2024年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：三角板拼接（解析版）

模型介紹

L如圖所示為一塊含有30°角的三角板，則NA=°，ZB=°,Z

C=

A

2.如圖所示為一塊含有45°角的三角板，貝UNA=°,ZB=°,Z

C=°o

B

[3方法點睛

我們知道一副三角板是由一塊含有銳角分別為30°,60°的直角三角板和另一塊含

有兩個銳角45°的等腰直角三角板組成，它們提供了較為直觀的30°,45°,60°以及

90°,此外這些角度還可以進行一些拼湊。依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、

內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角之間的關(guān)系，今天我們就來學(xué)習(xí)下由平行線與三角板構(gòu)成的些位置角

的計算或證明問題.

0百0m例題精講

【例1工將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同一條直線上），連接另外兩

個銳角頂點，并測得Nl=45°,則N2的度數(shù)為

/3=180°-60°-45°=75°,

因為/1=45°,

所以N2=180°-Z1-Z3=18O°-45°-75°=60°.

A變式訓(xùn)練

【變式1T】.如圖，一副三角尺AABC與△AOE的兩條斜邊在一條直線上，直尺的一邊

GF//AC,則的度數(shù)為105°.

解法一：'：GF//AC,ZC=90°,

A180°-90°=90°,

又：人。，CF交于一點,ZC=ZD,

：.ZCAD=ZCFD=60°-45°=15°,

：.ZDFG=ZCFD+ZCFG=15°+90°=105°.

解法二：,/GF//AC,ZCAB=60°,

：.ZFGE^60°,

又/G是△Ef'G的外角，ZFEG=45°,

；.NDFG=NFGE+NFEG=60°+45°=105°,

故答案為：105°.

【變式1-2].一副三角尺按如圖的位置擺放(頂點C與尸重合，邊CA與邊也疊合，頂點

B、C、。在一條直線上).將三角尺。所繞著點尸按順時針方向旋轉(zhuǎn)"后(0</<180),

如果DE//AB,那么n的值是75°.

:順時針旋轉(zhuǎn)”。后,DE//AB,

：.D'E//AB,

延長AC、交于點G,

：.ZCGD'=ZCAB=45°,

?.?/SE=60°,

.,./GG7=15°,

ZGCD'+ZD'CE+ZACE1=1800,NDCE=90°,

/ACE=75°,

：.n的值為75.

故答案為：75°.

【例2】.將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若直線?！╞,則N1的度數(shù)為75。

解：如圖，Z2=45°,Z3=60°,

.,.Z2+Z3=45°+60°=105°,

'：a//b,

AZI=180°-105°=75

故答案為：75°.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若/1=43°,則/2=()

A.40°B.43°C.45°D.47°

解：如圖，?.?/1=43°,Z4=45°,

.*.Z3=Z1+Z4=88°,

???直尺對邊平行，

.\Z5=Z3=88O,

；/6=45°,

.\Z2=180o-45°-88°=47°,故選：D.

【變式2-2].在一副三角尺中/BR4=45°,ZCPD=60a,ZB=ZC=9Q°,將它們按

如圖所示擺放在量角器上，邊PO與量角器的0?？潭染€重合，邊AP與量角器的180。

刻度線重合.將三角尺PC。繞點尸以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角尺繞點

P以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時兩塊三角

尺都停止運動，則當(dāng)運動時間f=6、9、15、33秒時,兩塊三角尺有一組邊平行.

①當(dāng)AP〃CZ）時，ZAPD+ZD=1SO°.

VZ￡>=30°,

AZAP￡>=150°.

.?.180°-5/=150°.

t=6.

②當(dāng)A8〃尸。時，ZA+ZAPD=180°.

VZA=45°,

AZAPD=135°,

.*.180°-5？=135°,

t=9.

③當(dāng)A5〃C0時，ZAPD=105°=180°-5t,

④當(dāng)AB〃CP時，NCPB=9Q°,

：.ZAPD=60°+45°-90°=180°-5t,

，f=33.

⑤當(dāng)4P〃CD時，ZC+ZAPC=180°,

AZAPD=9Q°,

/.ZAPD=30°=5r-180°,

/.r=42>40（舍去）.

故答案為：6,9,15,33.

D

n實戰(zhàn)演練

1.將一副三角板按如圖所示方式疊放在一起，其中直角頂點重合于點0,若A8〃0Q,則

Z1的度數(shù)為（）

C.70°D.75°

解：由題意可知,

ZB=45°，ZD=30°，

9：AB//OD,

：.ZBOD^ZB=45°,

???N1=N8O0+N。,

AZ1=45°+30°=75°，

故選：D.

