2024年中考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練：圖形規(guī)律+答案

2024年中考數(shù)學(xué)二輪探究性專題考前訓(xùn)練

圖形規(guī)律

一、選擇題

1.根據(jù)圖中箭頭的指向規(guī)律，從2022到2023再到2024,箭頭的方向是圖示中的

【答案】B

2.用圍棋子按下面的規(guī)律擺放圖形，則擺放第2023個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)是

A.4047B.6069C.6070D.6071

【答案】D

3.如果一個(gè)等腰三角形的頂角為36°,那么其底邊與腰之比等于且，

2

我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，在AABC中，AB=AC=LZ

A=36°,ZXABC看作第一個(gè)黃金三角形；作NABC的平分線BD,交AC于點(diǎn)D,△

BCD看作第二個(gè)黃金三角形；作NBCD的平分線CE,交BD于點(diǎn)E,ZXCDE看作第三

個(gè)黃金三角形；…以此類推，第2023個(gè)黃金三角形的腰長是（）

D

BC

A.（近T）2022B.（2^31）2021Q（3+弓2020D.（3+與2019

【答案】A

4.用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第1個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第2個(gè)圖案

中有5個(gè)圓圈，第3個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第4個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此

規(guī)律排列下去，則第7個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（）

OOO

OOOOO

OOO

OOOOOOOO…

OOO

①②③

④

A.14B.20C.23D.26

【答案】B

5.將一個(gè)正方形剪成n個(gè)小正方形，第一次操作按照圖1所示，分割出4個(gè)正方

形，第二次操作按如圖2所示，分割出6個(gè)正方形，第三次操作按如圖3所示，

按照上述規(guī)律，則第n次操作，正方形的個(gè)數(shù)為（）

圖1圖2圖3

A.(n+1)2B.3n+lC.2nD.2n+2

【答案】D

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形。4BC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

45°后得到正方形04當(dāng)?shù)?，依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到正方形

°“2023B2023c2023，那么點(diǎn)“2023的坐標(biāo)是（）

A.(1,0)B.(0,-1)C.婚，D.(—J,果

【答案】D

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4048的頂點(diǎn)。在原點(diǎn)上，。4邊在％軸的正半軸

上，軸，AB=1,408=30。，將△O4B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)

90°,則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(1,V3)B.(1,-V3)C.(-V3,1)D.(-1,V3)

【答案】D

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形4BCDEF的中心與原點(diǎn)。重

臺，ABII%軸，交y軸于點(diǎn)P.將AOZP繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第

2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(V3,-1)B.(-1,-V3)C.(-V3,1)D.(1,V3)

【答案】A

9.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個(gè)圖案有

4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，……，照此

規(guī)律，擺成第6個(gè)圖案需要的三角形個(gè)數(shù)是()

又MM1T小心......

第1個(gè)第2個(gè)籥3個(gè)第4個(gè)

A.19個(gè)B.22個(gè)C.25個(gè)D.26個(gè)

【答案】A

10.如圖，在矩形/為①中，/方=1,BC=2,連接NO,以對角線為邊，按逆時(shí)

針方向作矩形/陽4,使矩形矩形40；再連接/G,以對角線/G為邊,

按逆時(shí)針方向作矩形力GG4,使矩形/GG民s矩形//出，…，按照此規(guī)律作下

A.V5X(y)2022B.2X(1)2021c.V5X22022D.V5X(y)2021

【答案】A

二、填空題

11.如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，第一個(gè)圖形需要3個(gè)

黑色棋子，第二個(gè)圖形需要8個(gè)黑色棋子……，按照這樣的規(guī)律擺下去，第九

(n是正整數(shù))個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是(用含n的代數(shù)式表

示).

H第2個(gè)圖酎?oJ個(gè)留卜oK4個(gè)留影

【答案】n(n+2)

12.如圖，在正方形ABCBi中，AB=LAB與直線1的夾角為30°,延長CB1交直

線1于點(diǎn)Ai,作正方形ABCB,延長CB交直線1于點(diǎn)A2,作正方形AB2c2B3；延

長C2B3父直線1于點(diǎn)A3,…，依此規(guī)律，則A2023B2023=.

