2024年高考數(shù)學(xué)理科試題分類匯編：三角函數(shù)

2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編

三角函數(shù)

一.選擇題：

1.(全國一8)為得到函數(shù)y=cos12x+g］的圖像，只需將函數(shù)y=sin2x的圖像(A)

A.向左平移變個長度單位B..向右平移2個長度單位.

1212

C.向左平移型個長度單位D.向右平移型個長度單位

66

2.(全國二8)若動直線%=〃與函數(shù)/(x)=sinx和g(x)=cosx的圖像分別交于加，N

兩點，則的最大值為(B)

A.1B.72C.A/3D.2

3.(四川卷3)(tanx+cotx)cos2x=(D)

(A)tanx(B)sinx(C)cosx(D)cotx

4.(四川卷5)若0<c?2肛sinc>石cose,則a的取值范圍是：(C)

(B)L3

5.(天津卷6)把函數(shù)y=sinx(xeR)的圖象上全部點向左平行移動(個單位長度,

再把所得圖,象上全部點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象所表

2

示的函數(shù)是C

TTYTT

(A)y=sin(2%---),xwR(B)y=sin(—+—),xwR

326

7T27r

(C)j;=sin(2x+y),xeR(D)y=sin(2x+—),xwR

6.(天津卷9)^a=sin—,/?=cos—,c=tan—,則D

777

(A)a<b<c(B)a<c<b(C)b<c<a(D)b<a<c

7.(安徽卷5)將函數(shù)y=sin(2x+?)的圖象按向量a平移后所得的圖象關(guān)于點(4,0)

中心對稱，則向量a的坐標(biāo)可能為(C)

A.(---,0)B.(--,0)C.(―-,0)D.(￡,0)

12o12o

+sina/百，則sin(a--

8.(山東卷5)已知cos(a)?)的值是

656

(A)-空(B)空

(c)--(D)-

55-55

9.(湖北卷5)將函數(shù)y=3sin(x-6)的圖象/按向量(g,3)平移得到圖象尸，若尸的

一條對稱軸是直線x=工，則。的一個可能取值是A

1。.(湖南卷6)函數(shù)〃x)=sin?氐inxcosx在區(qū)間品上的最大值是(C)

A.1B.匕3C.-D.1+6

22

11.(重慶卷10)函數(shù)/■/=/"(OWxW2?)的值域是B

V3-2cosx-2sinx

(A)［咚。］⑻曰。］

(C)[-A/2,0](D)[-73,0]

12.(福建卷9)函數(shù)/1(x)=cosx(x)(xeR)的圖象按向量(m,0)平移后，得到函數(shù)尸--

(x)的圖象，則力的值可以為A

71

A.一B.7iC.17cD.

2

71

~2

13.(浙江卷5)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=cosg+T)(xe[0,2%])的圖象和

直線y的交點個數(shù)是C

2

(A)0(B)1(C)2(D)4

14.(浙江卷8)若(305〃+2$111〃=一百,貝隊311々=8

(A)-(B)2(C)--(D)-2

22

15.(海南卷1)已知函數(shù)y=2sin(3x+<t>)(3〉0)

間［0,2的圖像如下：那么3=(B)

A.1B.2

C.1/2D.1/3

海南卷7)WS=(°

A.-B.—C.2D.—

222

二.填空題：

1.(上海卷6)函數(shù)廣(x)=，5sinx+sin(^+x)的最大值是2

2.(山東卷15)已知a,b,c為△/回的三個內(nèi)角N,B,。的對邊，向量/=(若1),

n=(cos/,sin/).若勿_Lz?,且HCOS班力cos/=csinG貝!J角8=_______—.

6

3.(江蘇卷1)“X)=cos1s:一口的最小正周期為?，其中刃>0,則①二

二.10

4.(廣東卷12)已知函數(shù)/(%)=011%-85%)5111%,xeR,則/(%)的最小正周期

是.冗

5.(遼寧卷16)已知/(%)=sin(s+1)(>>0),/]]='L且/(%)在區(qū)間(親今)

有最小值，無最大值，則。=.-

3

三.解答題：

1.(全國一17).(本小題滿分10分)

(留意：在試題卷上作答無效)

3

設(shè)△ABC的內(nèi)角AB,。所對的邊長分別為a,b,c,且acosB—bcosA=—c.

