2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.2充分條件與必要條件習(xí)題課充分條件與必要條件作業(yè)含解析新人教A版選修1-1

PAGE第一章1.2充分條件與必要條件習(xí)題課A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)p：1<x<2；q：2x>1，則p是q成立的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵1<x<2?2x>1，而2x>1eq\o(?,/)1<x<2，故選A．2．一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是(B)A．m>1，n<－1 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0[解析]先找出原條件的等價條件，因為此一次函數(shù)過第一、三、四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,n)>0,\f(1,n)<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0.))從而A，B，C，D中只有B滿意題意．3．“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]∵當(dāng)α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)時，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4kπ))＝eq\f(1,2)，∴“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的充分條件．而當(dāng)α＝－eq\f(π,6)時，cos2α＝eq\f(1,2)，但－eq\f(π,6)≠eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，∴“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”不是“cos2α＝eq\f(1,2)”的必要條件．4．(2024·浙江，6)已知平面α，直線m，n滿意m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵若m?α，n?α，且m∥n，則肯定有m∥α，但若m?α，n?α，且m∥α，則m與n有可能異面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．故選A．5．(2024·唐山一中模擬)“x>1”是“eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的(B)A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．下列四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是(A)A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3[解析]∵a>b＋1?a－b>1?a－b>0?a>b，∴a>b＋1是a>b的充分條件．又∵a>b?a－b>0eq\o(?,/)a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要條件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要條件．二、填空題7．若條件p：(x＋1)2>4，條件q：x2－5x＋6<0，則q是p的__充分不必要__條件．[解析]因為(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以2<x<3，所以q?p，即q是p的充分不必要條件．8．已知數(shù)列{an}，那么“對隨意的n∈N＋，點Pn(n，an)，都在直線y＝2x＋1上”是“{an}為等差數(shù)列”的__充分不必要__條件．[解析]點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}為等差數(shù)列，但是{an}是等差數(shù)列卻不肯定就是an＝2n＋1.三、解答題9．指出下列各題中p是q的什么條件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：兩個三角形相像；q：兩個三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根；(4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．[解析](1)因為x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0eq\o(?,/)x－2＝0，所以p是q的充分不必要條件．(2)因為兩個三角形相像eq\o(?,/)兩個三角形全等，而兩個三角形全等?兩個三角形相像，所以p是q的必要不充分條件．(3)因為m<－2?方程x2－x－m＝0無實根，而方程x2－x－m＝0無實根eq\o(?,/)m<－2，所以p是q的充分不必要條件．(4)因為矩形的對角線相等，所以p?q.而對角線相等的四邊形不肯定是矩形，所以qeq\o(?,/)p.所以p是q的充分不必要條件．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1<a2<a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若a1<a2<a3，則a1<a1q<a1q2，若a1>0，則q>1，此時為遞增數(shù)列，若a1<0，則0<q<1，同樣為遞增數(shù)列，故充分性成立，必要性明顯成立．2．“m＝－2”是“直線2x＋my－2m＋4＝0與直線mx＋2y－m＋2＝0平行”的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)兩直線平行時，m2＝4，m＝±2.又當(dāng)m＝2時，兩直線重合，所以m＝－2，所以“m＝－2”是“直線2x＋my－2m＋4＝0與直線mx＋2y－m＋2＝0平行”的充要條件，故選C．3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個零點的充分不必要條件是(A)A．a(chǎn)<0 B．0<a<eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)<a<1 D．a(chǎn)≤0或a>1[解析]因為函數(shù)f(x)過點(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個零點?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒有零點?函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無交點．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，a≤0或a>1，即函數(shù)f(x)有且只有一個零點的充要條件是a≤0或a>1，應(yīng)解除D；當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時，函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)有一個零點，即函數(shù)f(x)有兩個零點，應(yīng)解除B；同理，解除C．故選A．4．(多選題)設(shè)x∈R，則“x3>8”是“|x|>2”的(AC)A．充分條件 B．必要條件C．不必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由x3>8?x>2?|x|>2，反之不成立，故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要條件．故選AC．5．(多選題)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC、BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(AC)A．充分條件 B．必要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]菱形的對角線相互垂直，對角線相互垂直的四邊形不肯定是菱形．故選AC．二、填空題6．“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的__充分不必要__條件．[解析]圓心為(a，b)，半徑r＝eq\r(2).若a＝b，有圓心(a，b)到直線y＝x＋2的距離d＝r，所以直線與圓相切．若直線與圓相切，有eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，則a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直線與圓相切”的充分不必要條件．7．已知p：2x＋m>0，q：x－4>0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是__m≤－8__.[解析]p：x>－eq\f(m,2)，q：x>4，都是q的充分條件，∴－eq\f(m,2)≥4，∴m≤－8.若p是q的充要條件，∴－eq\f(m,2)≥4，∴m≤－8.三、解答題8．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.[解析]充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負(fù)根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0，∴方程肯定有兩不等實根，設(shè)為x1、x2，