2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：不等式（專項訓(xùn)練）解析版

2025二輪復(fù)習(xí)專項精練2

不等式

【真題精練】

一、單選題

1.（2024?北京?高考真題）已知（再,M）,（赴，為）是函數(shù)＞=2,的圖象上兩個不同的點，則

)

A.log?+%<玉+%2B.log?+%>斗+尤2

222222

C.log2%；%v%+%D.log2%；%>%+/

2.（2024,上海?IWJ考真題）a,b,ceR,b＞c,下列不等式恒成立的是（)

A.a+b2>a+c2B.a1+b>a2+c

C.ab1>ac2D.a2b>a2c

3.（2022?全國?高考真題）已知9'”=10,"=10"'—118=8"—9,則()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

4.（2021?全國考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.產(chǎn)卜也目+二

sinx\

C.y=2x+22~XD.y=lnx+—

\nx

5.（2021?浙江局考真題）已知。,民7是互不相同的銳角，則在

sinacos尸,sin￡cos/,sin/cosa三個值中，大于工的個數(shù)的最大值是（

)

2

A.0B.1C.2D.3

參考答案:

題號12345

答案BBACC

1.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【詳解】由題意不妨設(shè)％＜々，因為函數(shù)丁=2苫是增函數(shù)，所以0＜2』＜2它，即

0<%<%,

7X>-L9%2/---------------------國+巧y.I再+巧

對于選項AB：可得/〉，2為？々2=2,即X±&>22>0,

22

再+為

根據(jù)函數(shù)y=bg2X是增函數(shù)，所以Iog2"^>log22==受產(chǎn)，故B正確，A錯誤；

對于選項D：例如玉=0,%2=1，則M=L%=2,

可得log?%=log?Te（0,1）,即log?［<］=%+/，故D錯誤；

對于選項c：例如玉=-1,々=-2,則芳=5，%=1，

可得1082鋁衛(wèi)=1082|=1。823-3€（-2,-1）,即log2?：%>-3=%+/，故C錯誤，

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若c<b<0,則〃<02,選項不成立，故A錯誤；

對于B,因為6>c,故］+人〉.、。，故B成立，

對于C、D,若。=0,則選項不成立，故C、D錯誤；

故選：B.

3.A

【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=bg910>l，再利用基本不

等式，換底公式可得相>lgU,log89>/n,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9"=10可得根=1%1°=^>1，而lg91gli<‘g9；gll［=］詈）<l=（lgl0）2.所

以怨>怨，即心>坨11，所以。=10"'-ll>l（）3U-ll=0.

1g9IglO

又lg81glO<［g8；gl。［=［等）<（39）2，所以BPlog89>m,

所以6=8'"-9<81°跟9一9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）

由9"'=10,可得7"=log910e（l,L5）.

根據(jù)〃，。的形式構(gòu)造函數(shù)/（x）=x"—x—l（x>l），則r（x）=儂'-1,

令尸(x)=0,解得無。=機匚?,由zn=logg10e(l,1.5)知龍0。(0,1).

f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因為『(9)=9蚓°-10=0,所以a〉0>b.

故選：A.

【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，

屬于通性通法；

法二：利用。切的形式構(gòu)造函數(shù)/。)=廿-尤-根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，

簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

4.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相

等"，即可得出瓦。不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,當且僅當x=—l時取等號，所以其最小

值為3,A不符合題意；

對于B,因為0<kinx|Wl,y=|sinx|+-^-1>2^=4,當且僅當卜缶尤|=2時取等號，等

sin

號取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2工>0,y=2*+22r=2*+2N2a=4,當且僅當

2*=2,即x=l時取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=]nx+-^—,函數(shù)定義域為(0,1)(1,+oo),而InxsH且InxwO,如當

Inx

lnx=-l,>=一5,D不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確''一正二定三相等"的意義，再

結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出.

5.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos尸+sin/?cos/+sin/cosaMg,從而可判

斷三個代數(shù)式不可能均大于1,再結(jié)合特例可得三式中大于5的個數(shù)的最大值.

