2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例課時(shí)作業(yè)31.2.1條件概率與獨(dú)立事件含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)3條件概率與獨(dú)立事務(wù)時(shí)間：45分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共7個(gè)小題，每小題5分，共35分)1．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)白球和3個(gè)黃球，從中任取兩個(gè)球，在第一次取出是黃球的前提下，其次次取出黃球的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(2,7)【答案】D【解析】設(shè)第一次取出黃球?yàn)槭聞?wù)A，其次次取出黃球?yàn)槭聞?wù)B，則P(A)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(3×2,8×7)＝eq\f(3,28)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,28),\f(3,8))＝eq\f(2,7).2．已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率相同且燈口向下放著．現(xiàn)須要運(yùn)用一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則他直到第3次才取得卡口燈泡的概率為()A.eq\f(21,40) B.eq\f(17,40)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,120)【答案】D【解析】第一次拿到螺口燈泡的概率為eq\f(3,10)，其次次拿到螺口燈泡的概率為eq\f(2,9)，第三次拿到卡口燈泡的概率為eq\f(7,8)，∴所求概率為eq\f(3,10)×eq\f(2,9)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,120).3．設(shè)Φ為不行能事務(wù)，Ω為必定事務(wù)，給出下列命題：(1)任何事務(wù)A與Ω都是互斥事務(wù)；(2)任何事務(wù)A與Φ都是互斥事務(wù)；(3)任何事務(wù)A與Φ都是相互獨(dú)立事務(wù)；(4)任何事務(wù)A與Ω都是相互獨(dú)立事務(wù)．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵Φ不行能發(fā)生，∴(2)(3)為真命題；又∵Ω肯定發(fā)生，即A與Ω可以同時(shí)發(fā)生，∴(1)為假命題，(4)為真命題．4．某人一周晚上值班2次，在已知他星期日肯定值班的前提下，其余晚上值班所占的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)【答案】D【解析】本題為條件概率，在星期日肯定值班的前提下，只需再從其余6天中選一天值班即可，概率為eq\f(1,6).5．盒中有5個(gè)紅球，11個(gè)藍(lán)球，紅球中有2個(gè)玻璃球，3個(gè)塑料球，藍(lán)球中有4個(gè)玻璃球，7個(gè)塑料球，現(xiàn)從中任取一球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，則它是藍(lán)球的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)【答案】B【解析】設(shè)摸到玻璃球?yàn)槭聞?wù)A，摸到藍(lán)球?yàn)槭聞?wù)B，則P(A)＝eq\f(6,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)，∴所求概率P＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(4,16)×eq\f(16,6)＝eq\f(2,3).6．如圖，A、B、C表示3種開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9、0.8、0.7，那么系統(tǒng)的牢靠性是()A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.06【答案】B【解析】系統(tǒng)牢靠即A、B、C3種開關(guān)至少有一個(gè)能正常工作，則P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.7．甲口袋內(nèi)裝有大小相等的8個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙口袋內(nèi)裝有大小相等的9個(gè)紅球和3個(gè)白球，從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出一球，那么eq\f(5,12)等于()A．2個(gè)球都是白球的概率B．2個(gè)球中恰好有1個(gè)是白球的概率C．2個(gè)球都不是白球的概率D．2個(gè)球不都是紅球的概率【答案】B【解析】兩個(gè)球都是白球的概率為eq\f(4,12)×eq\f(3,12)＝eq\f(1,12)；兩個(gè)球恰好有一個(gè)是白球的概率為eq\f(4,12)×eq\f(9,12)＋eq\f(8,12)×eq\f(3,12)＝eq\f(5,12).二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題7分，共21分)8．在資料室中存放著書籍和雜志，任一讀者借書的概率為0.2，而借雜志的概率為0.8，設(shè)每人只借一本，則兩人都借雜志的概率是________．【答案】0.64【解析】兩人都借雜志的概率為P＝0.8×0.8＝0.64.9．明天上午李明要參與奧運(yùn)志愿者活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________．【答案】0.98【解析】設(shè)A＝“兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響”，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－(1－0.80)×(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98.10．一袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，另一袋中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，從每袋中任取一球，則至少取1個(gè)白球的概率為______．【答案】eq\f(3,5)【解析】每袋取一球，至少1個(gè)白球分三種狀況：①第一袋取白球，其次袋取紅球，P1＝eq\f(2,5)×eq\f(2,3).②第一袋取紅球，其次袋取白球，P2＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3).③兩袋都取白球P3＝eq\f(2,5)×eq\f(1,3).則至少取1個(gè)白球的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(3,5).三、解答題(本大題共3個(gè)小題，11,12題每小題14分，13題16分，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)11．一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假設(shè)生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}，對下述兩種情形，探討A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩．【解析】(1)有兩個(gè)小孩的家庭，這時(shí)樣本空間為：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，女)}，它有3個(gè)基本領(lǐng)件，由等可能性知概率各為eq\f(1,3)，這時(shí)A＝{(男，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)}，AB＝{(男，女)}，于是P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(1,3)，由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事務(wù)A、B不相互獨(dú)立．(2)有三個(gè)小孩的家庭，樣本空間為：Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，女)，(女，女，女)}，由等可能性知這4個(gè)基本領(lǐng)件的概率均為eq\f(1,4)，這時(shí)A中含有2個(gè)基本領(lǐng)件，B中含有2個(gè)基本領(lǐng)件，AB中含有1個(gè)基本領(lǐng)件，于是P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4).明顯有P(AB)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(B)成立，從而事務(wù)A與B是相互獨(dú)立的．12．甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為eq\f(1,2)與eq\f(2,5).兩人是否命中相互之間沒有影響．(1)甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，求這四次投球中至少一次命中的概率．【分析】(1)設(shè)“甲投球一次命中”為事務(wù)A，“乙投球一次命中”為事務(wù)B，明顯A，B相互獨(dú)立，而甲、乙各投球一次恰好命中一次包括甲中乙不中與甲不中乙中兩種狀況，從而求出其概率．(2)考慮問題的反面：甲、乙兩人四次投球都不中，即事務(wù)eq\x\to(A)∩eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(B).【解析】記“甲投球一次命中”為事務(wù)A，“乙投球一次命中”為事務(wù)B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,5).(1)恰好命中一次的概率為P＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)事務(wù)“甲、乙兩人在罰球線各投球兩次均不命中”的概率為P1，則P1＝P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(B))＝(1－eq\f(1,2))2×(1－eq\f(2,5))2＝eq\f(9,100).所以甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，至少一次命中的概率為P＝1－P1＝eq\f(91,100).【規(guī)律方法】本題主要應(yīng)用了分類探討思想、轉(zhuǎn)化思想，解決了相互獨(dú)立事務(wù)的概率問題，此類題目的解法為：(1)審清題意，弄清題目中有幾個(gè)事務(wù)，推斷它們是否為相互獨(dú)立事務(wù)．(2)弄清所求事務(wù)與已知事務(wù)的關(guān)系．(3)從正面解答較困難時(shí)，可以從對立事務(wù)入手求解．13．某班有兩個(gè)課外活動(dòng)小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張；其次小組有足球票4張，排球票6張．甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從其次小組的10張票中任抽1張．(1)兩人都抽到足球票的概率是多少？(2)兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？【解析】記“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事務(wù)A，“乙從其次小組的10張票中任抽1張，抽到足球票”為事務(wù)B，則“甲從第一小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事務(wù)eq\x\to(A)，“乙從其次小組的10張票中任抽1張，抽到排球票”為事務(wù)eq\x\to(B)，于是P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,5)；P(B)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,5).由于甲(或乙)是否抽到排