2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破訓(xùn)練：幾何證明（原卷版+解析）

壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)21幾何證明

壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編

一、解答題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，以C（T,0）為圓心，2石為半徑畫圓交y軸于點(diǎn)4已知點(diǎn)P（6,0）,射線Bl交

C于點(diǎn)B

COPx

⑴求證：AB=AP；

（2）只利用一把無刻度的直尺畫出過點(diǎn)尸，且與（C相切的一條直線，并說明理由.（保留畫圖痕跡）

2.某校數(shù)學(xué)興趣小組對四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形A5CD中，對角線AC相交于點(diǎn)。.

⑴如圖1,若ACJ.BD,求證：AD2+BC2^AB2+CD2；

（2）如圖2,若AC=a,3D=b,/AO8=a（a為銳角），求四邊形ABCD的面積；（用含6,夕的代數(shù)式表示）

（3）如圖3,BC=AB+CD,ZABC=ZBCD=60°,AC=2,求四邊形A3CD的面積.

3.如圖，已知四邊形ABCD是,：。的內(nèi)接四邊形，AC與比）交于點(diǎn)P,AB=BC=CD，AE是。的直

徑，弦DWLAE,垂足為

(1)設(shè)。尸與AC交點(diǎn)為N,求證：?DN=DP,?ZPNM=2ZBDC；

⑵若4W:ME=1:3,求tan(ZBDC-2NC4E)的值.

4.如圖1,在矩形A5CD中，E為BC延長線上一點(diǎn)，且DB=DE,AE交C。于點(diǎn)憶AE1BD.

⑴求證：DF=CF；

(2)求證：CD=y/2AD;

(3)如圖2,G為E尸上一點(diǎn)，AC,相交于點(diǎn)0,連接。G.若DF2=FG-FE,且。G=2若，求AE的

長.

5.約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則

稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”.例如，如圖1,在.ABC中，AO為邊3C上的中線，△ABD與，ABC

相似，那么稱；ABC為關(guān)于邊的“華益美三角”.

BDC

圖1圖3

(1)如圖2,在一ABC中，BC=42AB,求證：ABC為關(guān)于邊BC的“華益美三角”;

⑵如圖3,已知ABC為關(guān)于邊2C的“華益美三角”，點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，以為直徑的。。恰

好經(jīng)過點(diǎn)A.

①求證：直線C4與O相切;

②若。的直徑為2尚，求線段的長;

(3)已知,ABC為關(guān)于邊3C的“華益美三角"，BC=4,ZB=30°,求的面積.

6.如圖1,AB為。直徑，點(diǎn)E是弦AC中點(diǎn)，連接OE并延長交。。于點(diǎn)D,

（圖1）

⑴求證：AD=CD;

(2)如圖2,連接5D交AC于點(diǎn)E求證：DE?=EF-EC;

(3)如圖3,在(2)條件下，延長54至點(diǎn)G,連接Gb,若NDFG=45。，AG=6CF=4，求O的周長.

7.知：如圖1,AB是.O的弦，點(diǎn)C是O的半徑03的延長線上一點(diǎn),將AABC翻折得到△ABC,AC

交半徑。3于點(diǎn)O.

⑴求證：BC7/OA.

⑵若AC與。。相切.

①如圖2,點(diǎn)C'落在：。上，求sinC的值.

②如圖3,若Q4=10,AB=12,求SDC'的面積.

8.如圖，等腰直角.ASC與。交于點(diǎn)8,C,NACB=90。，延長AB,AC與。分別交于點(diǎn)。，E,連接

CD,ED,并延長E￡)至點(diǎn)凡使得NFBD=/BCD.

⑴求NCED的度數(shù)；

⑵求證：3尸與-O相切；

⑶若。的半徑為2,求的長.

9.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)￡為4)邊上一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)C作CFJ_BE于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)

(1)如圖1,當(dāng)=時，求證："BE當(dāng)△HCB；

(2)若AB=4,BC=6,連接A4,求47的最小值；

(3)如圖2,矩形ABCD對角線AC與8。相交于點(diǎn)0,CF交BD于點(diǎn)、G,若BE平分NABD.

①判斷0G與■的數(shù)量關(guān)系，并證明；

1AF

②連接所，當(dāng)尸的面積是矩形ABCD的R時，求而：的值.

10.如圖，在中，/ACB=90。,。為邊43的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段8AAD上，C4=CE,CD平分

ZBCF,AM±CD,垂足為點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N.

⑴求證：ZS=ZC4M；

⑵若AC=77ZAE(m為常數(shù)),求證：BC=2mAM；

⑶在⑵的條件下，若根2=：,求段的值.

