專題11 圓錐曲線（4大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關）【高考數學】備戰(zhàn)2025年高考易錯題（新高考專用）含解析

【高考數學】備戰(zhàn)2025年高考易錯題（新高考專用）含解析專題11圓錐曲線易錯點一：求軌跡方程時忽略變量的取值范圍（求動點軌跡方程）求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：第一類：直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當的坐標系第二步：設點：設軌跡上的任一點第三步：列式：列出有限制關系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．第二類：定義法求動點的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．第三類：相關點法求動點的軌跡方程如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．第四類：交軌法求動點的軌跡方程在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．易錯提醒：求軌跡方程時，要注意準確確定范圍，應充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應的限制條件，避免因考慮不全面致錯．例．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.求曲線的方程；變式1．在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.求曲線的方程；變式2．已知y軸右側一動圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.求動圓圓心Q的軌跡M的方程；變式3．已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關于的對稱點為．求的軌跡的方程；1．已知圓，圓，動圓與圓和圓均相切，且一個內切、一個外切．求動圓圓心的軌跡的方程．2．在平面直角坐標系中，點到點的距離等于點到直線的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；3．設拋物線的方程為，其中常數，F是拋物線的焦點．(1)若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；(2)設是點關于頂點O的對稱點，是拋物線上的動點，求的最大值；(3)設是兩條互相垂直，且均經過點F的直線，與拋物線交于點,與拋物線交于點，若點G滿足，求點G的軌跡方程．4．已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.說明是什么曲線，并求的方程；5．已知為圓：上任一點，，，，且滿足.求動點的軌跡的方程；6．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．求點的軌跡的方程；7．已知圓，一動圓與直線相切且與圓C外切．(1)求動圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經過定點的直線l與曲線相交于兩點，M是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.8．圓，圓心為，點，作圓上任意一點與點連線的中垂線，交于.求的軌跡的方程；9．已知，，對于平面內一動點，軸于點M，且.求點Р的軌跡C的方程；10．在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.求C的方程；易錯點二：忽略了給定條件對e范圍的限定（離心率的求算）求離心率范圍的方法建立不等式法：技巧1：建立關于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．技巧5：涉及的關系式利用基本不等式，建立不等關系．易錯提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時候要時刻注意.例．已知雙曲線：的右焦點為，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2變式2．已知雙曲線的上焦點為，點P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3變式3．過雙曲線：的右焦點作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．雙曲線的左、右焦點分別為，，點是其右支上一點．若，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知直線與雙曲線交于兩點，點是雙曲線上與不同的一點，直線的斜率分別為，則當取得最小值時，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點，的右支上存在一點滿足與雙曲線左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點，若雙曲線上的點滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．9．已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．10．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．易錯點三：易忽略判別式自身參數范圍（求最值問題）知識點一、直線和圓錐曲線聯立（設點設線聯立化解韋達判別）（1）橢圓與直線相交于兩點，設，，橢圓與過定點的直線相交于兩點，設為，如此消去，保留，構造的方程如下：，（2）拋物線與直線相交于兩點，設，聯立可得，時，特殊地，當直線過焦點的時候，即，拋物線與直線相交于兩點，設，聯立可得，時，知識點二、根的判別式和韋達定理與聯立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯立，為了方便敘述，將上式簡記為，與C相離；與C相切；與C相交．注意：1.如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．2.直線和雙曲線聯立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．易錯提醒：求最值問題時一般轉化為函數最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）例．已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上任一點，則的取值范圍是．變式1．已知橢圓的左焦點為是C上的動點，點，若的最大值為6，則C的離心率為．變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一個動點，為圓上一個動點，則的最大值為變式3．設，分別為橢圓（）的左，右焦點，為內一點，為上任意一點，若的最小值為，則的方程為.1．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為橢圓上一個動點，則的最大值與最小值之和為．2．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點，，是橢圓上的兩點，且.若，則實數的取值范圍是.4．已知橢圓是橢圓上兩點，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是.5．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，點A關于x軸，y軸，原點的對稱點分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上異于左、右頂點的一點，外接圓的圓心為M，O為坐標原點，則的最小值為.7．橢圓的左?右焦點分別為，離心率為為橢圓的左頂點，且，過原點的直線交橢圓于兩點，則的取值范圍為.8．已知為函數圖象上第一象限內的一個動點，為坐標原點，則四邊形的面積最大值為.9．過橢圓左焦點F的直線與橢圓C交于A，B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點M，N，則的取值范圍是.10．如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點、為橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為.易錯點四：意義不明導致定點問題錯誤（有關直線與圓錐曲線的定點與定值問題）1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．2、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．易錯提醒：直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標適合這條直線的方程，問題就歸結為用參數把直線的方程表示出來，無論參數如何變化這個方程必有一組常數解．解決定點與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．例．橢圓的離心率，過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為，求直線與直線的斜率之積.變式1．已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動點的軌跡的方程；(2)經過點和的圓與直線：交于，，已知點，且、分別與交于、.試探究直線是否經過定點.如果有，請求出定點；如果沒有，請說明理由.變式2．在平面直角坐標系中，已知定點，定直線，動點在上的射影為，且滿足.(1)記點的運動軌跡為，求的方程；(2)過點作斜率不為0的直線與交于兩點，與軸的交點為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.變式3．已知點，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.1．已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若O為坐標原點，過點的直線l與橢圓C交于M，N兩點，橢圓C上是否存在點Q，使得直線與直線分別交于點A，B，且點A，B關于x軸對稱？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2．已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的標準方程.(2)已知過右焦點的直線與交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓的標準方程．(2)圓的切線交橢圓于，兩點，切點為，求證：是定值．4．已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.(1)說明是什么曲線，并求的方程；(2)設是上關于軸對稱的不同兩點，點在上，且異于兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值?若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.5．已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.6．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經過點，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．7．已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．8．已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知結論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．9．已知橢圓過點兩點，橢圓的離心率為，為坐標原點，且.(1)求橢圓的方程；(2)設P為橢圓上第一象限內任意一點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.10．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實數和的值；(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線與直線相交于點．且點在橢圓上，證明直線恒過定點．

