專題03 全等三角形-2021-2022學(xué)年八上期末（解析版）

試卷第=page5858頁，共=sectionpages5959頁試卷第=page5959頁，共=sectionpages5959頁全等三角形1．如圖，是等腰直角三角形，，，垂足分別為、，，．（1）求證：．（2）求的長度．【答案】（1）見解析；（2）DE=4．【分析】（1）利用AAS判定△ABD≌△CAE；（2）因?yàn)锽D=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，∴∠DBA=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，∴AD=CE，BD=AE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE，∵CE=3，BD=7，∴DE=7-3=4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出BD=DE+CE．2．如圖，已知等腰三角形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接、，交于點(diǎn)．求證：【答案】見解析【分析】首先根據(jù)等邊對等角得，再證明△ABE≌△ACD后利用全等三角形的對應(yīng)角相等得∠ABE=∠ACD，從而可得，即可證得結(jié)論；【詳解】證明：∵，∴在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD；∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是能夠從題目中整理出全等三角形．3．如圖，B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AC∥DE，AC＝DE，BE＝CF，求證AB∥DF．【答案】見解析【分析】只需要證明△ACB≌△DEF得到∠B=∠F，即可證明AB∥DF．【詳解】解：∵BE=CF，∴BC+CE=FE+CE，∴BC=FE，∵AC∥DE，∴∠ACE=∠DEC，∵∠ACB+∠ACE=∠DEC+∠DEF=180°，∴∠ACB=∠DEF，又∵AC=DE，∴△ACB≌△DEF（SAS）∴∠B=∠F，∴AB∥DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的判定條件．4．如圖，△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A在△DEC的邊DE上，AB交CD于點(diǎn)F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求證：AB＝ED．【答案】見解析【分析】先根據(jù)對頂角相等可得∠AFD=∠BFC，利用等式性質(zhì)與三角形內(nèi)角和可得∠B=∠D，再證∠BCA=∠DCE，可證ΔABC≌ΔEDC（AAS）即可．【詳解】證明：∵∠1＝∠2，∠AFD=∠BFC，∠B=180°-∠2-∠BFC=180°-∠1-∠DFA=∠D，又∵∠2＝∠3，∴∠2+∠DCA=∠3+∠DCA，∠BCA=∠DCE，在ΔABC和ΔEDC中，，ΔABC≌ΔEDC（AAS），AB=ED．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，對頂角相等，掌握三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．如圖，△ABC與△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求證：AC＝DF．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ABC≌△DEF即可證得結(jié)論解答．【詳解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC=DF．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．求證：ACDF．【答案】見解析【分析】根據(jù)等式性質(zhì)由BE=CF推出BC=EF，根據(jù)SSS證△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠ACB=∠F即可．【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB=∠F，∴AC//DF．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟練掌握判定定理和性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖，在ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF．求證：（1）CF＝EB；（2）∠CBA+∠AFD＝180°．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得CD=ED，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)可得∠CBA=∠CFD，再根據(jù)補(bǔ)角的定義，即可求證．【詳解】證明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∴CD=ED，∵BD＝DF，∴，∴CF=EB；（2）∵，∴∠CBA=∠CFD，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠CBA+∠AFD＝180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，C是AB的中點(diǎn)，CDBE，CD＝BE，連接AD，CE．求證：AD＝CE．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用等幾何知識點(diǎn)問題．應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定定理．9．如圖，海岸上有A，B兩個(gè)觀測點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，海島C在觀測點(diǎn)A的正北方，海島D在觀測點(diǎn)B的正北方，從觀測點(diǎn)A看海島C，D的視角與從觀測點(diǎn)B看海島C，D的視角相等．那么海島C，D到觀測點(diǎn)A，B所在海岸的距離相等．為什么？【答案】解答見詳解．【分析】根據(jù)海島C在觀測點(diǎn)A的正北方，海島D在觀測點(diǎn)B的正北方，可得，根據(jù)從觀測點(diǎn)A看海島C，D的視角與從觀測點(diǎn)B看海島C，D的視角相等．可得，可證即可．【詳解】解：∵海島C在觀測點(diǎn)A的正北方，海島D在觀測點(diǎn)B的正北方，∴，，∴，∵，∴，在△CAB和△DBA中∴，∴，CA=DB．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，掌握方位角與視角，三角形全等判定方法與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，在中，，過點(diǎn)作線段，連接，且滿足，取的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意證明△ADE≌△CFE即可求解；（2）證明△BDE≌△BFE，得到∠BED=∠BEF，故可得到∠BED=90°，故可求解．【詳解】（1）∵∴∠DAE=∠C∵E是AC中點(diǎn)∴AE=CE又∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE（ASA）∴DE=FE；（2）∵∴AD+BD=BF+CF∵△ADE≌△CFE∴AD=CF，DE=FE∴BD=BF又∵BE=BE∴△BDE≌△BFE∴∠BED=∠BEF∵∠BED+∠BEF=180°∴∠BED=∠BEF=×180°=90°∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．11．如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D，∠A=50°，（1）求證：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）100°【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，AE=CE，根據(jù)“SSS”可證△ADE≌△CDE．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DCA=∠A=50°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠BDC度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵DE是線段AC的垂直平分線，∴DA=DC，AE=CE，在△ADE與△CDE中：DA=DC，AE=CE，DE=DE∴△ADE≌△CDE（SSS）；（2）解：∵△ADE≌△CDE．∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．熟記各個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)E為ABC的中線AD上一點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)B作BF∥CE交AD的延長線于點(diǎn)F．線段DE與DF相等嗎？請說明理由．【答案】DE＝DF，見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CED=∠BFD，由AD是中線知BD=CD，對頂角∠BDF與∠CDE相等，利用“AAS”來證明△BDF≌△CDE；最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等來證明DE=DF．【詳解】解：DE＝DF．理由：證明：∵BF∥CE，

