13.4 尺規(guī)作圖（難點練）解析版

13.4尺規(guī)作圖（難點練）一、填空題1．（2020·北京八年級期中）在中給定下面幾組條件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根據(jù)每組條件畫圖，則能夠唯一確定的是___________（填序號）.【答案】①③④【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能畫出唯一三角形，正確；

②根據(jù)BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能畫出唯一三角形，如圖所示△ABC和△BCD，

錯誤；

③符合全等三角形的判定定理HL，即能畫出唯一三角形，正確；

④∵∠ABC為鈍角，結(jié)合②可知，只能畫出唯一三角形，正確.

故答案為：①③④．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定方法；解答此題的關(guān)鍵是要掌握三角形全等判定的幾種方法即可，結(jié)合已知逐個驗證，要找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系．2．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點D在AB的垂直平分線上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正確的是__________________．(填所有正確說法的序號)【答案】4【分析】①連接NP，MP，根據(jù)SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出結(jié)論；②先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB的度數(shù)，再由AD是∠BAC的平分線得出∠1=∠2=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知∠ADC=60°；③根據(jù)∠1=∠B可知AD=BD，故可得出結(jié)論；④先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】①連接NP，MP．在△ANP與△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，則∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分線，故此選項正確；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此選項正確；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點D在AB的中垂線上，故此選項正確；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD，∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此選項正確．故答案為①②③④．【點睛】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2020·陽泉市第三中學(xué)校八年級期中）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．（1）如圖，下列操作中，作∠ABC的平分線的正確順序是____（將序號按正確的順序?qū)懺跈M線上）①分別以M、N為圓心，大于MN為半徑畫弧，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點P．②以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧．交AB于點M，交BC于點N．③畫射線BP，交AC于點D．④線段BD即為△ABC的一條角平分線．（2）上述作法，其運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識是全等三角形判定方法中的______（判定方法）；（3）如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC的平分線AD與∠BCA平分線CE交于點F，圖中與∠B相等的角是______；請你猜想EF與FD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）②①③④；（2）SSS;（3）∠EFA、∠CFD，，理由見解析．【分析】（I）利用尺規(guī)作圖作角平分線的步驟解答即可；（2）連接MP、NP，然后根據(jù)全等三角形的判定定理解答即可；（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理即可找到與∠B相等的角；在上截取，連接；再證明得到，；再證明，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：（1）作∠ABC的平分線的正確順序是②①③④；故答案為：②①③④；（2）如圖：連接MP、NP，在△MBP和△NBP中，|BM=BN，PM=PN，BP=BP∴△MBP≌△NBP（SSS），故答案為SSS;（3）∵∠B=60°∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°∵∠BAC的平分線AD與∠BCA平分線CE交于點F，∴∠DAC+∠ECA=180°-（∠BAC+∠ACB）=60°，即∠AFC=120°∴∠EFA=∠CFD=60°，理由如下：在上截取，連接，則，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的作法、性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2019·西安交通大學(xué)附屬中學(xué)雁塔校區(qū)八年級月考）已知：，求作一個，使，且．