專題11圓錐曲線易錯點一：求軌跡方程時忽略變量的取值范圍（求動點軌跡方程）求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：第一類：直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當的坐標系第二步：設點：設軌跡上的任一點第三步：列式：列出有限制關系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．第二類：定義法求動點的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．第三類：相關點法求動點的軌跡方程如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．第四類：交軌法求動點的軌跡方程在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．易錯提醒：求軌跡方程時，要注意準確確定范圍，應充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應的限制條件，避免因考慮不全面致錯．例．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.求曲線的方程；【詳解】圓的圓心為，半徑，因為，所以，又因為，所以所以所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上設雙曲線的方程為，則，所以，，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為變式1．在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.求曲線的方程；【詳解】設動點的坐標為，由已知得，化簡得：，故曲線的方程為變式2．已知y軸右側一動圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.求動圓圓心Q的軌跡M的方程；【詳解】圓P：，所以圓P的圓心坐標為，半徑為1設，依題意有化簡整理得：，故所求動圓圓心Q的軌跡M的方程為變式3．已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關于的對稱點為．求的軌跡的方程；【詳解】方法1：設因為，所以，即又，所以，所以方法2：如圖，設關于的對稱點為，由已知得，互相垂直平分所以四邊形為菱形，所以因為為中點，所以，即點在定直線上，因為，所以與直線垂直，即點到定點的距離等于點到定直線的距離所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡的方程為1．已知圓，圓，動圓與圓和圓均相切，且一個內切、一個外切．求動圓圓心的軌跡的方程．【詳解】設點的坐標為，圓的半徑為．由已知條件，得．①當動圓與圓外切，與圓內切時，，從而．②當動圓與圓內切，與圓外切時，，從而．綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓．易得圓與圓交于點與，所以動圓圓心的軌跡的方程為．2．在平面直角坐標系中，點到點的距離等于點到直線的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；【詳解】設，依題意，得，化簡得，故的方程為．3．設拋物線的方程為，其中常數，F是拋物線的焦點．(1)若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；(2)設是點關于頂點O的對稱點，是拋物線上的動點，求的最大值；(3)設是兩條互相垂直，且均經過點F的直線，與拋物線交于點,與拋物線交于點，若點G滿足，求點G的軌跡方程．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）可令，代入拋物線方程，計算可得弦長繼而得；（2）根據拋物線定義轉化線段比值，結合直線與拋物線的位置關系計算即可；（3）設坐標及方程，與拋物線方程聯立，運用韋達定理以及兩直線垂直的條件，結合向量的坐標表示，以及消元轉化，可得所求軌跡方程．【詳解】（1）由可得，由題意可知；（2）易知，則，拋物線準線為，

如圖所示，過作準線，垂足為B，由拋物線定義可知，故，設直線為，，則，欲求的最大值，即求的最小值，顯然當直線與拋物線相切時，取得最大，此時其余弦最小，聯立拋物線方程可得，由直線和拋物線相切可得，結合拋物線對稱性，不妨取，此時，即；（3）

由已知可知，則，設，，則，與拋物線聯立可得：，即有，同理則有，因為點G滿足，即，故，可得，則G的軌跡方程為．4．已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.說明是什么曲線，并求的方程；【答案】【詳解】根據題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點關于原點對稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.5．已知為圓：上任一點，，，，且滿足.求動點的軌跡的方程；【答案】【詳解】