8BN

11.在四邊形ABCD中，平分/ABC,點(diǎn)E是30上任意一點(diǎn)，連接CE,且N54D=2NCEB,

/8CE=120。，點(diǎn)尸為8。延長線上一點(diǎn)，連接"，ZBAF=60°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AD=AF；

(2汝口圖2,當(dāng)=時，求證：AB-2BC=AF,

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G在AQ上，連接FG,ZAFG=NBEC,BC=3^3,DG=5百，求線

段48的長.

12.綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以如圖1的兩個含30。的直角三角尺為主題開展數(shù)學(xué)活動，其中NA=/B=3O。,

/C=/C'=90°,BC^AC^2.

(1)軸對稱小組將AB'C'以AB為對稱軸翻折，如圖2,AC與B'C'交于點(diǎn)P,連接CC',發(fā)現(xiàn)AC'=CC',

請你證明這個結(jié)論.

(2)旋轉(zhuǎn)小組將‘A'B'C'以中點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90。到如圖3的位置，BC\B'A邊與邊AB、

AC交于點(diǎn)。、E、F,連接。尸，求。尸的長度.

(3)平移小組將，A8C'沿向下平移到圖4時，分別延長CB、C'A,交B'C'、AC于點(diǎn)M、N,發(fā)現(xiàn)四

邊形CMCN恰好是正方形，直接寫出此時正方形的面積.

13.等邊ABC中，點(diǎn)。為直線48上一動點(diǎn)，連接DC.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在平面內(nèi)將線段DC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,連接BE.若。點(diǎn)在A8邊上，且

DC=y[5,tanZACD=1,求3E的長度；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在AB延長線上，點(diǎn)G為線段DC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在CB延長線上，連接RS、AG.在點(diǎn)。

的運(yùn)動過程中，若/G4b+//M=180。，5.FB-BD^AC,猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想；

⑶如圖3,將oBDC沿直線BC翻折至ABC所在平面內(nèi)得到二BD'C,M點(diǎn)在A5邊上，且

將肱4繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到線段AV,點(diǎn)H是直線AC上一動點(diǎn)，將沿直線翻折至

AMMf所在平面內(nèi)得到△MNH,在點(diǎn)。，H運(yùn)動過程中，當(dāng)N。最小時，若AB=4,請直接寫出

的面積.

14.已知，如圖1,A5C中，ABAC=90°,。分別與AB、AC相切于點(diǎn)8、點(diǎn)。，點(diǎn)尸在CO上，連

接O尸交O于點(diǎn)G,且G在2C上，NAFO=45°,過。作，3c于”，交二。于E,交OF于點(diǎn)、N；

⑴求證：ZFND=3ZC；

⑵射線2。交DE于求證：OM=FG；

⑶在（2）條件下，連接8E,若由BC、DC和弧8。所圍成圖形的面積為g乃+g應(yīng)-g時，求四邊形/WED

422

的面積.

15.OA,03是：O的半徑，C是半徑03上的動點(diǎn)，過C作02的垂線交A8于「交（O于。、E兩點(diǎn),

過A點(diǎn)作。的切線與西的延長線交于點(diǎn)G.

（2）已知（。的半徑為4,

4

①當(dāng)0c的長為多少時，OD〃AG且tan/G=§,

②請直接寫出①中。歹的長.

壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)21幾何證明

壓軸突破——2024年【中考沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編

一、解答題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，以C（-4,0）為圓心，2如為半徑畫圓交y軸于點(diǎn)A,已知點(diǎn)尸（6,0）,射線P4交

C于點(diǎn)B.

（2）只利用一把無刻度的直尺畫出過點(diǎn)尸，且與,；C相切的一條直線，并說明理由.（保留畫圖痕跡）

【答案】（1）見解析

（2）圖見解析，理由見解析

【分析】（1）連接AC,作CD_LAB于D求出=2加,CP=10,證明△CPDS&LPO,求出c。=加，

得到AO=Ji6，由垂徑定理得到A3=2AD=2即可得到結(jié)論；

（2）連接BC并延長交CC于點(diǎn)E,連接尸E,則直線PE為C的切線.證明NACB=90。，由=

￡€=3。得到47〃莊，則/P￡B=NACF=90。，又由直徑BEJLPE即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接AC,作CDLAB于D.

由C（-4,0）,P（6,0）得OC=4,OP=6.

,/ZAOC=90°,AC=245,OC=4,

二AO=VAC2-OC2=J(2肩一42=2.

又：NAOP=90°,0P=6,

■■AP=yjAO2+OP2=V22+62=2?CP=CO+OP=4+6=10，

CDLAB,

：.NCDP=90°=ZAOP.

又：ZCPD^ZAPO.

：.△CPDs^APO.

.CDCP

??茄-Q，

.CD10

2—2回，

CD=M,

AD=yjAC2-CD2=y/ld-

又：CD_LAB,C是圓心，

AB=2AD=2>/10,

AB=AP.