【分析】首先過點A作BC的平行線AE，再在AE上截取，連接BD，CD即可得到△BCD．【詳解】解：如圖過點A作BC的平行線AE，再在AE上截取，交AE于點D，連接BD，CD即可得到△BCD．【點睛】本題考查了同底，等高的三角形面積相等以及作一條線段等于已知線段的基本作圖，熟練掌握基本尺規(guī)作圖是解本題的關(guān)鍵．5．（2020·江西定南·八年級期末）如圖，請用無刻度的直尺按下列要求畫圖；（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是邊AB，AC上的兩點，且BM＝CN，請畫出線段BC的垂直平分線；（2）如圖②，等邊△ABC和等邊△ACD，點E是AB邊的中點，請畫出線段BC的垂直平分線．【答案】（1）如圖①，直線AD即為所求；（2）如圖②，直線AF即為所求．【分析】（1）連接BN和CM，交點為O，連接AO，即可得到BC的垂直平分線；（2）連接BD和CE交于點P，連接AP，即可得到BC的垂直平分線；【詳解】(1)如圖①，直線AD即為所求；(2)如圖②，直線AF即為所求．【點睛】本題考查軸對稱作圖，根據(jù)全等關(guān)系可以確定點與點的對稱關(guān)系，從而確定對稱軸，即可畫出垂直平分線．6．（2020·北京人大附中八年級期末）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．（作圖原理）在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)，可以實現(xiàn)的畫√，不能實現(xiàn)的畫×．（1）過一點作一條直線．()（2）過兩點作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．()（回顧思考）還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線，以點為圓心，OC長為半徑畫弧，交于點；（3）以點為圓心，____________________；（4）過點畫射線，則．說理：由作法得已知：求證：證明：()所以()（小試牛刀）請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線．已知：直線與直線外一點A．求作：過點A的直線，使得．（創(chuàng)新應(yīng)用）現(xiàn)實生活中許多圖案設(shè)計都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個常見商標(biāo)的設(shè)計示意圖．假設(shè)你擁有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計一個圖案．要求保留作圖痕跡，并寫出你的設(shè)計意圖．【答案】【作圖原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顧思考】作法：以點為圓心，以CD為半徑畫弧，與第二步中所畫的弧相交于；說理：SSS，全等三角形對應(yīng)角相等；【小試牛刀】答案見解析；【創(chuàng)新應(yīng)用】答案見解析．【分析】[作圖原理]根據(jù)五種基本作圖判斷即可；[回顧思考]利用全等三角形的判定解決問題即可；[小試牛刀]利用同位角相等兩直線平行解決問題即可；[創(chuàng)新應(yīng)用]答案不唯一，畫出圖形，說明設(shè)計意圖即可．【詳解】解：[作圖原理]：（1）過一點作一條直線．可以求作；（2）過兩點作一條直線．可以求作；（3）畫一條長為3cm的線段．不可以求作；（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓．可以求作；故答案為：√，√，×，√；[回顧思考]：作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線OA，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點C；（3）以點C為圓心，以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D′；（4）過點D畫射線OB，則∠AOB＝∠AOB．說理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD，求證：∠AOB＝∠AOB．證明：在△OCD和△OCD中，∴△OCD≌△OCD（SSS），∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等），故答案為：以C′為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D′，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等；[小試牛刀]：如圖，直線l′即為所求（方法不唯一），；[創(chuàng)新應(yīng)用]：如圖所示（答案不唯一），設(shè)計意圖：書架中隱藏著無限寶藏，．【點睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（2020·江蘇江陰·八年級期中）在邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，點B的坐標(biāo)為(2，0)，點A的坐標(biāo)為(0，－3)．