高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第20講專題8-1向量的奔馳定理

專題81向量的奔馳定理TOC\o"13"\h\u題型1奔馳定理不需要變形 ②S?BOCS?ABC由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖像和奔馳定理的圖標(biāo)很相似，我們把它稱為奔馳定理.知識(shí)點(diǎn)二.奔馳定理的證明奔馳定理：是內(nèi)一點(diǎn)，且，則法一：證明過程：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：延長與邊相交于點(diǎn)則法二：延長OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O為△A1B1C1的重心.題型1奔馳定理不需要變形【方法總結(jié)】奔馳定理x【例題1】在ΔABC中，O為其內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足OA+OC+3OB=0A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3【答案】D【詳解】取AC中點(diǎn)M,則由OA+OC+3OB=0得2OM=?3OB【變式11】1．設(shè)點(diǎn)O在ΔABC的內(nèi)部，且2OA+3OB+4OCA．9 B．8 C．152 【答案】A【解析】延長OC到D，使得OD=2OC,以O(shè)A，OD為邊作平行四邊形OAED,對角線交點(diǎn)為F,OE交AC于H,證明OH=13BH，即得ΔAOC的面積是ΔABC面積的【詳解】延長OC到D，使得OD=2OC,因?yàn)?OA所以O(shè)A+以O(shè)A，OD為邊作平行四邊形OAED,對角線交點(diǎn)為F,OE交AC于H,因?yàn)镺D=2所以O(shè)E=?因?yàn)镺C:AE=1:2,所以O(shè)H:HE=1:2,所以3OH所以O(shè)H=所以ΔAOC的面積是ΔABC面積的13所以ΔAOC的面積為9.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的幾何運(yùn)算和數(shù)乘向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.【變式11】2．已知等邊△ABC邊長為4，O為其內(nèi)一點(diǎn)，且4OA+7OB+3OCA．437 B．637 C．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用向量的關(guān)系，求出△AOB與△ABC的面積關(guān)系即可求解.【詳解】∵4OA+7OB延長OB到點(diǎn)E，使得OE=74OB，分別以O(shè)A,OE為鄰邊作平行四邊形OAFE，則∴OD=411∴S△AOB故選:B.【變式11】3．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3PA+2PB+PCA．1:2 B．1:3 C．1:5 D．1:6【答案】D【分析】作AB，AC的中點(diǎn)，連接PD，PE，利用題中條件，化簡得到BC與PD的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D,E分別為AB，AC的中點(diǎn)，連接PD，PE，則PA+∵3PA∴2（故點(diǎn)P在DE上，∵3PA∴PC∴BC∴P到AB的距離等于C到AB的距離的16∴S△PAB:故選：D.【變式11】4．（2023·全國·專題練習(xí)）已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC,△AOC,△AOB的面積分別記為S1,S2,S3A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:6【答案】A【分析】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得tan∠BAC【詳解】O是△ABC則CP⊥AB,因此，S1S2于是得tan∠BAC又OA+2OB+3OC=則OC=?S1S3?OA?S2S所以tan∠BAC故選：A【變式11】5．（2023·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)P菱形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，若2PA+3PBA．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】設(shè)AB中點(diǎn)為E，BC中點(diǎn)為F，根據(jù)向量關(guān)系可得PF=?2【詳解】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為E，BC中點(diǎn)為F，因?yàn)?PA+3PB+PC即PF=?2則S△所以ABCD的面積與△PBC故選：B.【變式11】6．（2023春·高一單元測試）已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足OA+OB+OC=0，又【答案】1【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積定義和三角形面積公式可求得S△ABC，由已知關(guān)系式可知O為△ABC【詳解】∵AB?AC∴S∵OA+OB+OC=0，故答案為：1.題型2奔馳定理需要變形◆類型1點(diǎn)在三角形內(nèi)部【例題21】（2023春·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AM=14ABA．15 B．14 C．49【答案】A【分析】做出圖形，則兩三角形的面積比等于兩三角形高的比，轉(zhuǎn)化為AEAC【詳解】如圖所示，∵點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AM=以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADME，延長EM交BC與F，AE=則EF//所以S△故選：A【變式21】1．（2023春·江蘇宿遷·高一?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3AM－AB－AC＝0→A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5【答案】B【分析】由平面向量的加法結(jié)合已知可得M為AD的三等分點(diǎn)，然后由等高的三角形面積之比等于底邊之比可得.