2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之統(tǒng)計(jì)（含解析）

統(tǒng)計(jì)

學(xué)問(wèn)列表

高考要求

本講模塊回考考點(diǎn)

了解理解駕馭

頻率估計(jì)概率A

古典概型互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)C

古典概型C

長(zhǎng)度型幾何概型B

幾何概型面積型幾何概型C

體積型幾何概型B

回來(lái)直線B

獨(dú)立性檢驗(yàn)C

統(tǒng)計(jì)

離散型隨機(jī)變量的分布列及期望

C

方差

二.基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)：

古典概型

1.頻率和概率

⑴在相同條件S下重復(fù)“次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，則〃次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的

rn

次數(shù)根為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例力(A)=-為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率；

n

(2)假如隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事務(wù)A發(fā)生的頻率力(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記

為尸(A),稱為事務(wù)A的概率.簡(jiǎn)稱為A的概率；

(3)頻率和概率有本質(zhì)區(qū)分，頻率隨試驗(yàn)次數(shù)的變更而變更，概率卻是一個(gè)常數(shù)；對(duì)于給定

的事務(wù)A,由于事務(wù)A發(fā)生的頻率力(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以

用頻率力(A)來(lái)估計(jì)概率P(A).概率的取值范圍：O<P(A)<1

2.互斥事務(wù)：假如A6為不行能事務(wù)A5=。，則稱事務(wù)A與事務(wù)3互斥，即事務(wù)A與

事務(wù)6在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.互斥事務(wù)的概率加法公式:

P(AIJB)=P(A+B)=P(A)+P(B)

P(AA4)=P(A)+P(4)++P(An)

3.對(duì)立事務(wù)：若A8為不行能事務(wù)，而A8為必定事務(wù)，那么事務(wù)A與事務(wù)3互為對(duì)

立事務(wù)，其含義是事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.

對(duì)立事務(wù)的概率：P(A)=1-P(A)

4.古典概型

(1)基本領(lǐng)件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本領(lǐng)件.

基本領(lǐng)件的特點(diǎn)：

①任何兩個(gè)基本領(lǐng)件是互斥.

②任何事務(wù)都可以表示成基本領(lǐng)件的和.

(2)古典概型的兩大特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等.

5.古典概型的概率計(jì)算公式：

尸⑷/眈黑(，為總的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù),加為事務(wù)A的結(jié)果數(shù)).

6.幾何概型

(1)幾何概型的概念

假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率

模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.

(2)幾何概型的概率公式

zX構(gòu)成事件朗勺區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

(J一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的的區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)

7.統(tǒng)計(jì)

1.抽樣方法

(1)抽樣要具有隨機(jī)性、等可能性，這樣才能通過(guò)對(duì)樣本的分析和探討更精確的反映總體的

狀況，常用的抽樣方法有簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.

(2)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是指一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為國(guó)(較小的有限數(shù))，通過(guò)逐個(gè)抽取一個(gè)樣本，且每

次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機(jī)數(shù)表

法.

(3)分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個(gè)部分，然后按各部

分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

(4)系統(tǒng)抽樣是當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽

取.

2.總體分布的估計(jì)

(1)作頻率分布直方圖的步驟：

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)

②確定組距與組數(shù)

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表(下圖)

分組頻數(shù)頻率累計(jì)頻率

H)工

伍，功A工+&

???.?????.??

rk4工十力十+A=1

⑤畫(huà)頻率分布直方圖，將區(qū)間［a,3標(biāo)在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個(gè)組

距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫(huà)矩形，共得女個(gè)矩形，這樣得到的圖形叫頻率

分布直方圖.

頻率分布直方圖的性質(zhì)：①第，個(gè)矩形的面積等于樣本值落入?yún)^(qū)間ZT，G的頻率；②由于

力+力十十九=1，所以全部小矩形的面積的和為1.

(2)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量

的增加，折線圖會(huì)越來(lái)越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線.

(3)統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數(shù)，葉是從莖旁邊

長(zhǎng)出來(lái)的一列數(shù).

用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始信息的損失，全部的數(shù)據(jù)信

息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在競(jìng)賽時(shí)隨時(shí)記錄，便利記錄與表示.

