2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)圖象的性質(zhì)題復(fù)習(xí)講義

函數(shù)圖象的性質(zhì)題復(fù)習(xí)講義

中考中考查函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系的題型一般有兩種考查方式：

1.單獨(dú)考查函數(shù)系數(shù)對函數(shù)圖象的影響；

2.考查含有相同字母系數(shù)的兩個(gè)不同函數(shù)的圖象是否正確.

而這兩種考查方式都是建立在對函數(shù)解析式中字母系數(shù)對函數(shù)圖象的影響的充分理解和掌握的基礎(chǔ)上的，所以

解答的關(guān)鍵還是在于對函數(shù)知識的掌握程度，如二次函數(shù)的系數(shù)符號與其圖象的密切關(guān)系.同時(shí)，要善于用數(shù)形結(jié)合

的思想來思考問題.

解題策略一含有相同字母系數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象的判斷

解答該類型題目時(shí)一般有兩種策略：分類討論和逐項(xiàng)排除法.

1.分類討論：即把函數(shù)圖象中的相同的字母系數(shù)分為大于0、小于。兩種情況，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分

別畫出兩種情況下函數(shù)的大致圖象，然后與選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可；

2.逐項(xiàng)排除法：即對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證進(jìn)行排除，其基本方法是，先假定某一選項(xiàng)中“較簡單”的函數(shù)圖象是正

確的，然后由此推斷該函數(shù)的字母系數(shù)的符號（正還是負(fù)）,再利用該字母系數(shù)的范圍驗(yàn)證另外一個(gè)函數(shù)的圖象是否

符合，如果符合說明該選項(xiàng)的圖象都正確，如果不符合則該選項(xiàng)的函數(shù)圖象是錯(cuò)誤的.

精選例題

例已知反比例函數(shù)y=F的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2-2x和一次函數(shù)y=bx+a在同一平面直角坐

局解析

解析一：分類討論

由反比例函數(shù)圖象可知ab>0,故分a>0,b>0或者a<0,b<0兩種情況.

由二次函數(shù)y=ad—2無可知拋物線的圖象過原點(diǎn)，排除A選項(xiàng)；

如果a>0,b>0,則拋物線ax2-2比開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，一次函數(shù)圖象過一、二、三象限，排

除B、D,選項(xiàng)C正確；

如果a<0,b<0,則拋物線y=ax2-2%開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，一次函數(shù)圖象過二、三四象限，B、C、

D選項(xiàng)都錯(cuò)誤；

所以只有a>0,b>0,選項(xiàng)C正確，故選C.

解析二：逐項(xiàng)排除

A項(xiàng)，拋物線圖象不過原點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)面一次函數(shù)圖象過一、二、四象限，故a>0,b<0,ab<0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，假定一次函數(shù)圖象正確，由一次函數(shù)圖象過一、二、三象限，故a>0,b>0,此時(shí)拋物線y=a%2-2x的

圖象開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，故拋物線的圖象正確，且滿足ab>0,故C正確；

D項(xiàng)，假定一次函數(shù)圖象正確，由一次函數(shù)圖象過二、三、四象限，故a<0,b<0，滿足ab>0，此時(shí)拋物線y=ax2

-2x的圖象開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，故拋物線的圖象錯(cuò)誤，雖然滿足ab>0,但選項(xiàng)D依然錯(cuò)誤.

精選練習(xí)

1.已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b與y=（的圖象為（）.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù).y=ax+b和反比例函數(shù)y=（在同一平面直角坐

解題策略二二次函數(shù)字母系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系

二次函數(shù)yax2+bx+c（a*0）的系數(shù)符號與拋物線yax2+bx+c（a豐0）的圖象有著密切的關(guān)系.根據(jù)

拋物線的形狀可以判斷a,b,c的符號，反之a(chǎn),b,c的符號也可以確定拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）的大致開?

狀與位置.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的系數(shù)對函數(shù)圖象的影響一般有以下幾個(gè)方面：

La的正負(fù)決定拋物線的開口方向，|a|的大小決定拋物線開口的大小，|a|越大開口越??；

2.&=0,,即二次函數(shù)中不包含一次項(xiàng)，則對稱軸為y軸；

3.c為拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，c>0,,交點(diǎn)在y軸的正半軸上，c<0,,交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上；

4.a,b決定對稱軸的位置，a,b同號，對稱軸在y軸的左側(cè)，a,b異號，對稱軸在y軸的右側(cè)，對于結(jié)合圖

形判斷ma+nb=0（m,n是常數(shù),式子中不包含c）是否正確，則將原式化簡成-5=-2,然后與函數(shù)圖象中對稱軸

進(jìn)行比較，如果一致說明ma+nb=0正確,否則錯(cuò)誤；

5.千萬不要忘記拋物線的對稱性和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

6.判斷am2+bm+c>。（或<0）,可在函數(shù)圖象上畫出.x=mm（垂直于x軸）的直線，看該直線與拋物線的交

點(diǎn)在x軸的上方或下方即可；對于am+bn+c>0（或<0）類型的式子，則將題目中的已知坐標(biāo)代入進(jìn)行化簡，然后用同

一個(gè)字母表示另外兩個(gè)字母，最后進(jìn)行判斷；

7.—4ac的正負(fù)性是通過觀察圖象與x軸的交點(diǎn)來判斷的；

8.判斷aY+bx+c=ni是否有根，可在坐標(biāo)系中畫出.y=m,,看其與拋物線有幾個(gè)交點(diǎn)即可；

9.確定使得ax2+bx+c<0（>0）的x的范圍，常常先從圖象入手，觀察其在對應(yīng)方程兩根之間還是兩根之外.

