2024年中考數(shù)學專項復習：二次函數(shù)中的面積問題（解析版）

墨例題精講

求三角形的面積是幾何題中常見問題之一,可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、

等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積

的方法一一鉛垂法.

【問題描述】在平面直角坐標系中，已知4(1,1)、3(7,3)、C(4,7),求的面積.

【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如

構造矩形ADEF,用矩形面積減去三個三角形面積即可得AABC面積.

這是在“補。同樣可以采用“割”：

=^CD(AE+BF)

此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離.

由題意得：AE+BF=6.

下面求CD：

10

根據A、8兩點坐標求得直線AB解析式為：y=-x+-

33

由點C坐標(4,7)可得。點橫坐標為4,

將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2,

故。點坐標為(4.2),CD=5,

S.ABC=5*6x5=15.

【方法總結】

作以下定義：

A、8兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；

過點C作無軸的垂線與A8交點為Q,線段CL?即為A8邊的“鉛垂高”.

如圖可得：5ABe=水平寬;鉛垂高

ky

鉛

垂

高?

水平寬I

【解題步驟】

(1)求A、B兩點水平距離，即水平寬；

(2)過點C作x軸垂線與A8交于點。，可得點。橫坐標同點C；

(3)求直線42解析式并代入點。橫坐標，得點?？v坐標；

(4)根據C、。坐標求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

例題精講

【例1】.如圖，拋物線y=-/-2x+3與無軸交于A（1,0）,3（-3,0）兩點，與y軸交

于點C.點P為拋物線第二象限上一動點，連接尸8、PC、BC,求APBC面積的最大值，

并求出此時點尸的坐標.

解：令x=0,則y=3,

：.C（0,3）,

設直線的解析式為y=fcv+3（左W0）,

把點B坐標代入y=kx+3得-34+3=0,

解得k=\,

：.直線BC的解析式為y=x+3,

設P的橫坐標是x（-3＜尤＜0）,則P的坐標是（尤，-x2-2x+3）,

過點尸作y軸的平行線交BC于則尤+3）,

S/^PBC=—PM*\XB-xc|=—(-x2-3x)X3=-—(X2+3X)=--(x+旦)2+-^-,

222228

;-2＜o,

2

當尤=-3時，SAPBC有最大值，最大值是紅,

28

/.APBC面積的最大值為21；

8

當尤=一3時，-/-2x+3=1^,

24

點尸坐標為（一旦，區(qū)）.

24

A變式訓練

【變17].如圖，已知拋物線>=辦2+旅+3與無軸交于A、8兩點，過點A的直線/與拋物

線交于點C,其中A點的坐標是（1,0）,C點坐標是（4,3）.

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最

大面積及E點的坐標.

解：（1）?.3="2+飯+3經過A（1,0）,C（4,3）,

.（a+b+3=0

I16a+4b+3=3

解得：卜=1,

lb=-4

拋物線的解析式為：y=/-4x+3；

設直線AC的解析式為y^kx+h,

將A、C兩點坐標代入y=fcc+/7得：[k+h=°,

4k+h=3

直線AC的解析式為y=x-1；

（2）如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為〉=*+如

消掉y得，x2-5x+3-m=0,

△=(-5)2-4X1X(3-m)=0,

解得：m-----，

4

即m=-工3時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，

4

此時x=—,y=--工＞=-—,

2244

.?.點E的坐標為（5,一旦），

24

設過點E的直線與x軸交點為R則尸（型，0）,

4

.?"=11-1=9,

44

,/直線AC的解析式為y=x-1,

AZCAB=45°,

二點F到AC的距離為A"sin45°=9x亞=受巨，

428

又AC=732+（4-1）2=3近,

.二△ACE的最大面積=2X3&X生巨=21,此時E點坐標為戌，掃）.

28824

【變1-2].如圖，直線y=-±x+2交y軸于點A,交x軸于點C,拋物線y=-1*2+陵+。

經過點A,點C,且交x軸于另一點艮

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M,求四邊形A8CM面積的最大值及此時點M

的坐標.