3.平均數(shù)和方差的計(jì)算

-1

(1)假如有〃個(gè)數(shù)據(jù)看，4,…，X“，則X=—(X]+X'++X”)

n

1___

叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，S2=—[(%；-%)2+(%-%)2++(X“-X)2]

n2

叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差.

1—2

(2)公式s?=—[(xj+x：++x^)-nx]

n

(3)當(dāng)一組數(shù)據(jù)孫/，…，當(dāng)中各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)。，得到

x^=x-a,x2'=x2~a,???,xn'=xn—a,貝!J卡=L[(xJ+x2'2++x^)-nx'}

‘'n'

4.利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征

(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)當(dāng)相等，由此可以

估計(jì)中位數(shù)值.

(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.

(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)極差=最大數(shù)一最小的數(shù).

5.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系

(1)假如兩個(gè)變量之間沒(méi)有函數(shù)關(guān)系所具有的確定性，它們的關(guān)系帶有隨機(jī)性，則稱這兩個(gè)

變量具有相關(guān)關(guān)系.

(2)有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，若一個(gè)變量的值由小到大時(shí)，另一個(gè)變量的值也是由小到大，

這種相關(guān)稱為正相關(guān)；反之，一個(gè)變量的值由小到大，另一個(gè)變量的值由大到小，這種相關(guān)

稱為負(fù)相關(guān).

(3)假如散點(diǎn)圖中，具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量全部視察值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，分布在一條直線旁邊，

則稱這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回來(lái)直線，方程為)=:式+且

,灰?區(qū)

其中B=得-----------a=y-bx

f⑴2

Z=1

(4)樣本的相關(guān)系數(shù)

Y.x^-nx-y

廠—________(^1_______________________

回)2

Vi=li=l

當(dāng)廠＞0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)廠＜0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，|廠|越接近于1,

表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；|廠|越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)

關(guān)系.通常當(dāng)|川＞0,75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

6.獨(dú)立性檢驗(yàn)

⑴分類變量

用變量的不同“值”，表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量.例如：是否

吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等.

(2)列聯(lián)表：即列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量輸和亍，它們的

值域分別為｛七,馬｝和兇1，%｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2義2列聯(lián)表)為:

合計(jì)

Yiy2

再aba+b

x2Cdc+d

合計(jì)a+cb+dn

其中n=a+b+c+d為樣本容量.

(3)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較為精確地給出這種

n(ad-bc)2

推斷的牢靠程度，具體做法是：依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算由公式K2二

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量的觀測(cè)值鼠并且上的值越大，說(shuō)明“X與F有關(guān)系”成立的可能

性越大，同時(shí)可以利用以下數(shù)據(jù)來(lái)確定“X與F有關(guān)系”的可信程度.

這種利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法

稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

3.典例分析

例1.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少;

(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少.

【答案】C

【解析】記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事務(wù)A,“1人排隊(duì)等候”為事務(wù)3,“2人排隊(duì)等候”為事

務(wù)C,“3人排隊(duì)等候”為事務(wù)。，“4人排隊(duì)等候”為事務(wù)E,“5人及5人以上排隊(duì)等候”

為事務(wù)口，則事務(wù)4民。,￡>，瓦/互斥.

(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事務(wù)G,則G=A+6+C,所以

P(G)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一：記''至少3人排隊(duì)等候”為事務(wù)則5=。+石+尸，所以

P(H)=P(￡>)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事務(wù)X,則其對(duì)立事務(wù)為事務(wù)G,所以

P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.

練習(xí)1.在12件瓷器中，有10件一級(jí)品，2件二級(jí)品，從中任取3件.

(1)“3件都是二級(jí)品”是什么事務(wù)？

(2)”3件都是一級(jí)品”是什么事務(wù)？

(3)“至少有一件是一級(jí)品”是什么事務(wù)？

【答案】(1)不行能事務(wù)(2)隨機(jī)事務(wù)(3)必定事務(wù)

【解析】(1)因?yàn)?2件瓷器中，只有2件二級(jí)品，取出3件都是二級(jí)品是不行能發(fā)生的，

故是不行能事務(wù).

(2)“3件都是一級(jí)品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機(jī)事務(wù).