∴∠CED=∠BFD，

∵AD為ABC的中線，

∴BD=CD，

在△CED和△BFD中，

∴△CED≌△BFD（AAS），

∴DE=DF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）求得∠CED=∠BFD才能構(gòu)建是全等三角形△CED≌△BFD．13．如圖，，都是等腰直角三角形，．（1）求證：；（2）敘述和經(jīng)過什么樣的旋轉(zhuǎn)可重合．【答案】（1）見解析；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可與重合．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用“”即可求解；（2）觀察圖形，確定旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，為旋轉(zhuǎn)角，方向?yàn)轫槙r(shí)針，即可求解．【詳解】解：（1），都是等腰直角三角形，則，∴在和中∴（2）根據(jù)圖形可得旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，為旋轉(zhuǎn)角，方向?yàn)轫槙r(shí)針，即，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可與重合【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的基本知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及旋轉(zhuǎn)的基本知識．14．如圖，，，垂足分別是點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，且AE⊥ED，AE＝ED，如果，，求AB的長．【答案】4【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，根據(jù)AAS證△ABE≌△ECD，推出AB＝CE，求出AB＋BC＝2AB＋BE，把BE＝3代入求出AB即可．【詳解】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別是點(diǎn)B、C，

∴∠B＝∠C＝90°．

∴∠A＋∠AEB＝90°，

∵AE⊥DE，

∴∠AED＝90°，

∵∠AEB＋∠AED＋∠DEC＝180°，

∴∠AEB＋∠DEC＝90°，

∴∠A＝∠DEC，

∵在△ABE和△ECD中，

，

∴△ABE≌△ECD（AAS），

∴AB＝CE，

∵BC＝BE＋CE＝BE＋AB，，

∴AB＋BC＝2AB＋BE＝11，

∵BE＝3，

∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，同角的余角相等，本題關(guān)鍵是證明全等三角形的對應(yīng)邊相等．15．如圖，是的高，為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，若有，，試探究與的位置關(guān)系．【答案】BE⊥AC，理由見詳解【分析】通過HL證Rt△BDF≌Rt△ADC，可得∠FBD＝∠CAD，即可得∠AEF＝∠ADB＝90°．【詳解】解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠FBD＝∠CAD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過HL證出三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，平分，為上一點(diǎn)，，，垂足分別為，，連接，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）3【分析】（1）依據(jù)PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，即可根據(jù)HL得到Rt△OPA≌Rt△OPB；（2）依據(jù)△OPA≌△OPB可得∠APE＝∠BPE，再依據(jù)PA＝PB，∠APE＝∠BPE，PE＝PE可利用SAS證明△APE≌△BPE，即可得到AE＝BE，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，OC平分∠MON，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，在Rt△OPA和Rt△OPB中，∵，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）；（2）解：由（1）知△OPA≌△OPB，∴∠APE＝∠BPE，又∵PA＝PB，在△APE和△BPE中，∵，∴△APE≌△BPE（SAS），∴AE＝BE，∴AE＝AB，∵AB＝6，∴AE＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．17．如圖，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC，BE．（1）求證：△BAE≌△DAC；（2）若∠CAD＝143°，∠D＝15°，求∠E的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠E＝22°．【分析】（1）根據(jù)題意由∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，可得∠DAC＝∠BAE，借助SAS即可求證；