22

.22n

【詳解】法L由基本不等式有sinacos/《如，；cos",

.2c2?22

日工用?c/smp+cosysinr+cosa

I可埋sinpcosy<-----------,sinycosa<------------,

3

故sinacos/+sin夕cosy+sin/cosa(5,

故sinacosB,sinBcosy,sinycos。不可能均大于

2

71n7171

取a=7，B=F，7=1，

貝Usinacos,=；<；,sin尸cosy=->^,sin/cosa=,

故三式中大于5的個數(shù)的最大值為2,

2

故選：C.

法2：不妨設(shè)a<0<y,貝(Jcosa>cos/>cos/,sina<sin/?<sin7,

由排列不等式可得：

sinacos/3+sin/3cos/+sin/cosa<sinacos/+sin/?cos/+sin7cosa,

[3

而sinacos/+sin/?cos/?+sin/cosa=sin(y+a)+—sin2/3<—,

故sinacosB,sinBcosy,sinycos。不可能均大于

2

冗C兀兀

取a=7，B=F，y=-

貝Usinacos,=；<；,sin尸cosy=->^,sin/cosa=,

故三式中大于;的個數(shù)的最大值為2,

故選：C.

【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍

雪進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.

【模擬精練】

一、單選題

1.(2024?北京豐臺,二模)若a,6eR,S.a>b,貝I]()

A.--zB.a2b>ab2

a+1b+1

a+b

C.a2>ab>b1D.a>---->bT

2.(2024,北京西城?一t模)設(shè)。=，—,b=t+—,c=t(2+t^,其中—貝！J(

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.（2。24?云南昆明?模擬預(yù)測）設(shè)書「9,貝）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

4.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測）若兩個正實數(shù)x,y滿足4%+y=2盯，且不等式

工+=<加2-能有解，則實數(shù)機的取值范圍是（）

4

A.{m|-l<m<2}B.{血相<一1或機>2}

C.{m|-2<m<1}D.{ml機v—2或機〉1}

5.（23-24高一上?安徽淮北?階段練習(xí)）下列條件中，為〃關(guān)于x的不等式如2_如+1>。對

VxwR恒成立〃的充分不必要條件的有（）

A.0<m<4B.Q<m<2C.l<m<6D.—l<m<6

6.（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知A={x|---<—1

B=^x\x2-4x-m>0},

若AqB,則實數(shù)機的取值范圍（）

A.[0,+oo)B.(-<x),-3]

C.[-3,0]D.（-oo,-3][0,+oo）

7.（23-24高一上?江蘇徐州?期末）若命題〃爐+4%+/<0〃是假命題，則實數(shù)/的最

小值為（）

A.1B.2C.4D.8

8.（23-24高三上?江蘇蘇州?開學(xué)考試）若函數(shù)/（x）=Qlnx+q-立（〃。0）既有極大值

也有極小值，則〃￡（）

A.]。，3B.（0,3）C.?（9,+⑹D.（0,3）（9,+與

二、多選題

9.（2024?甘肅隴南?一模）已知。，反ce（O,—）,關(guān)于x的不等式優(yōu)>0的解集為

°°,2），則（）

A.b>lB.a+c>b

1111

C.----+-<-------D.(a-b+c}\5-3^/2

abca-b+c\abc)

10.（2023?山西?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a,b滿足a+4b=2,則（）

,1,119r-r-

A.ab<-B.2a+16ft>4C.-+D.&+2揚24

4ab2

11.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）已知正數(shù)無，V滿足x+2y=l,則下列說法正確的是

（）

A.孫的最大值為:B.f+4/的最小值為工

o2

__13

C.的最大值為26D.1+］的最小值為7+2指

14

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a>0,b>0且一+丁=2,則下列說法正確的是（）

ab

9

A.仍有最小值4B.a+〃有最小值大

2

C.2次?有最小值2百D.46a2+/的最小值為40

13.（2023?廣東汕頭?三模）若〃>0,6>0,〃+匕=4,則下列不等式對一切滿足條件〃/恒成

立的是（）

A.sfab<2B.s/a+y[b<2

C.—+b2>4D.-+->1

3ab

14.（2024?浙江?二模）已知正實數(shù)a,瓦c,且。>人>G尤,y,z為自然數(shù)，則滿足

——r+~r~—1--->。恒成立的羽丁*可以是（）

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.尤=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

