2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2講證明不等式的基本方法第一課時比較法練習(xí)新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1第一課時比較法[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.若x，y∈R，記w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，則w與u為A.w＞u B.w＜uC.w≥u D.無法確定解析∵w－u＝x2－xy＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3y2,4)≥0，∴w≥u.答案C2.若T1＝eq\f(2s,m＋n)，T2＝eq\f(s（m＋n）,2mn)，則當(dāng)s，m，n∈R＋時，T1與T2的大小為A.T1≤T2 B.T1＝T2C.T1＞T2 D.T1＜T2解析因為eq\f(2s,m＋n)－eq\f(s（m＋n）,2mn)＝s·eq\f(4nm－（m＋n）2,2mn（m＋n）)＝eq\f(－s（m－n）2,2mn（m＋n）)≤0.所以T1≤T2.答案A3.已知a>0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是A.P>Q B.P<QC.P＝Q D.大小不確定解析P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1)，當(dāng)0<a<1時，0<a3＋1<a2＋1，0<eq\f(a3＋1,a2＋1)<1，∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，即P－Q>0，∴P>Q.當(dāng)a>1時，a3＋1>a2＋1>0，eq\f(a3＋1,a2＋1)>1，∴l(xiāng)ogaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0，即P－Q>0，∴P>Q.答案A4.設(shè)A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a>0，b>0)，則A，B的大小關(guān)系為________.解析A－B＝eq\f(b＋a,2ab)－eq\f(2,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2－4ab,2ab（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2ab（a＋b）).∵a>0，b>0，∴2ab>0，a＋b>0，又(a－b)2≥0，∴A≥B.答案A≥B5.已知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1＞ab＋a.證明∵p＝a2＋b2＋1－ab－a＝eq\f(1,2)[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋b2＋1]＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋b2＋1]，∴明顯p＞0.即a2＋b2＋1－ab－a＞0，∴原不等式成立.[實力提升]1.已知a＞b，則不等式①a2＞b2；②eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)中不成立的個數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3答案D2.已知a＞b＞0且ab＝1，設(shè)c＝eq\f(2,a＋b)，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，則A.P＜M＜N B.M＜P＜NC.N＜P＜M D.P＜N＜M解析因為c＝eq\f(2,a＋b)＜eq\f(2,2\r(ab))＝1，即0＜c＜1.又a＞b＞0，ab＝1，所以a＞1＞b＞0，所以P＝logca＜0，N＝logcb＞0，M＝logc(ab)＝0.故選A.答案A3.已知a＞2，x∈R，P＝a＋eq\f(1,a－2)，Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2)，則P、Q的大小關(guān)系為A.P≥Q B.P＞QC.P＜Q D.P≤Q解析∵a＞2，∴a－2＞0，P＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2＋2＝4.又Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝4.∴P≥Q.答案A4.已知實數(shù)a，b，c滿意b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，bA.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b解析∵c－b＝4－4a＋a2，∴c－b＝(a－2)2≥0，∴c≥b.而由b＋c＝6－4a＋3a2和c－b＝4－4a＋a2，兩式相減，得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∴b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0.∴b>a.∴c≥b>a.故選A.答案A5.若q＞0且q≠1，m，n∈N＋，則1＋qm＋n與qm＋qn的大小關(guān)系是A.1＋qm＋n＞qm＋qn B.1＋qm＋n＜qm＋qnC.1＋qm＋n＝qm＋qn D.不能確定答案A6.在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，則a5與b5的大小關(guān)系是A.a5＜b5 B.a5＞b5C.a5＝b5 D.不確定答案B7.若0<a<b<1，P＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\f(1,2)(logeq\s\do9(\f(1,2))a＋logeq\s\do9(\f(1,2))b)，M＝logeq\s\do9(\f(1,2))(a＋b)，則P、Q、M的大小關(guān)系是________.答案Q>P>M8.若a，b>0，則a5＋b5與a3b2＋a2b3的大小關(guān)系是_______________________________________________.答案a5＋b5≥a3b2＋a2b39.若n∈N＋，且n>1，則logn(n＋1)與log(n＋1)(n＋2)的大小關(guān)系為________.答案logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)10.設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大小.解析(1)由|2x－1|<1可得－1<2x－1<1，則0<x<1.故集合M＝(0，1).(2)由(1)及a，b∈M，知0<a<1，0<b<1，則(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b.11.已知a、b都是正數(shù)，x、y∈R，且a＋b＝1，求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明由a>0，b>0，且a＋b＝1可知a＝1－b>0，b＝1－a>0，∵ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.12.設(shè)a，b是非負(fù)實數(shù)，求證：a3＋b3≥eq\r(ab)(a2＋b2).證明由a，b是非負(fù)實數(shù)，作差得a3＋b3－eq\r(ab)(a2＋b2)＝a2eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))＋b2eq\r(b)(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（\r(a)）5－（\r(b)）5)).當(dāng)a≥b時，eq\r(a)≥eq\r(b)，從而(eq\r(a))5≥(eq\r(b))5，得(eq\r(a)－eq\r(b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（\