2024年中考數(shù)學專項復習：一次函數(shù)背景下的將軍飲馬問題（解析版）

專題一次函數(shù)背景下的

將軍飲馬問題

rim

僦j模型介紹

D方法點撥

一、求線段之和的最小值

1、在一條直線m上，求一點P,使PA+PB最小;

(1)點A、B在直線m兩側:

(2)點A、B在直線同側:

A、A'是關于直線m的對稱點。

2、在直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個點都在直線外側:

A

A

m

(2)一個點在內側，一個點在外側:

(4)、臺球兩次碰壁模型

變式一：已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的

四邊形ADEB周長最短.

變式二：已知點A位于直線m,n的內側，在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最

需例題精講

【例1】.矩形048c在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點8的坐標為（3,4）,。是

OA的中點，點E在A8上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為（3,&）

3-

解：如圖,作點。關于直線AB的對稱點連接C8與的交點為E,此時△CDE的

周長最小.

(2,0),A(3,0),

2

：.H(旦,0),

2

直線CH解析式為尸-肉+4,

；.x=3時，y=—,

-3

二點E坐標（3,—）,

3

故答案為：（3,A）.

3

A變式訓練

【變17].已知菱形OABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，頂點A（5,0）,OB=4疾,

點尸是對角線02上的一個動點，。（0,1）,當CP+DP最短時，點尸的坐標為（）

解：如圖，連接AC交于K,作KHJ_OA于凡

:四邊形ABC。是菱形，

：.ACLOB,A、C關于對角線。8對稱,

：.PC=PA,

：.PC+PD^PA+PD,

...當Q、P、A共線時，PC+尸。的值最小，

在Rt/XOAK中，，：OK=2疵,0A=5,

；?AK=VOA2-OK2=遙，

'：KH±0A,

...KH=Q^L=2,O//=>/QK2_KH2=4,

：.K(4,2),

直線OK的解析式為y=/x，

直線AD的解析式為尸--1x+l,

f_if10

y至xx^-

由(1，解得｛u，

■Lt0

y="Fx+ly=v

ID(

與AQ的交點P且），

77

:.當點、P與P'重合時，CP+QP最短時，點尸的坐標為（①，—

77

【變1-2].如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABC。的頂點8在原點，點A、C在坐標軸

上，點。的坐標為（6,4）,E為CZ）的中點，點、P、。為BC邊上兩個動點，且PQ=2,

要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標應為（型，0）.

3

解：點A向右平移2個單位到點E關于的對稱點R連接交3c于0,

此時MQ+EQ最小，

,:PQ=2,DE—CE—2,AE=q$2+22=2V10'

要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+E。最小就行，

即AP+EQ=MQ+EQ,過M作MNLBC于N,

F

設CQ=x,貝INQ=6-2-x=4-x,

,/AMNQs/\FCQ,

.MNNQ

*'CF'CQ

?：MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4-x,

.44-x

>?1=

2x

：.BP=6-2-

33

故點P的坐標為：（色,0）.

3

故答案為：（&，0）.

3

【例2].如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,3）,點8坐標為（4,1）,點C在

無軸上，點。在y軸上，則以為頂點的四邊形的周長的最小值是_'/1§±歷_.

y

解：如圖，作點A關于y軸的對稱點4,，點B關于無軸的對稱點8',連接A'B'交

無軸于C,交〉軸于。，連接A￡>,CD,BC,AB,四邊形ABC。的周長最小.

由作圖可知：AD^DA',BC=CB，,A'(-1,3),B'(4,-1)

四邊形ABCD的周長=AB+BC+C￡)+A。

=AB+B'C+CD+DA'

=AB+A'B1

=V32+22+V52+42

=A/13+V41-

故答案為后

A變式訓練

【變2-1].如圖所示，已知點C(l,0),直線y=-x+7與兩坐標軸分別交于A,B兩點,

D,E分別是線段A3,上的動點，則△COE的周長的最小值是()

C.4A/2+4D.12

解：作點C關于〉軸的對稱點C,作點C關于y=-X+7的對稱點C,連接CC,則4

CDE的周長的最小值為的長;

VC(1,0),

：.C(-1,0),

設CCm,w),則有

—=-"1+7,n=],

22m-l

??m=7,幾=6,

：.CU(7,6),

ACC^IO；

故選：B.