(3)“至少有一件是一級(jí)品”是必定事務(wù)，因?yàn)?2件瓷器中只有2件二級(jí)品，取三件必有

一級(jí)品.

練習(xí)2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中隨意取出一只球.

(1)“取出的球是黃球”是什么事務(wù)？它的概率是多少？

(2)”取出的球是白球”是什么事務(wù)？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事務(wù)？它的概率是多少？

4

【答案】(1)0,(2)-(3)1

9

【解析】11)“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.

(2)“取出的球是白球”是隨機(jī)事件，它的概率是

(3)“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2.已知a,4c為集合A={1,2,3,4,5,6}中三個(gè)不同的數(shù)，通過(guò)右邊框圖給出的一個(gè)算法

輸出一個(gè)整數(shù)”，則輸出的數(shù)a=5的概率是（）

1

D.

5

【答案】A

【解析】依據(jù)框圖推斷,本框圖輸出的a為輸入的三個(gè)數(shù)a,b,c中的最大值

最大值是3的狀況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,1種狀況

最大值是4的狀況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3里兩個(gè)以及4,3種狀況

最大值是5的狀況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,4里兩個(gè)數(shù)以及5,6種狀況

最大值是6的狀況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,4,5里兩個(gè)數(shù)及6,10種狀況

2

a=5的概率=

5

2

故答案為

5

練習(xí)L五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，全部人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己

的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人接著坐著.那么,

沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為

【答案】C

【解析】五個(gè)人的編號(hào)為1234,5

由題意，所有事件共有=32種，沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的基本事件有

(1),(2),(3),(4),(5),(1,3),(1,4),(2,4),再加上(25),(3,5)

沒(méi)有人站起來(lái)的可能有1種，共11種情況，

所以沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為—

32

故答案選。

練習(xí)2.一鮮花店一個(gè)月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:

日銷售量

0?4950?99100—149150—199200?250

（枝）

銷售天數(shù)

3天3天15天6天3天

（天）

將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率.

（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率;

（2）若此花店在日銷售量低于100枝的6天中選擇2天作促銷活動(dòng)，求這2天的日銷售量

都低于50枝的概率（不須要枚舉基本領(lǐng)件）.

【答案】（1）-;（2）-

55

3131

【解析】(1)設(shè)日銷售量為無(wú)，則P(04x<49)=3=—,p(50<%<100)=—=—

'73010v73010

由互斥事務(wù)的概率加法公式,

111

P(0<x<100)=P(0<%<49)+P(50<%<100)=--1--——.

10105

3+31

注：干脆依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，得尸（04x<100）同樣給分.

305

（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有”=15種狀況；日銷售量低于

50枝共有3天，從中任選兩天促銷共有機(jī)=3種狀況.

31

由古典概型的概率計(jì)算公式，所求概率尸=2=—.

155

【防陷阱措施】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本領(lǐng)件的總數(shù)和事務(wù)A包含的基本領(lǐng)

件的個(gè)數(shù)，這就須要正確列出基本領(lǐng)件，基本領(lǐng)件的表示方法有列舉法、列表法和樹(shù)形圖法,

具體應(yīng)用時(shí)可依據(jù)須要敏捷選擇.

例3.在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程/—內(nèi)+30-8=0有兩個(gè)正根的概率

為（）

A.-B.-C.-D.-

3324

【答案】0

A>0

【解析】方程好一如+3。—8=0有兩個(gè)正根，則有卜1+々〉0，即解得p28或

玉元2〉0

Q

又,€[0,4],由幾何概型概率公式可得方程f-px+3°-8=0有兩個(gè)正根

“8

4—]

的概率為口=—3=_,故選⑷

4-03

練習(xí)1.在棱長(zhǎng)為a的正方體中隨機(jī)地取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與正方體各表面的距離都大于色的

3

概率為（）

A.—B.—C.-D.一

271693

【答案】A

【解析】符合條件的點(diǎn)戶落在棱長(zhǎng)為色的正方體內(nèi),

3

3

_率—6

1

a27

練習(xí)2.正方體A3CD-44G。中，點(diǎn)。在4。上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成

角的取值范圍是（）

7171717171717171

A.B.C.D.