（1）在圖1中，請建立合適的坐標(biāo)系，把線段AB繞原點旋轉(zhuǎn)180°得線段DE（其中A與D是對應(yīng)點），則四邊形ABDE是形，面積等于．（2）在圖2中，僅使用無刻度的直尺，作出以AB為邊的矩形ABFG，使其面積為11（保留作圖痕跡，不寫做法）【答案】（1）菱形，12；（2）見解析【分析】（1）如圖1，建立直角坐標(biāo)系，四邊形是菱形，根據(jù)的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，可求得菱形的面積．（2）如圖2，連接，，交于點，得的兩條垂線，則得到矩形，由的值，可得的值，可得的值和的值，又，則矩形的面積為：，既得矩形即為所求．【詳解】（1）如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，按照線段繞原點旋轉(zhuǎn)得線段，畫出四邊形，圖1根據(jù)圖形可得，四邊形是菱形，∵的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，∴四邊形的面積為：．故四邊形是菱形，面積等于12．（2）如圖2，連接，，交于點，圖2由，可得，∴，同理可得，，又，此時，矩形的面積為：，故矩形即為所求．【點睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)綜合應(yīng)用．解答圖形旋轉(zhuǎn)相關(guān)題型時關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等．8．（2020·江蘇無錫·）如圖，已知，請用無刻度直尺和圓規(guī)，完成下列作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：（1）在邊上找一點，使得：將沿著過點的某一條直線折疊，點與點能重合，請在圖①中作出點；（2）在邊上找一點，使得：將沿著過點的某一條直線折疊，點能落在邊上的點處，且，請在圖②中作出點.【分析】（1）作線段BC的垂直平分線，交BC于點M，即可；（2）過點B作BO⊥BC，交CA的延長線于點O，作∠BOC的平分線交BC于點N，即可．【詳解】（1）作線段BC的垂直平分線，交BC于點M，即為所求．點M如圖①所示：（2）過點B作BO⊥BC，交CA的延長線于點O，作∠BOC的平分線交BC于點N，即為所求．點N如圖②所示：【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖，掌握尺規(guī)作線段的中垂線和角平分線，是解題的關(guān)鍵．9．（2020·海南?？凇ぃ┤鐖D,在.(1)用尺規(guī)作圖方法，按要求作圖:①作的高;②作的平分線，分別交于點;(要求:保留作圖痕跡，不寫作法和證明)(2)求證:點在的垂直平分線.上;.(3)在(1)所作的圖中，探究線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）證明見解析；（3）AE=2BF，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)過已知直線外一點垂線的步驟作圖；（2）根據(jù)作角平分線的步驟作圖；（3）根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，證明DA=DB即可；（4）通過證△ADE≌△BDC得出AE=BC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BC=2BF即可得出結(jié)論.【詳解】（1）①如圖1，以B為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于M;以C、M分別為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點P；作射線BP交AC于D,線段BD就是要求作的△ABC的高；②如圖1，以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB,AC于G,H；以G,H分別為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于N點；作射線AN，交BC于F點，射線AF就是所要求作的∠BAC的平分線；（2）∵∠BAC=45°，∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°.∴DA=DB，∴點D在AB的垂直平分線上.…（3）∵AB=AC，AF是∠BAC的角平分線，∴BC=2BF，AF⊥BC.∴∠DAF+∠C=90°．∵∠DBC+∠C=90°，∴∠DAE=∠DBC.又∵DA=DB，∠ADE=∠BDC=90°，∴△ADE≌△BDC（ASA）.∴AE=BC，∴AE=2BF.【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖的基本作圖，主要培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力；同時考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)等，具有推理能力是解答此題的關(guān)鍵.10．（2019·全國八年級課時練習(xí)）（1）已知和線段、，用直尺和圓規(guī)作，使，，和之間的距離為（作出圖形，不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）中，若比大2，且與的和小于10，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）先作∠MAN=α，再在AM上截取AB=m，過點B作BP⊥AB，接著在BP上截取BE=h，過點E作DE⊥BE交AD于D，然后在DE上截取DC=m，則四邊形ABCD滿足條件；