(2)解：連接3c并延長交，C于點(diǎn)E,連接PE,則直線PE為二C的切線.

理由如下：

VCD=AD=y/10,ZCEL4=90°,

Z.ZC4T)=ZACD=45O.

又；AC=BC.

：.ZCAD=ZCBA=45°.

：.ZACfi=90°,

VAB=AP,EC=BC.

：.AC//PE.

ZPEB=ZACB=90°.

.??直徑

:.PE為.>。的切線.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識,

熟練掌握切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.某校數(shù)學(xué)興趣小組對四邊形進(jìn)行了如下探究：在四邊形ABCD中，對角線AC相交于點(diǎn)。.

(1)如圖1,若ACJ.BD,求證：AD2+BC2^AB2+CD2；

(2)如圖2,若AC=a,8O="=a(a為銳角)，求四邊形ABCD的面積；(用含a/卬的代數(shù)式表示)

(3)如圖3,BC=AB+CD,ZABC=ZBCD=60°,AC=2,求四邊形ABC。的面積.

【答案】(1)見解析

(2)；"sina

⑶⑺

【分析】本題考查了全等三角形、勾股定理、三角函數(shù)，最后一問由已知條件聯(lián)想截長補(bǔ)短的輔助線，可

發(fā)現(xiàn)圖中隱藏的“手拉手”全等，從而解決問題.

(1)由垂直定理得/40￡>=/403=/30。=/。0￡>=90。，再根據(jù)勾股定理

AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO1+DO2,即可解答.

(2)過點(diǎn)。作。JLAC于點(diǎn)J,過點(diǎn)8作BKLAC于點(diǎn)K.根據(jù)S四邊形ABCD=SAS+SACB即可解答.

(3)在8c上取點(diǎn)G,使3G=AB,連接AG,DG,H為BD,AG的交點(diǎn)，先證明

ABGD^△AGC,再證明ZAOB=ZAGB=60°即可.

【詳解】(1)ACABD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=Z.COD=90°.

由勾股定理，WAD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2-

AD2+BC2=AB2+CD2.

(2)過點(diǎn)。作DJLAC于點(diǎn)J,過點(diǎn)8作3KLAC于點(diǎn)K.

A

?，-S四邊形ABC。=8AA8+S^ACB=-AC'DJ+-ACBK,

=—a-DO-sina+—a-BOsina=—asina?(DO+BO、

222v7

17?

=—absma.

2

(3)如圖，在3。上取點(diǎn)G,使5G=AB,連接AG,DG,H為BD,AG的交點(diǎn)。

BC=AB+CD=BG+CG,

CD=CG,

ZABC=/BCD=600,

/.ABG與aCDG均為等邊三角形，

:.AG=BG,DG=CG,ZAGB=ZCGD=60°,

:.ZAGD=6Q°,

ZBGD=ZAGC=120°,

AGC(SAS),

：.BD=AC=2,NGBD=NGAC,

又?ZAHD=NBHG,

ZAOB=ZAGB=60°f

由(2)知S加力語4Am=LAC.5D-sinNAOB=Lx2x2xW=G.

四也形A/jc"222

3.如圖，已知四邊形A5CD是：。的內(nèi)接四邊形，AC與3。交于點(diǎn)P,AB=BC=CD，AE是。的直

徑，弦DFJ.AE,垂足為

D

(1)設(shè)。P與AC交點(diǎn)為N,求證：?DN=DP,?ZPNM=2ZBDC；

⑵若⑷W:ME=1:3,求tan(ZBDC-2/G4E)的值.

【答案】（1）①見解析；②見解析

【分析】（1）①由垂徑定理可知AD=AF，可得NADF=NACD,由CD=CB，可知/D4C=/3DC,

再由三角形的外角的性質(zhì)可得ZDNP=ZDPN,進(jìn)而可證得結(jié)論；

②連接EC,由圓周角定理可知NACE=90。，可得NPM"+NAEC=180。，利用等弧所對的圓周角相等可

得ZAEC=NDCB,NBDC=/CBD,結(jié)合三角形的內(nèi)角和可知2N3DC+N￡>CB=180。，可得

2ZBDC+ZAEC=180°,進(jìn)而可證得結(jié)論；

（2）連接OD,OB,OC,由AW:ME=1:3,可得OA=OE=-AE,^^AM=OM,

342

可知。知是。1的垂直平分線，可得/M=OO,易證得△AOD是等邊三角形，得/AOD=60。，利用等弧

所對圓心角相等可得/DOC=/COB=ZAOB=獨(dú)二幺=100。，由圓周角定理可得

3

NBDC=L/BOC=50°,ZEOC=180°-ZAOD-ADOC=20°,由三角形外角可知

2

AEOC=ZOAC+ZOCA=2ZOAC=20°,即：2ZCAE=20°,R；ZBDC-2ZCAE=50°-20°=30°,即

可求得答案.