【變2-2].如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y*awo)在第一象限的圖象

交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為已知的面積為1.如果2為反比例

函數(shù)在第一象限圖象上的點(點B與點A不重合)，且3點的橫坐標為1,在x軸上求一

解：設A點的坐標為(a,b),則b*，

?*ctb~~k.f

:鼻=1，

'.k=2,

...反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)2.

根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:

二2

聯(lián)立得，

1

y=Ix

x=2

解得

y=l

為(2,1),

設A點關于x軸的對稱點為C,則C點的坐標為（2,-1）.

令直線BC的解析式為y=rwc+n

■:B為(1,2),

將B和C的坐標代入得:

fm=-3

解得:

ln=5

...BC的解析式為y=-3x+5,

當y=0時，x而，

???尸點為（9,0）.

3

故答案為：&o）.

X

1.如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點A,8,點C(-2,0)是無軸上

一點，點E,尸分別為直線y=x+4和y軸上的兩個動點，當周長最小時，點E,F

的坐標分別為()

解：作C(-2,0)關于y軸的對稱點G(2,0),作C(2,0)關于直線y=x+4的對稱

CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,止匕時△CEF周長最小,

由y=x+4得A(-4,0),B(0,4),

：.OA=OB,△AO8是等腰直角三角形，

：.ZBAC=45°,

VC,。關于AB對稱，

：.ZDAB=ZBAC=45

：.ZDAC=90°,

VC(-2,0),

：.AC=OA-OC=2=ADf

：.D(-4,2),

由。（-4,2）,G（2,0）可得直線OG解析式為y=-gx+弓，

在丁=-上了+當中，令x=0得y=2,

333

：.F（0,2）,

3

（5

fy=x+4x=?

由」12得，Q,

y=-7x-^y

33[y2

：.E（-2旦），

22

的坐標為（-9,旦），尸的坐標為（0,2）,

223

故選：C.

2.如圖所示，直線y=x+4與兩坐標軸分別交于A,B兩點，點C是的中點，D,E分

別是直線AB和y軸上的動點，則△CDE周長的最小值是2A/W.

解：如圖，作點C關于A2的對稱點R關于4。的對稱點G,連接。尸，EG,

?..直線y=x+4與兩坐標軸分別交于A、B兩點，點C是。2的中點，

AA(0,4),8(-4,0),C(-2,0),

：.BO=4,OG=2,BG=6,OA=OB,

：.ZABC=45°,

ABCF是等腰直角三角形，

：.BF=BC=2,

由軸對稱的性質，可得。廣=DC,EC=EG,

當點F,D,E,G在同一直線上時，的周長=CD+DE+C￡=Z>/+￡>E+EG=PG,

此時△OEC周長最小，

VRtABFG中，PG=VBF2+BG2=2Vl0，

△CDE周長的最小值是2百5.

故答案為：2行.

3.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+3&的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點

B,點P在線段上，PCLx軸于點C,則△2(%)周長的最小值為3+3J5.

解：設點PGw,m+3近),則PC=〃2+3&,OC=-m,

△PCO周長=OP+OC+PC=OP+〃z+3&-m=3近+PO,

即△PC。周長取得最小值時，只需要。尸最小即可，

設：OD=a,則￡>。=8￡>=°,

由勾股定理得：2a2=(3&)2,解得：a=3=OD=OP,

故△尸CO周長的最小值=3&+尸。=3+3加，

故答案為：3+3&.

4.如圖所示，已知點C(l,0),直線y=-x+7與兩坐標軸分別交于A,B兩點，D,￡分

解：如圖，點C關于OA的對稱點C'(-1,0),點C關于直線A8的對稱點C〃，

直線AB的解析式為y=-x+7,

直線CC〃的解析式為y=x-1,

由卜“X+7解得卜=4,

ly=x-lIy=3

直線AB與直線CC〃的交點坐標為K(4,3),

是CC"中點，

可得C"(7,6).

