2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用學(xué)問點(diǎn)一零存整取模型[填一填](1)單利：單利的計(jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下簡稱本利和)，則有S＝P(1＋nr)．(2)復(fù)利：把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的．復(fù)利的計(jì)算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．簡潔總結(jié)一下本節(jié)課中幾種模型的規(guī)律方法．提示：(1)銀行存款中的單利是等差數(shù)列模型，本息和公式為S＝P(1＋nr)．(2)銀行存款中的復(fù)利是等比數(shù)列模型，本利和公式為S＝P(1＋r)n.(3)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為P，對于時(shí)間x的總產(chǎn)值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b＝eq\f(r(1＋r)na,(1＋r)n－1).學(xué)問點(diǎn)二數(shù)列學(xué)問的實(shí)際應(yīng)用及解決問題的步驟[填一填](1)數(shù)列學(xué)問有著廣泛的應(yīng)用，特殊是等差數(shù)列和等比數(shù)列．例如銀行中的利息計(jì)算，計(jì)算單利時(shí)用等差數(shù)列，計(jì)算復(fù)利時(shí)用等比數(shù)列，分期付款要綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)列的學(xué)問．(2)解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟為：①細(xì)致閱讀題目，細(xì)致審題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；②挖掘題目的條件，分析該數(shù)列是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，分清所求的是項(xiàng)的問題，還是求和問題；③檢驗(yàn)結(jié)果，寫出答案．[答一答]2．?dāng)?shù)列應(yīng)用題中常見模型是哪些？提示：等差模型和等比模型．1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用題的解題策略解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要細(xì)致審題，深刻理解問題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問題，然后求解．2．處理分期付款問題的留意事項(xiàng)(1)精確計(jì)算出在貸款全部付清時(shí)，各期所付款額及利息(注：最終一次付款沒有利息)．(2)明確各期所付的款以及各期所付款到最終一次付款時(shí)所產(chǎn)生的利息之和等于商品售價(jià)及從購買到最終一次付款時(shí)的利息之和，只有駕馭了這一點(diǎn)，才可以順當(dāng)建立等量關(guān)系．類型一單利計(jì)算問題【例1】有一種零存整取的儲蓄項(xiàng)目，它是每月某日存入一筆相同的金額，這是零存；到約定日期，可以提出全部本金及利息，這是整?。谋纠凸饺缦拢罕纠停矫科诖嫒虢痤~×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(存期＋\f(1,2)存期×(存期＋1)×利率)).(1)試說明這個(gè)本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12個(gè)月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1‰，希望到第12個(gè)月底取得本利和2000元，那么每月應(yīng)存入多少金額？【思路探究】存款儲蓄是單利計(jì)息，若存入金額為A，月利率為P，則n個(gè)月后的利息是nAP.【解】(1)設(shè)每期存入金額A，每期利率P，存入期數(shù)為n，則各期利息之和為AP＋2AP＋3AP＋…＋nAP＝eq\f(1,2)n(n＋1)AP.連同本金，就得：本利和＝nA＋eq\f(1,2)n(n＋1)AP＝Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)n(n＋1)P)).(2)當(dāng)A＝100，P＝5.1‰，n＝12時(shí)，本利和＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(1,2)×12×13×5.1‰))＝1239.78(元)．(3)將(1)中公式變形得A＝eq\f(本利和,n＋\f(1,2)n(n＋1)P)＝eq\f(2000,12＋\f(1,2)×12×13×5.1‰)≈161.32(元)．即每月應(yīng)存入161.32元．規(guī)律方法單利的計(jì)算問題，是等差數(shù)列模型的應(yīng)用．王先生為今年上中學(xué)的女兒辦理了“教化儲蓄”，已知當(dāng)年“教化儲蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合計(jì)2萬元，王先生每月大約存入多少元？(2)若教化儲蓄存款總額不超過2萬元，零存整取3年期教化儲蓄每月至多存入多少元？此時(shí)3年后本息合計(jì)約為多少元？(精確到1元)解：(1)設(shè)王先生每月存入A元，則有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20000，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.7‰＋\f(36×35,2)×2.7‰))＝20000，解得A≈529元．(2)由于教化儲蓄的存款總額不超過2萬元，所以3年期教化儲蓄每月至多存入eq\f(20000,36)≈555(元)，這樣，3年后的本息和為：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋36×2.7‰＋\f(36×35,2)×2.7‰))≈20978(元)．類型二關(guān)于復(fù)利模型問題【例2】小張為實(shí)現(xiàn)“去上海，看世博”的幻想，于2005年起，每年2月1日到銀行新存入a元(一年定期)，若年利率r保持不變，且每年到期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2010年【思路探究】由題意知，本題為定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存問題，應(yīng)為等比數(shù)列前n項(xiàng)和的模型．【解】依題意每一年的本息和構(gòu)成數(shù)列{an}，則2005年2月1日存入的a元錢到2006年1月31日同理，到2007年a2＝[a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)2＋a(1＋r)，到2008年[a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)，到2009年[a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)，到2010年[a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)，所以2010年a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＝a·eq\f((1＋r)[1－(1＋r)5],1－(1＋r))＝eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)](元)．