【數(shù)學(xué)】第八章 小結(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)+2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)七年級(jí)學(xué)期春季課題第八章小結(jié)編寫教師工作單位指導(dǎo)專家工作單位教學(xué)目標(biāo)1．梳理平方根、立方根、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)等相關(guān)概念，建立它們之間的關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系．2．通過(guò)具體的實(shí)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，鞏固運(yùn)算法則、運(yùn)算律，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和運(yùn)算能力．教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)加深對(duì)平方根、立方根、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)等概念的理解，建立它們之間的關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)體系；掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律．教學(xué)難點(diǎn)對(duì)于無(wú)理數(shù)概念的理解．教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理本章主要包括平方根、算術(shù)平方根、立方根，以及無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念、運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示等內(nèi)容．師生活動(dòng)：結(jié)合本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，梳理一下本章的主要內(nèi)容，并通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)逐步細(xì)化知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)體系．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)．回顧與思考問(wèn)題1：什么是平方根？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，教師根據(jù)回答情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，并歸納得出：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫作a的平方根或二次方根．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生鞏固平方根的概念．追問(wèn)：什么樣的數(shù)有平方根？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，教師適時(shí)點(diǎn)撥，共同回顧平方根的相關(guān)內(nèi)容：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，進(jìn)而歸納出非負(fù)數(shù)才有平方根．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生明確平方根的特征．問(wèn)題2：什么是算術(shù)平方根？師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)并得到：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中正的平方根叫作a的算術(shù)平方根．規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生鞏固算術(shù)平方根的概念．追問(wèn)：平方根與算術(shù)平方根有什么聯(lián)系和區(qū)別？師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)并適時(shí)點(diǎn)撥，并歸納得出：聯(lián)系：正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，其中正的平方根是算術(shù)平方根，另外0的平方根與算術(shù)平方根都是0；區(qū)別：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而它的算術(shù)平方根只有一個(gè)．設(shè)計(jì)意圖：平方根與算術(shù)平方根的概念容易混淆，通過(guò)此問(wèn)題讓學(xué)生加深理解它們的區(qū)別與聯(lián)系．問(wèn)題3：什么是立方根？師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，老師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，共同回顧立方根的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫作a的立方根或三次方根．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生鞏固立方根的概念．追問(wèn)：任何實(shí)數(shù)都有立方根嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，老師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，并歸納得出：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．進(jìn)而歸納得出，任何數(shù)都有立方根．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生明確立方根的特征．問(wèn)題4：開(kāi)平方與平方有怎樣的關(guān)系？開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算．追問(wèn)：開(kāi)立方與立方有怎樣的關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，老師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，共同梳理它們之間的關(guān)系：開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算．問(wèn)題5：什么是無(wú)理數(shù)？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生鞏固無(wú)理數(shù)的概念．追問(wèn)1：無(wú)理數(shù)與有理數(shù)有什么區(qū)別？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并嘗試回答，教師規(guī)范學(xué)生語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生歸納：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．任意一個(gè)有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式，即可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，也就是形如（p，q是正整數(shù)，q≠0）的分?jǐn)?shù)，而無(wú)理數(shù)是不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比（分?jǐn)?shù)）的數(shù)．任何一個(gè)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式．無(wú)理數(shù)和有理數(shù)都是現(xiàn)實(shí)世界中客觀存在的量的反映．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生加深對(duì)無(wú)理數(shù)以及有理數(shù)的理解，并明確無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)別．追問(wèn)2：舉例說(shuō)明怎樣用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)的范圍．師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，學(xué)生舉例：2＜＜3．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)舉例的形式，讓學(xué)生提升估算能力．