連接C'C"與A。交于點E,與AB交于點E),此時△￡)￡(7周長最小，

=22=10

△DEC的周長=￡>E+EC+CD=EC'+ED+DC"=C'C"VS+6-

5.如圖，在RtZxABO中，ZOBA=9Q°,A(4,4),點C在邊48上，且&=?1,點、D

CB3

為08的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在。4上移動時，使四邊形PD8C周長

最小的點P的坐標為P(3，旦).

3-3―

解：：在RtzXAB。中，NO2A=90°,A(4,4),

：.AB=0B=4,ZAOB=45°,

?.?螞=工，點。為。8的中點，

CB3

：.BC=3,0D=BD=2,

：.D(2,0),C(4,3),

作D關于直線OA的對稱點E,連接EC交OA于P,

則此時，四邊形PC8C周長最小，E(0,2),

?.?直線的解析式為y=x,

設直線EC的解析式為y=kx+b,

.(b=2

"14k+b=3，

解得：［4,

b=2

，直線EC的解析式為y=lx+2,

8

y=x

解I1得，，

y7+28

y=r

直線y=生計8分別交無軸，y軸于A,2兩點，點、C為OB

-3

的中點，點D在第二象限，且四邊形AOC。為矩形.動點尸為CD上一點，PHLOA,

垂足為H,點。是點B關于點A的對稱點，當BP+PH+HQ值最小時，點P的坐標為（-

4,4）.

解：BP+PH+”。有最小值，

理由是：?..直線y='x+8分別交x軸，y軸于A,8兩點，點C為的中點,

：.OB=S,OA=6,OC=4,

連接尸B,CH,HQ,則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，

：.PB=CH,

：.BP+PH+HQ^CH+HQ+4,

'：BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值,

只需C//+HQ最小即可，

?..兩點之間線段最短，

當點C,H,。在同一直線上時，CH+H。的值最小,

過點Q作。軸，垂足為

:點Q是點B關于點A的對稱點，

C.OA是的中位線，

：.QM=2OA=12,0M=0B=8,

：.Q(-12,-8),

設直線C。的關系式為：y=kx+b,

將C(0,4)和Q(-12,-8)分別代入上式得：

(b=4

I-12k+b=-8

解得：(b=4,

lk=l

.?.直線C。的關系式為：y—x+4,

令y=0得：x=-4,

：.H(-4,0),

軸，

：.P(-4,4),

故答案為：(-4,4).

7.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點A,B,C在小正方形

的頂點上.

(1)在圖中畫出與△ABC關于直線/成軸對稱的△A8C；

(2)在直線I上找一點P,使PA+PB的長最短.

解：(1)如圖,Z\A'B'C即為所求.

(2)如圖，點尸即為所求.

8.如圖，已知△ABC三個頂點坐標分別為A(0,4),8(-2,-2),C(3,0),點P在

線段AC上移動.當點P坐標為(1,機)時，請在y軸上找點。，使△PQC周長最小.

設直線AC的解析式為y=kx+b,

f_4

/Jb=4，解得“=萬，

13k+b=0卜=4

直線AC的解析式為y=-削+4；

:點尸在線段AC上移動，點尸坐標為(1,小)，

.,.m—-—X1+4=—,

33

：.P(1,區(qū)),

3

作尸點關于y軸的對稱點P,連接尸,C交y軸于。，此時PQ+QC=PC,根據(jù)兩點

之間線段最短，。就是使△PQC周長最小的點；

則P(-1,旦)，

3

設直線P'C的解析式為y=mx+n,

_8.2

~m+n-y,解得，血一石,

3m+n=0n=2

9.如圖，直線/i的解析表達式為y=-3x+3,且/1與無軸交于點￡),直線/2經(jīng)過點A、B,

直線/1、/2交于點C.

(1)求點D的坐標；

(2)求直線/2的解析表達式；

(3)在x軸上求作一點使BM+CM的和最小，直接寫出M的坐標.

解：(1)1?直線A的解析表達式為y=-3x+3,且/i與x軸交于點D

當y=0時，x=l,

：.D(1,0).

2

3k+b=-互

(2)設直線/2的解析式為>=丘+6,則有，O9

4k+b=0

—

33

17

y=-3x+3

(3)如圖,由，解得，

_28,18

一方

直線的解析式為>=至,

1212

：.M(里0).

19

10.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+10與x軸交于點8,與y軸交于點C,與

直線y=￡x交于點A,點M是y軸上的一個動點，設M(0,m).