如圖，由，可得，因為，所以，所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以動點的軌跡的方程為.6．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．求點的軌跡的方程；【答案】【詳解】由得，其半徑為4，因為線段的垂直平分線與直線交于點，

故，則,而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，則，故點的軌跡的方程為.7．已知圓，一動圓與直線相切且與圓C外切．(1)求動圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經過定點的直線l與曲線相交于兩點，M是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，方程為【分析】（1）利用直接法，設出點坐標根據相切關系找到等量關系即可求動圓圓心P的軌跡T的方程；（2）由題意設直線l的方程為，聯立拋物線方程，利用，從而由向量的數量積的坐標運算于韋達定理可得，即可求出直線方程．【詳解】（1）由題意知圓的圓心，半徑；設，易知點在直線右側，所以到直線的距離為，又，由相切可得，即化簡可得動圓圓心P的軌跡T的方程為；（2）如下圖所示：

設，．由題意，設直線l的方程為聯立T的方程可得則，由韋達定理可得，，所以，，假設存在，使得,則，又，所以；，由可得，所以，代入化簡可得，解得，∴存在直線，使得.8．圓，圓心為，點，作圓上任意一點與點連線的中垂線，交于.求的軌跡的方程；【答案】【詳解】連接，則，其中，則，所以，故的軌跡為以兩點為焦點，長軸長為4的橢圓，其中，故，，所以的方程為；9．已知，，對于平面內一動點，軸于點M，且.求點Р的軌跡C的方程；【答案】當，；當，【詳解】設，則，從而由，有，若，化簡整理得；若，化簡整理得.10．在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.求C的方程；【答案】【詳解】因為點、，的內切圓與直線相切于點，所以，因此根據雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，設點的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點的軌跡方程C為易錯點二：忽略了給定條件對e范圍的限定（離心率的求算）求離心率范圍的方法建立不等式法：技巧1：建立關于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．技巧5：涉及的關系式利用基本不等式，建立不等關系．易錯提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時候要時刻注意.例．已知雙曲線：的右焦點為，關于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【分析方案】由，令且，，則，根據題設有、、，進而有，將它們整理為關于的齊次方程求離心率即可【詳解】由題設，令且，，則，且①由，即②由，即又C在雙曲線上，則③由①得：，代入③并整理得：由①②及得：所以，即顯然，則，故選：B變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【分析方案】根據雙曲線定義得到，由三角形面積公式和余弦定理求出，兩邊同除以得到，求出離心率【詳解】∵分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，∴，，又∵在中，∵，∴，則又∴，即，故，解得：∵，∴故選：A變式2．已知雙曲線的上焦點為，點P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3【分析方案】根據雙曲線定義將轉化為，數形結合即可求解【詳解】設雙曲線的下焦點為，可知，則，即則當且僅當三點共線時，等號成立，由題意可得，且因為在上單調遞增，且，所以方程，且，解得，則，所以雙曲線E的離心率為，故選：D變式3．過雙曲線：的右焦點作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．【分析方案】根據題意，可得，兩種情況，分別求解，結合雙曲線的性質，代入離心率公式，即可得到結果【詳解】如圖①，當時，設，則，設，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設，，，因為，所以又，所以，所以，，，則，則，且，即，解得，所以，如圖②，當時，設，，設，則，，在中，，設，，，因為，所以，又，所以，所以，，，，則，，，所以，則，所以，即，解得，所以故選：B1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接、、，則，，設點，則，分析可得，可得出的取值范圍，由可求得的取值范圍.【詳解】連接、、，則，，由切線長定理可知，，又因為，，所以，，所以，，則，設點，則，且，所以，，所以，，故，故選：B.2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，得，根據這兩個方程解得，則，得，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設，結合雙曲線的定義得到，則，構造函數，利用導數法求解.【詳解】解：因為，，∴，又，∴．設，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設，則，∴在上單調遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．4．已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，，由得到，的關系，結合韋達定理得到，，之間的關系式，進而求出離心率.【詳解】設，，則，．由，得．直線l的方程為，即，代入雙曲線的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故選:B．5．雙曲線的左、右焦點分別為，，點是其右支上一點．若，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量法得：，然后結合雙曲線定義：和余弦定理即可求解.【詳解】由雙曲線的幾何性質，可知點是線段的中點，則，即:，所以：，解得：，所以：，故，由，解得：，所以：，故B項正確.故選：B.6．已知直線與雙曲線交于兩點，點是雙曲線上與不同的一點，直線的斜率分別為，則當取得最小值時，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯立方程求出的坐標，通過運算得到，代入，利用二次函數的知識求得取最小值時，的值，即可求解.【詳解】將代入雙曲線方程中，整理得，得，設，則，，所以，所以．當時，取得最小值，此時,所以，解得，所以.故選：C．7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點，的右支上存在一點滿足與雙曲線左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應用勾股定理列方程求得，進而求離心率.【詳解】中，中，所以，，又，則，又，所以，令，則，，而，由，則，，可得，即.故選：D8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點，若雙曲線上的點滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由雙曲線的定義結合題意可得，又由，表示出，，在中，由余弦定理可求得，解方程即可求出答案.【詳解】如圖，連接，由題意知，設，由雙曲線的定義可得．又由題可得，所以，即．在中，，由，得，由雙曲線的定義可得．因為，所以，所以，在中，，又由余弦定理可得，即，所以．又因為，所以，所以，故，所以雙曲線的離心率．