規(guī)律方法本例主要考查閱讀理解實(shí)力，這里關(guān)鍵是每年2月1日又新存入a元，因此每年到期時(shí)所得錢的本息和組成一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和模型．某牛奶廠2013年初有資金1000萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達(dá)到50%.每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金后，余下的資金投入再生產(chǎn)．這家牛奶廠每年應(yīng)扣除多少消費(fèi)基金，才能實(shí)現(xiàn)經(jīng)過5年資金達(dá)到2000萬元的目標(biāo)？解：設(shè)這家牛奶廠每年應(yīng)扣除x萬元消費(fèi)基金．2013年底剩余資金是1000(1＋50%)－x；2024年底剩余資金是[1000(1＋50%)－x]·(1＋50%)－x＝1000(1＋50%)2－(1＋50%)x－x；……5年后達(dá)到資金1000(1＋50%)5－(1＋50%)4x－(1＋50%)3x－(1＋50%)2x－(1＋50%)x＝2000，解得x＝459(萬元)．類型三分期付款模型【例3】用分期付款的方式購買一件家用電器，其價(jià)格為1150元．購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，分20次付完．若交付150元以后的第1個(gè)月起先算分期付款的第1個(gè)月，問：分期付款的第10個(gè)月需交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實(shí)際花了多少錢？【思路探究】構(gòu)建等差數(shù)列模型，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．【解】購買時(shí)付款150元，欠1000元，以后每月付款50元，分20次付清．設(shè)每月付款數(shù)順次構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2，……a10＝50＋(1000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9，則an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)．所以數(shù)列{an}是以60為首項(xiàng)，－0.5為公差的等差數(shù)列，所以付款總數(shù)為S20＋150＝20×60＋eq\f(20×19,2)×(－0.5)＋150＝1255(元)．所以第10個(gè)月需交55.5元，全部付清實(shí)際花了1255元．規(guī)律方法解題時(shí)務(wù)必要留意第一次付款的利息是1000元欠款的利息，而不是950元的利息，而最終一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2024年年初向銀行申請個(gè)人住房公積金貸款20萬元購買住房，月利率為3.375‰，按復(fù)利計(jì)算，每月等額還貸一次，并從貸款后的次月初起先還貸．假如10年還清，那么每月應(yīng)還貸多少元？(參考數(shù)據(jù)：1.003375120≈1.49828)解：方法一：由題意知借款總額a＝200000(元)，還款次數(shù)n＝12×10＝120，還款期限m＝10(年)＝120(個(gè)月)，月利率r＝3.375‰.代入公式得，每月還款數(shù)額為：eq\f(200000×0.003375×(1＋0.003375)120,(1＋0.003375)120－1)≈2029.66.故假如10年還清，每月應(yīng)還貸約2029.66元．方法二：設(shè)每月應(yīng)還貸x元，共付款12×10＝120(次)，則有x[1＋(1＋0.003375)＋(1＋0.003375)2＋…＋(1＋0.003375)119]＝200000×(1＋0.003375)120，解方程得x≈2029.66.故每月應(yīng)還貸約2029.66元．類型四增長率問題【例4】從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益動(dòng)身，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游業(yè)．依據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年削減eq\f(1,5)，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)料今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加eq\f(1,4).(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？【思路探究】(1)由題設(shè)知各年的投入費(fèi)用及旅游業(yè)收入分別構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式易得an與bn；(2)建立an與bn的不等關(guān)系，解不等式即得．【解】(1)第一年投入為800萬元，其次年投入為800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))萬元，…，第n年投入為800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))n－1萬元，各年投入依次構(gòu)成以800為首項(xiàng)，1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)為公比的等比數(shù)列，所以n年內(nèi)的總投入為an＝eq\f(800\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝4000－4000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n.第一年旅游業(yè)收入為400萬元，其次年旅游業(yè)收入為400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))萬元，…，第n年旅游業(yè)收入為400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))n－1萬元，各年旅游業(yè)收入依次構(gòu)成以400為首項(xiàng)，1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)為公比的等比數(shù)列，所以n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn＝eq\f(400\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n)),1－\f(5,4))＝1600eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1600.