2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章數(shù)列5.4數(shù)列的應(yīng)用教案新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE1-5.4數(shù)列的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.正確理解分期付款的兩種計(jì)算方式．(重點(diǎn))2.駕馭政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)的相關(guān)學(xué)問(wèn)．(重點(diǎn))3.能夠利用等差(比)數(shù)列的學(xué)問(wèn)解決一些實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1.通過(guò)分期付款及政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理的素養(yǎng).2.借助數(shù)列的遞推關(guān)系解決數(shù)列問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).我國(guó)現(xiàn)代都市人的消費(fèi)觀念正在變遷——我們對(duì)花明天的錢(qián)圓今日的夢(mèng)已不再生疏，很多年輕人過(guò)起了名副其實(shí)的“負(fù)翁”生活，貸款購(gòu)物，分期付款已深化我們生活，在當(dāng)前的市場(chǎng)環(huán)境中，分期付款被很多商家看作是搶市場(chǎng)份額的有效手段，為迎合消費(fèi)心理，商家各盡其能；但面對(duì)商家和銀行供應(yīng)的各種分期付款服務(wù)，原委選擇什么樣的方式好呢？分期還款與數(shù)列(1)等額本金還款法：即將本金平均安排到每一期進(jìn)行償還，每期還款金額＝eq\f(貸款本金,還款期數(shù))＋(貸款本金－已還本金總額)×利率．(2)等額本息還款法：即將本金和利息平均安排到每一期進(jìn)行償還．每期還款金額＝eq\f(A0r1＋rm,1＋rm－1)，其中A0為貸款時(shí)的資金，r為銀行貸款月利率，m為還款總期數(shù)(單位：月)．1．思索辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)“等額本金還款法”中，每一期還款數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列． ()(2)“等額本息還款法”中，每一期還款數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列． ()(3)假如政府的支出增加，那么經(jīng)濟(jì)就會(huì)產(chǎn)生“乘數(shù)”效應(yīng)． ()[答案](1)√(2)√(3)√2．某件產(chǎn)品安排每年成本降低q%，若三年后成本為a，則現(xiàn)在的成本是()A．a(chǎn)(1＋q%)3 B．a(chǎn)(1－q%)3C.eq\f(a,1－q%3) D.eq\f(a,1＋q%3)C[設(shè)現(xiàn)在的成本為x，則x(1－q%)3＝a，故x＝eq\f(a,1－q%3).]3．(一題兩空)(教材P43例1改編)自主創(chuàng)業(yè)的高校生張華向銀行貸款200000元作為創(chuàng)業(yè)資金，貸款的年利率為5%，假如他依據(jù)“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，則其其次年應(yīng)還________元；假如他依據(jù)“等額本息還款法”分10年進(jìn)行還款，則其每年還款約________元．(1.0510≈1.62889)2900025901[假如采納“等額本金還款法”，其次年應(yīng)還20000＋(200000－20000)×5%＝29000元．假如采納“等額本息還款法”每年應(yīng)還eq\f(200000×5%1＋5%10,1＋5%10－1)≈25901(元)．]4．今年，某公司投入資金500萬(wàn)元，由于堅(jiān)持改革，大膽創(chuàng)新，以后每年投入資金比上一年增加30%，那么7年后該公司共投入資金________萬(wàn)元．eq\f(5000,3)(1.37－1)[設(shè)第n年投入資金為an萬(wàn)元，由題意可知an＋1＝an(1＋30%)＝1.3an.∴{an}為首項(xiàng)a1＝500，公比為1.3的等比數(shù)列，∴S7＝eq\f(5001－1.37,1－1.3)＝eq\f(5000,3)(1.37－1)．]等差、等比數(shù)列模型的應(yīng)用【例1】一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型試驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間里上升了15米高度．(1)若通過(guò)動(dòng)力限制系統(tǒng)，使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘里，上升的高度都比它前一分鐘上升的高度少2米，達(dá)到最大高度后保持飛行，問(wèn)飛機(jī)模型上升的最大高度是多少？(2)若通過(guò)動(dòng)力限制系統(tǒng)，使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度是它在前一分鐘里上上升度的80%，那么這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過(guò)75米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成a1＝15，d＝－2的等差數(shù)列，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝15n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋16n.當(dāng)n＝8時(shí)，(Sn)max＝S8＝64.即飛機(jī)模型在第8分鐘上升到最大高度為64米．(2)不能超過(guò)．由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成b1＝15，q＝0.8的等比數(shù)列，則Sn＝eq\f(b11－qn,1－q)＝eq\f(151－0.8n,0.2)＝75(1－0.8n)<75.所以，這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過(guò)75米．解決數(shù)列應(yīng)用題的思路和方法(1)仔細(xì)審題精確理解題意，明確問(wèn)題是屬于等差數(shù)列問(wèn)題還是屬于等比數(shù)列問(wèn)題，要確定a1與項(xiàng)數(shù)n的實(shí)際意義，同時(shí)要搞清是求an還是求Sn.(2)抓住題目中的主要數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)．