426263

【答案】D

【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi分別為x、y、z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,設(shè)點(diǎn)

尸坐標(biāo)為(尢1一%乃，貝U族=(x-L-x"),而'=(-LOJ)設(shè)加瓦的夾角為a,所以

BRBC,

r=1=___________1___________=—,所以當(dāng)工=:時(shí)，cosa取最大值

一四|屬「并不F7x后州3

出71

a=—,

26

171

當(dāng)x=l時(shí)，cosa取最小值一,(z=—.

23

因?yàn)锽G//AA.

故選D.

例4.太極圖是以黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽(yáng)輪轉(zhuǎn)，相反相成

是萬(wàn)物生成變更根源的哲理，呈現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美.依據(jù)太極圖的構(gòu)圖

方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓。被y=3sintx的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚(yú)形圖案，其中

小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()

【答案】B

T-10

【解析】設(shè)大圓的半徑為R,則：R=-=-x—=6,

22至

%

2

則大圓面積為：1="斤=36萬(wàn)，小圓面積為：S2=^X1X2=2^-,

則滿足題意的概率值為：p=」=一.本題選擇B選項(xiàng).

36乃18

練習(xí)1.北宋歐陽(yáng)修在《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓

酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無(wú)他，唯手熟爾.”可見(jiàn)技能都能通過(guò)反復(fù)苦

練而達(dá)至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為1.2所的圓，中間有邊長(zhǎng)為0.4cm的正方形孔，

你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油,則油滴(油滴的大小忽視不計(jì))正好落入孔中的概率為(

A.±B.±51

C.D.——

9萬(wàn)9〃6兀6兀

【答案】B

0.42

【解析】概率為幾何概型,測(cè)度為面積,概率=—----，選B.

1.2927T971

練習(xí)2.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地

到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必需等待的概率是()

917

A.—B.-C.——

162160-1

【答案】@

【解析】設(shè)甲到達(dá)的時(shí)刻為乙到達(dá)的時(shí)刻為y,則所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?/p>

Q={(x10VxW24,0WyW24},設(shè)“這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待”為事件幺，則

事件，包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?WxM么0Wy424：,一引W6},如圖中陰影部分

所示.

乙

船

到

達(dá)

時(shí)

間

I

S陰影一］18>187

由幾何概型概率公式得P(A)==—，即這兩艘船中至少有一艘在?？?/p>

Sc一一24x2416

泊位時(shí)必需等待的概率為工，選目

16

【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問(wèn)題，肯定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，從

而正確選擇合理的測(cè)度，進(jìn)而利用概率公式求解.

幾何概型應(yīng)留意：

(1)求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，然后

求解；

(2)依據(jù)幾何概型的特點(diǎn)推斷基本領(lǐng)件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇恰當(dāng)合理的視察角

度；

(3)求與角度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化成角度，然后求解.

例5.雙十一網(wǎng)購(gòu)狂歡，快遞業(yè)務(wù)量猛增.甲、乙兩位快遞員n月12日到18日每天送件數(shù)

量的莖葉圖如圖所示.

(I)依據(jù)莖葉圖推斷哪個(gè)快遞員的平均送件數(shù)量較多(寫出結(jié)論即可)；

(II)求甲送件數(shù)量的平均數(shù)；

(III)從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取2個(gè)，求至少有一個(gè)送件數(shù)量超過(guò)甲的平均送件數(shù)量的概率.

甲乙

64245

4312326

8226359

27

20

【答案】(I)乙快遞員的平均送件數(shù)量較多(II)元=254(III)—

21

【解析】(I)由莖葉圖知甲快遞員n月12日至打8日每天送件數(shù)量相對(duì)乙來(lái)說(shuō)位于莖葉圖

的左上方偏多,

乙快遞員的平均送件數(shù)量較多.

(II)甲送件數(shù)量的平均數(shù):

x=~(244+246+251+253+254+262+268)=254

(III)從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件總數(shù)〃=21，

至少有一個(gè)送件數(shù)量超過(guò)甲的平均送件數(shù)量的對(duì)立事件是抽取的2個(gè)送件量都不大于254,

至少有一個(gè)送件數(shù)量超過(guò)甲的平均送件數(shù)量的概率：

,120

p=1——=—,

2121

練習(xí)1.在某公司的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包，然后以5元

1個(gè)的價(jià)格出售.假如當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.依據(jù)以往

統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購(gòu)進(jìn)了90個(gè)面

包，以x(個(gè))(其中60WxWn0)表示面包的需求量，T(元)表示利潤(rùn).