（2）根據(jù)題意得到m=n+2，m+n＜10，然后消去m得到n的不等式，再解不等式即可．【詳解】解：（1）如圖，平行四邊形為所作．（2）根據(jù)題意得到m=n+2，m+n＜10，則2n+2＜10，解得n＜4，而n＞0，所以0＜n＜4．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，利用幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．11．（2019·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知用尺規(guī)將一個任意角三等分是不可能的，但對于一些特殊角則可以利用作等邊三角形的方法三等分，請用直尺和圓規(guī)把平角和這兩個角三等分（尺規(guī)作圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）【分析】根據(jù)平角的三分之一等于60°，所以以點D為頂點，分別以CD、DE為邊在同一側(cè)作等邊三角形和，則射線DM、DN即為所求作的平角CDE的三等分線；

根據(jù)45°角的三分之一等于15°，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與OB相交于點F，再作FH=OF，然后以點F、H為圓心，以FH長為半徑畫弧相交于點P，連接OP，根據(jù)一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形可判定是直角三角形，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠POH=30°，從而得到∠AOP=15°，再作出∠POH的角平分線即可把∠AOB=45°三等分．【詳解】解：如圖所示，射線、為平角的三等分線；如圖所示，射線、為的三等分線．【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，根據(jù)角度的三分之一的度數(shù)，利用等邊三角形作出60°的角，利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)作出30°的角是解題的關(guān)鍵．12．（2019·湖北武漢·八年級月考）讀句畫圖：⑴畫鈍角△ABC（900<∠A<1800），且AB>AC．⑵BC上的中線AD．⑶畫AC上的高BE.⑷畫△ABC角平分線CF.【分析】（1）首先畫一鈍角∠A，角的兩邊，長為AB，短邊為AC.連接BC；（2）作BC的垂直平分線與BC的交點就是中點D，連接AD；（3）延長CA，從點B處作延長線的垂線，交點為E.連接BE；（4）以點C圓心，任意長為半徑畫弧，交AC，BC于點K，L，再以K，L為中心，大于KL的一半為半徑畫弧，兩弧的交點為F，連接CF.【詳解】解(1)：（2）（3）（4）【點睛】本題主要考查了中線，垂線，角平分線的一些基本畫法.掌握尺規(guī)作圖是解答本題的關(guān)鍵.13．（2018·江蘇濱湖·八年級期中）（定義）數(shù)學(xué)課上，陳老師對我們說，如果1條線段將一個三角形分成2個等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個三角形的“好線”，如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個三角形的“好好線”．（理解）如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，請你在這個三角形中畫出它的“好線”，并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù)．如圖②，已知△ABC是一個頂角為45°的等腰三角形，請你在這個三角形中畫出它的“好好線”，并標(biāo)出所分得的等腰三角形底角的度數(shù)．（應(yīng)用）(1)在△ABC中，已知一個內(nèi)角為42°，若它只有“好線”，請你寫出這個三角形最大內(nèi)角的所有可能值______；(2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分別是△ABC的“好好線”，點D在BC邊上，點E在AB邊上，且AD＝DC，BE＝DE，請你根據(jù)題意畫出示意圖，并求∠B的度數(shù)．【答案】【定義】見解析；【應(yīng)用】(1)103.5°或126°；(2)畫圖見解析；∠B＝42°或18°.【定義】如圖①，如圖②所示，根據(jù)題意畫出圖形即可；

【應(yīng)用】（1）①如圖③當(dāng)∠B=42°，AD為“好線”，②如圖④當(dāng)∠B=42°，AD為“好線”，③如圖⑤當(dāng)∠ABC=42°時，BD為“好線”，④如圖⑥，當(dāng)∠B=42°時，CD為“好線”，⑤如圖⑦，當(dāng)∠B=42°時，CD為“好線”，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)∠B=x°，①當(dāng)AD=DE時，如圖1（a），②當(dāng)AD=AE時，如圖1（b），③當(dāng)EA=DE時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：(定義)如圖①，如圖②所示，（應(yīng)用）(1)①如圖當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，則AB＝AD，AD＝CD，這個三角形最大內(nèi)角是∠BAC＝103.5°；②如圖⑦，當(dāng)∠B＝42°時，CD為“好線”，

