高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）11集合的概念（九大題型）

1．1集合的概念目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：集合的含義 4題型二：元素與集合的關(guān)系的判斷 5題型三：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù) 7題型四：集合中元素的特性及應(yīng)用 8題型五：用列舉法表示集合 10題型六：用描述法表示集合 12題型七：集合表示法的綜合應(yīng)用 15題型八：方程與集合的綜合應(yīng)用 18題型九：集合新定義運(yùn)算 20

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念1、一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）對(duì)于集合一定要從整體的角度來(lái)看待它．例如由“我們班的同學(xué)”組成的一個(gè)集合A，則它是一個(gè)整體，也就是一個(gè)班集體．（2）要注意組成集合的“對(duì)象”的廣泛性：一方面，任何一個(gè)確定的對(duì)象都可以組成一個(gè)集合，如人、動(dòng)物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為組成集合的對(duì)象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對(duì)象，如上面所提到的集合A，可以作為以“我們高一年級(jí)各班”組成的集合的元素．2、關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素．（3）無(wú)序性：集合中的元素的次序無(wú)先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合．知識(shí)點(diǎn)詮釋：集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無(wú)序性．反過(guò)來(lái)，一組對(duì)象若不具備這三性，則這組對(duì)象也就不能構(gòu)成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對(duì)象是否能構(gòu)成集合的依據(jù)．解決與集合有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要充分利用集合元素的“三性”來(lái)分析解決，也就是，一方面，我們要利用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”；另一方面，問(wèn)題被解決之時(shí)，應(yīng)注意檢驗(yàn)元素是否滿足它的“三性”．3、元素與集合的關(guān)系：（1）如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作4、常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R知識(shí)點(diǎn)二：集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3x，x2+y2}，…．2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào){}內(nèi)．具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）用描述表示集合時(shí)應(yīng)注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是數(shù)，還是有序?qū)崝?shù)對(duì)（點(diǎn)）還是其他形式？②元素具有怎樣的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來(lái)描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合時(shí)，若需要多層次描述屬性時(shí)，可選用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”等連接；若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或指出其取值范圍．【典型例題】題型一：集合的含義【典例11】（2024·高一·新疆·階段練習(xí)）下列對(duì)象中不能構(gòu)成一個(gè)集合的是（

）A．某校比較出名的教師 B．方程的根C．不小于3的自然數(shù) D．所有銳角三角形【答案】A【解析】A：比較出名的標(biāo)準(zhǔn)不清，故不能構(gòu)成集合；B：，方程根確定，可構(gòu)成集合；C：不小于3的自然數(shù)可表示為，可構(gòu)成集合；D：所有銳角三角形內(nèi)角和確定且各角范圍確定，可構(gòu)成集合.故選：A【典例12】（2024·高一·天津南開·期中）下列給出的對(duì)象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②的所有近似值；③某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績(jī)較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①：某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生，對(duì)象確定，能構(gòu)成集合，故①正確；對(duì)于②：的所有近似值，根據(jù)精確度不一樣得到的近似值不一樣，對(duì)象不確定，故不能構(gòu)成集合，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績(jī)較好是相對(duì)的，故這些學(xué)生對(duì)象不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：不等式的所有正整數(shù)解有、、，能構(gòu)成集合，故④正確；故選：B【方法技巧與總結(jié)】（判斷一組對(duì)象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)）判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿足確定性，如果此組對(duì)象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無(wú)序性．【變式11】（2024·高一·重慶·期中）下列敘述能組成集合的是（）A．接近0的數(shù) B．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué)C．中國(guó)古代四大發(fā)明 D．跑得快的運(yùn)動(dòng)員【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)ABD：缺乏統(tǒng)一的判斷標(biāo)準(zhǔn)，均不滿足確定性，故ABD錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：中國(guó)古代四大發(fā)明是確定的，符合確定性，所以能構(gòu)成集合，故C正確.故選：C.【變式12】（2024·高一·河北·階段練習(xí)）下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績(jī)較好的同學(xué)全體 B．與10接近的實(shí)數(shù)全體C．絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學(xué)生【答案】C【解析】對(duì)于A，成績(jī)較好不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故A不符合；對(duì)于B，與10接近的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故B不符合；對(duì)于C，絕對(duì)值小于5的整數(shù)全體是個(gè)明確的概念，并且給定一個(gè)元素能確定是否屬于這個(gè)整體，故能構(gòu)成集合，故C符合；對(duì)于D，興趣廣泛的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故D不符合.故選：C.【變式13】（2024·高一·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是（