故選：A.9．已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，聯立方程組求得，根據，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡得到，結合，化簡得到，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.設，聯立方程組，解得.因為，所以，即，可得.又因為點在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.

10．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質可得四邊形為矩形，然后結合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結果.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，

又因為，所以，所以四邊形為矩形，設，則，由雙曲線的定義可得：，，又因為為直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因為為直角三角形，，所以，即：，所以，即.故選：D.易錯點三：易忽略判別式自身參數范圍（求最值問題）知識點一、直線和圓錐曲線聯立（設點設線聯立化解韋達判別）（1）橢圓與直線相交于兩點，設，，橢圓與過定點的直線相交于兩點，設為，如此消去，保留，構造的方程如下：，（2）拋物線與直線相交于兩點，設，聯立可得，時，特殊地，當直線過焦點的時候，即，拋物線與直線相交于兩點，設，聯立可得，時，知識點二、根的判別式和韋達定理與聯立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯立，為了方便敘述，將上式簡記為，與C相離；與C相切；與C相交．注意：1.如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．2.直線和雙曲線聯立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．易錯提醒：求最值問題時一般轉化為函數最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）例．已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上任一點，則的取值范圍是．【分析方案】求出焦點坐標，設出（），利用向量的數量積的坐標表示和橢圓方程表達出，結合的取值范圍，得到的取值范圍【詳解】由，，解得：，所以不妨令，，因為P是橢圓E上任一設點，設（）則，即，其中因為，所以，，所以的取值范圍是故答案為：變式1．已知橢圓的左焦點為是C上的動點，點，若的最大值為6，則C的離心率為．【分析方案】設出右焦點,將轉化成，最后利用三點共線表示最大值求出，進而求出離心率【詳解】設右焦點，由橢圓定義，，當且僅當三點共線時，取等號，.又，，，故答案為：變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一個動點，為圓上一個動點，則的最大值為【分析方案】根據橢圓定義及圓心位置、半徑，應用分析法要使最大只需讓最大即可，由數形結合的方法分析知共線時有最大值，進而求目標式的最大值【詳解】由題意得：，根據橢圓的定義得，∴圓變形得，即圓心，半徑要使最大，即最大，又∴使最大即可，如圖所示：∴當共線時，有最大值為∴的最大值為∴的最大值，即的最大值為11+1=12故答案為：12變式3．設，分別為橢圓（）的左，右焦點，為內一點，為上任意一點，若的最小值為，則的方程為.【分析方案】由題意知，，則；由三角形的三邊關系可知，從而可求出，由橢圓的定義知，從而可求出，進而可求出橢圓的標準方程【詳解】由橢圓定義可知，且，則因為，所以，所以，所以，故的方程為，故答案為：1．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為橢圓上一個動點，則的最大值與最小值之和為．【答案】【分析】求出圓的圓心，根據題意可得、，利用平面向量的線性運算可得，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，所以，又橢圓，則，，右焦點為，所以，又，即，所以，即，所以的最大值為，最小值為.則的最大值與最小值之和為.故答案為：2．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．【答案】【分析】由余弦定理變形得出，在以為焦點，長軸長為6的橢圓上，因此當是橢圓短軸頂點時，到的距離最大，由此可求得三角形面積最大值．【詳解】,，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以為焦點，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，則，所以，當是橢圓短軸頂點時，到的距離最大為，所以的最大值為，故答案為：．3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點，，是橢圓上的兩點，且.若，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】以橢圓的右焦點為極點，建立極坐標系，設，，可表示出，，再由可得，此時表示與兩點的連線的斜率，由幾何意義求解即可得出實數的取值范圍.