2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)十四一元二次不等式的應(yīng)用含解析北師大版必修1

PAGE10-課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)十四一元二次不等式的應(yīng)用(15分鐘35分)1.已知集合M=x|x+3x-1<0,N={x|x≤A.M∩N B.M∪NC.R(M∩N) D.R(M∪N)【解析】選D.x+3x-故集合M可化為{x|-3<x<1},將集合M和集合N在數(shù)軸上表示出來(如圖),易知答案為D.【補(bǔ)償訓(xùn)練】不等式(x-2A.{x|-1<x<2或2<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|-1<x<3}【解析】選A.原不等式等價(jià)于(解得-1<x<3,且x≠2.2.關(guān)于x的不等式ax-1x+1<0(A.1B.-C.-∞,1aD.(-∞,-1)∪1【解析】選D.原不等式變形,得(ax-1)(x+1)<0,又因?yàn)閍<-1,所以x-解得x<-1或x>1a則原不等式的解集為(-∞,-1)∪1a3.若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是 ()A.100臺 B.120臺C.150臺 D.180臺【解析】選C.y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0,即x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量是150臺.4.“t≥-2”是“對隨意正實(shí)數(shù)x,都有t2-t≤x+1x恒成立”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由于x+1x≥2,可知t2-t≤解得-1≤t≤2.所以“t≥-2”是“-1≤t≤25.已知{x|ax2-ax+1<0}=?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解析】當(dāng)a=0時(shí),原不等式無實(shí)解,故符合題意.當(dāng)a≠0時(shí),ax2-ax+1<0無實(shí)解,即ax2-ax+1≥0對一切實(shí)數(shù)R恒成立.所以a>0,Δ答案:[0,4]【補(bǔ)償訓(xùn)練】若不等式x2-4x+3m<0的解集為空集,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】由題意,知x2-4x+3m≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立,所以Δ=(-4)2-4×3m≤0,解得m≥43答案:46.解下列不等式.(1)2x-13【解析】(1)原不等式可化為(解得x所以x<-13或x≥1所以原不等式的解集為x|(2)方法一:原不等式可化為x或x解得x>-所以-3<x<-12所以原不等式的解集為x|方法二:原不等式可化為(2化簡得-2即2x解得-3<x<-12所以原不等式的解集為x|(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若不等式x2-2x+5≥a2-3a對隨意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】選A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值為4,所以x2-2x+5≥a2-3a對隨意實(shí)數(shù)x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=x2+mx+m2對一切x∈RA.m>2 B.m<2C.m<0或m>2 D.0≤m≤2【解析】選D.由題意知x2+mx+m2≥0對一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-2m≤0,所以0≤m≤2.不等式x2-2A.{x|x≠-2} B.RC.? D.{x|x<-2或x>2}【解析】選A.因?yàn)閤2+x+1>0恒成立,所以原不等式?x2-2x-2<2x2+2x+2?x2+4x+4>0,所以(x+2)2>0,所以x≠-2.所以不等式的解集為{x|x≠-2}.3.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位A.[15,20] B.[12,25]C.[10,30] D.[20,30]【解析】選C.設(shè)矩形的另一邊長為ym,則由三角形相像知,x40=40因?yàn)閤y≥300,所以x(40-x)≥300,所以x2-40x+300≤0,所以10≤x≤30.4.若不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解,則a的取值范圍是 ()A.-235,C.(1,+∞) D.-∞,-【解題指南】轉(zhuǎn)化為二次方程與二次函數(shù)問題求解.【解析】選A.由Δ=a2+8>0知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根,又因?yàn)閤1x2=-2<0,所以方程必有一正根,一負(fù)根,對應(yīng)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,-2),如圖.只要當(dāng)x=5時(shí),二次函數(shù)y=x2+ax-2的函數(shù)值大于0,就能保證不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解,即25+5a-2>0,所以a>-235二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為RB.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若關(guān)于x的不等式ax2+x-1≤0的解集為R,則a≤-1D.不等式1x>1的解集為【解析】選ABD.A選項(xiàng)中,只有a>0時(shí)才成立;B選項(xiàng)當(dāng)a=b=0,c≤0時(shí)也成立;D選項(xiàng)x是大于0的.6.在一個(gè)限速40km/h的彎道上,甲,乙兩輛汽車相向而行,發(fā)覺狀況不對,同時(shí)剎車,但還是相撞了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系:S甲=0.1x+0.01x2,SA.甲車超速 B.乙車超速C.兩車均不超速 D.兩車均超速【解析】選ACD.由題意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01x甲2>12,S乙=0.05x乙+0.005分別求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.由于x>0,從而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在R上定義運(yùn)算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1對隨意的實(shí)數(shù)x都成立,則a的取值范圍是.

【解題指南】依據(jù)運(yùn)算?的定義,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決.【解析】依據(jù)定義得(x-a)?(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,又(x-a)?(x+a)<1對隨意的實(shí)數(shù)x都成立,所以x2-x+a+1-a2>0對隨意的實(shí)數(shù)x都成立,所以Δ<0,即1-4(a+1-a2)<0,解得-12<a<3答案:-8.已知關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),則ba=,關(guān)于x的不等式ax-bx【解析】依題意,a>0且-ba=1,所以b不等式ax-bx-2>0可變形為(ax-b)(x-2)>0,即所以(x+1)(x-2)>0,故x>2或x<-1.答案:-1{x|x<-1或x>2}四、解答題(每小題10分,共20分)9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】因?yàn)閍=2時(shí),原不等式為-4<0,所以a=2時(shí)恒成立.當(dāng)a≠2時(shí),由題意得a即a解得-2<a<2.綜上兩種狀況可知-2<a≤2.【誤區(qū)警示】失分點(diǎn)一:不能將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式組求解.失分點(diǎn)二:沒能對二次項(xiàng)系數(shù)分狀況探討使答案不精確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】當(dāng)a2-1=0,即a=1或a=-1時(shí),原不等式的解集為R或x|x<12當(dāng)a2-1≠0,即a≠±1時(shí),要使原不等式的解集為R,必需a2即a2解得:-35所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-310.某城市上年度電價(jià)為0.80元/千瓦時(shí),年用電量為a千瓦時(shí).本年度安排將電價(jià)降到0.55元/千瓦時(shí)～0.75元/千瓦時(shí),而居民用戶期望電價(jià)為0.40元/千瓦時(shí)(該城市電力成本價(jià)為0.30元/千瓦時(shí)).經(jīng)測算,下調(diào)電價(jià)后,該城市新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)之差成反比,比例系數(shù)為0.2a.試問當(dāng)?shù)仉妰r(jià)最低為多少時(shí),可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%.【解析】設(shè)新電價(jià)為x元/千瓦時(shí)(0.55≤x≤0.75),則新增用電量為0.依題意,有a+≥a(0.8-0.3)(1+20%),即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4),整理得x2-1.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,又0.55≤x≤0.75,所以0.6≤x≤0.75,因此,xmin=0.6,即電價(jià)最低為0.6元/千瓦時(shí),可保證電力部門的收益比上年度至少增加20%.1.在關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1個(gè)整數(shù),則a的取值范圍是 ()A.(-3,5) B.(-2,4)C.[-1,3] D.[-2,4]【解析】選C.因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化為(x-1)(x-a)<0,當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為{x|1<x<a},當(dāng)a<1時(shí),不等式的