(1)若MA+MB的值最小，求m的值；

(2)若直線AM將△ACO分割成兩個等腰三角形，請求出機的值，并說明理由.

備用圖

解：(1)直線y=-2x+10與x軸交于點8,與y軸交于點C,

：.B(5,0),C(0,10),

y=-2x+10

解；i得(x=4

Iy=2

.*.A(4,2),

點關于y軸的對稱點A'(-4,2),

如圖1,連接A'B,交y軸的交點為M,

此時,MA+MB^MA'+MB^A'B,MA+Affi的值最小,

設直線A'2的解析式為y=Ax+b,

把A'(-4.2),B(5,0)代入得［-4k+b=2,

I5k+b=0

解得左=-2,》=獨，

99

直線A'2的解析式為尸-尹號

把M(0,m)代入得，

(2)如圖2,VA(4,2),B(5,0),C(0,10),

：.OA2=42+22=20,AC2=(4-0)2+(2-10)2=80,OC2=102=100,

.\OA2+AC2^OC2,

.?.△OAC是以OC為斜邊的直角三角形,

若w點是OC的中點，則AM=」OC,此時直線AW將△AC。分割成兩個等腰三角形,

2

：.M(0,5),

??"2=5.

圖2

11.如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1,4）和（3,0）,點C是y軸上的

一個動點，且4B、C三點不在同一條直線上.

（1）求A8的長；

（2）求△ABC的周長的最小值；

（3）若。（3,4）,連接AD、CD,是否存在點C,使得△AC。的面積與6?若存在，

求出點C,若不存在，說明理由.

圖1

則/AQ8=90°,OD=1,AD=4,。8=3,

：.BD=3-1=2,

'-AB=422+d=2?

（2）如圖2中,

要使AABC的周長最小，A3一定，

則AC+BC最小，

作A關于y軸的對稱點A',連接BA'交y軸于點C,

點C即為使AC+BC最小的點，

作A'E_Lx軸于E.

由對稱的性質得：AC=A'C,

則AC+BC=A'B,A'E=4,OE=1,

；.BE=4,

由勾股定理得：A'B=742+42=4V2.

.'.△ABC的周長的最小值為2遙+4&.

（3）存在.如圖3中，設C（機，0）.

解得m=10或-2,

???滿足條件的點。的坐標為（0,10）或（0,-2）.

12.如圖，一次函數(shù)y=《x+2的圖象分別與X軸、y軸交于4B,以線段AB為邊在第一

象限內作等腰Rt^ABC,使/BAC=90°.

（1）分別求點A、C的坐標；

（2）在x軸上求一點P,使它到8、C兩點的距離之和最小.

,：ZOAB+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,

：.ZOAB=ZACD,

在△ABO和△C4。中，

，ZA0B=ZCDA=90°

<Z0AB=ZACD,

AB=AC

.?.△ABO也△CAO(AAS)

：.AD=OB,CD=OA,

,；y=-系：+2與x軸、y軸交于點A、B,

：.A(3,0),B(0,2),

.?.點C坐標為(5,3)；

則E點坐標為(5,-3),將(0,2)(5,-3),代入y=ar+c中,

(5a+c=-3

Ic=2

解得：，a=-l

1c=2

直線BE解析式為y=-x+2,

設點尸坐標為(x,0),

則(尤，0)位于直線BE上，

二點尸坐標為(2,0).

13.如圖，一次函數(shù)y=fcc+6的圖象與x軸，y軸分別交于點A(4,0),B(0,2).

(1)求該一次函數(shù)的表達式.

(2)。為坐標原點，。為42的中點，0c=1,點尸為y軸上的動點，求PC+尸。的最

小值，并求出此時點尸的坐標(用兩種不同的方法求解).