Z.A(0,2),

令y=0,得y=-■^■x+2=0,解得x=4,

：.C(4,0).

把A、C兩點代入、=-工/+bx+c得，1c-2

4I~4+4b+c=0

[b=l

解得J2,

c=2

拋物線的解析式為y=-l.r+lx+2；

42

(2)過M點作MNLx軸，與AC交于點N,如圖，

2

設M(a,-la+la+2),則N(a,-工a+2),

422

S^ACM——'MN*OC——(-—a+1-—a1-—a-2)X4---a2+2a,

222422

SAABC=A?BC*OA=AX(4+2)X2=6,

22

.1212

?'?S四邊形ABCMUSAACM+SZ\ABCM———a+2〃+6==—-(.a-2)+8,

22

???當〃=2時，四邊形A3CM面積最大，其最大值為8,此時M的坐標為(2,2).

【例2】.如圖，拋物線＞=/+公+。與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，過點A的直

線/交拋物線于點C(2,m)，點P是線段AC上一個動點，過點尸作x軸的垂線交拋物

線于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當尸在何處時，△ACE面積最大.

解：(1)拋物線解析式為丁=(x+1)(X-3),

即y=x1-2x-3；

(2)把C(2,m)代入>=/一21一3得根二4-4一3=-3,貝ljC(2,-3),

設直線AC的解析式為y=mx+n,

把A(-1,0),C(2,-3)代入得「mtn=。,解得

I2m+n=-3In=-l

直線AC的解析式為-x-1；

設ECt,?-2/-3)(-1WW2),則P(r,-r-1),

：.PE=-t-\-(?-2Z-3)=-P+f+2,

.,.△ACE的面積=工義(2+1)XPE

2

=—(-P+f+2)

2

=-)2+2,

228

當/=工時，△ACE的面積有最大值，最大值為紅，此時尸點坐標為(工，-1).

2822

A變式訓練

【變2-1].如圖，拋物線yu/+fec+Z交無軸于點A(-3,0)和點B(1,0),交y軸于

點C.

(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點。的坐標為(-1,0),點尸為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形AOCP

面積的最大值.

解：(1)拋物線的表達式為：y—a(x+3)(x-1)—a(/+2x-3)=ax1+2ax-3a,

即-3o=2,解得：&

2

故拋物線的表達式為：y=-2-x^x+2,

33

則點C(0,2),函數(shù)的對稱軸為：x=-1；

則S=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPOSAODC

yXAOXyp-4-xoCXIXpI^-XCOXOD

19n411o

,yX3X(-xFX+2)后X2X(-x)丁X2Xl=-x-3x+2,

V-l<0,故S有最大值，當x='時，s的最大值為工.

24

【變2-2].如圖，在平面直角坐標系中，直線-2與x軸交于點8,與y軸交于點C,

二次函數(shù)y=/x2+bx+c的圖象經過B,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A,動點。在

直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)連接DC,DB,設△BCD的面積為S,求S的最大值.

解：(1)把x=0代尸￡x-2得y=-2,

：.C(0,-2).

把y=0代y=/x-2得x=4,

：.B(4,0),

設拋物線的解析式為y=*(x-4)(x-m),將C(0,-2)代入得：2m=-2,解得:

m--1,

AA(-1,0).

拋物線的解析式y(tǒng)=工(%-4)(尤+1)=—x2--X-2；

222

(2)如圖所示：過點Z)作軸，交BC與點、F.

—x1+2x.

2

S/xBCD——OB'DF—AX4X(-—^+2x)—-/+4x=-(x2-4x+4-4)=-(尤-2)

222

2+4.

...當x=2時，S有最大值，最大值為4.