（2）由△BAE≌△DAC，可得∠E＝∠C，再由內(nèi)角和為180°即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△BAE≌△DAC（SAS）；（2）解：∵△BAE≌△DAC，∴∠E＝∠C，∵∠CAD＝143°，∠D＝15°，∴∠C＝180°﹣（∠CAD＋∠D）＝22°，∴∠E＝22°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形判定的條件和等量加等量和相等是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖，△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，求證：BE＝CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDA＝∠CEA，進(jìn)而利用全等三角形的判定方法AAS即可得出△ABD≌△ACE，則結(jié)論可得出．【詳解】證明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BDA＝∠CEA，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD＝CE，∴BD＋DE＝CE＋DE，即BE＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求證：△ABD≌△CAE；（2）求證：BD=DE+CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先證明∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=∠CAE，再證明△ABD≌△CAE即可；（2）由△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，再利用線段的和差可得答案.【詳解】證明：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE．∴∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD+∠BAD=90°．∵∠BAC=90°．∴∠CAE+∠BAD=90°．∴∠ABD=∠CAE．∵AB=AC．∴△ABD≌△CAE．(2)∵△ABD≌△CAE．∴BD=AE，AD=CE．∴BD=AE=AD+DE．∴BD=DE+CE．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握“利用證明三角形全等”是解題的關(guān)鍵.20．如圖，在中，是上一點(diǎn)，且，過作，分別交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．（1）求證：是直角三角形；（2）求證：；（3）如果：，請猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可推出，從而得證；（2）證得∠EBC=∠ACD，∠A=∠ACD，則結(jié)論可得出；

（3）過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)ASA證明△DCG≌△EBC，可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∴，∵∴即是直角三角形（2）∵，∴∵∴∴∵∴∴（3）過作于∵，∴∵∴∵，∴在和中，∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．21．如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，作于點(diǎn)E，且．（1）求證：平分；（2）若，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）只需要證明即可得到，從而得證；（2）根據(jù)可以求出，再由全等三角形的性質(zhì)即可得到，由此求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴在和中，，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，解得：，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．22．如圖，在多邊形ABCDE中，，于點(diǎn)F，且，，．（1）求證：；（2）若，，求的面積．【答案】（1）見解析（2）6【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABF≌△DBC，故可求解；（2）根據(jù)SAS證明△ABE≌△DBE，得到AE=DE=4，故可求解．【詳解】（1）∵，∴∠BFA=∠C=90°又，∴△ABF≌△DBC，∴；（2）∵△ABF≌△DBC∴∠ABF=∠DBC∵===∴∠ABE=∠DBE又AB=DB，BE=BE∴△ABE≌△DBE∴AE=DE=4，∴的面積為AE×BF=．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．23．如圖，已知，，，．判斷AC與BD的關(guān)系，并說明理由．【答案】，，見解析【分析】由“SAS”可證△AOC≌△BOD，可得AC=BD，，可證AC⊥BD；【詳解】解：，．證明：，，，，即，在△AOC和△BOD中，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些知識解決問題是本題的關(guān)鍵．24．如圖，點(diǎn)E、C在BF上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意利用全等三角形的判定中‘AAS’結(jié)合全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】解：證明：，，在△ABC和△DEF中，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AB邊上，DM⊥AB于D，過點(diǎn)M作MEBC交AB于點(diǎn)E，且ME＝AB．（1）求證△ABC≌△MED；（2）若∠B＝60°，求∠M的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）30°．【分析】（1）首先根據(jù)MEBC，得出，然后可根據(jù)AAS證明△ABC≌△MED；（2）根據(jù)（1）中證明出的得到，即可求出∠M的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵M(jìn)EBC，∴，∴在和中，∴，（2）由（1）可知，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．26．如圖，AC和BD交于點(diǎn)O，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)題意結(jié)合“HL”判定定理可得Rt△BAC≌Rt△CDB，然后問題可求證．【詳解】證明：∵∠A＝∠D＝90°，在Rt△BAC與Rt△CDB中，，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定，熟練掌握“HL”判定定理是解題的關(guān)鍵．27．已知：如圖，和都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，與相交于點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)N．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和題意，可以得到△ACD≌△BCE的條件，從而證明△ACD≌△BCE，故可求解；（2）證得△ACM≌△BCN，就可以證得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴（2）∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE．又∵∠AMC＝∠BMP，∴∠APB＝∠ACB＝60°；在△ACM和△BCN中∴△ACM≌△BCN（ASA），∴CM＝CN．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．28．如圖，，，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．（1）求證：點(diǎn)D在平分線上；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）先根據(jù)HL證明Rt△CDF≌Rt△EBD，從而得出CD＝ED，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）設(shè)CF＝x，則AE＝14?x，AC=10+x再根據(jù)題意得出Rt△ACD≌Rt△AED，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，，，∴平分；（2）解：設(shè)，則，在與中，，∴，∴，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)定理，熟知到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上是解答此題的關(guān)鍵．29．如圖，要測量河岸相對兩點(diǎn)A，B的距離，可以從AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使過點(diǎn)D作，且A，C，E三點(diǎn)在一直線上．若測得米，即可知道AB也為15米．請說明理由．【答案】見解析【分析】利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答．【詳解】解：∵，，∴，在和中，，