解：(1)設一次函數(shù)表達式為>=日+6,

將A(4,0)B(0,2)代入得

I2=b

解得：2,

b=2

所以一次函數(shù)表達式為>=--1x+2；

(2)法1：過點D作DELOA,交OA于點E,

VA(4,0),B(0,2),

；.OA=4,08=2,

又?.,。為AB中點，DE//OB,

:.DE為ABOA的中位線，

；.DE=—OB^1,0￡=工。4=2,

22

：.D(2,1),

作點。關于y軸的對稱點。'，連接O'C交y軸于點P',即為所求,

：.D'(-2,1),

VZD'=ZP'CO,ZD'HP'=ZP'OC,

；.△?HP'OC,

.D'H_HP'—

??----------;--乙，

OCOP'

：.OP'=」，

3

??P'坐標為(0,—),最小值為,(1+2)2+12=小10;

3

法2：求點的坐標部分同方法一，也可用中點坐標公式直接可得,

設直線O的表達式為丁=妙+及，

把。'(-2,1),C(1,0)代入得：(A2mtn,

I0=m+n

f1

m二萬

解得：],

,喝

??y~---x+--，

33

當尤=0時，y=l,

-3

14.已知一次函數(shù)y=fcc+6的圖象經(jīng)過點A(-1,-1)和點8(1,-3).求:

(1)求一次函數(shù)的表達式；

(2)求直線A8與坐標軸圍成的三角形的面積；

(3)請在無軸上找到一點P,使得PA+PB最小，并求出P的坐標.

解：(1)設y與尤的函數(shù)關系式為y=fcr+6,

把A(-l,-1)B(1,-3)代入得：-k+b=-1,k+b=-3,

解得：k=-1,b=-2,

，一次函數(shù)表達式為：y=-x-2；

(2)設直線與x軸交于C,與y軸交于。,

把y=0代入y=-x-2,

解得x=-2,

：.OC=2,

把x=0代入y=-x-2,

解得：y=~2,

：?0D=2,

.".5ACOD=—XOCXOD=Ax2X2=2；

22

(3)作A與4關于x軸對稱，連接A1B交x軸于P,則P即為所求,

由對稱知：Ai(-1,1),

設直線A15解析式為y="x+c,得-〃+c=l,a+c=-3,

解得：a=-2,c=-1,

-2x-1,

令y=0得-2x-1=0,

解得：x=-—,

2

：.P(-工，0).

2

15.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形A8C的頂點A在x軸上，AB=AC,Z

BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y軸于

(1)求點C的坐標；

(2)連接AM,求的面積；

(3)在x軸上有一動點P,當尸B+PM的值最小時，求此時尸的坐標.

解：(1)如圖1,作CD_L無軸于。，軸于

：.ZCAD+ZDCA^90°,

VZBAC=90°,

：.ZCAD+ZBAE^9Q°,

：.ZBAE=ZACD,

在△CDA和△AE8中，

,ZACD=ZBAE

-ZADC=ZBEA,

CA=AB

.?.△CDA^AAEB(A4S),

ACD=AE,AD=BE,

VA(2,0)、B(3,3),

：.OA=2,OE=BE=3,

：.CD=AE=1,OD=AD-OA=1,

；.C的坐標是（-1,1）；

（2）如圖2,作BE_Lx軸于E,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

點的坐標為（3,3）,C點的坐標是（-1,1）,

3k+b=3

-k+b=l

k4

解得，

b=2

直線BC的解析式為尸獷|，

當尤=0時，y=—,

-2

2

/.LAMB的面積二梯形MOEB的面積-△AOM的面積-4AEB的面積

=_Lx(旦+3)X3--X2X-2-Ax1X3

22222

=叵

V

(3)如圖3,作/關于x軸的對稱點AT(0,-3),連接8以，交x軸于點P,此時

2

PB+PM的值最小，

設直線BM'的解析式為

3mtn=3

則3，

n=~~2

f3

m=y

解得，dQ，

n=^2

直線2"的解析式為y=_|x-_|,

點尸在x軸上，當y=0時，x=\,

???點尸的坐標為(1,0).

圖3

16.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線y=fcr+8分別交x軸，y軸于A、B兩點,已

知A點坐標(6,0),點C在直線上，橫坐標為3,點。是無軸正半軸上的一個動點，

連接CD,以CD為直角邊在右側構造一個等腰RtZkCDE,且NCQE=90°.

(1)求直線AB的解析式以及C點坐標；

(2)設點D的橫坐標為m,試用含m的代數(shù)式表示點E的坐標；

(3)如圖2,連接OC,OE,請直接寫出使得周長最小時，點石的坐標.

解：(1)把A(6,0)代入y=fcv