【詳解】如圖，D為BC邊的中點(diǎn)，則AD因?yàn)?AM－AB－AC＝所以3AM所以AM所以S△故選：B【變式21】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)P滿足AB+AC=4AP【答案】14/【分析】由平面向量的加法法則可得到P點(diǎn)的位置，再用面積公示，即可得到面積的比值.【詳解】取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，如圖所示，因?yàn)锳B+AC=4AP，即AB+AC=2AD=4故答案為：1【變式21】3．（2023春·吉林·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，點(diǎn)P滿足OP=A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2【答案】D【分析】利用重心的性質(zhì)和已知線性關(guān)系可得2OP【詳解】由O是△ABC的重心，得OA+OB+則OB+OC=6所以點(diǎn)P為OA中點(diǎn)，即點(diǎn)P、點(diǎn)O為BC邊中線的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以S△ACO=所以△ACO與△CBP面積比為1:2.故選：D【變式21】4．（2023春·安徽六安·高一六安二中?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若AP=12ABA．32 B．3 C．13 【答案】D【分析】如圖，延長AP交BC于點(diǎn)D，設(shè)AD=λAP，則AD=λ【詳解】如圖，延長AP交BC于點(diǎn)D，設(shè)AD=λAP因?yàn)锽,所以λ2+λ所以AP=56則S△由AD=得35AD?所以BDCD所以S△所以S△故選：D.【變式21】5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且AP=25AB+1A．45 B．85 C．43【答案】D【分析】利用平行四邊形法則作出P，利用同底的三角形的面積等于高的比求出△ABP的面積與△ABC的面積之比，同理可得△ABQ的面積與△ABC的面積之比，從而即可求得【詳解】解：設(shè)AM=25∵AP=25AB+由平行四邊形法則知NP//∴△ABP的面積與△ABC的面積之比同理由AQ=14AB+23∴△ABP的面積與△ABQ的面積之比為故選：D．◆類型2點(diǎn)在三角形外部【例題22】（2022春·山東東營·高一廣饒一中?？茧A段練習(xí)）P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足:PA+PB+PC=2AB，△A．S1=4S2 B．S1=3【答案】B【分析】根據(jù)PA+PB+PC=2AB得出【詳解】解：由題意得：∵∴3∴AP∥BC設(shè)AP與BC的距離為?∵又∵∴故選：B【變式22】（2022春·河南濮陽·高一統(tǒng)考期中）P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，滿足PA+PB+PC【答案】12【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的法則及向量的共線定理，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)镻A+PB+PC=2AB，所以因?yàn)?|AP|=|BC所以S△ABCS所以△ABC的面積為12故答案為：12.◆類型3點(diǎn)在三角形邊上【例題23】（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若AP=35ABA．3:1 B．2:3 C．1:3 D．1:2【答案】B【分析】先依據(jù)共線向量幾何意義判斷出點(diǎn)P的位置，再去求△ABP與△【詳解】由AP可得PC=3則△ABP與△ACP的面積之比等于BP故選：B【變式23】1．（2022春·山東菏澤·高一校考期中）在△ABC中，△ABC的面積為3，若AD=A．35 B．34 C．33【答案】D【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可得BD,DC的關(guān)系，然后可得三角形△ABD【詳解】因?yàn)锳D=14AB所以BD所以S故選：D【變式23】2．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，滿足PA+PB+4【答案】1∶2【分析】利用平行向量，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，分析出點(diǎn)P在AC邊上，且AP=2PC，進(jìn)而求解出△PBC與△PAB的面積比.【詳解】PA+PB+4PC=故答案為：1∶2.題型3奔馳定理解決含參問題【例題3】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）△ABC所在平面上一點(diǎn)P滿足PA+PC=mAB(A．6 B．9 C．12 D．24【答案】C【分析】由已知中P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA+PC=mAB，我們根據(jù)向量加法的三角形法則可得mAB【詳解】取AC的中點(diǎn)O，則∵PA+PC=m∴m∴C故S△故選：C.【變式31】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a=3，b=2，c=4，若aOA+bOB+cOC=0，過O作直線l分別交AB、AC(不與端點(diǎn)重合)于A．56 B．13 C．43【答案】D【分析】根據(jù)△PAO與△QAO的面積之比為32可得OP=?3【詳解】因?yàn)椤鱌AO與△QAO的面積之比為32，易得OP=?32OQ.故2OA+λAB+3故選：D【變式31】2．（2022秋·江蘇南京·高三南京市第十三中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，D是直線AB上的點(diǎn).若2BD=CB+λCA，記△ACB的面積為A．λ6 B．λ2 C．13【答案】D【分析】將CA和CB設(shè)為基底，將BD用基底表示出來，即可算出點(diǎn)D的位置.【詳解】依題意作上圖，設(shè)BD=由條件BD=∴μ=?12，λ∴點(diǎn)D在AB的延長線上，并且AD=∴S1故選：D.【變式31】3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且OA=mOB+nOCm,【答案】3【分析】分別在邊AC,BC上取點(diǎn)D,E，使得AD=35【詳解】如圖，分別在邊AC,BC上取點(diǎn)D,由AD=35AC,又因?yàn)镾2S1=S則OD=因?yàn)镺,D,E三點(diǎn)共線，所以所以O(shè)A=因?yàn)镺A=mOB+n故答案為：3.【變式31】4．（2023春·黑