2020-2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：解直角三角形

第1頁/共1頁2020-2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編解直角三角形一、單選題1．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ABC中，，D，E分別為CB，AB上的點(diǎn)，，，若，則DE的長為（

）A． B．2 C． D．12．（2022·北京房山·一模）將寬為2cm的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕AB的長是()A．cm B．2cm C．4cm D．cm3．（2020·北京海淀·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR邊上的線段，點(diǎn)M在其中某條線段上，若射線OM與x軸正半軸的夾角為α，且sinα＞cosα，則點(diǎn)M所在的線段可以是（）A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH二、填空題4．（2022·北京門頭溝·一模）京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，是市民周末休閑的好去處．如圖，如果該摩天輪的直徑為88米，最高點(diǎn)距地面100米，勻速運(yùn)行一圈所需的時間是18分鐘．但受周邊建筑物影響，如果乘客與地面距離不低于34米時為最佳觀景期，那么在摩天輪運(yùn)行的一圈中最佳觀景的時長為________分鐘．

5．（2021·北京石景山·一模）如圖，小石同學(xué)在兩點(diǎn)分別測得某建筑物上條幅兩端兩點(diǎn)的仰角均為，若點(diǎn)在同一直線上，兩點(diǎn)間距離為3米，則條幅的高為_________米（結(jié)果可以保留根號）6．（2021·北京·一模）如圖所示，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則的值是______．7．（2020·北京·一模）為做好疫情宣傳巡查工作，各地積極借助科技手段加大防控力度．如圖，亮亮在外出期間被無人機(jī)隔空喊話“戴上口罩，趕緊回家”．據(jù)測量，無人機(jī)與亮亮的水平距離是15米，當(dāng)他抬頭仰視無人機(jī)時，仰角恰好為，若亮亮身高1.70米，則無人機(jī)距離地面的高度約為________米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）8．（2020·北京順義·一模）如圖，在量角器的圓心O處下掛一鉛錘，制作了一個簡易測傾儀．量角器的0刻度線AB對準(zhǔn)樓頂時，鉛垂線對應(yīng)的讀數(shù)是50o，則此時觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是_____．三、解答題9．（2022·北京豐臺·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，點(diǎn)E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．(1)求證：四邊形ABED為菱形；(2)連接BD，交AE于點(diǎn)O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的長．10．（2022·北京房山·一模）如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P，Q兩點(diǎn)（Q在P，H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ·PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，C，D．①過點(diǎn)E作垂直于y軸的直線m﹐則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_____________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為，求⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy、中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)N（–1，0）是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，直接寫出直線l的函數(shù)解析式．11．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．12．（2022·北京順義·一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，垂足為O，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的長．13．（2021·北京東城·一模）已知，點(diǎn)B為邊AM上一個定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接．點(diǎn)A關(guān)于直線BQ的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接．（1）如下圖，若P為線段AB的中點(diǎn)．①直接寫出的度數(shù)；②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；（2）如下圖，若線段CP與BQ交于點(diǎn)D．①設(shè)，求的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．14．（2021·北京通州·一模）已知點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)．將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段；再將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段；連接，取中點(diǎn)M，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P不在線段上，寫出線段與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．15．（2021·北京石景山·一模）如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，則的長為________；菱形的面積為_______．16．（2021·北京大興·一模）如圖，等邊中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)D，連接，作于點(diǎn)E．（1）若，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出的度數(shù)；（2）如圖2，若，①求證：；②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．17．（2021·北京順義·一模）如圖，等腰三角形中，，于點(diǎn)D，．（1）求出的大小（用含的式子表示）；（2）延長至點(diǎn)E，使，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2021·北京西城·一模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在的延長線上，．CD的中點(diǎn)為F，的中點(diǎn)為G，連接，．（1）求證：四邊形為菱形；（2）連接，若，，求的長．19．（2020·北京平谷·一模）△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，將線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到線段AD．