1.如圖，拋物線尸-尹+獷2與x軸交于A,2兩點，與y軸交于點C,若點尸是線段

BC上方的拋物線上一動點，當△BCP的面積取得最大值時，點尸的坐標是()

A.(2,3)B.(旦，至)C.(1,3)D.(3,2)

28

解：對于y=-1■/+旦x+2,令y=-工/+旦x+2=0,解得x=-l或4,令x=0,則y

22'22'

—2,

故點A、B、C的坐標分別為(-1,0)、(4,0)、(0,2),

過點P作y軸的平行線交BC于點H,

由點2、C的坐標得，直線BC的表達式為y=-￡X+2,

設點P的坐標為(x,-—^+―x+2),則點”的坐標為(x,-—x+2),

222

貝！］ZXBCP的面積=SAPHB+SAPHC=」PHXO8=」X4X（-_1/+3X+2+XX-2）=-

22222

X2+4X,

V-l<0,故△BCP的面積有最大值，

當尤=2時，△BCP的面積有最大值，

此時，點尸的坐標為（2,3）,

故選：A.

2.如圖1,拋物線y=-^x2+bx+c與X軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,直線y=-^x+2

過8、C兩點，連接AC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上直線8c上方的一動點，求△「改:面積的最大值，并求出點尸坐標；

（3）若點。為拋物線對稱軸上一動點，求△Q4C周長的最小值.

：.C(0,2),

令y=0,則x=4,

：.B(4,0),

將點8(4,0)和點C(0,2)代入y=-^x2+bx+c，

(12

俎丁X4"+4b+c=0

c=2

依

解得：2,

c=2

...拋物線的解析式為>=-L/+?X+2；

22

(2)作「￡>〃,軸交直線8C于點。，

設尸(m,--irr+—m+1'),貝！I￡)(m,-—m+2'),

222

'.PD=--nr+—m+2-(-—m+2)=--m2+2m,

2222

222

.".SAPBC=—X4X(-AOT+2m)=-m+4m=-(m-2)+4,

22

.?.當〃z=2時，△P2C的面積有最大值4,

此時P(2,3)；

(3)令y=0,則卷x?弓x+2=0，

解得x=-1或x=4,

AA(-1,0),

-Xr+—.v+2=-—(x-2產+至

?y

22228

...拋物線的對稱軸為直線了=3,

2

1/A點與B點關于對稱軸對稱，

：.AQ=BQ,

：.AQ+CQ+AC=BQ+CQ+AC^BC+AC,

...當2、C、。三點共線時，，△QAC周長最小,

VC(0,2),B(4,0),A(-1,0),

:.BC=2煙,AC=遍，

AAC+BC=3V5-

△QIC周長最小值為3遍.

圖1

3.如圖，拋物線y=-f+fcr+c與無軸交于A（1,0）,8（-3,0）兩點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點。，使得△

Q4c的周長最小？若存在，求出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使△PBC的面積最大？若存

在，求出△PBC面積的最大值.若沒有，請說明理由.

解：⑴根據題意得：［l+b+c=O,

I-9-3b+c=0

解得(22,

Ic=3

則拋物線的解析式是y=-2x+3；

(2)理由如下：由題知A、8兩點關于拋物線的對稱軸尤=-1對稱,

???直線3。與尤=-1的交點即為。點，此時△AQC周長最小，

對于y=-x2-2x+3,令％=0,則y=3,故點C(0,3),

設BC的解析式是y=mx+n,

則13m+n=0,解得(m=l,

In=3In=3

則BC的解析式是y=x+3.

x=-1時，y=-1+3=2,

.?.點。的坐標是。(-1,2)；

(3)過點P作y軸的平行線交2C于點￡),

設尸的橫坐標是x,則尸的坐標是(尤，2x+3),對稱軸與BC的交點。是(x,無+3).

則尸￡)=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x.

則SAPBC——C-x2-3x)X3=--x2-—x——-—(x+—)~+^~,

222228

:一旦＜0,故△PBC的面積有最大值是21.

28

4.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線＞=辦2+廄-5與X軸交于A(-1,0),B(5,

0)兩點，與y軸交于點C.