）A．?dāng)?shù)學(xué)課遲到的學(xué)生 B．小于的正整數(shù)C．未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品 D．所有有理數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A，數(shù)學(xué)課遲到的學(xué)生具備集合元素的確定性,能構(gòu)成集合，故A不符合題意；對(duì)于B，小于π的正整數(shù)具備集合元素的確定性，能構(gòu)成集合，故B不符合題意；對(duì)于C，“未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品”中的“高科技產(chǎn)品”沒(méi)有明確標(biāo)準(zhǔn)，不具備確定性，因此不能構(gòu)成集合，故C符合題意；對(duì)于D，所有有理數(shù)具備集合元素的確定性，能構(gòu)成集合,故D不符合題意.故選：C.題型二：元素與集合的關(guān)系的判斷【典例21】（多選題）（2024·高一·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知集合，則下列表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】易知，，，令，即B、C、D正確，A錯(cuò)誤；故選：BCD【典例22】（多選題）（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，且，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由題知：集合A為奇數(shù)集，集合B為偶數(shù)集，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)．所以是奇數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)．即，，，.故選：ABC．【方法技巧與總結(jié)】判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．（2）推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【變式21】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）用符號(hào)“”或“”填空：（1）若，則1A；（2）若，則3B；（3）若，則8C，9.1C.（4）；（5）；（6）2017.（7），，，．【答案】【解析】（1），故；（2），故；（3），故；（4），；（5）（6）因?yàn)?017不能被表示為的形式，所以；（7）【變式22】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，由，得或，又，且，即有且，因此，所?故選：A【變式23】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）用符號(hào)“”或“”填空：①設(shè)集合A是由正整數(shù)的全體構(gòu)成的集合，則0A，A，A；②設(shè)集合B是由小于的實(shí)數(shù)的全體構(gòu)成的集合，則B，B.【答案】【解析】①0不是正整數(shù)，不是整數(shù)，是正整數(shù)，故依次填，，.②，由，得，故依次填，.故答案為：；；；；.題型三：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【典例31】（2024·高三·山東青島·開學(xué)考試）已知，則的取值為（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【解析】由元素和集合關(guān)系可知：或或，解的或或，由集合的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，所以的取值為或.故選：C.【典例32】（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，違背了集合中元素間的互異性，當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)，關(guān)鍵在于利用集合中元素的確定性、互異性，以及集合間的關(guān)系或運(yùn)算結(jié)果。通過(guò)觀察元素是否屬于集合、集合間是否存在子集或交集等關(guān)系，我們可以建立關(guān)于參數(shù)的數(shù)學(xué)條件，進(jìn)而求解出參數(shù)的具體值或取值范圍?！咀兪?1】（2024·高一·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【變式32】（2024·高一·河南·階段練習(xí)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】B【解析】由集合，因，則或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與元素互異性矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足．故．故選：B．【變式33】（2024·高三·廣東惠州·階段練習(xí)）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榍?，所以且，解?故選：B.題型四：集合中元素的特性及應(yīng)用【典例41】（2024·高一·四川成都·期中）集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．或 B．且 C．或 D．且【答案】D【解析】由集合元素的互異性可知，，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故選：D.【典例42】（2024·高一·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）已知，，若集合，則的值為（