【詳解】以橢圓的右焦點為極點，建立極坐標系，設，過點作交于點，為橢圓的右準線，過點A作極軸交極軸于點，由橢圓的第二定義知：，則，所以，則，代入化簡可得：，同理可得：，由可得，，表示與兩點的連線的斜率，而可看作圓上任意一點，所以的幾何意義為圓上一點與兩點的連線的斜率，過點作圓的切線可求出的最大值和最小值，由分析知，過點直線的斜率一定存在，設為，，故圓心到直線的距離為：，化簡可得：，解得：或，所以，故.故答案為：.4．已知橢圓是橢圓上兩點，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是.【答案】【分析】設，，線段的中點為，利用點差法可得，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，則，再由點在橢圓內部可求出結果【詳解】設，，線段的中點為.若，即，則，滿足題意；若，即，則不滿足題意，應舍去；當時，有，作差得：因為，，所以，因為，所以，設線段的垂直平分線為，則，得：，令，得，又因為點在橢圓內部，則，則，故.故答案為：.5．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，點A關于x軸，y軸，原點的對稱點分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為．【答案】【分析】由條件求的關系，再求四邊形的面積，由此可得的表達式，再結合基本不等式求的取值范圍.【詳解】點在橢圓上，所以上，解得，所以，又因為四邊形為正方形，所以，故，由于，所以，所以的取值范圍為．故答案為：．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上異于左、右頂點的一點，外接圓的圓心為M，O為坐標原點，則的最小值為.【答案】【分析】根據向量的加法法則和向量垂直的表示，結合均值不等式代入即可.【詳解】，取線段的中點，則，所以，同理，所以，當且僅當時，等號成立，即的最小值為.故答案為：.7．橢圓的左?右焦點分別為，離心率為為橢圓的左頂點，且，過原點的直線交橢圓于兩點，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據已知先求出的值，記，得到，記，再利用導數求函數的最值得解.【詳解】解：由題可知，即，又由題可知，，記，則，記，則在上恒成立，在上恒成立，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，.故答案為：8．已知為函數圖象上第一象限內的一個動點，為坐標原點，則四邊形的面積最大值為.【答案】【分析】利用三角代換可得，然后利用輔助角公式及三角函數的性質即得.【詳解】由可得，易得在橢圓的第一象限內動點，可設，,又，則，其中，當時，，即四邊形的面積最大值為.故答案為：.9．過橢圓左焦點F的直線與橢圓C交于A，B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點M，N，則的取值范圍是.【答案】【分析】設，，中點，，利用點差法及兩點的斜率公式得到，即可求出的取值范圍，再根據，可得，最后根據計算可得；【詳解】解：設，，中點，，由與相減得，所以，又，所以，所以，即，因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，即．故答案為：10．如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點、為橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】作點關于原點的對稱點，連接、、，分析可知且、、三點共線，故，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用弦長公式可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】作點關于原點的對稱點，連接、、，易知點、，由橢圓的對稱性可知點也在橢圓上，因為為、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，故、、三點共線，則，所以，.因為點、為橢圓上位于軸上方的兩點，則直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，聯立可得，則，由韋達定理可得，，所以，，所以，.故答案為：.易錯點四：意義不明導致定點問題錯誤（有關直線與圓錐曲線的定點與定值問題）1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．2、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．易錯提醒：直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標適合這條直線的方程，問題就歸結為用參數把直線的方程表示出來，無論參數如何變化這個方程必有一組常數解．解決定點與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．例．橢圓的離心率，過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為，求直線與直線的斜率之積.【詳解】（1）解：因為橢圓的離心率，所以，即，又因為橢圓過點，所以，又因為，所以，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示：