C2

心Ai.41A

【答案】(舊產(chǎn)23

13.如圖，在RtZkABC中，/C=90。，AC=2,BC=4,點(diǎn)N>PI分別在

AC.BC、ZB上，且四邊形MiCNiPi是正方形，點(diǎn)“2,電,P2分別在

PiM、BN1、BP1上，且四邊形M2N1N2P2是正方形...，點(diǎn)“九，N%七分別在

Pn-^n-rBNf,B4_］上，且四邊形匕是正方形，則線段

“2022。2022的長度是?

14.“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩

直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形

狀好似一棵樹而得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾

股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)

為________

【答案】127

15.如圖，等腰RtzkO4"2，0Ar=A1A2=1,以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3,

再以O(shè)A3為直角邊作Rt△0A3A4,以此規(guī)律作等腰RtA0A8A9,則^。&&的面

積是________

【答案】64

16.如圖，4,4,4,4,…An,4H是直線y=1+2上的點(diǎn)，分別過點(diǎn)4,4,

4,4,…4，4H作x軸的垂線，垂足分別為4,氏,6,B4,…Bn,勰已知如=

BB=&&=BA=…=BnB*=3連接4演瓦42和4笈，84,…4AH依次相交于點(diǎn)

Pi,P2,P+,…PN,△A1B1P1,XA2B2P2,△AAB^PA,,△4￡/呂的面積依次為S,S2,

￡,…際則S等于.

VA

r林案［(〉+4)2

L口木/4(2n+9)

三、實(shí)踐探究題

17.【觀察思考】

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

(1)【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空:

第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為.

(2)第1個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)可表示為詈，第2個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)可

表示為管，第3個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)可表示為等，第4個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)

可表示為等，……，第九個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)可表示為..

(3)【規(guī)律應(yīng)用】

結(jié)合圖案中的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n,使得連續(xù)的正整數(shù)之

和1+2+3+……+n等于第n個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)的2倍.

【答案】(1)3n

(2)n(n+l)

2

(3)n=ll

18.如圖，九+1個(gè)邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)AB24cl的

面積為Si，△/。2c2的面積為$2，的面積為％.

AC,GGGG

(1)【規(guī)律探究】:

探究一探究二探究三

?「△B]BzDi

C^AD^,VB2B3：AC2=1：2,VB3B4：AC3=1：3,

???B1D1：D1cl=??B2D2JD2c2=1：2,?e?B3D3：D3C3=1：3,

1：1,「?S2=_________，?*?^3=________，

*

??Si—_________?S2=_________?

Si=________?

(2)【結(jié)論歸納】

Sn=.(用含〃的式子表示)

【答案】(1)V3;也;V3;這；出

343

(2)回

n+1

19.【觀察思考】

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請用含"的式子填空：

(1)第九個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為;

(2)第1個(gè)圖案中“團(tuán)”的個(gè)數(shù)可表示為等，第2個(gè)圖案中“團(tuán)”的個(gè)數(shù)可表示

為黃，第3個(gè)圖案中“團(tuán)”的個(gè)數(shù)可表示為￡,第4個(gè)圖案中“團(tuán)”的個(gè)數(shù)可表示

為等，……，第九個(gè)圖案中“團(tuán)”的個(gè)數(shù)可表示為.

(3)【規(guī)律應(yīng)用】

結(jié)合圖案中“團(tuán)”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)人使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+

2+3+……+正等于第九個(gè)圖案中“的個(gè)數(shù)的2倍.

【答案】(1)3n

⑵九(九+i)

2

(3)解：由題意得：絲F=2x3n,

解得：n=11或71=0(不符合題意).

20.閱讀材料，解決問題.

相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們在沙灘上

畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1、3、6、10…，由于這些數(shù)可以用

圖中所示的三角點(diǎn)陣表示，他們就將每個(gè)三角點(diǎn)陣中所有的點(diǎn)數(shù)和稱為三角數(shù).

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第〃個(gè)

則第九個(gè)三角數(shù)可以用1+2+3+???■F(九一2)+(71-1)+71=叱+D()1>1且

為整數(shù))來表示.

