2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上冊(cè)10月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷分和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘第I卷（選擇題，共58分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚，2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知直線的傾斜角為，則直線的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由直線方向向量求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的一個(gè)方向向量為，與其共線的有，故選：B2.已知平面的一個(gè)法向量，內(nèi)有一點(diǎn)，外有一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出在平面的法向量方向的投影向量的模即得．【詳解】由已知，點(diǎn)到平面的距離為，故選：C．3.已知直線與直線平行，則的值為（）A. B. C.或 D.或【正確答案】A【分析】根據(jù)條件有，得到或，再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，滿足題意，故選：A4.已知為空間的一組基底．則下列向量能構(gòu)成空間的一組基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量，利用向量共面的充要條件可判斷.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?所以三個(gè)向量共面，不能構(gòu)成一組基底；對(duì)于B，因?yàn)椋匀齻€(gè)向量共面，不能構(gòu)成一組基底；對(duì)于C，因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面，不能構(gòu)成一組基底；對(duì)于D，設(shè)三個(gè)向量共面，則，所以,不存在，所以三個(gè)向量不共面，能構(gòu)成一組基底.故選：D.5.已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法判斷【正確答案】C【分析】確定直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得直線與圓位置關(guān)系．【詳解】由已知直線過定點(diǎn)，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線與圓相交．故選：C．6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若上存在一點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，可求得的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)，即可求得答案，【詳解】由橢圓的定義可得，又，所以，在橢圓中，，所以，即，又，所以，所以該橢圓離心率取值范圍是.故選：B7.已知、、為平面向量，，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式求解．【詳解】已知是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，不妨設(shè)，，，又非零向量與的夾角為，則，故在直線上運(yùn)動(dòng)（除去原點(diǎn)），又向量滿足，則即，故在圓上運(yùn)動(dòng)，又到直線的距離為，則的最小值是．故選：A．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在直線上運(yùn)動(dòng)（除去原點(diǎn)），在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值的求解方法即可得解.8.若一條定直線與兩個(gè)平面所成角均為80°，則這兩個(gè)平面所成角的最大值為（）A.10° B.20° C.40° D.80°【正確答案】B【分析】考慮兩平面平行和不平行時(shí)，作出輔助線，找到線面角和面面角，表達(dá)出各邊長(zhǎng)，四邊形中，，所以，整理得到，結(jié)合，得到，從而，得到答案.【詳解】當(dāng)兩平面平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)夾角為，當(dāng)兩平面不平行時(shí)，如圖所示，兩個(gè)平面所成角，與相交于直線，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，因?yàn)椤停?，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，則，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，同理可得，其中，，，，，，，，故，，由于四邊形中，，其中，故，又，故，所以，其中，故，若，此時(shí)在內(nèi)，不合要求，故，所以，即，，其中，故，故，解得，綜上，，這兩個(gè)平面所成角的最大值為.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出輔助線，表達(dá)出各邊，四邊形中，，整理得到，結(jié)合的范圍，得到答案.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則下列說法中，正確的是（）A.的虛軸長(zhǎng)為6 B.的離心率為C.的漸近線方程為 D.點(diǎn)到的一條漸近線的距離為4【正確答案】AB【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算分析選項(xiàng)即可.【詳解】由雙曲線的方程可知其虛軸長(zhǎng)為，故A正確；離心率為，故B正確；令，即其漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；不妨設(shè)，則其到漸近線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知圓，圓，直線，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．下列說法中，正確的是（）A.圓與圓相交 B.直線過定點(diǎn)C.圓被直線截得的弦長(zhǎng)的最小值為 D.直線的方程為【正確答案】BCD【分析】由幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系即可判斷A；將化為，由即可求出直線過的定點(diǎn)判斷B；當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，由弦長(zhǎng)公式求解即可判斷C；則直線為過的圓與圓的公共弦，兩個(gè)方程相減即可判斷D.【詳解】，所以圓心，半徑，由圓，圓心，半徑，則兩圓心的距離，所以圓與圓內(nèi)含，故A錯(cuò)誤；，所以，即，所以，故，所以直線過定點(diǎn)為，故B正確；當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，則圓心到直線的距離為：，所以最小弦長(zhǎng)為：，故C正確；過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則所在圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，所以所在圓的方程為：，則直線為圓與圓的公共弦，與圓兩式相減得：，故D正確；故選：BCD11.如圖，在四棱錐中，平面，≌，且，，．為的中點(diǎn)，、分別為棱、上的動(dòng)點(diǎn)．下列說法中，正確的是（）A.四棱錐的外接球表面積為B.若平面，則C.若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，則、、、四點(diǎn)共面D.若平面，則【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到為四棱錐的外接球球心，從而求出外接球半徑和表面積；B選項(xiàng)，由線面垂直得到，求出各邊長(zhǎng)，在中，由余弦定理得，求出；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，兩者平行，故四點(diǎn)共面；D選項(xiàng)，由線面平行性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而推出⊥平面，，由B選項(xiàng)知，，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，≌，且，故，則四邊形的外接圓圓心為，連接，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以，即為四棱錐的外接球球心，又，故外接球半徑，外接球表面積為，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，由勾股定理得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由勾股定理得，且，在中，由余弦定理得，在Rt中，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，故，，所以若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，則、、、四點(diǎn)共面，C正確；D選項(xiàng)，平面，平面，且平面平面，所以，由對(duì)稱性可知⊥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，故⊥，因?yàn)?