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，與橢圓方程聯立求得，又，所以，所以；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，消去y得：，，由韋達定理得，所以，，.變式1．已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動點的軌跡的方程；(2)經過點和的圓與直線：交于，，已知點，且、分別與交于、.試探究直線是否經過定點.如果有，請求出定點；如果沒有，請說明理由.【詳解】（1）如圖所示，

∵，且，∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設橢圓方程，則，，∴，.所以點的軌跡方程為：.（2）設直線的方程為：，由，得設，，則，.所以，，因為直線的方程為：，令，得，所以，，同理可得，以為直徑的圓的方程為：，即，因為圓過點，所以，，得，代入得，化簡得，，解得或（舍去），所以直線經過定點，當直線的斜率為0時，此時直線與軸重合，直線經過點，綜上所述，直線經過定點.變式2．在平面直角坐標系中，已知定點，定直線，動點在上的射影為，且滿足.(1)記點的運動軌跡為，求的方程；(2)過點作斜率不為0的直線與交于兩點，與軸的交點為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.【詳解】（1）設，則，因為，所以，化簡得，，即的方程為.（2）由題意知，設過點作斜率不為0的直線為，，，聯立可得，，則，，又，，則，所以得證.

變式3．已知點，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.【詳解】（1）由題知，又橢圓經過，代入可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意知，當軸時，不符合題意，故的斜率存在，設的方程為，聯立消去得，則，即設，，，的方程為，令得，的方程為，令得，由是中點，得，即，即，即，即，所以，得或，當，此時由，得，符合題意；當，此時直線經過點，與題意不符，舍去.所以的方程為，即，所以過定點.1．已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若O為坐標原點，過點的直線l與橢圓C交于M，N兩點，橢圓C上是否存在點Q，使得直線與直線分別交于點A，B，且點A，B關于x軸對稱？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點Q的坐標為或【分析】（1）根據已知，根據的關系得出.將點代入橢圓方程，即可解出，進而得出；（2）當直線l的斜率不為0時，設，，，設直線l：，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理表示出坐標關系，求出坐標.根據已知列出方程，整理推得，.代入橢圓方程求出點坐標；檢驗當直線l的斜率為0時，滿足對稱關系，即可得出答案.【詳解】（1）因為橢圓C的離心率為，所以，.又，所以.將代入橢圓方程，得，所以，，所以橢圓C的標準方程為．（2）

當直線l的斜率不為0時，設直線l：，聯立得，整理得．則，解得或.設，，，由韋達定理可得，，則直線MQ：，令，得，所以.同理得．由點A，B關于x軸對稱得，即，整理可得，.易知點不在上，所以，所以，，所以，有，整理得.由n的任意性知，將坐標代入代入橢圓方程有，解得，所以點Q的坐標為或．當直線l的斜率為0時，不妨令，，，此時直線MQ：，令，得，所以，同理得，顯然點A，B關于x軸對稱，滿足.綜上，存在滿足題意的點Q，且點Q的坐標為或．【點睛】方法點睛：解決與圓錐曲線有關的頂點問題時，設出直線方程，聯立直線與圓錐曲線的方程，根據韋達定理表示出坐標關系.分析已知條件，得出等量關系，整理化簡即可得出結論.2．已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的標準方程.(2)已知過右焦點的直線與交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由離心率與定點代入橢圓方程，建立方程組待定系數即可；（2）由條件轉化為，設直線的方程為，將斜率坐標化，利用韋達定理代入，得到的等式，不論如何變化，等式恒成立求值即可.【詳解】（1）因為，所以.所以橢圓的方程為.因為點在橢圓上，所以，解得，所以.所以橢圓的標準方程為.（2）存在定點，使.理由如下：由（1）知，，則點.設在軸上存在定點，使成立.當直線斜率為時，直線右焦點的直線即軸與交于長軸兩端點，若，則，或.當直線斜率不為時，設直線的方程為，.由消去并整理，得，則.因為，所以，所以，即.所以，即，恒成立，即對，恒成立，則，即.又點滿足條件.綜上所述，故存在定點，使.

3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓的標準方程．(2)圓的切線交橢圓于，兩點，切點為，求證：是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由離心率為可以先得到，然后結合其余已知條件即可得解.（2）分直線的斜率是否存在進行討論，當直線斜率不存在時，算出，當直線斜率存在時，設直線的方程為，將其與橢圓方程聯立，由韋達定理結合直線與圓相切于點，從而即可得解.【詳解】（1）如圖所示：

因為橢圓的離心率為，所以，所以，則橢圓的方程為．將代入橢圓方程，得，則，所以．所以橢圓的標準方程為．（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為．將代入橢圓的方程，得，所以，則．如圖所示：

當直線的斜率存在時，設直線的方程為．將與聯立，消去并整理，得．由，得．設，，，則，，，則．由直線與圓相切，可得，即．由，得．結合，得．又，兩邊平方并整理，得，所以．所以．綜上，，即是定值．4．已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.(1)說明是什么曲線，并求的方程；(2)設是上關于軸對稱的不同兩點，點在上，且異于兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值?若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值，這個值為【分析】（1）根據圓的一般方程可知圓心，半徑，再利用橢圓定義即可求得的軌跡曲線的方程為；（2）依題意設出,可得，求出直線的直線方程解出其與軸的交點坐標，，即可得出的表達式，再進行化簡即可知.【詳解】（1）根據題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點關于原點對稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.（2）不妨設，，且，；則易知；易知直線的斜率都存在，如下圖所示：所以直線的斜率為，其方程為，可得直線交軸于點直線的斜率為，其方程為，可得直線交軸于點所以，可得；由，可得，，；所以；因此為定值，.5．已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質即可求解；（2）根據已知條件作出圖形并設出直線方程，將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理及向量的坐標運算即可求解.【詳解】（1）設橢圓的方程為，則由橢圓的定義及的周長為6，知①，由于為橢圓上異于左?右頂點的任意一點，得到軸距離最大為，因為的面積的最大值為，所以②，又③，聯立①②③，得，所以橢圓的方程為.（2）為定值，理由如下：根據已知條件作出圖形如圖所示,

設，則，因為在橢圓內部，則直線與橢圓一定有兩交點，聯立消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以為定值.6．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經過點，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據長軸和短軸長度關系，將點代入解方程組即可求得橢圓的方程；（2）設出直線方程并于橢圓方程聯立，利用韋達定理以及直線的斜率為零即可化簡整理計算得出直線的斜率為定值.【詳解】（1）設橢圓的方程為根據題意得，解得故所求橢圓方程為（2）如下圖所示：