(1)依據(jù)直方圖計(jì)算需求量的中位數(shù)；

(2)估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率；

【答案】⑴85個(gè);⑵0.75;(3)142.

【解析】(1)需求量的中位數(shù)吧產(chǎn)=85(個(gè)其它解法也給分)

2

(2)由題意，當(dāng)60WXW90時(shí)，利潤(rùn)T=5X+l-(90-X)-3x90=4X-180,

當(dāng)90<XW110時(shí)，利潤(rùn)7=5x90-3x90=180,

4X-180(60<X<90)

即T={,'、J

180(90<X<110)

設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事務(wù)A,利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即4X—1802100,

X>70,即70WXWHO,由直方圖可知，當(dāng)70WXW110時(shí)，

所求概率：P(A)=1-P(A)=1-0.025x(70-60)=0.75

練習(xí)2.2017年“十一”期間，高速馬路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型

汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)

查，將他們?cè)谀扯胃咚亳R路的車速(板〃)分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),

[75,80),[80,85),[85,90),后得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;

(2)若從車速在［60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率.

Q

【答案】(1)77.5,77.5.(2)P=—.

15

【解析】眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5,

設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為X,則中位數(shù)的估計(jì)值為：

0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06x(x-75)=0.5,解得77.5.

即中位數(shù)的估計(jì)值為773.

⑵從圖中可知，車速在［60,65)的車輛數(shù)為：叫=0.01x5x40=2(輛)，

車速在［65,70)的車輛數(shù)為：色=0.02x5x40=4(輛)，

設(shè)車速在［60,65)的車輛設(shè)為a,b,車速在［65,70)的車輛設(shè)為c,d,e,/,則

全部基本領(lǐng)件有：(a,A),(a,d),(a,e),(?,/),伍,d),,

Rj)，(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(ej)共15種,

其中車速在［65,70)的車輛恰有一輛的事務(wù)有：(a,d),(a,e),(a,/)，

Q

9,d),伍,e),伍")共8種.所以，車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率為尸=宜.

例6.某媒體為調(diào)查寵愛(ài)消遣節(jié)目A是否與觀眾性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了30名男性和30名女

性觀眾，抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖：

9

OC

7

6

5

4

3

-、

1

O

(1)依據(jù)該等高條形圖，完成下列2x2列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯錯(cuò)

誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為寵愛(ài)消遣節(jié)目A與觀眾性別有關(guān)？

喜歡節(jié)目A不喜歡節(jié)目A總計(jì)

男性觀眾

女性觀眾

總計(jì)60

(2)從性觀眾中按寵愛(ài)節(jié)目A與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進(jìn)一步調(diào)查.從這5名

中任選2名，求恰有1名寵愛(ài)節(jié)目A和1名不寵愛(ài)節(jié)目A的概率.

附：

P[K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

K?n(ad-be)

(o+b)(c+d)(o+c)(b+d)

【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為寵愛(ài)消遣節(jié)目A

2

與觀眾性別有關(guān)；(2)—.

5

【解析】(1)由題意得2x2列聯(lián)表如表:

寵愛(ài)節(jié)目A不寵愛(ài)節(jié)目A總計(jì)

男性觀眾24630

女性觀眾151530

總計(jì)392160

假設(shè)H。：寵愛(ài)消遣節(jié)目A與觀眾性別無(wú)關(guān),

,60(24x15-15x6?540

則K2的觀測(cè)值k=二-------------L=—?5.934>3.841,

39x21x30x3091

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為寵愛(ài)消遣節(jié)目A與觀眾性別有關(guān).

(2)利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中寵愛(ài)消遣節(jié)目A的人數(shù)為

24x2=4,不寵愛(ài)節(jié)目A的人數(shù)為6x2=l.

3030

被抽取的寵愛(ài)消遣節(jié)目A的4名分別記為a,b,c,d；不寵愛(ài)節(jié)目A的1名記為3.