【詳解】（1）證明：?VAEA.DF,AE是直徑，

??AD=AF，

：.ZADF=ZACD,

":CD=CB，

DAC=/BDC,

VZDNP=ZDAN+ADN,ZDPN=ZDCP+ZCDB,

:./DNP=/DPN,

：.DN=DP；

②連接石c,

AE是直徑，

???NACE=90。，

VDF±AE,

：.ZNEM=90°f

：.ZPNM^-ZAEC=18O°,

;CD=AB，

AC=DB，

：.ZAEC=NDCB,

*.*DC=CB，

:?/BDC=/CBD,

：.2ZBDC+Z.DCB=180。，

???2ZBr>C+ZAEC=180°,

???/PNM=2/BDC；

(2)連接OD,OB,OC,

?：AM:ME=1:3,^AM=-EM=-AE,OA=OE=-AEf

：.AM=OM,

DMLOA,

：.則DM是。4的垂直平分線，

，DA=DO,

OA=OD,

：.OA=OD=AD,則△AOD是等邊三角形,

NAOD=60°,

CD=CB=AB，

：.ZDOC=NCOB=ZAOB=36?！?14°°=10Qo,

3

ZBDC=-ZBOC=50°,ZEOC=180°-ZAOD-ZDOC=20°，

2

\'OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZEOC=ZOAC+ZOCA=2ZOAC=20°,即：2ZC4E=20°,

ZBDC-24cAE=50°-20°=30°,

tan(ZBDC-2ZCAE)=tan30°=

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等弧所對得圓周角、圓心角之間的關(guān)系，等邊三角形的判定,

求正切值等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖1,在矩形A8CO中，E為8C延長線上一點(diǎn)，S.DB=DE,AE交8于點(diǎn)EAE1BD.

⑴求證：DF=CF；

(2)求證：CD=6.AD;

(3)如圖2,G為所上一點(diǎn)，AC,8。相交于點(diǎn)O,連接。G.若DF?=FG-FE,且OG=2若，求AE的

長.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)476

【分析】（1）根據(jù)AAS證明得出=CF即可；

（2）證明△〃//△。加，得出絲=空，根據(jù)A0=CB,DF=CF,得出。。2=24方，求出結(jié)果

DCCB

即可；

（3）連接CG,證明△GbCsZ\CEE,得出//GC=/bCE=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出OG=；AC,

求出4?=4月.設(shè)5。=々，則45=缶，根據(jù)谷歌定理求出。2+（億『=（4君）2,得出a=4（負(fù)值舍去）.求

出AB=4后，/。=4,根據(jù)勾股定理求出A石=他百二3=4后.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD為矩形，

：.AD=BCfDC.LBC,AD//BC,

XVDB=DE,

：.BC=CE,

：.AD=CE,

?：AD//BC,

:?ZADF=NECF,

ZAFD=ZEFC

在A4力b和A/Y?"中,<ZADF=ZECF,

AD=CE

：.」ADF=ECF(AAS),

：.DF=CF.

(2)解：?：AE±BD,

ZAGD=90°,

Z.DAF+ZADG=ZADG+ZBDC=90°,

/DAF=/BDC,

ZADF=ZBCD=90°,

ADAF^ACDB,

ADDF

~DC~~CB"

AD=CB,

ADDF

DC~AD"

由（1）可知。尸=CR,

/.DF=-DC,

2

：.AD^DC,

15c~AD

：.DC2=2AD2,

即DC=^2AD-

(3)解：連接CG,如圖所示:

VDF2=FGFE,且。F=CF,

FG_CF

CF2=FGFE,

CF~FE

又：NGFC=NCFE,

：.AGFCsACFE,

：.ZFGC=ZFCE=90°,

?.,。為AC的中點(diǎn),

/.OG=-AC,

2

OG=2拒,

：.AC=46

由（2）可知：DC=>/2AD，則AB=02C，設(shè)3C=a,則A2=

在RtZXABC中，BC1+AB2=AC2,即/，

解得：a=4（負(fù)值舍去）.

AB=4A/2，BC=4,

又：BC=CE,

：.BE=8,

在RtAABE中，AE=J(40)2+8?=4底.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法.

5.約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則

稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”.例如，如圖1,在，ABC中，40為邊上的中線，與，ABC

相似，那么稱：ABC為關(guān)于邊的“華益美三角

(1)如圖2,在工ASC中，BC=42AB,求證：ABC為關(guān)于邊BC的“華益美三角”；

⑵如圖3,已知，ABC為關(guān)于邊BC的“華益美三角”，點(diǎn)。是一ABC邊8C的中點(diǎn)，以8。為直徑的。。恰

好經(jīng)過點(diǎn)A.