作射線BD，點(diǎn)C關(guān)于射線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E．連接AE，CE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）若α＝20°，直接寫出∠AEC的度數(shù)；（3）寫出一個α的值，使AE＝時，線段CE的長為﹣1，并證明．20．（2020·北京通州·一模）已知線段，過點(diǎn)的射線．在射線上截取線段，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)．以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點(diǎn)為的對應(yīng)點(diǎn)為．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)不是中點(diǎn)時，①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；②證明：以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．(2)連接，若，從下列3個條件中選擇1個：①，②，③，當(dāng)條件______(填入序號)滿足時，一定有，并證明這個結(jié)論．21．（2020·北京西城·一模）如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA=OB，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：ABCD是矩形；（2）若AD=，cos∠ABE=，求AC的長．

參考答案1．D【分析】先根據(jù)三邊長判斷各角的度數(shù)，然后利用等腰三角形“三線合一”求出，再，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DE的長．【詳解】解：△ABC中，，，，，，，，，，，，，，，又，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)特殊三角函數(shù)值求解度，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形三邊確定三角形各角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．2．A【分析】由圖中條件可知紙片重疊部分的三角形ABO是等邊三角形，此三角形的高是AM=2，求邊長，利用銳角三角函數(shù)可求．【詳解】解：如圖，作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足為M、N，∵長方形紙條的寬為2cm，∴AM=BN=2cm，∴OB=OA，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，在Rt△ABN中，AB===cm．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定及解直角三角形的運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知推出等邊三角形ABO，有一定難度．3．D【分析】如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時，連接OM．根據(jù)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的定義判斷sinα，cosα的大小．當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，作MJ⊥OP于J．判斷sinα，cosα的大小即可解決問題．【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時，連接OM．∵sinα=，cosα=，OP＞PM，∴sinα＜cosα，同法可證，點(diǎn)M在CD上時，sinα＜cosα，如圖，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，作MJ⊥OP于J．∵sinα=，cosα=，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可證，點(diǎn)M在GH上時，sinα＞cosα，故選：D．【點(diǎn)睛】考查了正方形的性質(zhì)和解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．4．12【分析】先計算出圓的底端距離地面的距離為12，從而得到圓的底部到弦的距離為22，從而計算出弦所對的圓心角，用弧長公式計算劣弧的長，周長減去劣弧的長得到最佳觀賞路徑長，除以運(yùn)動速度即可．【詳解】解：如下圖所示，根據(jù)題意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圓轉(zhuǎn)動的速度為，∴最佳觀賞時長為÷=12（分鐘），故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧長公式，特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)．5．3【分析】過點(diǎn)C作CE∥AB，交BD于點(diǎn)E，可得四邊形ABEC是平行四邊形，在直角中，利用銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】過點(diǎn)C作CE∥AB，交BD于點(diǎn)E，∵小石同學(xué)在兩點(diǎn)分別測得某建筑物上條幅兩端兩點(diǎn)的仰角均為，∴∠CAO=∠DBO=60°，∴AC∥BD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴CE=AB=3，∠DEC=60°，∵BO⊥DO，∴EC⊥DO，∴在直角中，CD=EC×tan60°=3，故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．6．1【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解問題即可．【詳解】解：如圖，連接AB．∵AB=，OA=，OB=，∴，且AB=OA，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠AOB=∠MON=45°，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考常考題型．7．10.4【分析】根據(jù)題意可得，DE⊥BE，AB⊥BE，過點(diǎn)D作DC⊥AB于點(diǎn)C，所以四邊形DEBC是矩形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出AC的長，進(jìn)而可求出AB的長．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：DE⊥BE，AB⊥BE，過點(diǎn)D作DC⊥AB于點(diǎn)C，所以四邊形DEBC是矩形，∴BC=ED=1.70，DC=EB=15，在Rt△ACD中，∠ADC=30°，∴，即，解得AC=5，∴AB=AC+CB=5+1.70≈10.4（米）．答：無人機(jī)距離地面的高度約為10.4米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．8．40o【分析】過A點(diǎn)作AC⊥OC于C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠OAC，再根據(jù)仰角的定義即可求解．【詳解】解：過A點(diǎn)作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．