∴，∴，故測得米，即可知道AB也為15米．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．30．如圖，已知是的邊上的高，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，．（1）證明：；（2）若，，求的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等角的余角相等，則，即可得出答案．（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，，從而求得，的長度，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：延長與交于點(diǎn)，∵是的邊上的高，，在和中，，，，∵∠BED=∠AEF，，∴，即．（2）解：由（1）可得，，，而，，，，即的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等角的余角相等；熟練掌握互余的性質(zhì)，證明是解此題的關(guān)鍵．31．如圖，點(diǎn)F、C在線段BE上，BF＝CE，DF＝AC，∠DFB＝∠ACE．求證：∠A＝∠D．【答案】見解析【分析】先推出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，然后根據(jù)“SAS”證明△ABC≌△DEF，即可得出結(jié)論．【詳解】證：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，∴BC＝EF，∵∠DFB＝∠ACE，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握證明全等三角形的基本方法，理解全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB延長線上一點(diǎn)，AD＝BF，AC＝DE且DE⊥EF，求證：∠ABC＝∠F．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意由AD＝BF可推出AB＝DF，然后證明Rt△ACB≌Rt△DEF，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：證明：∵AD＝BF，∴AD+BD＝BF+BD，即AB＝DF，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，在Rt△ACB和Rt△DEF中，，∴Rt△ACB≌Rt△DEF（HL），∴∠ABC＝∠F．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握直角三角形全等的判定方法“HL”是解題的關(guān)鍵．33．如圖，已知AB∥CD，AB=CD，AF=CE，求證：DF=EB．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A＝∠C，再根據(jù)AF＝CE得到AE＝CF，然后利用邊角邊證明△ABE與△CDF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明．【詳解】證明：∵ABCD，∴∠A＝∠C，又∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴DF=EB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)線段的關(guān)系推出AE＝CF，得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．34．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=50°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD=2，作∠ADE=50°，D交邊AC于點(diǎn)E．求證：BD=CE．【答案】見解析【分析】根據(jù)“”證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵,∴,∵，∴，∴,∵,∴,在和中，,∴,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解本題的關(guān)鍵．35．如圖，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD．求證：EB=FC．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和已知條件，得出DE=DF，證明△BDE與△CDF全等，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AD是∠BAC的角平分線DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE與Rt△CDF中∵∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴BE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定，熟練掌握知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．36．如圖，AB＝CD，∠B＝∠C，點(diǎn)F、E在BC上，BF＝CE．求證：AE＝DF．【答案】見解析【分析】由“SAS”可證△ABE≌△DCF，再由全等三角形的性質(zhì)可得AE=DF，即可得結(jié)論．【詳解】證明：∵BF=CE，∴BF+FE=CE+FE，∴BE=CF，在△ABE與△DCF中，∵AB=DC，∠B=∠C，BE=CF，∴△ABE≌△DCF(SAS)．∴AE=DF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．37．如圖，已知為等邊三角形（三條邊相等三個(gè)角為的三角形），點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得，，即可求證；（2）由（1），可得，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）∵為等邊三角形，∴，．在和中，，∴（SAS）；（2）∵，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．38．如圖①，，垂足分別為D、E，、相交于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）如圖②，連結(jié)圖①中的，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖②中所有的全等三角形．【答案】（1）見解析；（2），，，【分析】（1）根據(jù)AAS證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】（1），，，在與中，，，，，即；（2）由（1）可知：，，在與中，，，，，在與中，，，在與中，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．39．如圖，在和中，，延長分別交邊、于點(diǎn)F、G．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）49°【分析】（1）運(yùn)用SSS證明△ABC≌△ADE即可得證；（2）利用三角形的內(nèi)角和定理，等量代換計(jì)算即可．【詳解】（1）∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D．（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD，∴∠DAB＝∠CAE＝49°．∵∠B=∠D，∠DFG＝∠BFA，∴∠BGD＝∠DAB＝49°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．如圖，線段AD上有兩點(diǎn)E，B，且AE＝DB，分別以AB，DE為直角邊在線段AD同側(cè)作Rt△ABC和Rt△DEF，∠A＝∠D＝90°，BC＝EF．求證：∠AEG＝∠DBG．【答案】見解析【分析】先證明再證明Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，再證明∠ABC=∠DEF，再利用等角的補(bǔ)角相等可得答案.【詳解】證明：∵AE=DB∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE∵∠A=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴∠ABC=∠DEF∴∠AEG=∠DBG【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等角的補(bǔ)角相等，掌握“斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”是解題的關(guān)鍵.41．