高中數(shù)學講義（人教B版2019選擇性必修二）第10講421隨機變量及其與事件的聯(lián)系

4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系TOC\o"13"\h\u題型1隨機變量的判斷 2題型2判斷隨機試驗中的隨機變量 6題型3離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)分 13知識點一.隨機變量的概念概念：一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數(shù)值與之對應，就稱X為一個隨機變量表示：隨機變量一般用大寫英文字母X，Y，Z，…或小寫希臘字母ξ，η，…表示取值：隨機變量的取值由隨機試驗的結(jié)果決定取值范圍：隨機變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍分類：離散型隨機變量：隨機變量的所有可能取值可以一一列舉出來連續(xù)型隨機變量：隨機變量的取值范圍包含一個區(qū)間，不能一一列舉出來注意：隨機變量每取一個確定的值對應著試驗的不同結(jié)果，試驗的結(jié)果對應著隨機變量的值，即隨機變量的取值實質(zhì)上是試驗結(jié)果所對應的數(shù).注意：在引入了隨機變量之后，可以利用隨機變量來表示事件.知識點二.隨機變量與事件的關系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數(shù)，那么X=a，X≤b，X>b等都表示事件，而且（1）當a≠b時，事件X=a與X=b互斥（2）事件X≤a與X>a相互對立，因此P（X<a）+P（X>a）=1.注意：在用隨機變量表示事件及事件的概率時，有時可不寫出樣本空間.知識點三.離散型隨機變量定義∶取值為有限個或可以一一列舉出來的隨機變量.注意：離散型隨機變量的取值可以是有限個，例如取值為1，2，…，n；也可以是無限個，如取值為1，2，…，n，…離散型隨機變量的特征∶（1）可用數(shù)值表示；（2）試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；（3）試驗之前不能確定取何值；（4）試驗結(jié)果能一一列出.2.連續(xù)型隨機變量∶與離散型隨機變量對應的是連續(xù)型隨機變量，一般來說，連續(xù)型隨機變量的取值范圍包含一個區(qū)間.知識點四.隨機變量之間的關系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是實數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機變量.由于X=t的充要條件是Y=at+b，因此P（X=t）=P（Y=at+b）.題型1隨機變量的判斷【方法總結(jié)】方法技巧（1）隨機試驗的結(jié)果具有可變性，即每次試驗對應的結(jié)果不盡相同；（2）隨機試驗的結(jié)果具有確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.【例題1】（2021·浙江浙江·）設在30件產(chǎn)品中有3件是次品，其中A表示“隨機地抽取1件是次品”，B表示“隨機地抽取4件都是次品”，則A是__________事件，B是__________事件.【答案】

隨機

不可能【解析】結(jié)合隨機事件及不可能事件的概念即可得解.【詳解】解：隨機地抽取1件是次品是隨機事件；由于在30件產(chǎn)品中有3件是次品，所以隨機地抽取4件都是次品是不可能事件.故答案為：隨機；不可能.【點睛】本題考查了隨機事件及不可能事件的概念，屬基礎題.【變式11】1．（2022·陜西·渭南市華州區(qū)咸林中學高二期中（理））袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個球，下列選項中可以用隨機變量表示的是（

）．A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到球的個數(shù)【答案】C【分析】由隨機變量的含義可知.【詳解】選項A，B是隨機事件；選項D是定值2；選項C可能的取值為0，1，2，可以用隨機變量表示．故選：C．【變式11】2．（2022·全國·高二課時練習）從裝有2個白球、3個黑球的袋中任取2個小球，下列可以作為隨機變量的是（

）A．至多取到1個黑球 B．至少取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)隨機變量的定義，判斷選項.【詳解】根據(jù)隨機變量的定義可知，隨機變量的結(jié)果都可以數(shù)量化，不確定的，由實驗結(jié)果決定，滿足條件的只有C，取到白球的個數(shù)，可以是0，1，2.故選：C【變式11】3．（2021·全國·高二專題練習）一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機變量可能為（

）A．所取球的個數(shù)B．其中含紅球的個數(shù)C．所取白球與紅球的總數(shù)D．袋中球的總數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義逐一判斷四個選項的正誤，即可得正確選項.【詳解】對于A：所取球的個數(shù)為2個，是定值，故不是隨機變量，故選項A不正確；對于B：從中任取2個其中含紅球的個數(shù)為0,1,2是隨機變量，故選項B正確；對于C：所取白球與紅球的總數(shù)為2個，是定值，故不是隨機變量，故選項C不正確；對于D：袋中球的總數(shù)為7個，是定值，故不是隨機變量，故選項D不正確；故選：B.【變式11】4．（2022·全國·高二課時練習）袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（