）A．2 B．1 C．1 D．2【答案】B【解析】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的3個(gè)步驟）【變式41】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若集合，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．a(chǎn)可取全體實(shí)數(shù)B．a(chǎn)可取除去0以外的所有實(shí)數(shù)C．a(chǎn)可取除去3以外的所有實(shí)數(shù)D．a(chǎn)可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)【答案】D【解析】由集合中元素的互異性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)，故選：D.【變式42】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度，那么這個(gè)三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】根據(jù)集合中元素的互異性得，故三角形一定不是等腰三角形.故選：A.【變式43】（多選題）（2024·高一·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）由a2，a1，1組成一個(gè)集合A，A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A．2 B．1 C．2 D．0【答案】CD【解析】由題意得,解得a≠2且a≠±1，則符合要求的只有CD.故選：CD.題型五：用列舉法表示集合【典例51】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）方程的解集為【答案】【解析】，即，即，解得，或.故答案為：【典例52】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若、、且、，集合，則用列舉法可表示為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以用列舉法可表示為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（用列舉法表示集合的三個(gè)步驟）1、求出集合的元素；2、把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次；3、用花括號(hào)括起來(lái)．【變式51】（2024·高一·全國(guó)·假期作業(yè)）求下列方程組的解集：(1)；(2)；【解析】（1）由不等式組，①+②，可得，②③，可得，聯(lián)立方程組，解得，代入①式，可得，所以不等式組的解集為.（2）由方程組，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；時(shí)，可得，所以方程組的解集為.【變式52】（2024·高一·全國(guó)·課堂例題）用列舉法表示下列集合：(1)由方程的所有實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合；(2)平方小于200的所有素?cái)?shù)之集．【解析】（1）由可得，所以.（2）由于，所以平方小于200的所有素?cái)?shù)構(gòu)成的集合.【變式53】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）用列舉法表示下列集合．(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；(3)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合C；(4)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．【解析】（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)有，所以；（2）小于8的質(zhì)數(shù)有，所以；（3）方程的實(shí)數(shù)根為，所以．（4）由，得，所以一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，所以．題型六：用描述法表示集合【典例61】（2024·高一·上海長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）所有平行四邊形組成的集合可以表示為.【答案】為平行四邊形【解析】由題意可知，所有平行四邊形組成的集合可以表示為為平行四邊形.故答案為：為平行四邊形.【典例62】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界）的坐標(biāo)的集合為．【答案】{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}【解析】：圖中的陰影部分的點(diǎn)設(shè)為（x，y）則{x，y）|﹣1≤x≤0，y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}＝{（x，y）|xy≥0且﹣1≤x≤2，y≤1}故答案為：{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}．【方法技巧與總結(jié)】（描述法表示集合的2個(gè)步驟）【變式61】（2024·高一·上海黃浦·階段練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?，其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法．直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時(shí)排除，兩點(diǎn)．故選：C【變式62】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合．【解析】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饨M成的集合為，則集合中的元素是數(shù).設(shè)代表元素為x，則x滿足，所以，即．（2）設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則．又因?yàn)樵貫檎麛?shù)，故．所以被3除余2的正整數(shù)的集合（3）設(shè)偶數(shù)為x，則．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為．【變式63】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解集；(2)平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)組成的集合；(3)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)組成的集合．(4)平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(5)集合.(6)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；(7)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合.【解析】（1）不等式的解集用描述法表示為.（2）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)，集合用描述法表示為.（3）集合用描述法表示為.（4）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)，集合用描述法表示為.（5）集合用描述法表示為.（6）集合用描述法表示為.（7）方程的解集用描述法表示為.題型七：集合表示法的綜合應(yīng)用【典例71】（多選題）（2024·高一·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值組成的集合A，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】依題意，當(dāng)都為正數(shù)，代數(shù)值等于4；當(dāng)中只有一個(gè)負(fù)數(shù)兩個(gè)正數(shù)，代數(shù)值為0；當(dāng)中只有一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，代數(shù)值為0；當(dāng)都為負(fù)數(shù)，代數(shù)值為.