如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，，∠A＝∠D．（1）求證：ABC≌DFE；（2）若BF＝10，EC＝4，求BC的長．【答案】（1）見解析；（2）7【分析】（1）根據(jù)，可得，再由，得到，即可求證；（2）根據(jù)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵∴即∵∴在和中∵∴；（2）又∵∴∵BF＝10，EC＝4，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理，并靈活選用合適方法是解題的關(guān)鍵．42．如圖，AB＝AC，CA平分∠BCD，E點(diǎn)在BC上，且∠BAE＝∠CAD＝90°，求證：CD＝BE．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠ACB，再結(jié)合角平分線的定義等量代換可得∠B＝∠ACD，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CA平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠B＝∠ACD，在與中，，∴，∴BE＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．43．如圖，在ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ABD＝∠ACE；（2）求證：EF＝AE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°即可得證；（2）根據(jù)∠ABC＝45°，CE⊥AB，可得，進(jìn)而結(jié)合（1）的結(jié)論，ASA即可證明，進(jìn)而證明EF＝AE．【詳解】（1）BD⊥AC，CE⊥AB∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°∠ABD＝∠ACE；（2）∠ABC＝45°，CE⊥AB，CE⊥AB在與中EF＝AE．【點(diǎn)睛】本題考查了同角的余角相等，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．44．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為E，并與BA的延長線交于點(diǎn)F．求證：（1）CE＝EF；（2）BD＝2CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，可得∠FBE＝∠CBE．再由CE⊥BD，可得∠BEF＝∠BEC＝90°．可證得△BEF≌△BEC，即可求證；（2）由（1）得：CF＝2CE．再根據(jù)等角的余角相等，可得∠ABD＝∠ECD．從而得到△ABD≌△ACF，即可求證．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE．∵CE⊥BD，∴∠BEF＝∠BEC＝90°．∵∠FBE＝∠CBE，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴CE＝EF；（2）由（1）得：CF＝2CE．∵BE⊥FC，即∠BEC＝90°．∵∠BAC＝90°，∠BDA＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ECD．在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF＝2CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．45．如圖，是等邊三角形，是延長線上任意一點(diǎn)，以為一邊向左側(cè)作等邊，連接．（1）求證：；（2）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）和是等邊三角形，，，即，在和中，，；（2），理由如下：由（1）已證：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、平行線的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．46．如圖，已知點(diǎn)A、E、F、D在同一條直線上，，，，垂足分別為F、E，，AB與CD位置有什么關(guān)系并說明理由【答案】平行，理由見解析【分析】首先利用SAS證明△ABF≌△DCE，根據(jù)全等三角形，對應(yīng)角相等，可得到∠A=∠D，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可證出AB∥CD．【詳解】解：AB∥CD，∵AE=DF，即AF+EF=DE+EF，∴AF=DE，∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFA=∠CED=90°，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D，∴AB∥CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，做題的關(guān)鍵是找出證三角形全等的條件．47．如圖，在和中，，為上一點(diǎn)，，．求證：．【答案】見解析．【分析】用HL證明≌，得,，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可得．【詳解】證明:在和中，，∴≌（），∴,∵中，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．48．如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，、相交于點(diǎn)，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】利用直角三角形銳角互余，等角的余角相等，可推出，由因?yàn)椋?，即可推出，結(jié)論即可得證．【詳解】∵在和中，，∴,∴,在和中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明與所在三角形全等是解題關(guān)鍵．49．如圖，已知AB＝CD，AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在一條直線上．求證：AC⊥CE．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)HL定理證明Rt△ABC≌Rt△CDE，可得∠BAC=∠DCE，再根據(jù)∠B=90°可得∠BAC+∠ACB=90°，從而證明∠DCE+∠ACB=90°，繼而得出結(jié)論．【詳解】∵∠B＝∠D＝90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）∴∠BAC=∠DCE，∴∠DCE+∠ACB=90°，∴∠ACE=90°，即AC⊥CE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，主要用到HL定理，能根據(jù)題中條件選擇合適的定理證明全等是解題關(guān)鍵．本題用到HL定理．50．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，∠BDC＝∠DBC．已知AB＝DE，DC⊥CE．證明：∠CAE＝∠CEA．【答案】證明見詳解．【分析】根據(jù)等角對等邊可得BC=DC，然后證明Rt△ABC≌Rt△ECD（HL），可得AC=EC，在利用等邊對等角即可得出∠CAE=∠CEA．【詳解】證明：∵∠BDC＝∠DBC，∴BC=DC，∵∠ACB＝90°，DC⊥CE．在Rt△ABC和Rt△ECD中，，Rt△ABC≌Rt△EDC（HL），∴AC=EC，∴∠CAE=∠CEA．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形判定與性質(zhì)，直角三角形確定判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形判定與性質(zhì)，直角三角形確定判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．51．如圖，在△ABC中，∠BAC＝34°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB的度數(shù)．【答案】．【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】解：在中，，，，和都是直角三角形，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．