問(wèn)題6：實(shí)數(shù)由哪些數(shù)組成？師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，教師適時(shí)點(diǎn)撥，并歸納得出：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，可以分類如下：或這樣分類：設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生類比有理數(shù)的分類，明確分類的基本原則：按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏．讓學(xué)生明確實(shí)數(shù)的分類可以有不同的方法，初步形成對(duì)實(shí)數(shù)的整體認(rèn)識(shí)．追問(wèn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，教師適時(shí)點(diǎn)撥，并歸納得出：當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．因此，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，可以利用數(shù)軸將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生理解“數(shù)形結(jié)合”思想．問(wèn)題7：數(shù)的范圍是如何從正整數(shù)逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，老師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，共同梳理：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧在數(shù)的開(kāi)方基礎(chǔ)上引進(jìn)無(wú)理數(shù)的概念，并將數(shù)從有理數(shù)范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍．從有理數(shù)到實(shí)數(shù)是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充．追問(wèn)1：隨著數(shù)的范圍的不斷擴(kuò)充，數(shù)的運(yùn)算有什么發(fā)展？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，老師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，共同梳理：隨著數(shù)的范圍的擴(kuò)充，數(shù)的運(yùn)算也有了新的發(fā)展，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不僅能進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，而且對(duì)0和任意正數(shù)能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，對(duì)任意實(shí)數(shù)能進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算．追問(wèn)2：加法與乘法的運(yùn)算律始終保持不變嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答，老師進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，共同梳理：加法與乘法的運(yùn)算律始終保持不變，體會(huì)運(yùn)算的一致性．對(duì)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；二是涉及無(wú)理數(shù)的近似計(jì)算，可以取近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算．通過(guò)類比有理數(shù)的運(yùn)算，指出有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，感悟運(yùn)算的一致性，認(rèn)識(shí)運(yùn)算對(duì)象在發(fā)展，而算理保持不變．在后續(xù)二次根式的運(yùn)算中，我們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)體會(huì)．例題精講例1求下列各式的值：（1）； （2）；（3）； （4）．師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，并進(jìn)行交流分享，教師對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行評(píng)析，具體解法如下：解：（1）；（2）＝10；（3）＝±0.3；（4）．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題講解進(jìn)一步鞏固平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念．通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉百以內(nèi)整數(shù)的平方根和百以內(nèi)整數(shù)（對(duì)應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根，進(jìn)一步提升運(yùn)算能力．例2下列各數(shù)分別介于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間？與哪個(gè)整數(shù)更接近？（1）；（2）．師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，并進(jìn)行交流分享，教師對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行評(píng)析，具體解法如下：解：（1）∵81＜91＜100，∴．∴9＜＜10．因此介于整數(shù)9和10之間；通過(guò)比較可以看出更接近10．（2）∵64＜91＜125，∴．∴4＜＜5．因此介于整數(shù)4和5之間；通過(guò)比較可以看出更接近4．設(shè)計(jì)意圖：用兩個(gè)相鄰的整數(shù)估算某些數(shù)的平方根、立方根的大小．例3計(jì)算：（1）； （2）．師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，并進(jìn)行交流分享，教師對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行評(píng)析，具體解法如下：解：（1）＝＋＝2＋；（2）＝＝3＋1＝4．設(shè)計(jì)意圖：利用運(yùn)算法則、運(yùn)算律進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算，認(rèn)識(shí)根據(jù)平方根的意義，并根據(jù)其意義直接計(jì)算．拓展提升（1）怎樣把由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形（如圖）剪拼成一個(gè)大正方形？（2）在數(shù)軸上畫(huà)出這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．師生活動(dòng)：學(xué)生自主探索，并在小組內(nèi)進(jìn)行交流，學(xué)生回答問(wèn)題，教師適時(shí)點(diǎn)撥．設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)逐步分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．通過(guò)練習(xí)，提升學(xué)生抽象能力和運(yùn)算能力．課堂練習(xí)一個(gè)圓與一個(gè)正方形的面積都是2πcm2，它們中哪一個(gè)的周長(zhǎng)較大？你能從中得到什么啟發(fā)？師生活動(dòng)：學(xué)生先自主探索，然后小組合作進(jìn)行交流，學(xué)生回答問(wèn)題，教師適時(shí)點(diǎn)撥．設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．通過(guò)練習(xí)，提升學(xué)生抽象能力和運(yùn)算能力．課堂總結(jié)本章學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？本章用到了哪些思想方法？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并嘗試回答，教師規(guī)范學(xué)生語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生歸納：通過(guò)本節(jié)課，我們對(duì)本章知識(shí)進(jìn)行了梳理和回顧．主要包括：平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，運(yùn)用平方根（或立方根）的