①求證：直線C4與。相切;

②若。的直徑為2而，求線段的長；

(3)已知.ABC為關(guān)于邊3C的“華益美三角"，3c=4,ZB=30°,求ABC的面積.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②至=4

⑶班或2班+2或2括-2

【分析】(1)根據(jù)中線的定義可設(shè)BD=DC=x,即3c=2x,再由BC=&AB，可得H=*=—,

B(32x2

BDx1ARD

弁=k=K，§PW—=—;結(jié)合=可得△ABZKVXC54,問題得證；

AB<2xJ2BCAB

(2)①連接Q4,根據(jù)△AC343C4,可得NC4Z)=NABC,根據(jù)2。為。的直徑，可得

ZABC+ZADB9Q0,根據(jù)OA=OD,可得/。40=/0八4,即有NQW+NC4D=90。，可得。4_LAC,

問題得證；②由題意可知△ACD-ABOLBD=CD,即有g(shù)=段，黑=絲，^^AC2=BCxCD,

BCACBCAC

即有AC=YBCxCD=46,進(jìn)而可得AB=&AD,在中，有。長=人長十人。2,即有

,解方程即可求解;

(3)分類討論：當(dāng)△BADS^JBC4時，過4點(diǎn)作鉆_13。于點(diǎn)￡,利用相似可得AB?=3Cx&)=8,即

AB=2拒,根據(jù)NB=30°,可得AE=^AB=y/2,此時面積可求；當(dāng)^ACD^ABCA時，過A點(diǎn)作A/工BC

于點(diǎn)尸，同理利用相似可得AC=2五,進(jìn)而可得A￡>=變A8,根據(jù)NB=30。，可得

22

BF=ABcosZB=—AB,則有皿=BD-BF=2-走AB,利用AZ^=人/？+萬?，可得

,求出AB=2有±2,進(jìn)而可得4尸=5筋=6±1,面積可求，問題

隨之得解.

【詳解】(1)如圖,

；AD為,ABC的中線，

BD=DC=x,即BC=2x,

BC=y/2AB,

??,AB=、BC=^=舊,

AB_5/2x_J_BPx1

'Hc~~2x~^2,AB缶一忘

.ABBD

??麗一瓦’

又：ZB=ZB,

：.AABD^ACBA；

.ABC為關(guān)于邊BC的“華益美三角”；

(2)①證明：連接。4,如圖，

由題意可知^ACD^ABCA,

二ZCAD=ZABC,

又：3￡>為(。的直徑,

ZABC+ZADB9Q0,

又：OA=OD,

：./OAD=/ODA,

：.ZOAD+ACAD=90°,

OA1AC,

又為（。的半徑，

為。的切線；

②：由題意可知△ACDsABC4,BD=CD,

.AC_CDAB_AD

*"BC-AC'BC-AC）

/.AC2=BCxCD,

：-O的直徑為2尚，

/.BD=CD=2A/6,BC=4屈,

/.AC=sjBCxCD=4A/3，

..AB_AD

,BC-AC'

.ABAD

''476-4A/3;

AB=y/2.AD，

?.?在RtZW。中，DB-=AB2+AD1,

???（2@*+（第，

解得：AB=4(負(fù)值舍去);

(3)分類討論：當(dāng)△BADsZ\BC4時，過4點(diǎn)作AE_L8C于點(diǎn)E,如圖,

,/ABC為關(guān)于邊3C的“華益美三角"，BC=4,Z5=30°,

BD=CD=-BC=2,ABADs4BCA,

2

.ABBC

??^7-=~—z,nn即AB?=BCxBD=8,

BDAB

???A3=20，

VZB=30°,AE上BC,

/.AE=-AB=>/2,

2

S=-xBCxAE=2y/2；

ADRCr2

當(dāng)△ACDs43C4時，過A點(diǎn)作A尸13c于點(diǎn)尸，如圖,

ASC為關(guān)于邊BC的“華益美三角"，BC=4,ZB=30°,

:.BD=CD=、BC=2,△ACM八RCA,

2

.ACBC目口

??——~,即AC9=BCxCD=8,

AC=20,

根據(jù)八4。6^43。4還有：—=—=^1,

ABAC2

?*.AD=—AB,

2

VZB=30°,AFIBC,

：.AF=-AB,

2

BF=ABcosZB=—AB,

2

/.FD=BD-BF=2-—AB,

2

VAD=—AB,S.AD2=AF2+FD2^

2

/.AB=2出土2,

：.AF=-AB=73±1,

2

Z.S=|xBCxAF=2A/3±2；

綜上：ABC的面積為2應(yīng)或2a+2或2百-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解一元二次