設直線交該橢圓與兩點．將代入得所以由直線能與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形，可得，即整理得，即即，所以當時，不論為何值時都成立，所以直線與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形時直線的斜率為定值7．已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）先根據直線是拋物線的一條切線，求出的值，再由橢圓離心率為，求出的值，則橢圓方程可得．（2）先假設存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，向量，的數量積為0，得到關于直線斜率的方程，求，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．【詳解】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）

當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點當直線與軸不垂直時，可設直線為：由得，設，則則所以，即以為直徑的圓過點所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．8．已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知結論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）設橢圓的半焦距為，再分圓在橢圓的內部和外部兩種情況分別求解即可；（2）由題意橢圓的方程為，再設，得出切線的方程，將代入可得的坐標都滿足方程即可得定點.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為．當圓在橢圓的內部時，，橢圓的方程為．當圓在橢圓的外部時，，橢圓的方程為．（2）證明：設．因為橢圓的短軸長小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過定點．9．已知橢圓過點兩點，橢圓的離心率為，為坐標原點，且.(1)求橢圓的方程；(2)設P為橢圓上第一象限內任意一點，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據離心率和可解得，可寫出橢圓的方程；（2）設分別求出直線，的方程并解出的坐標，可得四邊形的面積.【詳解】（1）根據題意可知，又，即可得，結合，解得；即橢圓的方程為.（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：

設，且；易知直線的斜率，所以的直線方程為；同理直線的斜率，所以的直線方程為；由題意解得；所以可得，四邊形的面積又，可得，故，即四邊形的面積為定值.10．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實數和的值；(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線與直線相交于點．且點在橢圓上，證明直線恒過定點．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用表示出橢圓的焦距和離心率，由此可構造方程組求得結果；（2）利用中點坐標公式可表示出坐標，將代入橢圓方程可整理得到，同理得到，由此可得直線方程，進而得到定點坐標.【詳解】（1）由橢圓方程可得其焦距為，離心率為；由橢圓可得其焦距為，離心率為；由題意知：，解得：（舍）或，，.（2）設，，，則，，，分別為的中點，，，，，，，，即，同理可得：，直線的方程為，直線恒過定點.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的直線過定點問題的求解，解題關鍵是能夠利用中點坐標公式表示出坐標，利用點在橢圓上可構造方程組整理得到所滿足的直線方程，根據直線方程可確定定點坐標.

專題12概率易錯點一：互斥與對立混淆致誤（隨機事件的概率）Ⅰ：首先明確什么是隨機試驗我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．隨機試驗的要求：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確的，結果不止一種；（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一種，但事先不能確定出現哪一種結果．Ⅱ：隨機事件的前提樣本空間我們把隨機試驗的每個可能出現的結果稱為樣本點，全體樣本集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．Ⅲ：兩類事件：隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現時，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）在每次試驗中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機事件的確定事件．注意：事件的運算可以用韋恩圖可以破解Ⅳ：互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關系（重點）①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．Ⅴ：概率與頻率（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數稱為事件發(fā)生的頻數，頻數與總次數的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.解題步驟如下：第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個數與所求事件中所包含的基本事件個數；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯提醒：對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；第三，兩個事件互斥是在試驗的結果不能同時出現來確定的．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作．分類討論思想是解決互斥事件中有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想例、判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點數都是從1~10）中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．變式1．從1，2，3，4，5，6這六個數中任取三個數，下列兩個事件為對立事件的是（

）A．“至多有一個是偶數”和“至多有兩個是偶數”B．“恰有一個是奇數”和“恰有一個是偶數”C．“至少有一個是奇數”和“全都是偶數”D．“恰有一個是奇數”和“至多有一個是偶數”變式2．設A，B是兩個隨機事件，，分別為A，B的對立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且，，則；②若，，且，則A，B相互獨立；③若，，且，則A，B相互獨立；④若，，且，則A，B相互獨立．其中所有真命題的序號為（

）A．① B．② C．①②③ D．②③④變式3．（多選題）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D1．某中學運動會上有一個項目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進行比賽，共進行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對二進行比賽，共進行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結束．若甲、乙兩個班進行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結果互不影響，則甲班經過7局比賽獲勝的概率是（

）A． B． C． D．2．已知為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，則3．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥4．已知為隨機事件，則下列表述中不正確的是（