則AD＝AC，CD＝BD，故這個三角形最大內(nèi)角是∠ACB＝126°，綜上所述，這個三角形最大內(nèi)角的所有可能值是103.5°或126°，故答案為103.5°或126°；(2)設(shè)∠B＝x°，①當(dāng)AD＝DE時，如圖1(a)，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②當(dāng)AD＝AE時，如圖1(b)，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③當(dāng)EA＝DE時，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，應(yīng)舍去．綜合上述：滿足條件的x＝42°或18°．【點睛】本題考查設(shè)計與作圖、等腰三角形的定義、正確的理解題意是解決問題的關(guān)鍵，并注意第二問的分類討論的思想，不要丟解．14．（2019·陜西西安市遠(yuǎn)東一中八年級月考）請下圖的數(shù)軸上用尺規(guī)作出對應(yīng)的點.【分析】如圖：設(shè)數(shù)軸上2表示的點字母為D，分別以1、3為圓心，大于1為半徑畫圓，兩圓交于A點，連接AD，以D為圓心2為半徑畫圓，交直線AD于B，以0為圓心，0B為半徑畫圓，交數(shù)軸負(fù)半軸于C，則點C即為所求.【詳解】作圖如下：【點睛】本題考查勾股定理及尺規(guī)作圖，利用勾股定理作出的長度是解題關(guān)鍵.15．（2018·全國南京·101中學(xué)八年級月考）已知直線及位于其兩側(cè)的兩點，，如圖：（）在圖①中的直線上求一點，是直線平分．（）能否在直線上找一點，使該點到點，的距離之差的絕對值最大？若能，直接在圖②作出該點的位置，若不能，請說明理由．分析：（1）作B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l與點Q，連接BQ，由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ，再由三角形全等的性質(zhì)可得出；（2）根據(jù)兩點之間線段最短，連接AB，線段AB交直線l于點O，則點O為所求.詳解：（）如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接并延長交直線于點，點即為所求．（）如圖：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)并延長交直線于點，點即為所求．點睛：此題主要考查了兩點之間線段最短、線段的垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟知各題的知識點是解題關(guān)鍵.16．（2018·全國南京·101中學(xué)八年級月考）如圖，方格紙上畫有、兩條線段，按下列要求作圖．（保留作圖痕跡）（）請你在圖（）中畫出線段關(guān)于所在直線成軸對稱的圖形．（）請你在圖（）中添上一條線段，使圖中條線段組成一個軸對稱圖形，畫出所有情形．（）如圖（），已知和、兩點，求作一點，使，且到兩邊的距離相等．分析：（1）做BO⊥CD于點O，并延長到B′，使B′O=BO，連接AB即可；

（2）軸對稱圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合．

（3）作出∠AOB的平分線；作出CD的中垂線；找到交點P即為所求．詳解：（）（）如圖所示：（）如圖所示：作的中垂線和的平分線，兩線交點即為點．點睛：1）（2）兩個小題考查對稱軸作圖，掌握畫圖的方法和圖形的特點是解題的關(guān)鍵；