方程等知識，理解“華益美三角”的含義，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

6.如圖1,AB為。直徑，點(diǎn)E是弦AC中點(diǎn)，連接。E并延長交CO于點(diǎn)。，

c

E

A

（圖1）

⑴求證：AZ）=CD;

(2)如圖2,連接5D交AC于點(diǎn)E求證：DE?=EF-EC;

(3)如圖3,在(2)條件下，延長54至點(diǎn)G,連接Gb,若NDFG=45。，AG=6CF=4，求O的周長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶卜血+4)萬

【分析】(1)連接CO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NAOD=/COD,根據(jù)圓心角與弧之間的關(guān)系得出

AD=CD即可；

(2)連接。C,證明EDF^LCDE,得出DE：CE=EF：DE,即可證明。序=石小后。；

(3)連接A￡),交FG于點(diǎn)"，證明NG=/AFG,得出AF=AG=4,求出CF=2應(yīng)，得出

AC=AF+CF=4+2y12,根據(jù)E為AC的中點(diǎn)，得出AE=CE=gAC=2+夜，求出

EF=CE-CF=2-五,根據(jù)解析(2)求出?！?應(yīng)，設(shè)一。的半徑為r,根據(jù)勾股定理得出

「一①一0/=(2+也丁，求出r=2亞+2,最后求出圓的周長即可.

【詳解】(1)證明：連接CO,如圖所示：

是弦AC中點(diǎn),

???ZAOD=ZCOD,

：?AD=CD-

(2)證明：連接OC,如圖所示:

,**AD=CD

：.ZABD=ZACD,

,:OD=OB,

：.ZODB=ZOBDf

：.ZACD=ZODB,

???EDFs口CDE,

：.DE：CE=EF：DE,

：?DE?=EF?EC.

(3)解：連接AD,交FG于點(diǎn)H,如圖所示:

VAB^J。的直徑，

JZADB=9Q0,

ZDFG=45°,

：.ZDHF=90°-45°=45°,

AD=CD

：.Z.B=ZDAC,

ZB+ZG=ZEFG=45°,ZDAC+ZAFG=ZDHF=45°,

??.ZG=ZAFG,

AF=AG=4,

亞CF=4，

CF=2A/2，

AC=AF+CF=4+2近，

為AC的中點(diǎn)，

/.AE=CE=-AC=2+A/2,

2

:.EF=CE-CF=2-6，

由（2）得：D￡2=￡F-EC=（2-A/2）（2+V2）=2,

；?DE=母,

設(shè)CO的半徑為r,

在RtZkAOE1中，OA=r,OE=OD-DE=i■-五，AE=2+^2，

&『=（2+夜

解得：r=2-J2+2-

.?.衣r=（40+4》,

即「，。的周長為(40+4卜.

【點(diǎn)睛】本題主要考查:了圓周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓心角、弧之間

的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

7.知：如圖1,是。的弦，點(diǎn)C是O的半徑03的延長線上一點(diǎn)，將AASC翻折得到△”(?'，AC

交半徑。3于點(diǎn)O.

圖2圖3

⑴求證：BC7/OA.

(2)若AC與O相切.

①如圖2,點(diǎn)C'落在：。上，求sinC的值.

②如圖3,若。4=10,AB=12,求，即C'的面積.

【答案】(1)見解析

1c15552

⑵①萬；②于.

【分析】(1)證明ZAB(7+NQ4B=180。即可；

(2)①通過NC、NC'和/O的關(guān)系，結(jié)合一QAC是直角三角形得到NC=30。，進(jìn)而求sinC的值;

②說明CDB是直角三角形，再利用SBDC=；8D.求面積即可.

【詳解】(1)證明：,?將一MC翻折得到△ABC',

:.ZABC=ZABC,

OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

ZABC+ZOBA=1SO°,

ZABC+ZOAB=180°,

:.BC//OA-

(2)解：①?,一。與(。相切，

.\OA.LAC,

:.ZOAC=9Q°,

.\ZO+ZC=90°,

?將ABC翻折得到△ABC,

/C=NC,

ZO=2ZC,

.\ZO=2ZC,

.\3ZC=90°,

/.ZC=30°,

?廠

sinC——1；

2

②作OE_LAB,垂足為E,貝UAE=E8=：A￡=6,

BC//OA,

:.ZOAD=ZC,

ZAOD+ZC=90°,NC=NC',

ZAOD+ZOAD=90°,

:.AC'±OC,

SOAB=^ABOE=^OBAD,gp|xl2x8=1xl0-AD,

.'.AD=y,

:.OD=y!o^-AD2=

:.BD=OB-OD=10--=—,

55

ZOAD=NC,ZC'DB=ZADO,

C'DB^AADO,

,BD_DC'

??8=,

AD

36

一5

即DC

14二近，

一5

y

?"864

一~~35'

-22535175

【點(diǎn)睛】本題以圓為載體考查了圓的性質(zhì)，平行線的判定，翻折問題，相似，解直角三角形等知識，（2）

②的關(guān)鍵是得出，是直角三角形.