∴此時觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是40°．故答案為40°．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，仰角是向上看的視線與水平線的夾角，解決本題關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形求∠OAC的度數(shù)．9．(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED為平行四邊形，再證一組鄰邊相等，可得結(jié)論；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)及解直角三角形求得BE及BD的長，再通過面積法求得CD的長．（1）證明：∵ADBC，ABDE，∴四邊形ABED為平行四邊形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴?ABED是菱形；（2）解：如圖，連接BD，∵四邊形ABED是菱形，∴AE⊥BD，AO=OE==3，OB=OD，∴sin∠DBE==，∴BE=5，∴，∴BD=2OB=8，∵∠DCB＝90°，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關(guān)鍵．10．(1)①D；10；②⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；(2)或【分析】（1）①根據(jù)題干中“遠(yuǎn)點(diǎn)”及“特征數(shù)”的定義直接作答即可；②過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)P、Q，首先判斷直線n也經(jīng)過點(diǎn)E（0，4），在中，利用三角函數(shù)求出∠EFO=60°，進(jìn)而求出PH的長，再根據(jù)“特征數(shù)”的定義計算即可；（2）連接NF并延長，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1,用待定系數(shù)法得到，再根據(jù)兩條直線互相垂直，兩個一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2,用待定系數(shù)法同理可得，消去b1和b2，得到關(guān)于m、n的方程組；根據(jù)⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，得出NA=，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線l的函數(shù)表達(dá)式．注意有兩種情況，不要遺漏．（1）解：（1）①⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)D，⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為=2×5=10；②如下圖：過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)P、Q，∵直線n的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)x=0時，y=4；當(dāng)y=0時，x=，∴直線n經(jīng)過點(diǎn)E（0，4），點(diǎn)F（，0），在中，∵===，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；（2）如下圖，∵點(diǎn)F是圓心，點(diǎn)是“遠(yuǎn)點(diǎn)”，∴連接NF并延長，則直線NF⊥直線l，設(shè)NF與直線l的交點(diǎn)為點(diǎn)A（m，n），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1（k≠0）,將點(diǎn)與A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直線NF⊥直線l，∴設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2（k≠0）,將點(diǎn)與A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥聯(lián)立方程③與方程⑥，得：解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；又∵⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，⊙F的半徑為，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；當(dāng)k=-1時，m=2，n=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），把點(diǎn)A（2，3）與點(diǎn)代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為；當(dāng)k=時，m=，n=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），把點(diǎn)A（，）與點(diǎn)代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為．∴直線l的解析式為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等，理解“遠(yuǎn)點(diǎn)”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式、兩條直線互相垂直的兩個一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB，進(jìn)而利用菱形的判定解答即可；(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)及面積公式，解直角三角形即可求得．（1）證明：，四邊形AEBO是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形，，四邊形AEBO是菱形（2）解：如圖：連接EO，交AB于點(diǎn)F四邊形ABCD是矩形，，又是等邊三角形，四邊形AEBO是菱形，四邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．12．(1)證明見解析(2)BC的長為【分析】（1）先判定，再根據(jù)題中所給的條件即可利用平行四邊形判定定理證出；（2）根據(jù)三角函數(shù)值設(shè)，，利用平行四邊形性質(zhì)得到平行及線段相等，從而根據(jù)確定的相似比代值求解即可．（1）證明：，，，，在四邊形ABCD中，，四邊形ACED是平行四邊形；（2）解：在中，，設(shè)，，在中，，，，，，即，解得（舍棄）或，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)①，②補(bǔ)圖見解析，，(2)①,②CD=PD+DQ；【分析】(1)①根據(jù)對稱可求△APQ為等邊三角形，根據(jù)中點(diǎn)可得BP=PQ，可求的度數(shù)；②依題意補(bǔ)全圖形即可，利用解直角三角形可判斷出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；(2)①連接CQ，根據(jù)對稱得到CQ=PQ，求出頂角∠CQP=即可；②在DC上截取DE=DQ，證△QCE≌△QPD，可得線段之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：(1)①∵，點(diǎn)P關(guān)于直線AN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴∠PAQ=2∠MAN=60°，AP=AQ，∴△APQ是等邊三角形，∴PQ=AP=BP，∠QPA=∠AQP=60°，∴；②補(bǔ)圖如圖所示：連接BC，由對稱得，BC=BA，∠CBP=2∠ABQ=60°，∴∠CBP=∠PAQ，∵BP=AQ，∴△CBP≌△BAQ，∴CP=BQ，，∵AP=AQ，∴；(2)①連接CQ，∵，由對稱可知，∠CQB=∠AQB=60°+，CQ=AQ=PQ，∴∠CQP=，∠CPQ=；②在DC上截取DE=DQ，由①得，∠CPQ＋＝60°，∴∠CDQ=∠CPQ＋＝60°，∴△DEQ是等邊三角形，∴QE=QD，∠EQD=60°，∵∠CQB=60°+，∴∠CQE=∠PQD=，∵QC=QP，QE=QD，∴△QCE≌△QPD，∴CE=PD，∴CD=CE+ED=PD+DQ；【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，關(guān)鍵全等三角形進(jìn)行推理證明．