(1)若三角數(shù)是55,則聯(lián)；

(2)把第n個(gè)三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2,4,6,…，2n,請用含

久的式子表示前九行所有點(diǎn)數(shù)的和；

(3)在(2)中的三角點(diǎn)陣中前幾行的點(diǎn)數(shù)的和能為120嗎?如果能，求出九，

如果不能，請說明理由.

【答案】(1)10

(2)解：由題意得：前九行所有點(diǎn)數(shù)的和為2+4+6+…+2(n—2)+2(n—

1)+2n

=2[1+2+3+???+(n-2)+(n-1)+n]

n(n+1)

=2x—2

=n(n+1)；

(3)解：不能，理由如下：

假設(shè)能為120,則n(n+1)=120.

即n2+n-120=0,

-1±V481

解得:n=

2

???Zl為正整數(shù),

???前幾行的點(diǎn)數(shù)和不能為120.

21.如圖，下列圖形是由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形按照一定規(guī)律擺放的

“L”形圖形，觀察圖形:

圖1圖2圖3

(1)按此規(guī)律，圖4中小正方形的數(shù)量是個(gè)；

(2)我們把圖1中小正方形個(gè)數(shù)記作的,圖2中小正方形圖個(gè)數(shù)記作a2,

圖71中小正方形個(gè)數(shù)記作%!，若的+a2+???+an=165,求九的值.

【答案】(1)11

(2)解：的+a2+???+an=5+7+9+???+(2n+3)="2早+5)=n2+4n

:.n2+4n=165,解得九=11

22.圖形規(guī)律

(1)第6個(gè)圖中梯形數(shù)為,第7個(gè)圖中梯形數(shù)為,第8個(gè)圖

中梯形數(shù)為，第9個(gè)圖中梯形數(shù)為；

(2)第(2九+2)個(gè)圖中梯形數(shù)與第(2九-1)個(gè)圖中梯形數(shù)的差為；

【答案】(1)12；16；20；25

(2)3n+2

23.為了提高動手操作能力，安徽某學(xué)校九年級學(xué)生利用課后服務(wù)時(shí)間進(jìn)行拼圖

大賽，他們用邊長相同的正方形和正三角形進(jìn)行拼接，賽后整理發(fā)現(xiàn)一組有規(guī)律

的圖案，如圖所示.

【觀察思考】

第1個(gè)圖案有4個(gè)正三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)正三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)

正三角形，…依此類推

秘科/欲松南.

第I個(gè)第2個(gè)

【規(guī)律總結(jié)】

（1）第5個(gè)圖案有個(gè)正三角形

（2）第n個(gè)圖案中有個(gè)正三角形，（用含n的代數(shù)式表示）

（3）【問題解決】

現(xiàn)有2023個(gè)正三角形，若按此規(guī)律拼第n個(gè)圖案，要求正三角形一次用完，則

該圖案需要正方形多少個(gè)？

【答案】（1）16

（2）（3n+l）

（3）解：令3九+1=2023,

解得九=674,

由圖形可以發(fā)現(xiàn)第n個(gè)圖形中有n個(gè)正方形，

???該圖案需要正方形674個(gè).

24.18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)

（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多

面體模型，解答下列問題.

正十二面體

四面體長方體IEA面體

（1）根據(jù)上面的多面體模型，直接寫出表格中的m,n的值，則

m=，n=.

多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體446

長方體m612

正八面體n812

正十二面體201230

(2)你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式

是.

(3)一個(gè)多面體的面數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)，且這個(gè)多面體有30條棱，求這個(gè)多面體

的面數(shù).

【答案】⑴8；6

(2)V+F-E=2

(3)解：由題意得：F+F-30=2,

解得F=16,

，這個(gè)多面體的面數(shù)為16.

25.

(1)觀察圖1所示的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，并在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等

式.

???

?????????

???

①②④

①1=1;

②1+2==3；

③1+2+3=U-=6；

④;

(2)結(jié)合⑴觀察圖2所示的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，并在⑤后面的橫線上寫出

相應(yīng)的等式.

②1+3=22；

③3+6=32；

④6+10=42；

⑤_________________

(3)請通過猜想，寫出(2)中與第n個(gè)點(diǎn)陣圖相對應(yīng)的等式。

【答案】(1)1+2+3+4=(1+7x4=10

(2)10+15=52

(3)解：+=n2.