）．A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)隨機變量的定義進行求解.【詳解】根據(jù)隨機變量的定義，選項B是隨機變量，其可能取值為0,1,2,其他三個選項均不能作為隨機變量.故選：B【變式11】5．（2021·全國·高二課時練習）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．隨機事件個數(shù)與隨機變量一一對應B．隨機變量與區(qū)間一一對應C．隨機變量的取值是實數(shù)D．隨機變量與自然數(shù)一一對應【答案】C【分析】根據(jù)隨機變量的定義直接得到答案.【詳解】根據(jù)隨機變量的定義知：隨機變量的取值是實數(shù)，C正確；隨機事件個數(shù)與隨機變量不一定是一一對應的，A錯誤；離散型隨機變量與區(qū)間不是一一對應的，B錯誤；連續(xù)型隨機變量與自然數(shù)不是一一對應，D錯誤.故選：C.【變式11】6．（2022·全國·）（多選）一副撲克牌共有54張牌，其中52張是正牌，另2張是副牌（大王和小王），從中任取4張，則隨機變量可能為（

）A．所取牌數(shù) B．所取正牌和大王的總數(shù)C．這副牌中正牌數(shù) D．取出的副牌的個數(shù)【答案】BD【分析】根據(jù)隨機變量的定義分析判斷即可.【詳解】對于A，所取牌數(shù)為4，是一個常數(shù)，不是隨機變量，所以A錯誤，對于B，4張牌中所取正牌和大王的總數(shù)可能為3，4，所以是隨機變量，所以B正確，對于C，這副牌中正牌數(shù)為52，是一個常數(shù)，不是隨機變量，所以C錯誤，對于D，4張牌中所取出的副牌的個數(shù)可能為0，1，2，所以是隨機變量，所以D正確，故選：BD【變式11】7．（2021·全國·高二課時練習）下列變量中，不是隨機變量的是________(填序號).①下一個交易日上證收盤指數(shù)；②標準大氣壓下冰水混合物的溫度；③明日上課某班(共50人)請假同學的人數(shù)；④小馬登錄QQ找小胡聊天，設X＝1,小胡在線0,小胡不在線【答案】②【分析】利用隨機變量的定義解答即可.【詳解】根據(jù)隨機變量的定義可知，①③④是隨機變量，標準大氣壓下冰水混合物的溫度為0°故答案為：②題型2判斷隨機試驗中的隨機變量【例題2】（2022·江蘇·）（多選）如果ξ是一個隨機變量，則下列命題中的真命題有A．ξ取每一個可能值的概率都是非負數(shù) B．ξ取所有可能值的概率之和是1C．ξ的取值與自然數(shù)一一對應 D．ξ的取值是實數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)隨機變量及其分布列性質(zhì)即可判斷.【詳解】根據(jù)概率性質(zhì)可得ξ取每一個可能值的概率都是非負數(shù)，所以A正確；ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B正確；ξ的取值是實數(shù)，不一定是自然數(shù)，所以C錯誤，D正確.故選：ABD【點睛】此題考查隨機變量概念辨析，需要數(shù)量掌握隨機變量及其分布列的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)辨析得解.【變式21】1．（2022·全國·高二課時練習）寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果.(1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1、2、3、4、5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)ξ；(2)某單位的某部在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）最大號碼數(shù)ξ可取3、4、5，分析可得試驗的結(jié)果；（2）呼叫次數(shù)η可取0、1、2、…、n，即得答案.(1)最大號碼數(shù)ξ可取3、4、5，ξ=3，表示取出的3個球的編號為：1、2、3ξ=4，表示取出的3個球的編號為：1、2、4或1、3、4或2、3、4ξ=5，表示取出的31、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5；(2)某部在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η可取0、1、2、…、n，n∈表示被呼叫i次，其中i=0、1、2【變式21】2．（2022·全國·）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則ξ=3A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出ξ=3【詳解】因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故ξ=3故選：D．【變式21】3．（2022·浙江省諸暨市第二高級中學）先后拋擲一個骰子兩次，記隨機變量ξ為兩次擲出的點數(shù)之和，則ξ的取值集合是（

）A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7}C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}【答案】D【分析】根據(jù)隨機變量ξ的確定其可能取值即可.【詳解】因為隨機變量ξ表示兩次擲出的點數(shù)之和，所以ξ的取值可能為：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，故選：D.【變式21】4．（2022·全國·）袋中裝有除顏色外其余均相同的10個紅球，5個黑球，每次任取一球，若取到黑球，則放入袋中，直到取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回4個球”的事件為（

