2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)2.4.2圓的一般方程含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE十七圓的一般方程(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)若a∈QUOTE,方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的值可以為 ()A.-2 B.0 C.1 D.QUOTE【解析】選ABD.依據(jù)題意,若方程表示圓,則有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得:a<1,又由a∈QUOTE,則a=-2,0,QUOTE.2.若圓x2+y2+2x-4y=0關(guān)于直線(xiàn)2x-y+a=0對(duì)稱(chēng),則a的值為 ()A.-3 B.-1 C.0 D.4【解析】選D.因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)2x-y+a=0對(duì)稱(chēng),所以圓心C在直線(xiàn)2x-y+a=0上,求得C的坐標(biāo)為(-1,2),可得2×(-1)-2+a=0,解得a=4.3.已知圓的方程x2+y2+2ax+9=0,圓心坐標(biāo)為(5,0),則它的半徑為 ()A.3 B.QUOTE C.5 D.4【解析】選D.圓的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圓心坐標(biāo)為(-a,0),可得a=-5,故它的半徑為QUOTE=QUOTE=4.4.圓x2+y2-ax-2y+1=0關(guān)于直線(xiàn)x-y+1=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程是x2+y2-4x+3=0,則a的值為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.由于圓x2+y2-ax-2y+1=0的圓心MQUOTE,圓x2+y2-4x+3=0的圓心N(2,0),又兩圓關(guān)于直線(xiàn)x-y+1=0對(duì)稱(chēng),故有QUOTE×1=-1,解得a=2.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知圓x2+y2-2x-8y+1=0的圓心到直線(xiàn)ax-y+1=0的距離為1,則a=.

【解析】圓x2+y2-2x-8y+1=0的圓心C(1,4),因?yàn)閳A心到直線(xiàn)ax-y+1=0的距離為1,所以d=QUOTE=1,解得a=QUOTE.答案:QUOTE【加練·固】已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,點(diǎn)A(0,-1),B(0,1),設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn),令d=|PA|2+|PB|2,則d的最大值及最小值分別為、.

【解析】如圖,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),所以d=QUOTE+(y0+1)2+QUOTE+(y0-1)2=2(QUOTE+QUOTE)+2=2PO2+2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求P點(diǎn)到原點(diǎn)O距離的最值,因?yàn)镺在圓外,所以O(shè)Pmax=CO+1=5+1=6,OPmin=CO-1=5-1=4,所以dmax=2×62+2=74,dmin=2×42+2=34.答案:74346.圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(2,-1),AB為過(guò)點(diǎn)P的弦,則AB的中點(diǎn)Q的軌跡方程為.

【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為Q(x,y),則AB的斜率為k=QUOTE,又OQ⊥AB,所以kOQ·k=-1,即QUOTE·QUOTE=-1,整理得x2+y2+y-2x=0,所以過(guò)點(diǎn)P的弦中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2+y-2x=0.答案:x2+y2+y-2x=0三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線(xiàn)x+y-1=0上,且圓心在其次象限,半徑為QUOTE,求圓的一般方程.【解析】圓心CQUOTE,因?yàn)閳A心在直線(xiàn)x+y-1=0上,所以-QUOTE-QUOTE-1=0,即D+E=-2,①又r=QUOTE=QUOTE,所以D2+E2=20,②由①②可得QUOTE或QUOTE又圓心在其次象限,所以-QUOTE<0,即D>0,所以QUOTE所以圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍.(2)求圓C的方程.【解析】(1)令x=0,函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)是(0,b),令f(x)=0,得x2+2x+b=0,由題意知b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.(2)設(shè)所求圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程,故D=2,F=b.令x=0,得y2+Ey+b=0,b是方程的根,代入得E=-b-1.所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(15分鐘·30分)1.(5分)當(dāng)圓x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面積最大時(shí),圓心坐標(biāo)是 ()A.(0,-1) B.(-1,0)C.(1,-1) D.(-1,1)【解析】選B.將圓x2+y2+2x+2ky+2k2=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+1)2+(y+k)2=1-k2,所以該圓的圓心C(-1,-k),半徑r=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),半徑r取得最大值1,此時(shí)圓心坐標(biāo)為C(-1,0).2.(5分)若Rt△ABC的斜邊的兩端點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ()A.x2+y2=25(y≠0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25【解析】選C.線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為(2,0),因?yàn)椤鰽BC為直角三角形,C為直角頂點(diǎn),所以C到點(diǎn)(2,0)的距離為QUOTE|AB|=5,所以點(diǎn)C(x,y)滿(mǎn)意QUOTE=5(y≠0),即(x-2)2+y2=25(y≠0).3.(5分)若圓x2+y2+Dx+Ey+F=0關(guān)于直線(xiàn)l1:x-y+4=0和直線(xiàn)l2:x+3y=0都對(duì)稱(chēng),則D=,E=.