8.如圖，等腰直角一ABC與O交于點(diǎn)B,C,ZACB=90°,延長AB,AC與。分別交于點(diǎn)。，E,連接

CD,ED,并延長瓦＞至點(diǎn)R《吏得NFBD=NBCD.

⑴求NCED的度數(shù)；

⑵求證：BF與。相切；

⑶若。。的半徑為2,求8的長.

【答案】(1)45。

(2)證明見詳解

⑶2&

【分析】(1)連接BE,由NBCE=90。，得BE為。的直徑，再由"RC是等腰直角三角形，即可求解;

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)可知/BCD=/BED,得NFBD=NBCD,進(jìn)而即可證明；

(3)連接0。、OC,ZCOD=2ZCED=90°,即可求解；

【詳解】(1)解：連接8E,

ZBCE=90°,

：.8E過圓心O,

BE為的直徑，

Z./BDE=90。,

?；,ABC是等腰直角三角形，

VZA=45°,

ZC￡D=45°.

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)可知=

"?ZDBE+ZDEB=90°,

：./DBE+/BCD=90°,

,：ZFBD=ZBCD,

ZFBD+Z.DBE=90°,

8尸與，：O相切.

(3)連接O。、OC,

ZCOD=2NCED=90°,

?*-CD=y/oC2+OD2=2>/2?

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用、勾股定理、等腰直角三角形的應(yīng)用，正確做出輔助線是解本題的關(guān)

鍵.

9.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)C作CP,破于點(diǎn)H,交于點(diǎn)尸.

AEDAED

(1)如圖1,當(dāng)=時，求證：Z\ABE^Z\HCB；

(2)若AB=4,BC=6,連接AH,求A”的最小值；

(3)如圖2,矩形A3C。對角線AC與5。相交于點(diǎn)0,CF交BD于點(diǎn)、G,若BE平分NABD.

①判斷0G與轉(zhuǎn)的數(shù)量關(guān)系，并證明；

1AF

②連接麻，當(dāng)△AEF的面積是矩形ABC。的有時，求卡的值.

12BF

【答案】(1)見解析

(2)A”的最小值為2

13

(3)①OG=zAF,證明見解析；

24

【分析】(1)利用AAS證明ZVIBE冬ZWCB；

(2)取BC的中點(diǎn)K,連接AK,由圓周角定理得到點(diǎn)H在以BC為直徑的圓上運(yùn)動，根據(jù)勾股定理計算,

得到答案；

(3)①過點(diǎn)。作〃〃9交CF于點(diǎn)L,根據(jù)三角形中位線定理得到OL=；AF,證明OG=OL,等量代

換證明；

②根據(jù)勾股定理得到BC、3^+4/，證明△ABESABB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到A￡=空"，根

BC

Q

據(jù)三角形的面積公式、矩形面積公式得到BC?=12",得到b=計算即可.

【詳解】(1)證明：,四邊形ABCD是矩形，

.-.ZA=90°,AD//BC,

:.ZAEB=ZHBC,

CFLBE,

\?BHC90?,

在和中，

ZA=ZBHC

</AEB=ZHBC,

BE=BC

.ABE^,HCB(AAS)■,

(2)解：ZBHC=90°,

???點(diǎn)H在以8C為直徑的圓上運(yùn)動，

如圖，取3c的中點(diǎn)K,連接AK,當(dāng)點(diǎn)H在線段AK上時，A”取得最小值,

BC=6,

:.BK=CK=KH=3,

AB=4,

AK=y/AB2+BK2=A/42+32=5，

AH=AK-KH=5-3=2,即AH的最小值為2；

(3)解：@OG=^AF,

證明如下：如圖，過點(diǎn)。作〃〃回交CF于點(diǎn)L,

。是AC的中點(diǎn)，

:.OL=-AF,

2

BE平分NABD且3H_LFG,

.?.△3尸G是等腰三角形，/BGF=/BFG,

ZOGL=ZBGF,ZOLG=ZBFGf

.\ZOGL=ZOLGf

:.OG=OL,

OG=-AF-

2

②如圖2,連接所，設(shè)OG=a,BG=b,

由①可知：AF=2OG=2a,BF=BG=b,

AB=2a+b,AC=BD=2(tz+b),

在RtAABC中，BC2=AC2-AB1=[2(a+Z?)]2~(2a+b)2=3〃+4ab,

ZABE+ZHBC=90°,ZBCF+ZHBC=90°,

.\ZABE=ZBCF,ZBAE=ZFBC=90。，

:,ABEsBCF,

AEAB口口AE2a+b

——，即——=-----

BFBCbBC

(2a+b)b

解得：AE=

BC

AEF的面積是矩形ABC。的，,

1.(2a+b)b1“c7、

/.一x2〃x-----------=一xBCx(2a+b),

2BCn

BC2=12ab，

3b?+4ab=12ab，

,8

:.b=—a,

3

.AF_2a_3

-BF-T-4,

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理,全等三角形的判

定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在中，/ACB=90。,。為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)瓦F分別在線段BRAZ）上,X=CE,CD平分

ZBCF,AM±CD,垂足為點(diǎn)交.BC于點(diǎn)、N.

