2024-2025學年高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何課時作業(yè)203.1.2空間向量的數(shù)乘運算含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE1課時作業(yè)20空間向量的數(shù)乘運算時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．如圖，在平行六面體ABCD-EFGH中，若eq\o(AG,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))－2yeq\o(BC,\s\up16(→))＋3zeq\o(DH,\s\up16(→))，則x＋y＋z等于(C)A.eq\f(7,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D．1解析：易知eq\o(AG,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CG,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DH,\s\up16(→))，則x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，故x＋y＋z＝eq\f(5,6).2．已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是A1C1的中點，點F是AE的三等分點，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up16(→))＝(D)A.eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up16(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up16(→))解析：如圖所示，eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1E,\s\up16(→))，eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up16(→))，eq\o(A1C1,\s\up16(→))＝eq\o(A1B1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→))，eq\o(A1B1,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(A1D1,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up16(→))，故選D.3．對于空間的隨意三個向量a，b,2a－b，它們肯定是(A)A．共面對量B．共線向量C．不共面對量D．既不共線也不共面的向量解析：∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b與a，b共面．4．已知空間向量a，b，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點是(A)A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：∵eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＝－a－2b，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝－2eq\o(BA,\s\up16(→))，∴A，B，D三點共線，故選A.5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up16(→))，若eq\o(AE,\s\up16(→))＝xeq\o(AA1,\s\up16(→))＋y(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))，則(D)A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)解析：eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．下列條件中使M與A、B、C肯定共面的是(C)A.eq\o(OM,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))B.eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))C.eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0解析：C選項中eq\o(MA,\s\up16(→))＝－eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(MC,\s\up16(→))，∴點M、A、B、C共面，故選C.7．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點，若eq\o(PA,\s\up16(→))＝eq\o(a,\s\up16(→))，eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(b,\s\up16(→))，eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(c,\s\up16(→))，則eq\o(BE,\s\up16(→))＝(C)A.eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(c,\s\up16(→))B.eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(c,\s\up16(→))C.eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up16(→))－eq\f(3,2)eq\o(b,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(c,\s\up16(→))D.eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(b,\s\up16(→))＋eq\f(3,2)eq\o(c,\s\up16(→))解析：eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up16(→))－eq\o(PB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(PC,\s\up16(→))－eq\o(PB,\s\up16(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up16(→))－eq\f(3,2)eq\o(b,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(c,\s\up16(→)).故選C.8．如圖是一平行六面體ABCD-A1B1C1D1，E為BC延長線上一點，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2eq\o(CE,\s\up16(→))，則eq\o(D1E,\s\up16(→))＝(B)A.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))B.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→))C.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→))D.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→))解析：取BC的中點F，連接A1F，則A1D1綊FE，所以四邊形A1D1EF是平行四邊形，所以A1F綊D1E，所以eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\o(D1E,\s\up16(→)).又eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＝－eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(D1E,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→))，故選B.二、填空題9．化簡eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.解析：原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.10．如圖，在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，點M在OA邊上，且eq\o(OM,\s\up16(→))＝2eq\o(MA,\s\up16(→))，N為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c(用a，b，c表示)．解析：eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MO,\s\up16(→))＋eq\o(ON,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.11．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外隨意一點，若由eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋λeq\o(OC,\s\up16(→))確定的一點P與A，B，C三點共面，則λ＝eq\f(2,15).解析：依據(jù)P，A，B，C四點共面的條件，知存在實數(shù)x，y，z，使得eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))成立，其中x＋y＋z＝1，于是eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，所以λ＝eq\f(2,15).三、解答題12．如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點，試化簡eq\o(AG,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))，并在圖中標出化簡結果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴eq\o(GE,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up16(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DF,\s\up16(→))＝eq\o(FE,\s\up16(→))，∴eq\o(AG,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AG,\s\up16(→))＋eq\o(GE,\s\up16(→))－eq\o(FE,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))(如圖所示)．13．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是線段AC的中點，N是線段A1B上的點，若MN∥平面B1BCC1，試確定點N的位置，并說明理由．解：設eq\o(BN,\s\up16(→))＝λeq\o(BA1,\s\up16(→))，因為MN∥平面B1BCC1，所以存在實數(shù)x，y，使得eq\o(MN,\s\up16(→))＝xeq\o(BC,\s\up16(→))＋yeq\o(BB1,\s\up16(→)).①又eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(BN,\s\up16(→))－eq\o(BM,\s\up16(→))＝λeq\o(BA1,\s\up16(→))－eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))＝λ(eq\o(BB1,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＋λeq\o(BB1,\s\up16(→))＋(λ－eq\f(1,2))eq\o(BA,\s\up16(→)).②比較①②，可得λ＝eq\f(1,2)，即點N是線段A1B的中點．——實力提升類——14．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間隨意四點，則有eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③若eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))共線，則AB∥CD；④對空間隨意一點O與不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面．其中不正確命題的個數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．4解析：明顯①正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯誤；若eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故③錯誤；只有當x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點才共面，故④錯誤．故選C.15．如圖，H為四棱錐P-ABCD的棱PC的三等分點，且PH＝eq\f(1,2)HC，點G在AH上，且AG＝mAH，四邊形ABCD為平行四邊形，若B，G，P，D四點共面，求實數(shù)m的值．解：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))－eq\o(PA,\s\up16(→))，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))－eq\o(PA,\s\up16(→)).∵eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，∴eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PD,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))－eq\o(PA,\s\up16(→))＝－eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\