，由三線合一得⊥，又為平面的兩條相交線，故⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以，由B選項(xiàng)知，，D正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：幾何體外接球問題，通常要找到幾何體的一個(gè)特殊平面，利用正弦定理或幾何性質(zhì)找到其外心，求出外接圓的半徑，進(jìn)而找到球心的位置，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，再求解外接球表面積或體積.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）》注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.直線在軸上的截距為________．【正確答案】【分析】在直線方程中令即可求解.【詳解】令，則，解得，即直線在軸上的截距為，故13.已知、為橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，且直線的方程為，則中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率為________．【正確答案】##【分析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1則，，又點(diǎn)、為橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，則，兩式做差可得，即，代入，，則，即，又直線的方程為，即，所以，故答案為.14.已知反比例函數(shù)可由等軸雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若三個(gè)頂點(diǎn)均在雙曲線上，則垂心的軌跡方程是________．（三角形三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為垂心）【正確答案】【分析】設(shè)垂心坐標(biāo)為，且三個(gè)頂點(diǎn)都在等軸雙曲線上，即，再計(jì)算邊的垂線方程，并求垂心的坐標(biāo)，可得垂心的橫縱坐標(biāo)的乘積為，即垂心的軌跡方程就是等軸雙曲線本身.【詳解】等軸雙曲線上三點(diǎn)的垂心的軌跡方程就是等軸雙曲線本身.證明如下：由題意，反比例函數(shù)可由等軸雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故證明采用反比例函數(shù).設(shè)垂心的坐標(biāo)為，且三個(gè)頂點(diǎn)都在等軸雙曲線上，設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以直線的方程為，即，因?yàn)?即，所以直線的方程為，同理由,即，所以直線的方程為，所以由，解得的垂心坐標(biāo)為，即垂心的橫縱坐標(biāo)的乘積為，所以垂心的軌跡方程就是原來的等軸雙曲線本身.故答案為.四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，在平行六面體，中，，，，，為中點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求與夾角的余弦值．【正確答案】（1）3（2）【分析】（1）設(shè)，，．由，利用向量法能求出的長(zhǎng)．（2）由空間向量夾角公式求出與所成角的余弦值．【小問1詳解】設(shè)，，，由已知，，則，，，又，．【小問2詳解】，則，.16.已知，兩個(gè)定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）當(dāng)?shù)耐饨訄A與直線相切時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，設(shè)圓心坐標(biāo)為點(diǎn)然后根據(jù)，即可求解.【小問1詳解】如圖，設(shè)直線分別與軸交于點(diǎn)則連結(jié)并延長(zhǎng)至，使，并過點(diǎn)，作軸于點(diǎn).因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，，即則【小問2詳解】因?yàn)榈耐饨訄A過點(diǎn)，則設(shè)圓心一定在直線x=2上，設(shè)圓心為點(diǎn)連結(jié)，則，所以，所以直線，即聯(lián)立，得，即，又因?yàn)樗?，解得或，?dāng)時(shí)，，圓心，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)時(shí)，，圓心，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.如圖，已知四邊形為等腰梯形，且，，，．為中點(diǎn)，將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．取中點(diǎn)，連接、．（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，結(jié)合題意可得，進(jìn)而得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，，從而求證；（2）結(jié)合題設(shè)可得，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危裕?又為中點(diǎn)，，，所以四邊形為平行四邊形，則，，即，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，即為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，則，又，所以，即，因?yàn)?，且平面，所以平?【小問2詳解】由（1）知，為等邊三角形，，所以，則，在中，，則，又，所以，則，因?yàn)槠矫?，，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為．18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與直線交于點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，直線、分別交軸于點(diǎn)、，證明：為的中點(diǎn)．【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)斜率公式以及點(diǎn)在橢圓上，聯(lián)立方程可得，即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理且，進(jìn)而可得，，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線，的方程，即可得到的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入化簡(jiǎn)即可求解.【小問1詳解】由題意可得，故，解得，故橢圓的方程為【小問2詳解】由于，故在橢圓外，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，設(shè),則且，聯(lián)立直線與可得，故，則，故直線的方程為，令，則，故直線的方程為，令，則，故,故而，故為的中點(diǎn).方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定值的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)關(guān)系式，再代入化簡(jiǎn).19.如圖，以原點(diǎn)為圓心，為半徑分別作兩個(gè)同心圓，設(shè)為大圓上任一點(diǎn)，連接，與小圓交于點(diǎn)．過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．設(shè)以為始邊，為終邊的角為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．由于點(diǎn)均在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有：．當(dāng)半徑繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了橢圓的軌跡，因此我們把（為參數(shù)）叫做橢圓的參數(shù)方程．（1）已知橢圓上有不同兩點(diǎn)、，試寫出橢圓的參數(shù)方程，并利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最大值；（參考公式：若、，則．）（2）如圖，已知在三棱錐中，，，，且，，試?yán)脵E圓的參數(shù)方程求銳二面角余弦值的最小值．【正確答案】（1）橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），面積的最大值為（2）【分析】（1）根據(jù)題設(shè)即可得橢圓的參數(shù)方程，設(shè)，其中，再利用，即可求解；（2）作于，連接，根據(jù)條件，可得二面角的平面角為，再根據(jù)條件得的軌跡方程，結(jié)合點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓方程為，則橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，其中，則，因?yàn)?，所以，所以，故面積的最大值為.【小問2