5

(I)求tanAcotB的值；

(II)求tan(A-B)的最大值.

3

解析：(I)在5c中，由正弦定理及acosB—〃cosA=yc

3333

可得sinAcosB-sinBcosA=—sinC=—sin(A+B)=—sinAcosB+—cosAsinB

5555

即sinAcosB=4cosAsinB,則tanAcot5=4；

(II)由tanAcot5=4得tanA=4tanB>0

/八、tanA-tanB3tanB3

tan(AA-B)=-----------------=----------—

1+tanAtanB1+4tan2BcotB+4tanB

當(dāng)且僅當(dāng)4tan3=cot5,tan3=；,tanA=2時，等號成立,

13

故當(dāng)tanA=2,tan5=］時，tan(A-B)的最大值為1.

2.（全國二17）.（本小題滿分10分）

54

在ZkABC中，cosB=-----，cosC=—.

135

(I)求sinA的值；

33

(II)設(shè)△A5C的面積求3C的長.

解：

5,12

(I)由cosB=-----，得sin5=一，

1313

43

由cosC=—,得sinC=—.

55

33

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=——..........................................5分

65

33133

(II)由34^。=萬得'xABxACxsinA=5，

33

由(I)知sinA=—,

65

故ABxAC=65,?……8分

ABxsinB

又.AC二二AB

sinC13

I，20i.13

故一AB-=65,AB=—.

132

ABxsinA11

所以3C=10分

sinC~2

3.（北京卷15）.（本小題共13分）

..71

已知函數(shù)/(x)=sin2a)x+#>sinoxsincox+—（。＞0）的最小正周期為無.

I2

（I）求。的值;

（II）求函數(shù)/（x）在區(qū)間,Q,—上的取值范圍.

1-cos2(DXV3.A/3.1-1

解：（I）f（x）=--------------1----sin2a>x=——sin2ox——cos2a)x+—

22222

1

=sin2a)x--+—.

I62

因為函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，且。＞0,

所以至=兀，解得0=1.

2①

(II)由(I)得f(%)=sin.

因為oWxW——，

3

所以—PW2x—色?獨，

666

所以-gWsin^2%-^W1,

因此oWsin(2x—即/(x)的取值范圍為0=.

I6J22L2一

4(四川卷17).(本小題滿分12分)

求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值。

【解】：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=7-2sin2x+4cos2x(l-cos2x)

=7-2sin2x+4cos2xsin2x

=7—2sin2x+sin22x

=(1-sin2x)2+6

由于函數(shù)Z=("—1)2+6在［-1,1］中的最大值為

Zg=(-1-1『+6=10

最小值為

Z*=(1-1)2+6=6

故當(dāng)sin2x=—1時y取得最大值10,當(dāng)sin2x=1時y取得最小值6

5.(天津卷17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=2cos?(yx+2sin(yxcosox+l(xe7?,a>>0)的最小值正周期是

(I)求①的值；

(II)求函數(shù)/(%)的最大值，并且求使/(%)取得最大值的x的集合.

(17)本小題主要考查特別角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦、函數(shù)

y=Asin(Ox+o)的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查基本運算實力.滿分12分.

(I)解：

l+cos2加

，(x)=2?+sin2w+l

2

=sin2a)x+cos2依+2

2sin267zrcos—+cos26zzrsin—+2

144

二41sinf2a)x+(1+2

由題設(shè)，函數(shù)/(x)的最小正周期是工，可得主=工，所以。=2.

22a)2

(II)由(I)知，/(%)=72sin[4x+?)+2.

當(dāng)4X+3=1+2"即x吒+?(>eZ)時，sin[4x+?]取得最大值1,所以函數(shù)/(x)

的最大值是2+痣，此時x的集合為，x|x=工+絲ZeZ.