52．如圖，五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等，DF⊥AB．（1）求∠CDF的度數(shù)；（2）連接AD、DB，若AF＝BF，求證：ED＝CD．【答案】（1）54°（2）見解析【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和度數(shù)可得每一個(gè)角的度數(shù)，然后再利用四邊形DFBC內(nèi)角和計(jì)算出∠CDF的度數(shù)；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，然后證明△DEA≌△DCB可得ED＝CD．【詳解】（1）∵五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等，∴∠EAB=∠E=∠C＝∠ABC＝∠EDC＝180°×（5?2）÷5＝108°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠CDF＝360°?90°?108°?108°＝54°，（2）∵DF⊥AB，AF＝BF，∴DF垂直平分AB∴AD=BD∴∠DAF=∠DBF∵∠EAB=∠ABC∴∠EAD=∠CBD在△AED和△BCD中，∴△DEA≌△DCB（AAS），∴ED＝CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)的性質(zhì)．53．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．【答案】2【分析】根據(jù)同角的余角相等可得，根據(jù)“AAS”可證≌，可得，即可求BE的長．【詳解】解：∵，，∴，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS），∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．54．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求證：（1）AE⊥BE；（2）E是線段CD的中點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，可得出，即可得結(jié)論；（2）延長，交于，繼而證明，得出后，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1），，又、分別平分、，，，（2）如圖，延長，交于，，，，，，且，，，∴E是線段CD的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．55．如圖，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的長．【答案】3.5【分析】由平角定義及三角形內(nèi)角和定理解得，繼而證明，得到，最后根據(jù)線段的和差解題．【詳解】解：∠B=∠C=∠FDE=80°，在與中，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．56．如圖，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，．求證：【答案】見解析【分析】先證明△ABD≌△CEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得到結(jié)論．【詳解】∵，∴∠A＝∠C，在△ABD與△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS）；∴AD＝BC，AB＝CE，∵AC＝AB＋BC，∴AC＝AD＋CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．57．已知：如圖，在中，，，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且．求證：．【答案】見解析【分析】首先可判斷△ABC是等腰直角三角形，連接CD，根據(jù)全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，即可證明DE=DF．【詳解】證明：（1）∵BC=AC，∠BCA=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．∴∠A=∠FCD=45°，在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（SAS），∴DE=DF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出證明全等需要的條件．58．已知：如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且，．求證：，．【答案】證明見詳解．【分析】先根據(jù)中點(diǎn)定義可得BD=DC，再根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠EBD=∠FDC，∠EDB=∠C，利用ASA三角形全等判定定理可證△EBD≌△FDC（ASA），利用全等三角形性質(zhì)可得，．【詳解】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=DC，∵，．∴∠EBD=∠FDC，∠EDB=∠C，在△EBD和△FDC中∴△EBD≌△FDC（ASA），∴，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，中點(diǎn)定義，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟知判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．59．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．（1）求證：AD平分∠BAC：（2）已知AC=18，BE=4，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，由線段的和差關(guān)系求出答案．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，∴，，，，平分；（2）解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．60．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．【答案】證明過程見解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，即可得證；【詳解】∵是等邊三角形，∴，，∵將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，∴，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．61．如圖，，，，點(diǎn)D在邊上，和相交于點(diǎn)O．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先證明，再根據(jù)SAS即可證明全等；（2）利用三角形外角的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等可得，從而可得．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即.在和中，，∴（2）∵，∴.∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)．掌握相關(guān)定理，能正確識圖選擇合適的定理證明是解題關(guān)鍵．62．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，，，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，CF所在直線交DA延長線于點(diǎn)G．（1）求證：CF平分；（2）若，求DG長度．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠B，再根據(jù)SAS得出△ADC≌△BCE，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)△ADC≌△BCE，得出∠ADC=∠BCE，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)結(jié)合（1）中得結(jié)論得出AG=AC，繼而得出DG=AB即可；【詳解】解：（1）∵，∴∠DAC=∠B，在△ADC和△BCE中，∴△ADC≌△BCE，