【解析】由題知直線(xiàn)l1,l2過(guò)已知圓的圓心,所以QUOTE所以QUOTE答案:6-2【加練·固】已知點(diǎn)P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圓C上,則圓C的圓心坐標(biāo)為 ()A.(0,1) B.(1,0)C.(2,1) D.(1,2)【解析】選A.由題意,圓心CQUOTE在直線(xiàn)x+y-1=0上,從而有-QUOTE+1-1=0,所以a=0,所以圓C的圓心坐標(biāo)為(0,1).4.(5分)點(diǎn)M,N在圓C:x2+y2+kx+2y-4=0上,且點(diǎn)M,N關(guān)于直線(xiàn)x-y+1=0對(duì)稱(chēng),則圓C的半徑為.

【解析】圓C:x2+y2+kx+2y-4=0,即C:QUOTE+(y+1)2=QUOTE+5,所以圓心C為QUOTE,由題意可得直線(xiàn)x-y+1=0經(jīng)過(guò)圓心CQUOTE,故有-QUOTE+1+1=0,所以k=4,故圓的半徑為QUOTE=3.答案:35.(10分)已知圓的方程x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.(1)求此圓的圓心與半徑.(2)求證:不論m為何實(shí)數(shù),它們表示圓心在同一條直線(xiàn)上的半徑相等的圓.【解析】(1)x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0可化為[x+(m-1)]2+(y-2m)2=9,所以圓心為(1-m,2m),半徑r=3.(2)由(1)可知,圓的半徑為定值3,且圓心(a,b)滿(mǎn)意方程組QUOTE即2a+b=2.所以不論m為何值,方程表示的是圓心在直線(xiàn)2x+y-2=0上,半徑都等于3的圓.1.若直線(xiàn)l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長(zhǎng),則(a-2)2+(b-2)2的最小值為 ()A.QUOTE B.5 C.2QUOTE D.10【解析】選B.圓M的圓心為(-2,-1),由題意知點(diǎn)M在直線(xiàn)l上,所以-2a-b+1=0,所以b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5.2.在平面幾何中,通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓,稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿(mǎn)意以下性質(zhì):①線(xiàn)段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓.②銳角△ABC的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線(xiàn)W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)為曲線(xiàn)W上不同的四點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)t的值及△ABC的最小覆蓋圓的方程.(2)求四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程.(3)求曲線(xiàn)W的最小覆蓋圓的方程.【解析】(1)由題意,得t=-2,由于△ABC為銳角三角形,其外接圓就是△ABC的最小覆蓋圓.設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則QUOTE解得QUOTE所以△ABC的最小覆蓋圓的方程為x2+y2-3x-4=0.(2)因?yàn)榫€(xiàn)段DB的最小覆蓋圓就是以DB為直徑的圓,所以線(xiàn)段DB的最小覆蓋圓的方程為x2+y2=16.又因?yàn)閨OA|=|OC|=2<4(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以點(diǎn)A,C都在圓內(nèi).所以四邊形ABCD的最小覆蓋圓的方程為x2+y2=16.(3)由題意,知曲線(xiàn)W為中心對(duì)稱(chēng)圖形.設(shè)P(x0,y0),