162I

6.(安徽卷17).(本小題滿分12分)

TTTTTT

已知函數(shù)/(x)=cos(2x--)+2sin(x-—)sin(x+—)

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程

(II)求函數(shù)/(X)在區(qū)間上的值域

P,、兀、c?/TC、./TC、

解：⑴j(%)=cos(2x-y)+2sin(x--)sin(x+—)

]y/3

=—coslx+sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)

=-cos2x+—sin2x-cos2x

22

=sin(2x-3

周期丁=二=》

2

.-TC,TC/_./口k/CTC.7.

由2x-----kjiH—(左GZ),在rx—-----1—(左GZ)

6223

7T

，函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=bT*keZ)

/—、、兀冗、-TC7C57ri

(2)XG[----,—],2x----G[r---,—]

122636

因為/(X)=sin(2x-看)在區(qū)間[4,序上單調(diào)遞增，在區(qū)間g,辛上單調(diào)遞減,

TT

所以當(dāng)X=g時，/(X)取最大值1

又/(一])=一￥</(')=:，當(dāng)X=一展時，/(X)取最小值一

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間[噌，自上的值域為[-券,1]

7.(山東卷17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=73sin(@x+0)-cos@x+")(O<(p<7t.co>0)為偶函數(shù)，且函數(shù))干㈤圖象的

77

兩相鄰對稱軸間的距離為一.

2

77

(I)美洲/(一)的值；

8

7T

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移巴個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)安逸長到原來

6

的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)〉=以冗)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,.

解：(I)/(x)=V^sin(m+0)-cos(3+0)

2日sin(0x+0)—gcos(m+0)

=2sin(62￥+^9-—)

因為/(X)為偶函數(shù)，

所以對XeR<-x)=/(x)恒成立,

mIr71、71

因止匕sinQ-avc+(p--)=sm(cox+

66

.7T7T7171

即nn-sincoxcos((p--)+cosa)xsin((p-一)=sincoxcos((p--)+coscoxsin((p-—),

6666

TlTI

整理得sinoxcos(0--)=0.因為co>0,且所以cos(0--)=0.

66

7TTC7L

又因為O<0<兀，故夕--=一.所以j{x}=2sin(mx+—)=2coscox.

622

27r7i

了=2?，所以3=2.

由題意得

故?x)=2cos2%.

因為/￡)=2cost=VI

(II)將式尤)的圖象向右平移個277個單位后，得到/Xx-27T)的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到

66

原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到/(e-工)的圖象.

46

所以g(#=坦-？)=2cos2(?一令=2cos/(1^-y).

當(dāng)2kn&-----W2左〃+允(左6Z),

23

27r87r

即4左〃+”￡Z)時，g(x)單調(diào)遞減.

2%8乃

因此g(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為4k7V+-Ak7V+^-(kGZ)

8.(江蘇卷15).如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以。X軸為始邊做兩個銳角a,夕，它們的終邊

分別與單位圓相交于A,B兩點，已知A,B的橫坐標(biāo)分別為點，子.

(I)求tan(a+￡)的值;

(II)求。+2月的值.

【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式.

由條件的cosa=點,cos，=2f,因為a,夕為銳角，所以sina=q^,sin，=(^

因止匕tana=7,tan/='

/丁、ctana+tan6。

(I)tan(a+------------=—3

1-tan6Ztan

2tan(34tana+tan2〃

(II)tan2尸=所以tan(a+2〃)

1-tan2(331一tanatan2/3

?:a,，為銳角，.，?0<a+2/?<—.a+2/3=—

9.(江西卷17).(本小題滿分12分)

在AABC中，角A,民。所對應(yīng)的邊分別為a,4c,a=2A/3,tan++tan—=4,

22

2sinBcosC=sinA,求A,B及b,c

,A+_BC.CC.

解：由tan--------btan一二4Z得Bcot——btan一=4

2222

=4

.CCC

sin——sin—cos

22

sinC=；,又Ce(O,zr)

AC=->或。=包

66

由2sinBcosC=sinA得ZsinBcosBusiiXB+C)

即sinCB—C)=0：.B=C

A=TT-(B+C)=—

由正弦定理一L=—上=」-得

sinAsinBsinC

J.

b=c=a^^=2S%=2

sinAV3

~2

10.(湖北卷16).已知函數(shù)

/(O=J-一g(x)=cosx?/(sinx)+sin%?/(cosx),xe(?,

Vl+Z12

(I)將函數(shù)g(x)化簡成Asin(s+0)+B(A>0,69>0,cpG[0,2TT))的形式；

(II)求函數(shù)g(x)的值域.