則從5名中任選2人的全部可能的結(jié)果為：{a,b},{a,c},{a,d},{a,B},\b,c},

{b,d},{b,B},{c,d},{b,c},{d,3}共有10種,其中恰有1名寵愛(ài)節(jié)目A和1

名不寵愛(ài)節(jié)目A的有{a,8},{b,B},{b,c},{d,母共4種，

42

所以所抽取的觀眾中恰有1名寵愛(ài)節(jié)目A和1名不寵愛(ài)節(jié)目A的觀眾的概率是一=一.

105

練習(xí)1.假設(shè)某種設(shè)備運(yùn)用的年限x(年)與所支出的修理費(fèi)用y(萬(wàn)元)有以下統(tǒng)計(jì)資料:

運(yùn)用年限X23456

修理費(fèi)用y24567

若由資料知y對(duì)無(wú)呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:

(1)求京y；(2)線性回來(lái)方程y=Z?x+a；(3)估計(jì)運(yùn)用10年時(shí)，修理費(fèi)用是多少？

附：利用“最小二乘法”計(jì)算。力的值時(shí)，可依據(jù)以下公式：

,2菁％一灰?區(qū)

b=V-------------a=y-bx

f⑴2

Z=1

【答案】(1)元=4,y=4.8(2)y=L2x(3)修理費(fèi)用為12萬(wàn)元

A

【解析】試題分析：(1)利用京歹的計(jì)算公式即可得出；(2)利用匕的計(jì)算公式得出結(jié)果,

A

再求a；

(3)利用第(2)問(wèn)得出的回來(lái)方程，計(jì)算x=10時(shí)的結(jié)果.

試題解析:

/、_24-3+4+5+6，一2+4+5+64-7/°

(1)x=----------=4,y=-----------=4.8

<2)

=2x2+3x4+4x5+5x6+6x7=108>=5x4x4.8=96>

i-l

VX/=22+32+42+52+62=90，w^=5x42=80.\&=------=1.2

白1:90-80

?=y-k=4.8-1.2x4=0,所以，線性回歸方程為y=L2x.

(3)當(dāng)x=10時(shí)，y=12,所以該設(shè)備運(yùn)用10年，修理費(fèi)用為12萬(wàn)元.

練習(xí)2..在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威逼，為了

考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下聯(lián)表：

感染未感染總計(jì)

服用104050

未服用203050

總計(jì)3070100

on(ad-bcY

參考公式：K2=(-xL)(J)(j

p(Q>@0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過(guò)(填百分比)的前提下，可認(rèn)為“該種疫

苗由預(yù)防埃博拉病毒感染的效果”.

【答案】5%

,100x(10x30-20x40?

【解析】由題意可得，k1=---------------------L?4.762>3,841,參照附表，可得:

50x50x30x70

在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“小動(dòng)物是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗有關(guān)”，

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）

n(ad-be?

依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；（2）依據(jù)公式K2=計(jì)算K2

(o+b)(o+d)(a+c)(Z?+d)

的值；（3）查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.（留意：在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立

性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤.）

【防陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問(wèn)題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)；中

位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值;平均數(shù)等于各個(gè)小矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)的矩

形的底邊中點(diǎn)的和等學(xué)問(wèn).把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合在一起，比較新奇，也是高考的方向，應(yīng)引起

重視.

2.求解回來(lái)方程問(wèn)題的三個(gè)易誤點(diǎn)：

①易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，兩者的區(qū)分是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是

一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系，也可能是伴

隨關(guān)系.

②回來(lái)分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回來(lái)直線上，實(shí)質(zhì)上回來(lái)直線必過(guò)丘,?。c(diǎn)，可能全

部的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上.

③利用回來(lái)方程分析問(wèn)題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為精確值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)料值（期望值）.

類型7.兩點(diǎn)分布

1,正面向上.、

例7.拋擲一枚硬幣，記X={L=?，則E（x）=（）

-1,反面向上''

[AOI回2_亙|￡）._

2

【答案】0

【解析】E（X）=lx|+（-l）x1=O，選⑷

練習(xí)1.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的勝利率是失敗率的0倍，用隨機(jī)變量區(qū)描述1次試驗(yàn)的勝利次數(shù)，則岡的

值可以是.