2.一把直尺與一塊三角板如圖放，若Nl=49°,則N2的度數(shù)為（）

C.131°D.139°

+49°=139°,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：N2=N3=139。.

故選：D.

3.如圖，直線加〃小三角尺的直角頂點在直線機上，且三角尺的直角被直線加平分，若

Zl=60°,則下列結(jié)論正確的是（）

A.N2=65°B.Z3=45°C.Z4=125°D.Z5=130°

???N6=N7=45°,

TN1=60°,

???N4=N6+N1=45°+60°=105°,

\9m//n,

???N3=N7=45°,Z2=180°-Z4=75°,

???N5=180°-Z3=180°-45°=135°,

選項A、C、D不符合題意，選項B符合題意,

故選：B.

4.將一副三角板按如圖所示的位置擺放A8〃C0,則N1的度數(shù)為（）

由題意得：Z￡)=45°,ZB=30°,

,:W8,

：.ZANM=ZD=45°,

：?NBNE=/ANM=45°,

VZ1是△BEN的外角，

:?/]=/B+/BNE=75°.

故選：C.

解：如圖:

ZBAC=45°+60°=105°,

*：a//b,

：.Z1+ZBAC=1SO°,

AZI=180°-105°=75°

故選：B.

6.一副三角板按如圖所示的位置疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是（）

由題意得：ZA=45°,Z2=60°,

VZ2是△ABC的外角，

/.Za=Z2-ZA=15°.

故選：C.

7.將一副三角板按如圖所示的位置擺放，NC=/EDF=90°,NE=45°,NB=60°,

點。在邊BC上，邊DE,AB交于點G.若E尸〃AB,則NCDE的度數(shù)為（

B.100°C.95°D.75°

解：'：EF//AB,Z￡=45°,

:./BGD=/E=45°,

是△8￡>G的外角，NB=60°,

AZCDE=ZB+ZBGD=105°.

故選：A.

8.將一副直角三角板按如圖所示方式疊放,現(xiàn)將含30°角的三角板固定不動，把含45°角

的三角板繞。點按每秒15°的速度沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)兩塊三角板的斜邊平

行時，則三角板旋轉(zhuǎn)的時間為（）秒.

C.5或17D.7或19

解：如圖，當(dāng)斜邊時，ZAOD=ZA=30°,

VZ￡)OE=45O,

旋轉(zhuǎn)角COE=180°-AOD-ZDOE=105°,

105°+15°=7(秒)；

如圖，將△ABE繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)180°,可得斜邊A2〃0。'，

此時，旋轉(zhuǎn)角為105°+180°=285°,

285°+15°=19；

故選：D.

9.將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺

（AACD）的斜邊恰好重合，已知AB=4愿，P、0分別是AC、上的動點，當(dāng)四邊

形。P8Q為平行四邊形時，平行四邊形。尸2。的面積是（）

2

解：VZACB=90°,ZCAB=30°,AB=4A/5,

.".AC=AB*cos30°=4y[3X—=6,

2

四邊形DPBQ為平行四邊形，

J.DP//CB,

：.ZDPC^ZACB^9Q°,

'：DA=DC,ZADC=90°,

點P是AC的中點，

.?.Z)P=PC=LC=3,

2

平行四邊形DPBQ的面積=OP?PC

=3X3

=9,

故選：A.

10.將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點。在邊AC上，BC//EF,則NAOE的大小為

75度.

VBC/7EF,

：.Z1=ZE=45°,

：.ZADE=Z1+ZC=45°+30°=75°,

故答案為：75.

11.已知：如圖，AB//CD,一副三角板按如圖所示放置，ZAEG=30°.求廠。的度數(shù).

解：過點G作A5平行線交跖于尸，

由題意易知，AB//GP//CD,

：./EGP=NAEG=30°,

/.ZPGF=60°,

：.ZGFC=ZPGF=60°,

???ZHFD=180°-ZGFC-ZGFP-/EFH=45

12.將一副三角板如圖拼接：含30°角的三角板(AABC)的長直角邊與含45°角的三角

板(AACD)的斜邊恰好重合.已知AB=2A/E，尸是AC上的一個動點，連接。尸.

(1)當(dāng)點尸運動到/A8C的平分線上時，求。尸的長；

(2)當(dāng)點尸在運動過程中出現(xiàn)時，求此時/PDA的度數(shù).

解：（1）在RtZXABC中，AB=2?ZBAC=30°

：.BC=4Z，AC=3.

如圖（1）,作_LAC

：RtZv!C￡）中，AD=CD

：.DF=AF^CF=-,

2

,：BP平分/ABC

AZPBC=30°

/.CP=BOtan30°=1

2

.,.Z）P=A/pF2+DF2=VI^.