圖1圖1備用圖

(1)求拋物線的二次函數(shù)解析式:

(2)若點尸在拋物線上，點。在x軸上，當以點8、C、P、。為頂點的四邊形是平行

四邊形時，求點尸的坐標;

(3)如圖2,點H是直線下方拋物線上的動點，連接8反，CH.當△BC7/的面積最

大時，求點打的坐標.

解：(1)過A(-1,0),B(5,0)

把A(-l,0),B(5,0)代入拋物線y=-+6x-5

=--

得0ab5

0=25a+5b-5

解得a=l

b=-4

y=x-4x-5；

(2)當x=0時，y=-5,

：.C(0,-5),

設尸(m,tri2-4WJ-5),Q(九,0),

①為對角線,

貝UXQ-XC=XB-xp,yQ-yc=yB-yp,

舍去),

解得吁(m=°

n=ln=5

：.P(4,-5),

②CP為對角線,

貝ijXQ-xc=xp-XB,yQ-yc=yp-yB,

m=2+JT^或

解得

n=V14-3n=_3-VT4

：.P(2+A/14>5)或(2-A/14，5),

③C。為對角線時，CP//BQ,

則點尸（4,-5）；

綜上尸（4,-5）（2-V14-5）（2+-/14>5）；

第三種，CQ為對角線不合要求，舍去；

（3）過X作由〃y軸交2C于。，

圖2

:.SABCH=S&CDH+SABDH=LHD(XH-尤c)+—HD(XB-XH)=—HD(XB-xc)=>HD,

2222

設BC：y=kx+bi,

"C過8、C點，

代入得，

'5k+b1=0

<,

b[=-5

'k=l

(b】=-5'

??y=x-5,

設H(/?,h2-4h-5),D(h,h-5),

22

5ABC//=—//D=—X[/7-5-Ch-4/7-5)]=-9(/?-9)+^-,

22228

.?.當/z=5時，“(上，-至)時，5段6%次=嶼.

2248

圖1

5.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點，B點、

的坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,-3),點尸是直線BC下方拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)連接尸。，PC,并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POPC.是否存在點P,使四

邊形尸OPC為菱形？若存在，求出此時點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形A8PC的面積最大？求出此時尸點的坐標和四邊

形ABPC的最大面積.

，c=-3,

二次函數(shù)的解析式為y=/+bx-3,

1點2(3,0)在二次函數(shù)圖象上，

；.9+3b-3=0,

:?b=-2,

二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3；

(2)存在，理由：如圖1,

連接PP交y軸于E,

?.?四邊形POPC為菱形，

：.PP'±OC,OE=CE=LOC,

2

1點C(0,-3),

OC=3,

OE=3,

2

：.E(0,-—),

2

，點尸的縱坐標為-3,

2

由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3,

-2x-3—-,

2

??,點P在直線BC下方的拋物線上,

A0<x<3,

???點八呼/

(3)如圖2,過點尸作軸于凡RiJPF//OC,

由(1)知，二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3,

令y=0,貝!J/-2x-3=0,

.?.x=-1或x=3,

/.A(-1,0),

???設P(m,m2-2m-3)(0<m<3),

.,.F(m,0),

5四邊形ABPC=SAAOC+S梯形OCPF+SNFB=—OA*OC+—(OC+PF)?OF+—PF9BF

222

=—XIX3+—(3-加?+2用+3)?m+—-m2+2m+3)*(3-m)

222

.?.當z*=3時，四邊形4BPC的面積最大，最大值為圭，此時，P（1,-」互）,

2824

四邊形ABPC的面積最大，其最大值為圭.

8

圖】

6.如圖，拋物線y=o?+a+c與坐標軸交點分別為A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作

直線BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為拋物線上第一象限內一動點，過點P作軸于點設點尸的橫坐標

為t(0</<3),求AABP的面積S與t的函數(shù)關系式；

(3)條件同(2),若△OOP與△COB相似，求點尸的坐標.

a-b+c=0

解：(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入y=o?+bx+c得：<9a+3b+c=0,

,c=2

解得：a=-―,b——,c=2,

33

???拋物線的解析式為y=-Z/+匡x+2.