）A． B．C． D．5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個學校支教，每人分配到一個學校且每個學校至少分配一人.設事件：“甲分配到學?！?；事件：“乙分配到學校”，則（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨立 D．6．為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經成功舉辦了20屆．中國女子國家足球隊在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績每每給國人帶來拼搏奮進的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊平均分成，，三個小組．(1)求甲、乙、丙三支球隊分到同一小組的概率；(2)求甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率．8．某娛樂節(jié)目闖關游戲共有三關，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關，闖關成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關闖關成功，選手可以選擇結束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關，若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結束.選手小劉參加闖關游戲，已知他第一，二，三關闖關成功的概率分別為，，.第一關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，第二關闖關成功選擇繼續(xù)闖關的概率為，且每關闖關成功與否互不影響.(1)求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；(2)設小劉所得獎金為X，求隨機變量X的分布列及數學期望.9．甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動，在教師節(jié)活動中舉辦了“三神杯”比賽，現甲乙兩組進入到決賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.(1)求；(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球?易錯點二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.（3）概率的基本性質（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．解題步驟如下：第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個數與所求事件中所包含的基本事件個數；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯提醒：在解決古典概型問題時要分清事件與基本事件，每個基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個事件可能包含幾個基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯.例、設袋中有4只白球和2只黑球，現從袋中無放回地摸出2只球．（1）求這2只球都是白球的概率；（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．變式1：袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．變式2：一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數為，則隨機變量的期望為_____________．變式3：已知不透明的袋中裝有三個黑球（記為，和）、兩個紅球（記為和），從中不放回地依次隨機抽取兩球．(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間；(2)求抽到的兩個球都是黑球的概率．1．某學校舉辦作文比賽，共5個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．2．書籍是人類進步的階梯，數學名著更是如此，《九章算術》《孫子算經》《周髀算經》《海島算經》是我國古代數學領域影響深遠的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數學書”，代表了文藝復興之前歐洲數學的最高成就，這些著作對后世的數學發(fā)展有著深遠而廣泛的影響．現從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國數學名著的概率為（

）A． B． C． D．3．“二十四節(jié)氣”是我國上古農耕文明的產物，農耕生產與大自然的節(jié)律息息相關，它是上古先民順應農時，通過觀察天體運行，認知一歲（年）中時候（時令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識體系．“二十四節(jié)氣”對今天的農業(yè)生產仍有著重要的指導意義．傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現從“二十四節(jié)氣”中隨機抽取兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一季的概率為（

）A． B． C． D．4．某大學為了了解學生課外圖書閱讀量的情況，從大二學生中抽取50名，統(tǒng)計他們今年上半年閱讀的書籍數量，發(fā)現讀書不低于6本的人數占，不低于8本的人數占.現從讀書不低于6本的學生中隨機地選取2名進行座談，則這2名學生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（

）A． B． C． D．5．某對新婚夫婦響應國家號召，計劃生育3個孩子，若每胎只有一個孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個孩子中有男有女”，則（

）A． B． C． D．6．某中學團委為慶祝“五四”青年節(jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚青春風采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現從這6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（

）A． B． C． D．7．先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為x，y，設事件“”，事件“”，事件“為奇數”，則（

）A． B．C．與相互獨立 D．與相互獨立8．某公司為了推廣旗下的某款，在2024年春節(jié)來臨之前，推出了集“?？ā钡锚剟畹幕顒?，其中“?？ā庇?種，分別是“福到”“財到”“喜到”“緣到”“運到”．規(guī)則如下：①通過登錄這款或推薦新用戶下載并使用這款可獲得若干抽獎次數；②每次抽獎可獲得一張“?？ā保虎?種“?？ā笔窍到y(tǒng)隨機分配的；④用戶集齊5種“?？ā焙?，便可獲得提供的獎勵；⑤集齊5種“?？ā焙?，用戶不再抽獎，活動結束；⑥用完所有抽獎機會，活動結束．現在甲參加了集“?？ā钡锚剟畹幕顒樱?1)已知甲已經集了其中的2種“?？ā保€有3次抽獎機會，求甲獲得獎勵的概率；(2)已知甲已經集了其中的3種“?？ā保€有4次抽獎機會，記活動結束時，甲使用的抽獎次數為，求的分布列和數學期望．9．某地區(qū)運動會上，有甲、乙、丙三位田徑運動員進入了男子100m決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這三位運動員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三位運動員的比賽成績相互獨立.(1)分別估計甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率；(2)設這三位運動員在這次決賽上“破十”的人數為，估計X的數學期望.10．某地區(qū)運動會上，有甲、乙兩位田徑運動員進入了男子決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這兩位運動員近幾年的大賽成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；(1)求甲成績的中位數與平均數（平均數的結果保留3位小數）；(2)從乙的5次成績中任選3次，求恰有2次成績“破十”的概率.易錯點三：條件概率應用錯誤（條件概率）Ⅰ：條件概率一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．性質（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．Ⅱ：相互獨立與條件概率的關系相互獨立事件的概念及性質（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的