2024-2025學(xué)年四川省合江縣高三上冊9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省合江縣高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題本試卷分和兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則集合的子集個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．16 D．323．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．5．都是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．D．則6．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．0,47．2023年的某一天某紅酒廠商為了在線出售其紅酒產(chǎn)品，聯(lián)合小Y哥直播間，邀請某“網(wǎng)紅”來現(xiàn)場帶貨．在帶貨期間，為吸引顧客光臨直播間、增加客流量，發(fā)起了這樣一個活動：如果在直播間進來的顧客中，出現(xiàn)生日相同的顧客，則獎勵生日相同的顧客紅酒1瓶．假設(shè)每個隨機來訪的顧客的出生日期都是相互獨立的，并且每個人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在遠小于365時，近似地，，其中．如果要保證直播間至少兩個人的生日在同一天的概率不小于，那么來到直播間的人數(shù)最少應(yīng)該為（

）A．21 B．22 C．23 D．248．函數(shù)在區(qū)間上所有零點的和等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最小值為10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象D．若，則11．關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．對任意的，B．對任意的，C．函數(shù)的最小值為D．若存在使得不等式成立，則實數(shù)a的最大值為第II卷（非選擇題共92分）注意事項：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．（2）本部分共8個小題，共92分．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12．已知函數(shù)，則在處的切線方程為.13．已知函數(shù)，且，則的值為．14．已知二次函數(shù)，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)．(1)求曲線的對稱軸；(2)已知，，求的值．16．設(shè)函數(shù)，其中．(1)若，且對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，，都有，求實數(shù)的取值范圍．17．已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)若，令，求數(shù)列的前項和．18．已知，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)當時，若滿足，求證.19．已知正整數(shù)，集合，，，，，，2，，．對于中的元素，，，，，，定義．令．(1)直接寫出的兩個元素及的元素個數(shù)；(2)已知，，，，滿足對任意，都有，求的最大值；(3)證明：對任意，，，，總存在，使得．1．C【分析】由根號內(nèi)大于等于，真數(shù)大于，計算即可得.【詳解】由題意得，解得，故其定義域為.故選：C.2．B【分析】由條件確定結(jié)合中的元素，由此可得集合的子集個數(shù).【詳解】因為，，所以，所以集合的子集個數(shù)為.故選：B.3．C【分析】分別求出兩個命題，得到遞推關(guān)系，最后得到充分性和必要性即可.【詳解】由，解得，由，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：C4．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可先得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計算即可.【詳解】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知.故選：B5．C【分析】舉反例即可判斷A，設(shè)，計算出和即可判斷B，設(shè)，，分別計算和即可判斷C，虛數(shù)不能比較大小，即可判斷D【詳解】對于A，當時，，但，故A錯誤，對于B，設(shè)，顯然，，故B錯誤，對于C，設(shè)，所以，所以，又所以，故C正確對于D選項，若，則虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤，故選：C6．D【分析】由函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】當時，，因為和都是減函數(shù)，所以在?∞,1上單調(diào)遞減，當時，，要使其在上單調(diào)遞減，則，所以，解得，故D正確.故選：D.7．C【分析】設(shè)人數(shù)為，根據(jù)古典概型概率公式求出“至少有兩個人在同一天生日”的概率，再進行化簡計算即可.【詳解】設(shè)直播間進來了個人，則這個人生日的可能性有種，這個人中任意兩個人都不在同一天生日的可能結(jié)果種數(shù)為，設(shè)“這個人中任意兩個不是同一天生日”，根據(jù)古典概型概率公式可得，則其對立事件“這個人中至少有兩個人的生日在同一天”的概率為.由題意：，從而，得，化簡得，即，故.故選：C.8．D【分析】根據(jù)y=fx在的零點，轉(zhuǎn)化為的圖象和函數(shù)的圖象在交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖象，可得到兩圖象關(guān)于直線對稱，且y=fx在上有8個交點，即可求出.【詳解】因為，令，則，則函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在交點的橫坐標，可得和的函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱，則交點也關(guān)于直線對稱，畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示.觀察圖象可知，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在上有8個交點，即有8個零點，且關(guān)于直線對稱，故所有零點的和為.故選：D9．BC【分析】利用特征值判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B，利用基本不等式判斷C，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，當時，故A錯誤；對于B，若，則，即，所以，故B正確；對于C，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，顯然，所以，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，因為，令，則，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，當且僅當時取等號，故D錯誤.故選：BC10．ACD【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可根據(jù)周期公式判斷A，根據(jù)整體法判斷B，根據(jù)函數(shù)圖象的平移判斷C，根據(jù)弦切互化以及二倍角公式即可求解D.【詳解】，對于A，的周期為，A正確，對于B，當，則，故B錯誤，對于C，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，故C正確，對于D，，則，故，故，D正確，故選：ACD11．