）A．X=4 B．X=5 C．X=6【答案】B【分析】“放回4個球”也即是第5次抽取到了紅球，由此求得X的值.【詳解】根據(jù)題意可知，若取到黑球，則將黑球放回，然后繼續(xù)抽取，若取到紅球，則停止抽取，所以“放回4個球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了紅球，故X=5故選：B.【變式21】5．（2023·全國·）（多選）已知8件產(chǎn)品中有1件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機變量ξ，那么ξ的可能取值為（

）A．0 B．1 C．2 D．8【答案】AB【分析】由題可知取到次品的件數(shù)最少為0件，最多為1件，據(jù)此即可作答.【詳解】由題可知ξ的可能取值為0，1．故選：AB.【變式21】6．（2022·全國·高二課時練習）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則X≤1【答案】所選3人中至多有1名女生【分析】根據(jù)X≤1包含X=1或【詳解】X≤1包含兩種情況：X=1或故X≤1故答案為：所選3人中至多有1名女生.【變式21】7．（2022·全國·高二課時練習）用X表示10次射擊中命中目標的次數(shù)，分別說明下列集合所代表的隨機事件.(1)X=8(2)1<X(3)X≥1(4)X<1【答案】(1)表示10次射擊命中8次(2)表示10次射擊命中2次、3次、4次、5次、6次、7次、8次、9次(3)表示10次射擊命中不少于1次(4)表示10次射擊命中0次.【分析】（1）根據(jù)隨機事件的知識確定正確答案.（2）根據(jù)隨機事件的知識確定正確答案.（3）根據(jù)隨機事件的知識確定正確答案.（4）根據(jù)隨機事件的知識確定正確答案.(1)X=8表示10次射擊命中8(2)1<X≤9表示10次射擊命中2次、3次、4次、5次、6次、7次、8次、(3)X≥1表示10次射擊命中不少于1(4)X<1表示10次射擊命中0【變式21】8．（2021·全國·高二課時練習）下列隨機試驗的結(jié)果能否用隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之差；(2)某籃球運動員10次定點投籃中命中的次數(shù)；(3)早上6：00?7：00通過某路口的車輛數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意所得點數(shù)之差可以用隨機變量表示；（2）根據(jù)題意可得某籃球運動員10次定點投籃中命中的次數(shù)可以用隨機變量表示；（3）因為早上6：00?7：00通過某路口的車輛數(shù)為自然數(shù)，可以用隨機變量表示.（1）拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之差可以用隨機變量表示，隨機變量的可能取值為?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5，?5表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（1，6）；?4表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（1，5），（2，6）；?3表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（1，4），（2，5），（3，6）；?2表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（1，3），（2，4），（3，5），（4，6）；?1表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）；0表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）；1表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）；2表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（3，1），（4，2），（5，3），（6，4）；3表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（4，1），（5，2），（6，3）；4表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（5，1），（6，2）；5表示拋擲兩顆骰子的結(jié)果為（6，1）；（2）某籃球運動員10次定點投籃中命中的次數(shù)可以用隨機變量表示，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，0表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為0，1表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為1，2表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為2，3表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為3，4表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為4，5表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為5，6表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為6，7表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為7，8表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為8，9表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為9，10表示10次定點投籃中命中的次數(shù)為10，（3）因為早上6：00?7：00通過某路口的車輛數(shù)為自然數(shù)，可以用隨機變量表示，設隨機變量為X，則X的可能取值為自然數(shù)，X表示早上6：00?7：00通過某路口的車輛數(shù)為X輛.【變式21】9．（2021·北京·牛欄山一中）有5名運動員參加乒乓球比賽，每2名運動員都要賽1場并決出勝負.設第i位運動員共勝xi場，負yi場①x1②x1③x1④x1【答案】①②③【分析】共有C52=10場比賽，所有運動員勝的場數(shù)與負的場數(shù)相等，且為10場，即可判斷①③，然后x【詳解】共有5名運動員，每2名運動員都賽1場并決出勝負．故共有C5即x1對第i位運動員來說，共參加4場比賽，故xi所以：x1所以x1?x當每個運動員都勝兩場時，i=1而當?shù)谝幻\動員全輸?shù)诙\動員全贏且其它運動員各勝2場時．i=1故答案為：①②③題型3離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)分【方法總結(jié)】判斷離散型隨機變量的方法明確隨機試驗的所有可能結(jié)果.（2）將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化.（3）確定試驗結(jié)果所對應的實數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是.【例題3】（2022·全國·高二課時練習）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽的總次數(shù)為X；③一天之內(nèi)的溫度為X；④一射手對目標進行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問題中的X是離散型隨機變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義：可列舉性判斷各項描述是否為離散隨機變量即可.【詳解】①大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是可一一列舉，②客服一天內(nèi)接聽的總次數(shù)是可一一列舉，③一天之內(nèi)的溫度是連續(xù)型變量，④一次射擊中的得分是可一一列舉，由離散隨機變量的定義知：①②④.故選：B【變式31】1．（2022·山東·高二階段練習）下列X是離散型隨機變量的是（