故選：CD【典例72】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出中的所有元素？(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論．【解析】（1）由題意，可知，則，，，，所以A中其他所有元素為，，2．（2）假設(shè)，則，而當(dāng)時(shí)，不存在，假設(shè)不成立，所以0不是A中的元素．取，則，，，，所以當(dāng)時(shí)，A中的元素是3，，，．（3）猜想：A中沒(méi)有元素，0，1；A中有4個(gè)元素，其中2個(gè)元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個(gè)元素也互為負(fù)倒數(shù)．由（2）知0，，若，則，與矛盾，則有，即，0，1都不在集合A中．若實(shí)數(shù)，則，，，．結(jié)合集合中元素的互異性知，A中最多只有4個(gè)元素，，，且，．顯然，否則，即，無(wú)實(shí)數(shù)解．同理，，即A中有4個(gè)元素．所以A中沒(méi)有元素，0，1；A中有4個(gè)元素，其中2個(gè)元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個(gè)元素也互為負(fù)倒數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】（集合表示法中元素與集合的關(guān)系）1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合屬性是關(guān)鍵；2、若已知集合是用列舉法表示的，把握元素的共同特征是關(guān)鍵；【變式71】（2024·高一·上海浦東新·階段練習(xí)）已知M是滿足下列條件的集合：①，；②若、，則；③若且，則.(1)判斷是否正確，說(shuō)明理由；(2)證明：“若，則”是真命題；(3)證明：若，，則.【解析】（1）正確，理由如下：由①②可知，，，由③可知，.（2）由②可知，對(duì)于，，故只需證明對(duì)于，，由(1)中知，，由，，假設(shè)正整數(shù)，則，故對(duì)于，都成立，從而“若，則”是真命題.（3）若，且，由①②知，，，由③知，，，又由②③知，，則，又由②知，，因?yàn)?，，故時(shí)，，因?yàn)?，，所以，，所以?2)知，，則，，又由，則，又因?yàn)?，所以，從而，故，從而?【變式72】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)集合A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則．(1)若，試證明集合A中有元素－1，；(2)判斷集合A中至少有幾個(gè)元素，并說(shuō)明理由；(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的積．【解析】（1）證明：∵，∴．∵，∴．∴集合A中有元素－1，；（2）由題意，可知若（且），則，，，且，，，故集合A中至少有3個(gè)元素；（3）由（2）知A中元素的個(gè)數(shù)為．又集合A是有限集，且，所以若為奇數(shù)，則集合A中所有元素的積為；若為偶數(shù)，則集合A中所有元素的積為1．所以集合A中所有元素的積為1或－1．題型八：方程與集合的綜合應(yīng)用【典例81】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)關(guān)于的方程的解集為．（1）求證：中至少有2個(gè)元素；（2）若中有3個(gè)元素，求的值及中3個(gè)元素之和．【解析】（1）方程等價(jià)于或．記方程的解集為，因?yàn)?，所以中含?個(gè)元素．又因?yàn)?，所以中至少?個(gè)元素．（2）記方程的解集為，由（1）知，中恰有1個(gè)元素．所以，因此，．當(dāng)時(shí)，，中2個(gè)元素之和為2，所以中3個(gè)元素之和為；當(dāng)時(shí)，，中2個(gè)元素之和為2，所以中3個(gè)元素之和為3．【典例82】（2024·高一·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合，求集合A滿足下列條件時(shí)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合(1)集合A中有且僅有一個(gè)元素;(2)集合A中有兩個(gè)元素；【解析】（1）集合中有且僅有一個(gè)元素，即方程只有一個(gè)解，①當(dāng)時(shí)，方程為，解得，符合要求；②當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，，解得；所以的所有可能取值構(gòu)成的集合為.（2）集合中有兩個(gè)元素，即方程為一元二次方程，，且方程有兩個(gè)解，所以，解得，所以的所有可能取值構(gòu)成的集合為或.【方法技巧與總結(jié)】(1)集合中元素的個(gè)數(shù)即為方程的根的個(gè)數(shù)．(2)解方程時(shí)注意對(duì)a的討論．【變式81】（2024·高一·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知集合，其中為常數(shù)，且.(1)若是空集，求的范圍；(2)若中只有一個(gè)元素，求的值；(3)若中至多只有一個(gè)元素，求的范圍.【解析】（1）若是空集，則方程無(wú)解，此時(shí)，即，（2）若中只有一個(gè)元素，則方程有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)方程為一元一次方程，滿足條件當(dāng)，此時(shí)，解得：.∴或；（3）若中至多只有一個(gè)元素，則為空集，或有且只有一個(gè)元素由①②得滿足條件的的取值范圍是：或.【變式82】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合A是方程的解集．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A是單元素集（集合中只有一個(gè)元素），求a的值；(3)若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【解析】（1）若，則或，當(dāng)時(shí)，方程為，其解為，所以A是單元素集．當(dāng)時(shí)，方程為，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以A為空集．所以，若A是空集，則或即，所以a的取值范圍為；（2）由（1）可知，若A是單元素集，則或即；（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一個(gè)元素，即A為空集或單元素集，則a的取值范圍為或.題型九：集合新定義運(yùn)算【典例91】（多選題）（2024·高一·新疆伊犁·階段練習(xí)）若集合具有以下三個(gè)條件，則稱集合為一個(gè)“封閉集合”，①若，則；②若，則；③若，則；據(jù)此判斷下列集合是封閉集合的有（

）A．R B． C． D．Q【答案】ABD【解析】對(duì)A，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積仍是實(shí)數(shù)，故R是封閉集合，故A正確；對(duì)B，任意兩個(gè)整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，故是封閉集合，故B正確；對(duì)C，取，則，故不是封閉