(2)設(shè)經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，則bn－an>0，即1600eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1600－4000＋4000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n>0，化簡得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n－7>0.設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n＝x，代入上式得5x2－7x＋2>0，依據(jù)二次函數(shù)y＝5x2－7x＋2的圖像解此不等式，得x<eq\f(2,5)或x>1(舍去)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n<eq\f(2,5)，由此得n≥5.故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．規(guī)律方法當(dāng)問題中涉及的各量依次以相同的倍數(shù)改變時(shí)，則考慮構(gòu)建等比數(shù)列模型．其解題步驟為：(1)由題意構(gòu)建等比數(shù)列模型(有時(shí)須要從特殊狀況入手，歸納總結(jié)出一般規(guī)律，進(jìn)而構(gòu)建等比數(shù)列模型)；(2)確定其首項(xiàng)a1與公比q，分清是求第n項(xiàng)an，還是求前n項(xiàng)和Sn；(3)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解；(4)經(jīng)過檢驗(yàn)得出實(shí)際問題的答案．某商場出售甲、乙兩種不同價(jià)格的筆記本電腦，其中甲商品因供不應(yīng)求，連續(xù)兩次提價(jià)10%，而乙商品由于外觀過時(shí)而滯銷，只得連續(xù)兩次降價(jià)10%，最終甲、乙兩種電腦均以9801元售出．若商場同時(shí)售出甲、乙電腦各一臺，與價(jià)格不升不降比較，商場贏利狀況是少賺598元．解析：設(shè)甲原價(jià)是m元，則m(1＋10%)2＝9801?m＝eq\f(9801,1.21)，設(shè)乙原價(jià)是n元，則n(1－10%)2＝9801?n＝eq\f(9801,0.81).(m＋n)－2×9801＝9801×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1.21)＋\f(1,0.81)))－19602＝9801×eq\f(2.02,1.21×0.81)－19602＝20200－19602＝598.——多維探究系列——數(shù)列中的探究性問題探究性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備，要求考生自己去探究，結(jié)合已知條件，進(jìn)行視察、分析、比較和概括．它對考生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的實(shí)力提出了較高的要求．這類問題不僅考查考生的探究實(shí)力，而且給考生供應(yīng)了創(chuàng)新思維的空間，所以備受高考的青睞，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容．探究性問題一般可以分為：條件探究性問題、規(guī)律探究性問題、結(jié)論探究性問題、存在探究性問題等．【例5】已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合條件的全部n的集合；若不存在，說明理由．【思路分析】(1)依據(jù)已知條件得出關(guān)于a1，q的方程組，求解即可；(2)只需表示出前n項(xiàng)和，解指數(shù)不等式．【規(guī)范解答】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2－S4＝S3－S2，,a2＋a3＋a4＝－18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a1q2－a1q3＝a1q2，,a1q(1＋q＋q2)＝－18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝－2.))故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3×(－2)n－1.(2)由(1)有Sn＝eq\f(3[1－(－2)n],1－(－2))＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，則1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n>0，上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，則n≥11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．【名師點(diǎn)評】求解此類題須要同學(xué)們嫻熟運(yùn)用公式和相關(guān)概念來構(gòu)建方程(組)，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)．本例題的難點(diǎn)在于對不等式2n≥2012的求解及對n的奇偶性的探討．建議熟記2的1～10次冪的值．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且點(diǎn)P(an，an＋1)(n∈N＋)在直線x－y＋1＝0上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,an)，Sn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于n的關(guān)系式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．解：(1)由點(diǎn)P(an，an＋1)在直線x－y＋1＝0上，即an＋1－an＝1，且a1＝1，即數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．則an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N＋)．(2)假設(shè)存在滿意條件的g(n)，由bn＝eq\f(1,n)，可得Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，Sn－Sn－1＝eq\f(1,n)(n≥2)，nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn－2＋1，…2S2－S1＝S1＋1.以上(n－1)個(gè)等式等號兩端分別相加得nSn－S1＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＋n－1，即S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝nSn－n＝n(Sn－1)，n≥2.令g(n)＝n，故存在關(guān)于n的關(guān)系式g(n)＝n，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立．一、選擇題1．有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少須要(B)A．6秒鐘B．7秒鐘C．8秒鐘D．9秒鐘解析：依題意，得1＋21＋