【答案】回

【解析】這里“勝利率是失敗率的0倍”是干擾條件，對(duì)1次試驗(yàn)的勝利次數(shù)沒(méi)有影響，

故因可能取值有兩種，即境.

練習(xí)2.籃球競(jìng)賽中每次罰球命中得1分，不中的0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中率為0.7,求

他一次罰球得分的分布列及均值.

【答案】

P

【解析】

001

00.30.7

E(X)=0x03+1x0.7=0.7

類型8超幾何分布

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

???…

X*x2Xn

PP1Pl???Pi???Pn

則稱

E(X)=X]Pi+x2P2+…+xipi+,+xnpn

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

若其中。力為常數(shù)，則y也是隨機(jī)變量，因?yàn)?/p>

P(Y=axi=P(X=xz),z=1,2,,n

所以，y的分布列為

??????

Yaxx+bax2+baxt+baxn+b

PPlPl???Pi???Pn

于是

(時(shí)+口++。(%+

E(K)=b)(ax2+/Op2+??Z?)p,+?…+a(xn+b)pn

+x

=a(XiPi+x2P2+iPi+-+x?Pn)+b(pl+p2+-+pi+.+pn)

=aE(X)+b

方差DX=￡(￡—EX)2p「

i=l

方差刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量與均值的平均偏離程度.

離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：（1）620（1=1,2,3,……“）；（2）￡《=1.

/=1

一般地，在含有"件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

P(X")=C乏4，4=0,1,2,m,

其中m=min{M,〃},豆n<N,MWN,N,M,neN*,假如隨機(jī)變量具有:

X01m

000〃一0「tn^n-m

?^N-M

p

品

則稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從超幾何分布.

例&一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤，在不透亮口袋中裝入除顏色外無(wú)差別的2個(gè)白球和3個(gè)

紅球.游客向攤主付2元進(jìn)行1次嬉戲.嬉戲規(guī)則為：游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，若摸

出的小球同色，則游客獲得3元嘉獎(jiǎng)；若異色則游客獲得1元嘉獎(jiǎng).則攤主從每次嬉戲中獲

得的利潤(rùn)（單位:元）的期望值是（）

|4O2||B.O3||C.0.4||D0.5|

【答案】0

C2+C22

【解析】游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為上一=—,所以攤主從每次嬉戲中獲得的

c；5

利潤(rùn)分布列為,

X-11

23

p

55

23

因此EX=-lx—+lx—=0.2

55

練習(xí)L某人寵愛(ài)玩有三個(gè)關(guān)卡的通關(guān)嬉戲，依據(jù)他的嬉戲閱歷，每次開(kāi)啟一個(gè)新的嬉戲,

這三個(gè)關(guān)卡他能夠通關(guān)的概率分別為工」,工（這個(gè)嬉戲的嬉戲規(guī)則是：假如玩者沒(méi)有通過(guò)

234

上一個(gè)關(guān)卡，他照樣可以玩下一個(gè)關(guān)卡，但玩該嬉戲的得分會(huì)有影響），則此人在開(kāi)啟一個(gè)

這種新的嬉戲時(shí)，他能夠通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率為,設(shè)X表示他能夠通過(guò)此嬉戲

的關(guān)卡的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為—

113

【答案】--.

412

【解析】隨機(jī)變量X的全部可能取值為踵21

又P（X=2）=（1—；111111

X—X—+—XX-----1-----X—X

3424234

p（x=i）=；xyT+Lxmx/：xK，

八

P（X=3）=—1x—1x—1=—1.

'723424

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

j_11￡1

P

424424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x：+lx導(dǎo)2x；+3$*.

練習(xí)2.一廠家向用戶供應(yīng)的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品.用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)

抽檢以確定是否接受.抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品（抽檢后不放回），

只要檢驗(yàn)到次品就停止接著抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒(méi)有檢驗(yàn)到次品，則接受這箱

產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.

27

【答案】—

10

【解析】依據(jù)題意用戶抽檢次數(shù)的可能取值為1，2,3|,那么可知

（），（）

PJ=1=:PJ=2=