33

(2)設點P的坐標為-2r+A?+2).

33

VA(-1,0),B(3,0),

：.AB=4.

.\S=^AB'PD=^X4X(-2祥+4/+2)=-9金+&/+4(0<r<3)；

223333

（3）當△ODPS^COB時，型=更即工=^----3--------,

OC0B23

整理得：4?+r-12=0,

解得：t=-1川193_或t=-1_V193_（舍去）.

88

：.OD=t=?—]93，DP-OD―—3+37193，

8216

...點P的坐標為（.—1_1=°一,———37193）.

816

當△ODPS^BOC,則四=地，即工=§七節(jié)1+2,

BO0C32

整理得？27-3=0,

解得：■或片（舍去）.

22

：.OD=t=-+^13-.DP=2OD=：13,

233

點P的坐標為（上乜亙,上空運）.

23

綜上所述點尸的坐標為（士叵2,於@垣_）或（止叵，上退_）.

81623

7.如圖，拋物線y=―-3辦-4。（a<0）與x軸交于A,8兩點，直線y=/■無+/經過點

A,與拋物線的另一個交點為點C,點C的橫坐標為3,線段產。在線段A8上移動，PQ

=1,分別過點P、。作無軸的垂線，交拋物線于E、F,交直線于。，G.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當四邊形。EFG為平行四邊形時,求出此時點P、。的坐標；

（3）在線段PQ的移動過程中，以。、E、F、G為頂點的四邊形面積是否有最大值，若

有求出最大值，若沒有請說明理由.

k

JK：/

qAx

備用圖

解：（1）???點C的橫坐標為3,

.*.y=Ax3+A=2,

22

.?.點C的坐標為(3,2),

把點C(3,2)代入拋物線，可得2=9。-9“-4a,

解得：a=」，

2

2

拋物線的解析式為y=-jX-k1x+2；

(2)設點尸(m,0),Q(m+1,0),

由題意，點、DGn,—/n+4-)ECm,+^-m+2)>G(m+1,—/M+1),FCm+1,

22222

蔣m2V1rl+m),

V四邊形DEFG為平行四邊形，

：.ED=FG,

,,(蔣m2+^m+Z)-("^■小+"^)=(蔣1n2卷m+3)-(■^■m+1)，BP+m+2'

—124

-方m+2,

??根=0.5,

：.P(0.5,0)、Q(1.5,0)；

(3)設以￡>、E、F、G為頂點的四邊形面積為S,

由(2)可得，S=(2tm總」1^+2)乂1+2=」(-病+加+工)：工(二)2善,

22222228

.?.當用=工時，S最大值為至，

28

...以。、E、F、G為頂點的四邊形面積有最大值，最大值為K.

8

8.如圖，已知二次函數(shù)>=辦2+樂+3的圖象交x軸于點A(1,0),B(3,0),交y軸于點

C.E是BC上一點,PE〃y軸.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求BC尸面積的最大值；

(3)直線x=:"分別交直線BC和拋物線于點M,N,當機為何值時

解：(1)將A(1,0),B(3,0)代入函數(shù)解析式，得

(a+b+3=0

19a+3b+3=0

解得卜=1,

lb=-4

這個二次函數(shù)的表達式是y=/-4x+3；

(2)當x=0時，y—3,即點C(0,3),

設的表達式為y=&+b,將點2(3,0)點C(0,3代入函數(shù)解析式，得

f3k+b=0

ib=3

解這個方程組，得任“I.

lb=3

故直線BC的解析是為y=-x+3,

過點尸作PE〃y軸，

：?S&BCP=SABPE+SACPE='(-?+3r)X3=--Ct-

22

?；-3<o,

2

，當片區(qū)時，SABCP^=—.