∴CD=CE；∵∴∠DCF=∠ECF，∴CF平分；（2）∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，∵∠DCF=∠ADC+∠AGC，∠ECF=∠BCE+∠BCF，∵∠DCF=∠ECF，∴∠AGC=∠BCF，∵∠BCF=∠ACG，∴∠AGC=∠ACG，∴AG=AC，∵，∴∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．63．如圖，在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，連結(jié)AE，BE，CE，其中AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD．

（1）求∠AEB的度數(shù)：（2）試判斷△BEC的形狀，并說明理由．【答案】（1）∠AEB=135°；（2）△BEC是等腰直角三角形．理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠1+∠4=45°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）利用SAS證明△BEA△CEA，易證明△BEC是等腰直角三角形．【詳解】解：（1）∵AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即2∠1+2∠4=90°，∴∠1+∠4=45°，在△BEA中，∠AEB=180°-(∠1+∠4)=135°；（2）△BEC是等腰直角三角形．理由如下：在△BEA和△CEA中，，∴△BEA△CEA(SAS)，∴BE=CE，∠AEC=∠AEB=135°，∴∠BEC=180°-∠AEC-∠AEB=180°-135°-135°=90°，∴△BEC是等腰直角三角形．．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．64．四邊形ABCD中（BC＞AB），BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于E．（1）求證：∠BAD＋∠BCD＝180?；（2）如果BC＝5，AB＝3，求CE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）1【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥BA，交BA延長線于F，由角平分線的性質(zhì)即可得到DF=DE，由此證明△DFA≌△DEC得到∠ECD=∠FAD，再由∠FAD+∠BAD=180°，即可得到∠BCD+∠BAD=180°；（2）由△DFA≌△DEC，即可得到AF=CE，DE=DF，從而可證△BFD≌△BED得到BF=BE，則BE=BF=AB+AF=AB+CE=3+CE，再由BC=BE+CE=5求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥BA，交BA延長線于F，∵