⑴求證：ZB=ZCAM；

(2)若4?=〃"場(機(jī)為常數(shù))，求證：BC=2mAM；

⑶在⑵的條件下，若小二,求笑的值.

8BN

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶|

【分析】(1)由垂直定義得，ZCAM+ZACM=90°.進(jìn)而得NOVW=ZBCD.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得

CD=BD,從而利用等腰三角形的性質(zhì)即可得解；

AG1

(2)過點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G.根據(jù)三線合一得AE=2AG,從而得AC=mAE=2mAG,—=—.分別

AC2m

證明△ACGszMBC,AACMsABAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解；

(3)過點(diǎn)C作CG_LAB于點(diǎn)G.設(shè)AE=2〃，由(2)知AG=a,AC=2niAG=2ma.

2

由AACG-AABC,^AB=—=色"匚=4ma，根據(jù)勾股定理得BC=4AB?-AC，=2?陷屈口.再

AGa

2ma

證AACNSABC4,得CN=K=,從而即可得解.

BCV4m--1

【詳解】(1)解：AMLCD,

ZCAM+ZACM=90°.

又-ZACB=ZACM+Z.BCD=90°,

:.Z.CAM=ZBCD.

/ACB=90。,。為邊AB的中點(diǎn)，

/.CD=BD，

:.NB=NBCD,

:.ZB=ZCAM.

(2)解：過點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G.

/.AE=2AG,

/.AC=mAE=2mAG,

.AG-1

**AC-2m*

ZCGA=ZACB=90°,ZCAG=ABAC,

AACG^AABC,

.AC_AG_1

**AB-AC_2m>

AMLCD,

ZAMC=ZACB=90°.

由（1）知NC4M=/民

s.AACM^ABAC,

.AMAC_1

BCAB2m'

BC=2njAM.

（3）解：過點(diǎn)C作CGLAS于點(diǎn)G.

設(shè)AE=2a,由（2）知AG=a,

/.AC=2mAG=2ma.

由（2）知△ACGS^ABC,

/.AC2=AG-AB,

AB=^（2ma）2

=

AGa

:.BC=JAB。_AC?="4療一Qm”=2ma44ml-1.

Z.CAM=ZB,ZACN=ZBCA,

AACN^/\BCA,

AC2=CN?BC,

AC2(lino)12ma

??CN——/"一—I—,

BC2mayl4m2—1v4m2-1

?CN-1

,BC-W-f

.CN_]]_2

一加―4病-2-J一]?

8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以

及同角的余角相等等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.在四邊形ABCD中，80平分/ABC,點(diǎn)E是80上任意一點(diǎn)，連接CE,且NB4r>=2NCEB,

NBCE=120。，點(diǎn)尸為8。延長線上一點(diǎn)，連接AF,ZBAF=60°.

⑴如圖1,求證：AD=AF；

(2)如圖2,當(dāng)3E=莊時，求證：AB-2BC=AF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G在AD上，連接FG,ZAFG=ZBEC,BC=3^3,DG=5y/3,求線

段A3的長.

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)證明過程見詳解

⑶48=17百

【分析】(1)設(shè)=則NRW=2a,通過計算出//4￡>尸=/產(chǎn)=60。+￡，由此即可求解；

(2)如圖所示，在43上截取BG=3C,取42的中點(diǎn)H,連接EH,EG,根據(jù)中位線定理可得

EH=^AF,EH//AF,從而可得NEHB=ZBAF=60。,再證△BCE之△BGE(SAS),可得-EGH是等邊三

角形，由此即可求解；

(3)如圖所示，連接CH,以點(diǎn)A為圓心，AG長為半徑畫弧交FG的延長線于點(diǎn)尸，可證△AFPs^CEB,

由此可得第=蘭，根據(jù)題意可求出竺=小與述，再證明點(diǎn)共圓，可得CE=EH=^AF,

CEBCCE3指2

由此即可求解.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意，設(shè)NBEC=a,貝ljN54D=2a,

在二8CE中，ZBCE=120°,ZBEC=a,

：.ZCBE=60°-a,

'：8。平分/