(3)將已知和所求聯(lián)系起來(lái)，列出滿意題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中有一道這樣的題目：把120個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較多的三份之和的eq\f(1,3)是較少的兩份之和，則最少的一份面包個(gè)數(shù)為()A．46B．12C．11D．2B[依據(jù)題意，把120個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，設(shè)5人得到的面包數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且d>0，又由面包總數(shù)為120，且較多的三份之和的eq\f(1,3)是較少的兩份之和，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S5＝5a＝120,\f(1,3)a＋a＋d＋a＋2d＝a－2d＋a－d))，解得a＝24，d＝6，則a－2d＝12.即最少的一份面包個(gè)數(shù)為12，故選B.]2．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9B．10C．19D．29B[∵把200根相同的鋼管堆放成一個(gè)正三角形垛，∴正三角形垛各層的鋼管數(shù)組成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差是1的數(shù)列，∴正三角形垛所需鋼管總數(shù)為Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，令Sn＝eq\f(nn＋1,2)<200，解得n＝19是使得不等式成立的最大整數(shù)，此時(shí)Sn取最大值190，由此可以推出剩余的鋼管有10根．故選B.]分期付款中的數(shù)列問(wèn)題【例2】某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比上年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比前一年多獲利5000元．兩種方案的期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%計(jì)算，試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲得純利潤(rùn)更多？(計(jì)算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.594，1.310≈13.796)[解]依據(jù)題意，分析可得甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列．甲方案獲利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝eq\f(11.310－1,1.3－1)≈42.65(萬(wàn))，而銀行的利息成本為10(1＋0.1)10＝25.94萬(wàn)元，那么甲的純利潤(rùn)為42.65－25.94≈16.7萬(wàn)元；乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝eq\f(10×1＋5.5,2)＝32.50(萬(wàn)元)，貸款的本利和為：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(萬(wàn)元)，∴乙方案扣除本利后的凈獲利為：32.50－17.534≈15.0(萬(wàn)元)．所以，甲方案的獲利較多．1．解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂題意，從實(shí)際問(wèn)題中提煉出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決．2．價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、利率、增長(zhǎng)率等問(wèn)題常歸結(jié)為數(shù)列建模，從而歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題去解決．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．王某2019年12月31日向銀行貸款100000元，銀行貸款年利率為5%，若此貸款分十年還清(2029年12月31日還清)，每年年底等額還款(每次還款金額相同)，設(shè)第n年末還款后此人在銀行的欠款額為an元．(1)設(shè)每年的還款額為m元，請(qǐng)用m表示出a2；(2)求每年的還款額(精確到1元)．[解](1)a2＝100000×(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110250－2.05m(2)a10＝100000×(1.05)10－m×(1.05)9－m×(1.05)8－…－m＝0,100000×1.0510－eq\f(m1－1.0510,1－1.05)＝0，解得m＝eq\f(100000×0.05×1.0510,1.0510－1)≈12950.困難的數(shù)列建模問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…存在怎樣的遞推關(guān)系？[提示]An＝An－1＋An－2(n>2且n∈N＋)，A1＝A2＝1.2．某企業(yè)投資1千萬(wàn)用于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%，由于企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年底須要從利潤(rùn)中拿出資金200萬(wàn)做科研，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率．試建立第n年資金an與第n－1年資金an－1間的遞推關(guān)系．[提示]an＝an－1(1＋25%)－200.【例3】已知某中學(xué)食堂每天供應(yīng)3000名學(xué)生用餐，為了改善學(xué)生伙食，學(xué)校每星期一有A，B兩種菜可供大家免費(fèi)選擇(每人都會(huì)選而且只能選一種菜)．調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有40%改選A種菜．用an，bn分別表示在第n個(gè)星期一選A的人數(shù)和選B的人數(shù)，假如a1＝2000.(1)請(qǐng)用an，bn表示an＋1與bn＋1；(2)證明：數(shù)列{an－2000}是常數(shù)列．[解](1)由題意知：an＋1＝eq\f(4,5)an＋eq\f(2,5)bn，bn＋1＝eq\f(1,5)an＋eq\f(3,5)bn.