）①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；②在一段時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.【詳解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一個范圍.不能一一列舉出來，故選：B.【變式31】2．（2022·全國·）（多選）下列隨機變量是離散型隨機變量的是（

）A．某景點一天的游客數(shù)XB．某尋呼臺一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)XC．水文站觀測到江水的水位數(shù)XD．某收費站一天內(nèi)通過的汽車車輛數(shù)X【答案】ABD【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義，結(jié)合選項，即可判斷和選擇.【詳解】對四個選項，游客數(shù)、尋呼次數(shù)、汽車車輛數(shù)的取值都是隨機的整數(shù)，滿足題意；但水位數(shù)是實數(shù)，不是離散型隨機變量，不滿足題意.故選：ABD.【變式31】3．（2022·全國·）（多選）下列X是離散型隨機變量的是（

）A．某座大橋一天經(jīng)過的某品牌轎車的輛數(shù)為XB．某網(wǎng)站中某歌曲一天內(nèi)被點擊的次數(shù)為XC．一天內(nèi)的溫度為XD．射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分【答案】ABD【分析】根據(jù)離散型隨機變量的特征判斷即可.【詳解】ABD中的X都滿足離散型隨機變量的四個特征，而一天內(nèi)的溫度X變化的范圍是連續(xù)的，無法逐一列出，故C不是離散型隨機變量.故選：ABD．【變式31】4．（2022·福建三明·）(多選)下面是離散型隨機變量的是（

）A．某亭內(nèi)的一部1小時內(nèi)使用的次數(shù)記為XB．某人射擊2次，擊中目標的環(huán)數(shù)之和記為XC．測量一批電阻，在950Ω～1200Ω之間的阻值記為XD．一個在數(shù)軸上隨機運動的質(zhì)點，它在數(shù)軸上的位置記為X【答案】AB【分析】AB中的值是整數(shù)值，是可以列舉的，是離散型隨機變量，CD中的值是連續(xù)的實數(shù)值，是不能一一列舉的，是連續(xù)型隨機變量.【詳解】根據(jù)離散型隨機變量的定義知，A，B是離散型隨機變量．故選：AB.【點睛】本題考查離散型隨機變量的概念：它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個.【變式31】5．（2022·全國·）下列隨機變量中，不是離散型隨機變量的是_____.①某地車展中，預定各類汽車的總?cè)藬?shù)X；②北京故宮某周每天接待的游客人數(shù)；③正弦曲線上的點P到x軸的距離X；④小麥的畝產(chǎn)量X；⑤王老師在一次英語課上提問的學生人數(shù)X.【答案】③④【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義：其可能取到的不相同的值是有限個或可列為有限個，分析題干的變量可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)離散型隨機變量的定義：其可能取到的不相同的值是有限個或可列為有限個，即可以按一定次序一一列出；分析題干的變量可得①某地車展中，預定各類汽車的總?cè)藬?shù)X，符合定義，是離散型隨機變量；②北京故宮某周每天接待的游客人數(shù)，符合定義，是離散型隨機變量；③正弦曲線上的點P到x軸的距離X，無法一一列出，不符合定義，不是離散型隨機變量；④小麥的畝產(chǎn)量X，無法一一列出，不符合定義，不是離散型隨機變量；⑤王老師在一次英語課上提問的學生人數(shù)X，符合定義，是離散型隨機變量．故答案為：③④．【變式31】6．（2021·全國·高二課時練習）在某項體能測試中，跑1km時間不超過4min為優(yōu)秀．某同學跑1km所用時間為X．(1)X是不是隨機變量？(2)若只關心該同學能否取得優(yōu)秀成績，應該如何定義隨機變量？【答案】(1)是連續(xù)型隨機變量；(2)具體見解析.【分析】（1）