14．（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）通過證明為等邊三角形，即可證得；（2）關(guān)系為：；延長至點(diǎn)F，使得，連接AF，BC，F(xiàn)C，PC，通過證明，可得到是等邊三角形，即可得證．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)P在線段上，∴為等邊三角形，∴，∴，又∵，∴；（2）；證明如下：延長至點(diǎn)F，使得，，連接AF，BC，F(xiàn)C，PC，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識解題．15．（1）證明見解析；（2）2，．【分析】（1）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再證明CD=CF可證得結(jié)論；（2）連接EC、DF，相交于O，可先證明四邊形AFCE為平行四邊形得出EC，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角、菱形的對角線互相垂直和菱形的面積等于對角線乘積的一半可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，BC=AD，∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∴DE=CF．∴四邊形EFCD是平行四邊形．∵BC=2CD，∴CD=CF，∴平行四邊形EFCD是菱形．（2）連接EC、DF，相交于O，∵平行四邊形EFCD是菱形，，∴CE⊥DF，EC平分∠DEF，OE=OC，EF=DE，DF=2OD，∴，∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∵BC∥AD，∴四邊形AFCE為平行四邊形，∴，，∴，，∴，DF=2OD=2，．故答案為：2，．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和判定，解直角三角形．（1）中掌握菱形的判定定理是解題關(guān)鍵；（2）中掌握菱形的對角線互相平分和菱形的面積計算公式解題關(guān)鍵．16．（1）補(bǔ)圖見解析，20°，（2）①證明見解析，②，證明見解析，【分析】(1)根據(jù)題意畫圖，根據(jù)軸對稱得出∠AGC=90°，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求；(2)①類似（1）表示出即可；②作BH⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)H，證，得到之間的數(shù)量關(guān)系,再利用解直角三角形得出之間的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】(1)如圖所示，即是所補(bǔ)全圖；CD與直線的交點(diǎn)為G，由對稱可知，∠AGC=90°，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴；（2）①證明：由（1）得，∠BAC=60°，∠AGC=90°，,；由對稱可知，，,∴，，∴；②；作BH⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)H，由（2）得，∵,,∴,∴,由(2)可知，，，∴，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形，關(guān)鍵軸對稱得出角之間的關(guān)系和發(fā)現(xiàn)特殊角．17．（1），（2）①畫圖見解析，②BC=，證明見解析；【分析】(1)根據(jù)等邊對等角，求出∠B，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠DCB即可；(2)①依題意畫圖即可；②作AN⊥BC于N，EM⊥FB于M，證△ANC≌△CME，再求出∠F=45°即可．【詳解】解：(1)∵，∴∠B=∠ACB，∵，∴，∵，∴（2）①畫圖如圖所示：②BC=；作AN⊥BC于N，EM⊥FB于M，∵，∴，CN=BC，∴，∵，∠CNA=∠EMC=90°，∴△ANC≌△CME，∴CN=EM，∵，∴∠ACE=90°-α∵∴，∵∴∠F=45°，∴,∴BC=2EM=．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用45°角解決問題．18．（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意可知．

由三角形中位線性質(zhì)可知，即證明．再由即可證明，即四邊形為平行四邊形．最后由點(diǎn)F為DC中點(diǎn)，點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，，即可推出，即證明四邊形為菱形．（2）連接AG，設(shè)與的交點(diǎn)為O．由菱形的性質(zhì)可知，再根據(jù)題意即可求出．設(shè)，則．即，解出，即可求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，點(diǎn)E在的延長線上，∴．∵的中點(diǎn)為F，的中點(diǎn)為G，∴．∴．又∵，∴．∴，∴．∴四邊形為平行四邊形．∵．∴．∴四邊形為菱形．（2）如圖，連接AG，設(shè)與的交點(diǎn)為O．∵四邊形為菱形，∴．∵四邊形為平行四邊形，，∴，在中，．設(shè)，則，∴．解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．19．（1）見解析；（2）∠AEC＝135°；（3）α＝30°，證明見解析【分析】（1）作CF⊥BD并延長CF到E使EF＝CF，如圖1，（2）連結(jié)BE，如圖2，利用對稱的性質(zhì)得BE＝BC，則BC＝BE＝BA，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，由四邊形的內(nèi)角和可計算出∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°，進(jìn)而得到2（∠BEC+∠BEA）＝270°，即可證得∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°；（3）如圖2，先證明△AGE為等腰直角三角形，則AG＝GE＝1，當(dāng)α＝30°時，則∠EBC＝30°，進(jìn)而求得∠ACG＝30°，解直角三角形求得CG＝，即可證得CE＝CG﹣EG＝﹣1．【詳解】解：（1）如圖1，（2）∠AEC＝135°，證明：過A作AG⊥CE于G．連接AC、BE，如圖2，由題意，BC＝BE＝BA，∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°∵∠ABC＝90°，∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，（3）α＝30°，證明：∵∠AEC＝135°，∴∠AEG＝45°，∵AE＝，∴AG＝GE＝1，當(dāng)α＝30°時，∴∠EBC＝30°，∵BC＝BE，∴∠BCG＝75°，∵∠BCA＝45°，∴∠ACG＝30°，∴，∴．【