n為正整數(shù).(1)證明：對任意實數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；(2)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.【解析】（1）∵且，∴，．假設存在一個實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，則，即，即，得，矛盾．故對任意實數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列．（2）∵，∴，∵，∴當時，，此時數(shù)列不是等比數(shù)列；當時，，此時，數(shù)列是等比數(shù)列．10．（2024·高二·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，.設，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【解析】由，，可得．因為，，所以，，所以是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．題型四：等比中項及應用11．（2024·高二·四川綿陽·期中）已知三個正數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，則它們的公比為（

）A．或 B．3或 C． D．9或【答案】B【解析】不妨設這三個數(shù)分別為，且，三個數(shù)的乘積為，由三個數(shù)的平方和為91，所以，解得，或，又，所以，或，故選：B12．（2024·高二·福建廈門·期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，所以或，因為，，所以.故選：C.13．（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知，，以下結論中錯誤的是（

）A．若三個數(shù)成等差數(shù)列，則B．若五個數(shù)成等差數(shù)列，則C．若三個數(shù)成等比數(shù)列，則D．若三個數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】C【解析】對于A，若三個數(shù)成等差數(shù)列，則，故A不符合題意；對于B，若五個數(shù)成等差數(shù)列，則，且當時，即成等差數(shù)列，故B不符合題意；對于CD，若三個數(shù)成等比數(shù)列，則，即，故C符合題意，D不符合題意.故選：C.題型五：等比數(shù)列的實際應用14．（2024·高二·海南海口·期末）小明同學利用暑假時間到一家商場勤工儉學，該商場向他提供了三種付款方式：第一種，每天支付150元；第二種，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三種，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明預計工作12天，從總收入最高的角度，小明會選擇哪種方式領取報酬（

）A．第一種 B．第二種 C．第三種 D．無法判斷【答案】C【解析】第一種可以領取報酬元；第二種每天的報酬構成以為首項，公差為的等差數(shù)列，則第二種可以領取報酬元；第三種每天的報酬構成以為首項，公比為的等比數(shù)列，則第三種可以領取報酬元，因為，從總收入最高的角度，小明會選擇第三種方式領取報酬．故選：C．15．（2024·高二·河南南陽·期中）剛考入大學的小明準備向銀行貸款a元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款．小明與銀行約定：每個月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為t．則小明每個月所要還款的錢數(shù)為（

）元．A．B．C．D．【答案】D【解析】設小明每個月所要還款的錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法得，第一個月末所欠銀行貸款為：，第二個月末所欠銀行貸款數(shù)為：；．．．，第12個月末所欠銀行貸款為：；由于分12次還清所有的欠款，所以，解得.故選：D．16．（2024·高二·廣東湛江·期中）某型號計算機的成本不斷降低，若每隔兩年該型號計算機價格降低，現(xiàn)在的價格是5400元，則6年后價格降低為（

）A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元【答案】B【解析】由題意可知，每隔兩年該型號計算機價格降低，所以6年后，價格降低為（元），故選：B題型六：等比數(shù)列通項公式的推廣及應用17．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，若，則等于（