28

(3)MCm,-，"+3),N(m,nr-4〃?+3),

：.MN=\m2-3m\,BM=y[2\m-3|,

當時，m2-3m=V2(?i-3),解得

9.已知直線＞=2%-3與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=-Sf+mx+w經過點

44

A和點C.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)在直線C4上方的拋物線上是否存在點。，使得△AC。的面積最大？若存在，求出

點。的坐標；若不存在，說明理由.

把y=0代入y=Sx-3得3》-3=0,解得x=4,則A點坐標為(4,0),

44

，9

4-X4+4m+n=0

把A(4,0),C(0,-3)代入y=-1,+儂+?2得＜4

n=-3

解得F4,

n=-3

所以二次函數(shù)解析式為y=-乎+印-3；

(2)存在.

過。點作直線AC的平行線＞=依+匕，當直線y=fcc+b與拋物線只有一個公共點時，點。

到AC的距離最大，此時△ACD的面積最大，

?.?直線AC的解析式為y=-|x-3,

.'.k=—,即y=—x+b,

4-4

_3,

yqx+b

由直線y=^-x+b和拋物線y=--3組成方程組得|。1C，消去

444_3215

IF7-3n

y得至【J3f-12x+46+12=0,

.,.△=122-4X3X(46+12)=0,解得6=0,

；.3/-12x+12=0,解得XI=X2=2,

把x=2,才=0代入得y=1,

.?.■D點坐標為(2,—

2

10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ci?+b尤-3交無軸于點A(-1,0),2(3,0),

過點8的直線尸號-2交拋物線于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點尸是直線BC下方拋物線上的一個動點(尸不與點B,C重合)，求APBC面積

的最大值.

J,/

解：(1)將點A(-1,0),B(3,0)代入>=辦2+灰-3中，得：

(a-b_3=0

19a+3b-3=0

解得：卜=1,

lb=-2

該拋物線表達式為y=7-2x-3.

(2)如圖1,

圖1

過點尸作PO〃y軸，交x軸于點O,交BC于點、E,作CfUP。于點R連接尸8,PC,

設點尸(機，機2_2加-3),則點E(m,2m-2),

3

'.PE=PD-DE=-m2+2m+3-(--m+2)=-m2+—m+l,

33

y=x2-2x-3

聯(lián)立方程組：，2

y=yx-2

o

1

x?=3X2-三

解得：，

丫1=020,

X2~~

:點B坐標為(3,0),

...點c的坐標為(-1，-20),

39

.*.BZ)+CF=3+|A|=12-.

33

S^PBC=S^PEB+S^PEC=-PE*BD+—PE*CF

22

=LE(BD+CF)

2

=—(-nr+—m+l)X.12.=-—(m--)2+-^.,(其中-—<m<3).

23333273

：-S<o,

3

這個二次函數(shù)有最大值.

.?.當機=邑時，S*BC的最大值為坨.

327

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=4■龍-2與x軸交于點A,與y軸交于點

B,過A、8兩點的拋物線y=a/+bx+c與x軸交于另一點C(-1,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點P,使SARW=SAOAB?若存在，請求出點尸的坐標，若不

存在，請說明理由；

(3)點M為直線A8下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當△M4B的面積最大時，

求MN+工ON的最小值.

2

解：(1),?直線y=/x-2與x軸交于點A,與y軸交于點B,

.?.點A(4,0),點8(0,-2),

設拋物線解析式為：y=a(x+1)(x-4),

??i2=-4”，

?,?_a-1,

2

拋物線解析式為：y=—(尤+1)(x-4)="1/-旦彳-2；

-222

(2)如圖1,當點P在直線A3上方時，過點。作。尸〃交拋物線于點尸,

/圖1

,?OP//AB,

:.AABP和△ABO是等底等高的兩個三角形

??S/\PAB~S/\ABOi

?：OP〃AB,

直線PO的解析式為y=/x,

f_1

y=yx

聯(lián)立方程組可得＜1。，

丫工22

Iy22

解得：卜=2+2/或卜=2-2/,

y=l+V2(y=l-V2

點尸(2+2&,1+V2)或(2-2?1-&);