（3）本題考查了角平分線的作法以及垂直平分線的作法，解答此題要明確兩點：（1）角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；（2）中垂線上的點到兩個端點的距離相等．17．（2018·江陰市敔山灣實驗學(xué)校八年級期中）如圖，在等腰△ABC內(nèi)找一點P，向兩腰AB、AC作垂線，垂足分別為D、E，向底邊BC作垂線，垂足為F，若PD＋PE＝PF．用直尺和圓規(guī)作出所有適合條件的點P．（保留作圖痕跡）分析：作∠ABC的平分線交AC于點P2，∠ACB的平分線交AB于點P1，連接P1P2，則在線段P1P2上的所有點（不含端點）為所求作的滿足條件的點P．詳解：如圖所示，答：在線段P1P2上的所有點（不含端點）為所求作的滿足條件的點P．點睛：本題考查了軌跡和等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找到點P1和點P2．18．（2018·江蘇工業(yè)園區(qū)·八年級期末）如圖，已知,.(1)用直尺和圓規(guī)作出一條過點的直線，使得點關(guān)于直線的對稱點落在邊上(不寫作法，保留作圖痕跡).(2)設(shè)直線與邊的交點為，且，請你通過觀察或測量，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)作圖見解析.(2),理由見解析.試題分析：（1）先作∠BAC的平分線l，再過點C作CF⊥l交AB于F，則可得到點C和F點關(guān)于l對稱，所以l為所作；（2）連結(jié)DF，如圖，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，則AD垂直平分CF，所以DF=DC，則∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性質(zhì)得∠BDF=2∠DCF，接著證明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，則FB=FD=CD，則易得AB=AF+FB=AC+CD．試題解析：（1）如圖，直線l為所作；（2）AB=AC+CD．理由如下：連結(jié)DF，如圖，∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，∴AF=AC，∴AD垂直平分CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∵∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=∠B+∠BCF，∴∠ACF=∠B+∠BCF，∵∠ACB=2∠B，∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF，∴∠B=2∠BCF，∴∠B=∠BDF，∴FB=FD，∴FB=CD，∴AB=AF+FB=AC+CD．19．（2017·江蘇建湖·八年級期中）如圖，已知線段m、n．用直尺與圓規(guī)作一個Rt△ABC，使∠C=90°，斜邊AB等于m、直角邊BC等于n．(保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法)試題分析：根據(jù)基本作圖，先作兩直線互相垂直，垂足為C，然后以n的長為半徑，以C為半徑作弧交于點A，再以A為圓心，以m為半徑作弧，交于B，得到△ABC.試題解析：如圖所示，三角形ABC既是所求的Rt△ABC.20．（2017·江陰初級中學(xué)八年級期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，線段AB和直線l如圖所示：（1）借助圖中的網(wǎng)格，在圖1中作銳角△ABC，滿足以下要求：①C為格點（網(wǎng)格線交點）；②AB=AC．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，請只用直尺（不含刻度）在圖（1）中找一點P，使得P到AB、AC的距離相等，且PA＝PB．（友情提醒：請別忘了標(biāo)注字母！）（3）在圖2中的直線l上找一點Q，使得△QAB的周長最小，并求出周長的最小值是．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）.試題分析：以為圓心，以為半徑畫圓弧，找出格點，即點的位置.注意是銳角三角形.找出的中點,連接,過的中點作的垂線，與交于點,點即為所求.作點關(guān)于直線的對稱點,連接與直線交于點,點即為所求.試題解析：如圖所示：如圖所示：作點關(guān)于直線的對稱點,連接與直線交于點,點即為所求.△QAB的周長故答案為點睛：線段的垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.21．（2017·江蘇灌南·八年級期中）問題情境學(xué)習(xí)完本冊第二章“軸對稱圖形”后，張老師在課堂上提出這樣的問題：“如圖①，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，如何畫一條線段把△ABC分割成兩個等腰三角形？”請在圖中畫出這條線段，并標(biāo)出相關(guān)的度數(shù).問題探究探究一：課后，小華經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，在△ABC中，∠A=26°，∠B=52°，也可以畫一條線段把△ABC分割成兩個等腰三角形.請在圖中畫出這條線段，并標(biāo)出相關(guān)的度數(shù).探究二：如圖③，在△ABC中，當(dāng)，∠B=2∠A時，是否一定存在一條線段把△ABC分割成兩個等腰三角形？若能，請在圖中畫出這條線段，若不能，直接寫出∠A的取值范圍.試題分析:本題考查等腰三角形的構(gòu)造方法,根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等,則以線段AC為底,作線段AC的垂直平分線交線段AB于一點D,連接DC,則△ADC是等腰三角形,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠CDB＝2∠A,然后再根據(jù)等角對等邊來判定是否為等腰三角形.以線段AC為底,作線段AC的垂直平分線交線段AB于一點D,連接DC,則△ADC是等腰三角形,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠CDB＝2∠A=60°,因為∠B＝60°,所以∠CDB＝∠B,所以△BDC是等腰三角形.以線段AC為底,作線段AC的垂直平分線交線段AB于一點D,連接DC,則△ADC是等腰三角形,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠CDB＝2∠A=52°,因為∠B＝52°,所以∠CD