（2）當(dāng)P點位置如圖（2）所示時，

根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=^~,ZADF=45

2

又PD=BC=a

./Dr（j7DFVs

..cosZPDF=-=^-=-^-

PD2

???/PDF=30°

：.ZPDA=ZADF-APDF=\5°

當(dāng)尸點位置如圖（3）所示時，

同（2）可得NP￡）P=30°.

ZPDA=ZADF+ZPDF=75°.

13.小聰把一副三角尺ABC,DCE按如圖1的方式擺放，其中邊BC,0c在同一條直線上,

過點A向右作射線AP//DE.

(1)如圖2,求/B4c的度數(shù)；

(2)如圖3,點。是線段BC上一點，若NAQB=亙/PAQ，求/QAB的度數(shù).

3

解：(1),:AP〃DE,

：.ZPAB+AD=Z.ABD,

VZZ)=30°,ZABD=90°,ZBAC=45°,

：.ZPAC=15°.

(2)a：AP//DE,

：.ZPAQ+ZD=ZAQB,

'：ZAQB^^ZPAQ,

.?.設(shè)NB4Q=x,則/AQB=$x,

3

.*.x+30o=—x,

3

解得％=45°,

AZAQB=15°,

：.ZQAB=90°-75°=15°.

14.將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起:

(1)若NOCE=35°,則NAC8的度數(shù)為145°

(2)若NAC5=140。，求NOCE的度數(shù)；

(3)猜想NACB與/DCE的大小關(guān)系，并說明理由；

(4)三角尺ACD不動，將三角尺BCE的CE邊與C4邊重合，然后繞點C按順時針或

逆時針.方向任意轉(zhuǎn)動一個角度，當(dāng)NACE(0°<ZACE<9Q0)等于多少度時，這兩

塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出/ACE角度所有可能的值，不用說明理由.

解：⑴VZACD=ZECB=90°,

：.ZACB=180°-35°=145°.

(2)VZACD=ZECB=90°,

；./r)CE=180°-140°=40°.

(3)VZACE+ZECD+ZDCB+ZECD=180.

,/ZACE+ZECD+ZDCB=ZACB,

：.ZACB+ZDCE=180°,即/ACS與/。CE互補.

(4)30°、45°、60°、75°.

15.將一副三角尺按如圖①方式拼接：含30°角的三角尺的長直角邊與含45°角的三角尺

的斜邊恰好重合(在中，ZACB=90°,NBAC=30°；在RtzXAC。中，ZADC

=90°NZMC=45°)己知AB=2?P是AC上的一個動點.

(1)當(dāng)時，求NPD4的度數(shù)；

(2)如圖②，若E是。的中點，求△￡>￡?周長的最小值；

(3)如圖③，當(dāng)。P平分/4OC時，在△ABC內(nèi)存在一點。，使得NDQC=NDPC,

且CQ=**,求P。的長.

解：(1)如圖1,過點。作DMLAC交于V,

D

圖1

在RtZVIBC中，ZBAC=30°,

：.BC：AC：AB=l：A/3：2,且A8=2?,

:.BC=M，AC=3,

在RtZXADC中，AO：CD-.AC=1：1：近,

：.AM=MC=DM=1.5；

在RtZ\P￡)M中，PD=BC=^pi，

PM=5(V§)2-(1.5)2=亨，

：.PM=-^PD,

2

：.ZPDM=?>QO,

：.ZPDA=45°-30°=15°；

當(dāng)點尸位于DM右側(cè)時，ZPDA=45°+30°=75°.

(2)如圖2,作△ADC關(guān)于直線AC對稱，。的對稱點為。'，

D

圖2

則四邊形A。'C。是正方形，

連接O'E,PD,

此時產(chǎn)￡)+尸￡=。'E,

.?.△POE的周長最小，

易得CD=CD'CE=DE=^^~,

24

則o'E=J(j2^_)2+(_g^_?=,

APDE的周長的最小值為對頁+史巨；

44

(3)如圖3,作NQPN=90°,交。。于點N,

由/。QC=NOPC=90°知NPDN=NPCQ,

由/OPQ=NDPN+90°=ZCPg+90°知NDPN=/CPQ,

又DP=CP,

：./\DPN^/\CPQ(ASA),

:.PN=PQ,

/\PNQ是等腰直角三角形,

：.ZPNQ=ZPQN=45°,

；./PQC=45°+90°=135°=/PND,

：.DN=CQ=J^~,

在Rtz\DQC中，DQ==2,

??3=2-冬

在等腰直角三角形NP。中，PQ：