2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上冊中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、學(xué)號和姓名；座位號寫在指定位置；3．所必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷。選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．若橢圓上一點(diǎn)到橢圓的一個焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)到另外一個焦點(diǎn)的距離是A．6 B．7 C．8 D．92．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值是A．1 B．2 C．3 D．43．若直線的一個方向向量，則的傾斜角為A． B． C． D．4．已知圓與圓，則兩圓的公切線條數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．45．若直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為A． B．C． D．6．正方體中,二面角的余弦值為A． B．C． D．7．已知點(diǎn)為橢圓:的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．8．如圖，一束平行光線與地平面的夾角為，一直徑為24cm的籃球在這束光線的照射下，在地平面上形成的影子輪廓為橢圓，則此橢圓的離心率為A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．直線l經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是A． B． C． D．10．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有A． B．向量與的夾角的余弦值為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．向量在上的投影向量為11．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，底面，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得，則線段的長度可能值為A．3 B．4C．5 D．612．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓:中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓就稱為橢圓的蒙日圓，其圓方程為.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)均在橢圓上，直線：，則下列描述正確的為A．點(diǎn)與橢圓的蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為B．若上恰有一點(diǎn)滿足：過作橢圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的方程為C．若上任意一點(diǎn)都滿足，則D．若，橢圓的蒙日圓上存在點(diǎn)滿足，則面積的最大值為非選擇題部分三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．已知橢圓的一個焦點(diǎn)是，則的值為▲.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為▲.15．已知點(diǎn)分別為圓與圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的動點(diǎn)，則的最小值為▲.16．已知正方體的棱長為，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，若直線平面，則點(diǎn)的軌跡長度為▲.四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）已知直線和直線的交點(diǎn)為（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若點(diǎn)到直線距離為，求的值.18．（12分）如圖，直三棱柱，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求異面直線與所成角的余弦值；19．（12分）已知圓.（1）若直線過定點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）已知橢圓的離心率，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求證：直線與軸交于定點(diǎn).21．（12分）已知空間幾何體，底面為菱形，，，，，，平面平面，，.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（12分）已知橢圓，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，，為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若，求；（2）設(shè)直線和直線的斜率分別為，，且直線與線段交于點(diǎn)，求的取值范圍.

高二數(shù)學(xué)答案一、選擇題題號123456789101112選項(xiàng)BACCADBDACDBDBCDBD12．答案：由離心率且得：，的蒙日圓方程為：，對于選項(xiàng)A，由于原點(diǎn)到蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離都為，到橢圓上任意一點(diǎn)的距離最大值為，所以上任意一點(diǎn)與的蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，由蒙日圓的定義可知：直線與蒙日圓：相切，則圓心到直線的距離為，所以，則的方程為：，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，由蒙日圓的定義可知：點(diǎn)應(yīng)在蒙日圓外，所以直線與蒙日圓：相離，則圓心到直線的距離為，所以，選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D，橢圓的方程為：，蒙日圓方程為：，設(shè)，則，設(shè)，，則，，將代入方程中，則，，所以直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立：，得：，所以，，所以，又因?yàn)樵c(diǎn)到的距離為，所以，設(shè)，則，選項(xiàng)D正確.二、填空題13．114．15．716．三、解答題17．【正確答案】（1）聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)又所求直線與直線平行，所以所求直線的斜率為，（3分）則所求的直線方程為：，即（5分）（2）點(diǎn)到的距離為解方程可得.（10分）18．【正確答案】（2）直三棱柱中，平面，平面，，又等腰中，點(diǎn)為得中點(diǎn)，，（9分）又，平面，又平面，平面平面.（6分）（1）法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，（9分）設(shè)異面直線與所成角為，.（12分）法二：取中點(diǎn)，連結(jié)，，易知，所以即為異面直線與所成角，設(shè)為（3分）由題意可知，，，所以，由余弦定理可知.（12分）19．【正確答案】（1）已知圓心，半徑，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直，即，圓心到直線的距離為，解方程可得，此時直線方程為，整理得.（3分）當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，滿足題意.所以直線的方程為和。（5分）（2）直線的方程可化為點(diǎn)斜式，所以l過定點(diǎn).又點(diǎn)在圓C內(nèi)，當(dāng)直線l與直線垂直時，直線l被圓截得的弦最小.因?yàn)?，所以l的斜率，所以l的方程為，即，（8分）因?yàn)?，，此時所以當(dāng)時，的最小值為.（12分）20．【正確答案】（1）可得，（2分）橢圓C的方程為：（4分）（2）設(shè)點(diǎn)，，則，直線的方程為，直線與橢圓聯(lián)立，消去，得，則，，，得（7分）由題意，直線的方程為，令，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以直線與軸交于定點(diǎn)（12分）21．【正確答案】（1）證明：平面平面，平面平面，，平面，又平面，.（4分）（2）平面，與平面所成角為，又，所以為正三角形，故.（6分）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，故可得點(diǎn)坐標(biāo)為所以，設(shè)平面得法向量為，又