22

26.(問題)用n邊形的對角線把n邊形分割成(n-2個(gè)三角形，共有多少種不同

的分割方案(n>4)?

(探究)為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最

簡單情形入手，再逐次遞進(jìn)轉(zhuǎn)化，最后猜想得出結(jié)論.不妨假設(shè)〃邊形的分割方

案有f(n)種.

探究一：用四邊形的對角線把四邊形分割成2個(gè)三角形，共有多少種不同的分

割方案？如圖①，圖②，顯然，只有2種不同的分割方案.所以，/(4)=2.

DD

圖①圖②

探究二：用五邊形的對角線把五邊形分割成3個(gè)三角形，共有多少種不同的分

割方案？不妨把分割方案分成三類:

第1類：如圖③，用點(diǎn)A,E與B連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角

形和1個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有"4)種不同

的分割方案，所以，此類共有/(4)種不同的分割方案.

第2類：如圖④，用點(diǎn)4,E與C連接，把五邊形分割成3個(gè)三角形，有

1種不同的分割方案，可視為|/(4)種分割方案.

第3類：如圖⑤，用點(diǎn)4,E與。連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角

形和1個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有尸(4)種不同

的分割方案，所以，此類共有廣(4)種不同的分割方案.

所以，f⑸=/4)+#⑷+f(4)=|xf(4)=?xf(4)=5(種)

探究三：用六邊形的對角線把六邊形分割成4個(gè)三角形，共有多少種不同的分

割方案？不妨把分割方案分成四類:

第1類：如圖⑥，用A,F與B連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形

和1個(gè)五邊形，再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有/'(5)種不同的

分割方案，所以，此類共有/(5)種不同的分割方案.

第2類：如圖⑦，用4,R與C連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形

和1個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有/(4)種不同的

分割方案.所以，此類共有/(4)種分割方案.

第3類：如圖⑧，用4,口與。連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形

和1個(gè)四邊形.再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有/(4)種不同的

分割方案.所以，此類共有/(4)種分割方案.

第4類：如圖，用4,尸與E連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和

1個(gè)五邊形，再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有/(5)種不同的分割

方案.所以，此類共有/(5)種分割方案.

所以，f⑹=f⑸+f(4)+f(4)+f(5)

=f⑸+|f⑸+|f⑸+f(5)=^xf(5)=14(種)

探究四：用七邊形的對角線把七邊形分割成5個(gè)三角形，則/(7)與/(6)的

關(guān)系為/(7)=?xf(6)，共有__________________________________________

種不同的分割方案.

(結(jié)論)用n邊形的對角線把n邊形分割成(n-2)個(gè)三角形，共有多少種

不同的分割方案(n>4)?(直接寫出f(n-)與/(n-1)之間的關(guān)系式，不寫

解答過程)

(應(yīng)用)用九邊形的對角線把九邊形分割成7個(gè)三角形，共有多少種不同的分

割方案？(應(yīng)用上述結(jié)論中的關(guān)系式求解)

【答案】所以，f(7)=f(6)+f(5)+2/(4)+f(5)+f(6)=2/(6)+2X

沙⑹+2x^x"⑹=3/(6)=曲(6)=42.故答案為:18,42.［結(jié)論］由

題意知f(5)=曲(4),/(6)=甘⑸,/(7)=曲(6),…/(n)=

絲了/何―1)；［應(yīng)用］根據(jù)結(jié)論得：/(8)=經(jīng)=*/(7)=?義42=

71—177

132./(9)=X/(8)=§X132=429.則用九邊形的對角線把九邊形

OO

分割成7個(gè)三角形，共有429種不同的分割方案.

27.為迎接七一建黨節(jié)，某社區(qū)黨委在廣場上設(shè)計(jì)了一座三角形展臺，需在它的

每條邊上擺放上相等盆數(shù)的鮮花進(jìn)行裝飾.若每條邊上擺放兩盆鮮花，共需要3

盆鮮花；若每條邊上擺放3盆鮮花，共需要6盆鮮花；……，按此要求擺放下去

(如圖所示，每個(gè)小圓圈表示一盆鮮花).

(1)填寫下表:

每條邊上擺放的盆數(shù)(n)23456???