本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本學(xué)問，考查三角恒等變換、代數(shù)式

的化簡變形和運算實力.(滿分12分)

,丫、/、/1-sinx./1-cosx

解(I)￡(x)=cosx.J---------+sin----------

V1+sinxv1+cosx

(1-sinx)2(1-cosx)2

=cos%?+sin%?

cos2Xsin2x

1-sinx.1-cosx

=cos%?-；----廠+sin%?—：----j—

cosxsinx

f17KII.I/、1-sinx1-cosx

xeK,----cosx\=-cosx,smx=—smx,g(x)=cos%--------Fsin-------

I12-cosx-sinx

=sinx+cos%-2

=A/2sinI%+：卜2.

ZTT\r-k.j/17?！ㄈ?71,71571

(II)由?！碭?---,何---〈尤H--?---.

12443

snw在(亞芝

上為減函數(shù)，在一，一上為增函數(shù),

U2.I23

又sin*sin%.si吟《sin(嗚)<si吟(當(dāng)xe卜等1

6

即一1Wsin(x+-)<-—,.-.-A/2-2<72sin(x+-)-2<-3,

424

故g(x)的值域為[一0-2,-3).

11.(陜西卷17).(本小題滿分12分)

己知函數(shù)/'(x)=2sin；cos：—26sin?：+石.

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期及最值；

(【【)令g(x)=/[x+g],推斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由.

解：(I)/(%)=sin—+^(1-2sin2—)=sin—+A/3COS—=2sin

2422

2兀

/(x)的最小正周期T=—=471.

2

當(dāng)sin[f+1]=T時’/(X)取得最小值一2;當(dāng)sin?]、：!時，/(x)取得最大值2.

(II)由(I)知f(x)=2sin[|+^j.又8(》)=小+1].

g(-x)=2cos2cos|=g(x)

函數(shù)g（x）是偶函數(shù).

12.（重慶卷17）（本小題滿分13分，（I）小問6分，（II）小問7分）

設(shè)AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c,且2=60,爐34求：

（I）區(qū)的值；

C

（II）cot6+cotC的值.

解：（I）由余弦定理得

//一2Z?cosA

土ZrQ療

故—=——.

c3

(II)解法一：cotB+cotC

_cosBsinC+cosCsinB

sinBsinC

_sin(B+C)_sinA

sinBsinCsinBsinC

由正弦定理和(I)的結(jié)論得

72

sinA_19C_14_1473

sinBsinCsinAbe百j_cc3A/39

w“14A/3

故cotB+cotC=------.

9

解法二：由余弦定理及（」）的結(jié)論有

5

故sin8=A/1-COS2B

25

同理可得

71

片+/-<292

2+/Y1

cosC=

lab-c412幣

2.——c?—c

33

,,十八-cosBcosC5/T-1/r14^/3

從而cotB+cotC=--------1--------=-，3—<3=--------

sinBsinC399

13.(福建卷17)(本小題滿分12分)

已知向量m=(sinA,cosA),n=(^3,—1),m,n=l,且A為銳角.

(I)求角A的大??；(II)求函數(shù)/(%)=852%+48524$111%(無￡尺)的值域.

本小題主要考查平面對量的數(shù)量積計算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的

最值等基本學(xué)問，考查運算實力.滿分12分.

解：(I)由題意得加?〃=6sinA-cosA=l,

71兀1

2sin(A--)=l,sin(A--)=-.

662

由A為銳角得A—三=巴,4=巴.

663

(II)由(I)知COSA=L

2

13

所以f(x)=cos2x+2sinx=l-2sin"9x+2sins=-2(sinA：-—)9"+—.

i3

因為xeR,所以sinxe[—1,1],因此，當(dāng)sinx=1時，式尤)有最大值5.

3

當(dāng)sinx=-l時，大勸有最小值-3,所以所求函數(shù);U)的值域是-