(2)證明：∵an＋1＝eq\f(4,5)an＋eq\f(2,5)bn，且an＋bn＝3000，∴an＋1＝eq\f(4,5)an＋eq\f(2,5)(3000－an)，∴an＋1＝eq\f(2,5)an＋1200，∴an＋1－2000＝eq\f(2,5)(an－2000)，又∵a1－2000＝0，∴數(shù)列{an－2000}是常數(shù)列.求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件，巧借an及an－1即抓住數(shù)列前后兩項(xiàng)幾項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系，建立遞推關(guān)系an＝pan－1＋q，在此基礎(chǔ)上借助數(shù)列學(xué)問(wèn)賜予解答，常用的方法便是待定系數(shù)法和構(gòu)造等比數(shù)列法.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．某學(xué)校試驗(yàn)室有濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液．在運(yùn)用之前須要重新配制溶液，詳細(xì)操作方法為取濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液各300ml分別裝入兩個(gè)容積都為500ml的錐形瓶A，B中，先從瓶A中取出100ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再?gòu)腂瓶中取出100ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上兩次混合過(guò)程完成后算完成一次操作．設(shè)在完成第n次操作后，A瓶中溶液濃度為ang/ml，B瓶中溶液濃度為bng/ml.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)(1)請(qǐng)計(jì)算a1，b1，并判定數(shù)列{an－bn}是否為等比數(shù)列？若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若要使得A，B兩個(gè)瓶中的溶液濃度之差小于0.01g/ml，則至少要經(jīng)過(guò)幾次？[解](1)由題意，得b1＝eq\f(0.2×300＋2×100,300＋100)＝0.65g/ml，a1＝eq\f(0.65×100＋2×200,200＋100)＝1.55g/ml.當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝eq\f(1,400)(300bn－1＋100an－1)＝eq\f(1,4)(3bn－1＋an－1)，an＝eq\f(1,300)(200an－1＋100bn)＝eq\f(1,4)(3an－1＋bn－1)，∴an－bn＝eq\f(1,2)(an－1－bn－1)，∴等比數(shù)列{an－bn}的公比為eq\f(1,2)，其首項(xiàng)a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，∴an－bn＝0.9·.(2)由題意可知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式0.9·<10－2，∴n>1＋eq\f(1＋2lg3,lg2)≈7.49，∴至少要操作8次才能達(dá)到要求.1．本節(jié)課的重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)列學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題，難點(diǎn)是如何化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是明確題設(shè)信息，利用遞推關(guān)系式方程思想建立等量關(guān)系．2．明確分期付款中的兩種常見(jiàn)方式：等額本金還款法和等額本息還款法，前者為等差數(shù)列模型，后者為等比數(shù)列模型．3．以數(shù)列學(xué)問(wèn)為背景的應(yīng)用題是中學(xué)應(yīng)用題中的常見(jiàn)題型，要正確快速地解決此類問(wèn)題，須要在理解題意的基礎(chǔ)上，正確處理數(shù)列中的遞推關(guān)系．1．有一座7層古塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)等于上面一層的2倍，已知最上面一層點(diǎn)了3盞，則共點(diǎn)盞數(shù)為()A．192B．381C．189D．63B[依據(jù)題意，設(shè)每層點(diǎn)的燈數(shù)組成數(shù)列{an}，分析可得{an}是公比為2的等比數(shù)列，且a1＝3，則S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(3×1－27,1－2)＝381，故選B.]2．某小鎮(zhèn)在今年年底統(tǒng)計(jì)有人口20萬(wàn)，預(yù)料人口年平均增長(zhǎng)率為1%，那么五年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為()A．20×(1.01)5萬(wàn) B．20×(1.01)4萬(wàn)C．20×eq\f(1.015－1,1.01－1)萬(wàn) D．20×eq\f(1.014－1,1.01－1)萬(wàn)A[某小鎮(zhèn)在今年年底統(tǒng)計(jì)有人口20萬(wàn)，預(yù)料人口年平均增長(zhǎng)率為1%，那么1年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1＋1%)，2年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1＋1%)2，3年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1＋1%)3，4年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1＋1%)4，5年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)為20(1＋1%)5＝20×(1.01)5.故選A.]3．一種放射性物質(zhì)不斷改變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年，剩余的物質(zhì)為原來(lái)的eq\f(4,5)，則經(jīng)過(guò)________年，剩余下的物質(zhì)是原來(lái)的eq\f(64,125).3[經(jīng)過(guò)一年，剩留物質(zhì)為原來(lái)的eq\f(4,5)，經(jīng)過(guò)二年，剩留物質(zhì)為原來(lái)的(eq\f(4,5))2，經(jīng)過(guò)三年，剩留物質(zhì)為原來(lái)的(eq\f(4,5))3＝eq\f(64,125)，則經(jīng)過(guò)