A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設，，則且q＝2，則，而.故選：B18．（2024·高二·浙江·期末）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點在一條直線上，而等比數(shù)列的通項公式是關于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當時，如下圖所示，當公差時，如下圖所示，如圖可知當時，，，，.故選：D19．（2024·高一·湖北·階段練習）等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】，可得與為方程的兩個根，又，解得，，再利用通項公式即可得出.∵等比數(shù)列為遞減數(shù)列，，，∴與為方程的兩個根，解得，或，，∵，∴，，∴，則，故選:A.題型七：等比數(shù)列性質的應用20．（2024·高二·湖南永州·期中）在正項數(shù)列中，，且，則.【答案】【解析】，可得，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因為，且，則，所以.故答案為：.21．（2024·高二·上?！て谥校┰诘缺葦?shù)列中，，且，則的值為.【答案】【解析】由已知數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，所以，又，所以，故答案為：.22．（2024·高二·貴州貴陽·競賽）已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則的最小值為.【答案】【解析】因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，，設，則，則，由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，因此，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.23．（2024·高二·河南周口·階段練習）若等比數(shù)列滿足，，則．【答案】112【解析】，故，解得，故．故答案為：11224．（2024·高二·江蘇揚州·期中）已知數(shù)列1，,9是等比數(shù)列，數(shù)列1,9是等差數(shù)列，則=______．．【答案】【解析】數(shù)列1,,9是等比數(shù)列，可得=1×9，解得，由于1，，9均為奇數(shù)項，可得，即，數(shù)列1,9是等差數(shù)列，可得,則=．故答案為．25．（2024·高三·江蘇南通·階段練習）若數(shù)列是等比數(shù)列，且是與的等差中項，則.【答案】【解析】設等比數(shù)列的公比為，因為是與的等差中項，所以，所以，解得，所以故答案為：.題型八：靈活設元求解等比數(shù)列問題26．（2024·高二·寧夏石嘴山·階段練習）有四個正數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且最后一個數(shù)是25，求此四個數(shù)．【解析】設前三個數(shù)為.所以前三個數(shù)為因為后三個數(shù)成等比數(shù)列，所以，所以或.當時，不滿足題意，所以舍去.所以這四個數(shù)為.27．（2024·高二·陜西延安·階段練習）有四個正數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為36，后三數(shù)成等比數(shù)列，其積為108.求這四個數(shù).【解析】設四個正數(shù)分別為a，b，c，d，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質可得，解得，所以這四個數(shù)分別為，12，，.28．（2024·高二·全國·專題練習）已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為，它們的平方和為，求這三個數(shù)．【解析】不妨設這三個數(shù)分別為、、，則這三個數(shù)的乘積為，這三個數(shù)的平方和為，整理可得，解得或.若，則這三個數(shù)分別為、、；若，則這三個數(shù)分別為、、；若，則這三個數(shù)分別為、、；若，則這三個數(shù)分別為、、.綜上，這三個數(shù)分別為、、或、、或、、或、、.【重難點集訓】1．已知數(shù)列,均為正項等比數(shù)列，,分別為數(shù)列,的前項積，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)列均為正項等比數(shù)列，設公比分別為；,分別為數(shù)列,的前項積，，,則.故選：A2．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．【答案】B【解析】由和可得，故，故選：B3．等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，，，成等比數(shù)列，且公比為，所以．故選：A4．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，若存在兩項，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，即，解得或（舍去）．因為，所以，即，所以，所以或或所以的值為或或，所以的最小值為．故選：A．5．如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的和除以與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”已知是“和差等比數(shù)列”，，，則滿足使不等式的的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】依題意，，化簡得，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，令，即，又，則，即，所以滿足使不等式的的最小值是8.故選：A.6．高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱.小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數(shù)列前項和的方法正是借助了高斯算法.已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)提示探求：若，則（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【答案】C【解析】根據(jù)可得，所以；由等比數(shù)列性質可得，因此可得.故選：C7．數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，“”是“數(shù)列是嚴格增數(shù)列”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【解析】當時，取，則，顯然不是嚴格增數(shù)列，所以“”不能推出“數(shù)列是嚴格增數(shù)列”；當數(shù)列是嚴格增數(shù)列時，設，當時，是擺動數(shù)列，不符合要求，所以，若，則，若，則，所以“數(shù)列是嚴格增數(shù)列”不能推出“”；綜上所述，“”是“數(shù)列是嚴格增數(shù)列”的既非充分也非必要條件，故選：D.8．已知數(shù)列，，，則（

）A．8 B．16 C．24 D．64【答案】D【解析】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，（），所以.故選：D.9．（多選題）下列說法正確的有（