當點尸"在直線AB下方時，在02的延長線上截取2E=0B=2,過點E作E尸”〃AB,交

拋物線于點尸"，連接AP',BP",

：.AB//EP"http://0P,0B=BE,

-'?S^AP"B=S/^ABO,

"：EP"http://AB,且過點E(0,-4),

直線EP解析式為y=lx-4,

f1,

y節(jié)x-4

聯(lián)立方程組可得，，。，

J.x2J.2

Iy22

解得I{x=2,

ly=-3

點尸'(2,-3),

綜上所述：點尸坐標為(2+26，1+&)或(2-272-1-V2)或(2,-3)；

(3)如圖2,過點M作MFLAC,交AB于F,

2

設點MCm,Am-l.m-2),則點F(m,工機-2),

222

；.MF=—m-2-C—m2-—m-2)=--(im-2)2+2,

2222

...△MAB的面積=』X4X[-工-2)2+2]=-(m-2)2+4,

22

當m=2時，AMAB的面積有最大值，

.,.點M(2,-3),

如圖3,過點。作NKOB=30°,過點N作為7，。長于犬點，過點M作MPL0K于P,

延長交直線K。于。，

Q

圖3

'：ZKOB=30°,KNLOK,

：.KN=—ON,

2

：.MN+工ON=MN+KN,

2

:.當點、M,點、N,點K三點共線，且垂直于OK時，MN+LoN有最小值，即最小值為

2

MP,

：NKOB=30°,

直線OK解析式為y=?x,

當x=2時，點。(2,2?),

.?.。河=2正+3,

'JOB//QM,

：.ZPQM=ZPON=30°,

：.PM=—QM=V3+—，

22

:.MN+&ON的最小值為F+檢.

12.直線y=-/x+2與x軸交于點A,與y軸交于點8,拋物線y=-x2+bx+c經過A、B

兩點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若尸是直線AB上方拋物線上一點；

①當△P8A的面積最大時，求點P的坐標；

②在①的條件下，點尸關于拋物線對稱軸的對稱點為Q,在直線A8上是否存在點

使得直線。M與直線8A的夾角是的兩倍？若存在，直接寫出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

B,

解：(1)直線y=-*%+2與x軸交于點A,與y軸交于點5,則點A、3的坐標分別為:

(4,0)、(0,2),

(7

將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：(c=2,解得：6而，

10="16+4b+cc=2

故拋物線的表達式為：＞=-/+工戶2；

2

(2)①過點P作y軸的平行線交8c于點N,設尸(m,-加2+工,”+2),點N1

22

AX4X(-m2+—m+2+—m-2)=-2m2+8m,

222

當加=2時，S最大，此時，點尸(2,5)；

②點P(2,5),則點。(3,5),設點M(a,--(?+2)；

22

貝I](<2--)2+(—67+3)2=(?-4)2+(--?+2)2,

222

解得：a=—,

8

故點Mi(工，空)；

816

(II)若

則ZQM2B=ZQMiB,QMi=QMi,

作Q”_LAB于H,BQ的延長線交x軸于點N,

則tan/8Ao=四=工，則tan/。7vA=2,

OA2

故直線。/7表達式中的左為2,

設直線。”的表達式為：y=2x+b,將點。的坐標代入上式并解得：b=2,

故直線?！钡谋磉_式為：y=2x+2,故〃(0,2)與B重合，

M2、Ml關于B對稱，

???(739\

?*2\—,，)；

816

綜上，點M的坐標為：(工，至)或(-［，39).

816816

13.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=0？+版-3QW0)交y軸于點A,交x軸于點

B(-3,0)和點C(1,0).

備用圖備用圖

(1)求此拋物線的表達式.

(2