精選例題

例1.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a/））的圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2,0）和（3,0）之

間,對稱軸是x=l.對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+bNm（am+b）（m為實(shí)數(shù)）;⑤當(dāng)-l<x<3時(shí)，y>0.其中正

確的是（）.

A.①②④B.①②⑤

C.②③④D.③④⑤

解析

本題給出了部分函數(shù)圖象、圖象的對稱軸及圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)范圍，所以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解答

比較合適.由拋物線的開口方向可判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸判

定b與0的關(guān)系以及2a+b=0；a+bNm(am+b)可轉(zhuǎn)化成am2+bm+c<a+b+c,即該函數(shù)在x=m處的函數(shù)值不大

于其在x=l處的函數(shù)值，也就是x=l時(shí)，該函數(shù)有最大值.由部分圖象可觀察出當(dāng)x取何值時(shí)y>0.

解①,：對稱軸在y軸右側(cè),，a、b異號,ab<0,故①正確；

②：對稱軸x=-^-=1,2a+b=0;故②正確；

2a

@2a+b=0,.1.b=-2a,.,.當(dāng)x=-l時(shí),y=a-b+c<0,；.a--(-2a)+c=3a+c<0,故③錯(cuò)誤；

④根據(jù)圖示知，當(dāng)m=l時(shí)，有最大值；當(dāng)m^l時(shí)，有am2+bm+c<a+b+c,所以a+b>m(am+b)(m為實(shí)數(shù)).

故④正確.

⑤如圖，當(dāng)-l<x<3時(shí),y不只是大于0.故⑤錯(cuò)誤.

故選A.

例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9a),下列結(jié)論:①4a+2b+c>0;

2

②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x--l)=--l有兩個(gè)根x1和x?，且x2,%i<9,貝-5<%i<x2<1;④若方程\ax+

bx+c\=1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為-4.其中正確的結(jié)論有(

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析

解析一：利用二次函數(shù)的性質(zhì),可知拋物線的對稱軸為x=-套將頂點(diǎn)坐標(biāo)(2-9a)代入對稱軸的關(guān)系式中，

可得到含a的式子，并可表示出b,c,從而將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)字母系數(shù)的解析式，然后進(jìn)行討論即可.

解析二：(①4a+2b+c=ax22+2b+c,在圖象上畫出直線x=2,看其與拋物線的交點(diǎn)位置即可；

②5a-b+c不滿足am2+bm+c類型，則通過對稱軸和(-2,-9a)把b,c都用a表示出來，然后進(jìn)行判斷，當(dāng)然

①也可以采用此種方法.

③化簡可得ax2+4ax-5a=-1,與②相結(jié)合，然后作出y=-l,觀察其與拋物線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍即可；

④把y=ax?+以+。在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，形成“W”型，然后作出y=l,觀察其與拋物線交點(diǎn)

橫坐標(biāo)，再利用拋物線的對稱性即可判斷.

解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2-9a),

--=-2,=-9a,b=4a,c=-5a,拋物線的解析式為y=ax2+4ax—5a,

2a4a/

4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正確.

5a--b+c=5a-4a-5a=-4a<0,故②錯(cuò)誤.

???拋物線y=a%?+4ax_5a交x軸于(-5,0),(1,0),拋物線y=。產(chǎn)+-5a與交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為xlfx2,

,若方程a(x+5)(%-1)=-1有兩個(gè)根.刈和冷，且%i<知如圖.

貝［J—5<X1<%2<1,

故③正確.

若方程\ax2+bx+c\—1有四個(gè)根，即ax2+4ax—5a+1=0或ax2+4ax—5a—1=0,則這四個(gè)根的和為

(_手)+(一7)=一8,故④錯(cuò)誤.

故選B.

精選練習(xí)

1.如圖，拋物線y=。必+人工+c(aW0)與x軸交于點(diǎn)(4,0),其對稱軸為直線%=L,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:

①ac<0;②4a-2b+c>0;③當(dāng).%>2時(shí)，y隨x的增大而增大；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=。有兩個(gè)不相

2.二次函數(shù)y=a%?+力％+。的圖象如圖所示，對稱軸是直線％=1.下列結(jié)論：①abc<0;@3a+c>0;(3)(a+c)2-

b2<0;@a+b<m(am+b)(m為實(shí)數(shù)).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為().

3.二次函數(shù)y=。必+人工+c(aW0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線.％=-1.下列結(jié)論不正確的是().

A.b2>4acB.abc>0C.a-c<0D.am2+bm>a—b（??i為任意實(shí)數(shù)）

精選練習(xí)

解題策略一

1.解析：先根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象確定a,b,c的符號，再判斷一次函數(shù)與反比例函數(shù)

的圖象所在的象限.

解:由二次函數(shù)的圖象可知,a<0,b>0,c<0.當(dāng)a<0,b>0,c<0時(shí),一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一、二、四象限；反比例函數(shù)

y=三立于第二、四象限，選項(xiàng)C符合.

故選C.

2.解：因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2+bx+c的圖象開口向上，得出a>0；圖象與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸，得出c>

0；利用對稱軸%=-^>0,得出b<0.所以一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)y=?至過一、三象

故選D.

解題策略二

1.解：拋物線開口向上，因此a>0,與y軸交于負(fù)半軸，因此c<0,故ac<0,所以①正確；

拋物線對稱軸為x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(4,0),則另一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0),于是有4a-2b+c=0,所以②不正確；

x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，所以③正確；

拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c^。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以

④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④，共