）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，其公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列B．若數(shù)列為等比數(shù)列，其公比，則數(shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列D．若數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】對于A，由，可得，故單調(diào)遞增，正確；對于B，取，此時，由于，此時數(shù)列是遞增數(shù)列，錯誤；對于C：等差數(shù)列公差為，由，為常數(shù)，故數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對于D：由，令，可得：，可得：即：，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，正確，故選：ACD10．（多選題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，.（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】設等差數(shù)列的公差為，當時，，故A正確；當公差時，是常數(shù)列，，但與不一定相等，故B不正確；設等比數(shù)列的公比為，若“”，則，故C正確；當公比時，是常數(shù)列，，但與不一定相等，故D不正確.故選：AC.11．（多選題）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．公比為 B．C．當時， D．的前10項積為1【答案】ABD【解析】對于A項，設等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，故A正確；對于B項，，則，故B正確；對于C項，，當時，，則，故C錯誤；對于D項，由，可得的前10項積為，故D正確．故選：ABD.12．如圖是瑞典數(shù)學家科赫在年構造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設原正三角形(如圖1)的邊長為，把圖2，圖3，圖4中圖形依次記1級、2級、3級雪花曲線，則級雪花曲線的邊長為，級雪花曲線的周長為．【答案】/【解析】設級雪花曲線的邊長為，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故級雪花曲線的邊長為；設級雪花曲線的邊數(shù)為，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故級雪花曲線的邊數(shù)為，則級雪花曲線的周長為，故答案為：；．13．在數(shù)列中，，若對于任意的恒成立，則實數(shù)k的最小值為.【答案】【解析】由，得，又，故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則不等式可化為，令，當時，；當時，；又，則當時，，當時，，所以，則，即實數(shù)的最小值為.故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，若，則的通項公式為.【答案】【解析】當時，，因為，所以，當時，，則，即，，所以是從以首項公比為3的等比數(shù)列，則，此時，令，，所以，故答案為：.15．已知數(shù)列滿足且成等比數(shù)列，(1)求的通項公式：(2)設數(shù)列的前n項和為，求的最小值及此時n的值．【解析】（1）由知為等差數(shù)列，設的公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項公式為；（2）由（1）得，所以當時，取得最小值，最小值為16．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，并且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，是數(shù)列的前n項和，證明：．【解析】（1）設數(shù)列的公比為，由，，得，兩式相除，得，即，解得或（舍去），所以，所以．（2）證明：，所以，所以，所以．因為，所以，所以．17．1979年春，美籍華裔物理學家、諾貝爾物理學獎獲得者李政道博士，在訪問中國科技大學時，向科大少年班學生提出了一個“五猴分桃”的趣題：有五只猴子在海邊發(fā)現(xiàn)一堆桃子，決定第二天來平分．第二天清晨，第一只猴子來了，它左等右等，見別的猴子還沒來，便自作主張把桃子分成相等的五份，分完后還剩一個，它便把剩下的那個順手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子來了，它不知道剛才發(fā)生的事，也把桃子分成相等的五份，還是多一個，它也扔掉一個，自己拿了一份走了．以后每只猴子來時也都遇到類似情形，也全都照此辦理．問：原來至少有多少個桃子？最后至少有多少個桃子？【解析】設最初的桃子數(shù)為，5只猴子分剩的桃子數(shù)依次為，由題意得

①，設，即，對照①式，得，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以，即．由于為整數(shù)，所以的最小值為，所以的最小值為．即最初至少有3121個桃子，從而最后至少剩下（個）桃子．18．已知數(shù)列的各項均為正實數(shù)，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和的最小值.【解析】（1）∵，∴，其中，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，∴，∵，∴數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，∴，數(shù)列為遞增數(shù)列，∴當時，有最小值，最小值為.【高考真題】1．（2024年北京高考數(shù)學真題）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結論的序號是.【答案】①③④【解析】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設，，若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個