ACD【分析】A：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可；B：利用特殊值法，進行判斷即可；C：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可；D：利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)特稱命題與它的否命題的真假關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)進行判斷即可.【詳解】A：設(shè)，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，即，所以有，即，所以本選項正確；B：，，顯然，所以本選項不正確；C：由，設(shè)當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，，因此當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，最小值為，因此本選項正確；D：命題：存在使得不等式成立，它的否命題為：，不等式恒成立，，構(gòu)造函數(shù)，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，函數(shù)有最小值，最小值為：，，當時，而，所以，當時，要想恒成立，只需恒成立當，，也成立，即成立，也就是成立，構(gòu)造新函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，函數(shù)有最大值，即，要想不等式恒成立，只需，當時，，而的值域為全體實數(shù)集，顯然不可能恒成立，因此當時，對于，不等式恒成立，因此當時，存在使得不等式成立，所以實數(shù)a的最大值為，因此本選項結(jié)論正確，故選：ACD關(guān)鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合存在性和任意性的定義是解題的關(guān)鍵.12．【分析】先求函數(shù)定義域，再用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，之后求出點坐標，點斜式解出切線方程并化為直線的一般式即可.【詳解】由題意知：，x∈0,+∞，則切線斜率，又，所以，所以在點處的切線方程為：，即.故答案為.13．【分析】由函數(shù)解析式可知，函數(shù)為奇函數(shù)，有，計算即可.【詳解】，令，函數(shù)定義域為R，∵，∴為奇函數(shù)，∴．則，．故-1014．【分析】本道題利用換元法，將題目所求式子轉(zhuǎn)化成二元線性規(guī)劃問題，結(jié)合數(shù)形思想，計算斜率范圍，得到z的范圍，即可．【詳解】結(jié)合題意,建立不等式組,得到,處理該不等式得到令,建立新不等式組得到,繪制可行域,得到可行域是畫虛線位置,處理目標函數(shù)轉(zhuǎn)化成直線可得,因而該直線過定點,因此該直線斜率介于1號和2號直線之間,,設(shè)該直線與曲線的切點為,斜率為,得到方程為,過定點,代入,解得,因而,解得A的坐標為,因而PA的斜率為,得到,解得,綜上所述,z的范圍為本道題考查了線性規(guī)劃以及過曲線切線斜率計算方法，難度較大．15．(1)(2)【分析】(1)先化簡的解析式，再根據(jù)對稱軸公式即可求解；(2)先代入函數(shù)求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)即可求解.【詳解】（1），，，由，得曲線的對稱軸為；（2）由題意可得，即，又，則，即，所以，故.16．(1)(2)【分析】（1）先求出，根據(jù)函數(shù)的對稱性知時，，故分類為和，分別得到，再根據(jù)可得；（2）“對任意的，，都有”等價于最大值與最小值之差不大于8，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對進行分類計算最大值最小值，即可.【詳解】（1）因為，所以在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)增，且對任意的，都有，若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．“對任意的，都有”等價于“在區(qū)間上，”．①當，即時，，，得，所以；②當，即時，，恒成立，故．綜上所述，，實數(shù)的取值范圍為區(qū)間．（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間0,4上的最大值為，最小值為，所以“對任意的，，都有”等價于“”．①當時，，，由，得，又，無解；②當時，，，由，得，因此；③當時，，，由，得，因此；④當時，，，由，得，無解，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為區(qū)間．17．(1)(2)(3)【分析】（1）由，，可求解，，利用等差數(shù)列通項公式求解即可；（2）由（1）知，，，利用等差數(shù)列求和公式求解即可；（3）由，，可知，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，，，所以；（3）因為，，所以，①，②，①-②得，所以.18．(1)極小值為0，無極大值.(2)(3)證明見解析【分析】（1）把代入函數(shù)中，并求出f′x，根據(jù)f′x的正負得到的單調(diào)性，進而求出的極值.（2）等價于與的圖象有兩個交點，求導(dǎo)得到函數(shù)y=gx的單調(diào)性和極值，畫出y=gx的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.（3）求出f′x，并得函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對?x求導(dǎo)證明即可.【詳解】（1）當時，，定義域為，求導(dǎo)可得，令，得，當時，f′x<0，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，f′x>0，函數(shù)在區(qū)間0,+所以y=fx在處取到極小值為0，無極大值.（2）方程，當時，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個不等實根，即與的圖象有2個交點，，當或時，，在區(qū)間和0,1上單調(diào)遞減，并且時，gx<0，當x∈0,1時，當時，，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，時，當時，取得最小值，，作出函數(shù)y=gx因此與有2個交點時，，故的取值范圍為.（3）證明：，由，得，當時，，當時，，所以函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當且僅當，即時，等號成立.所以函數(shù)?x在R由，可得，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即得證.19．(1)，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，20(2)4(3)證明見解析【分析】（1）由題意可確定，，，，中1的個數(shù)為3，結(jié)合組合知識，即可求得答案；（2）由題意可將原問題轉(zhuǎn)化為對任意，都有的元素個數(shù)最多幾個，結(jié)合引理得出相應(yīng)不等式，即可求出答案；（3）由題意知，，，共有個非空子集，記為，結(jié)合抽屜原理得存在兩個不同的，，，的非空子集，，，，，，，，，，有與奇偶性相同，繼而推出必存在一個，3，，，使得為奇數(shù)，結(jié)合，1，，即可證明結(jié)論.【詳解】（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，中6個分量中恰有3個1，的元素個數(shù)為．（2）對于的非空子集，，，，設(shè)，，，，，2，，，這里是的第個分量，定義，2，，，規(guī)定，0，，，設(shè)，，，，2，，，令，，，，，，，我們先證明引理：，2，，，．反證法：，2，，，，令，設(shè)，，，，滿足，其中，2，，，，，2，，，且，，，，這與矛盾，引理證畢，回到原題，由引理，解得，，1，1，0，0，，