15.（23-24高三上?廣東惠州，階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=a--2x（a>0,aw1）的圖像恒過定點A（-2,5）

B."-l<xW5"的必要不充分條件是"-lVx<6"

C.函數(shù)/（X—l）=—/（x+l）的最小正周期為2

D.函數(shù)y=,2尤+2+~j=^=的最小值為2

V2%+2

參考答案:

題號12345678910

答案DCABBBCABCDABC

題號1112131415

答案ABDABDACDBCAB

1.D

【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】由于取1,……無法得到

11

—;——<—:——a2b>ab2,故AB錯誤,

a+1b+1

取1=。，。=一2,則〃2=0,“〃=(),/=4,無法得到C錯誤,

由于a>6,貝！J2a>/?+〃>2Z?,所以〃>'+->/?,

2

故選：D

2.C

【分析】借助正負性、對勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.

【詳解】由一故1）,故。=，一？＞。，

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得6=7+；＜_（1+1）=_2,

c=%（2+%）＜0,且。=廣（2+，）=，2+2，=（，+1）2—12—1,

綜上所述，有b＜c〈a.

故選：C.

3.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x）=g，利用函數(shù)單調(diào)性確定上C大小，通過作差a-6,判斷正負

即可確定6大小即可.

【詳解】設(shè)/"）=號，則令r（x）=Y"=3得*=&，

則f（x）在（0,⑹上單調(diào)遞增，在（點+可上單調(diào)遞減，

右）,c=/（"）,貝!|6＞c,

▼,1ln55-31n5lne5-lnl25八,

又a-b=---------=----------=----------------＞0,得Z0。＞＞，

6103030

所以〃＞/?＞（:,

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式求得v的最小值，把不等式有解,

轉(zhuǎn)化為不等式療-用〉2,即可求解.

14

【詳解】由兩個正實數(shù)MV滿足4x+y=2沖，得一+—=2,

xy

y1■+2日m

則n=2,

21V4^1

4xy

當且僅當一=＞，即y=4x=4時取等號，

y4.x

又由不等式x+；＜”?2有解，可得1-〃z＞2,解得7”＜-1或相＞2,

4

所以實數(shù)的取值范圍為{加根＜-1或根＞2}.

故選：B.

5.B

【分析】先求出關(guān)于x的不等式如2一如+1＞0對-VxeR恒成立的充要條件，然后根據(jù)充

分不必要條件的定義即可求解.

【詳解】若關(guān)于x的不等式nv3—〃式+1＞0對VxeR恒成立，

當機=0時，不等式等價于1＞0恒成立，故加=0滿足要求，

m＞0

當根wO時，原不等式恒成立當且僅當《/、2/八，解得。＜機＜4,

△=(—m)-4m＜0

綜上所述，若關(guān)于x的不等式如2_如+1＞()對VXER恒成立，則當且僅當。(根＜4,

而選項中只有。＜機＜2是04根＜4的充分不必要條件.

故選：B.

6.B

【分析】解不等式可得集合A,根據(jù)可得根?在(0,1)上恒成立，結(jié)合二次函

數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.

1Y

【詳解】解不等式——＜-1,即——＜0,；.0＜無＜1,

x-1x-1

即A=(O,D,

又A=B,＞8={尤|*2—4工一;九20},

故尤2_4%_機20在(0,1)上恒成立，

即m4f-4x在(0,1)上恒成立，而y=V-4x在(0,1)上單調(diào)遞減,

故y>/-4=-3,故V-3,

即實數(shù)m的取值范圍為（f,-3],

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進行求

解即可.

【詳解】因為命題"玉eR,f+?+rvO”是假命題，

所以命題"VxeR,X?+4x+f20"是真命題，

因此有A=4?-4fW0n/24,所以實數(shù)f的最小值為4,

故選:C

8.A

【分析】將函數(shù)既有極大值也有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程有兩個不等正根即可解決

問題.

【詳解】因為=+所以函數(shù)定義域為（。,+“），

由題意，方程廣（力=0,即"2_3》+1=0有兩個不相等的正根，設(shè)為玉,斗，

△二9一4〃>0

3

則<玉+/=—>0解得0＜a＜；,即〃的取值范圍為

a

Xy-X2=—>0

故選：A.

9.BCD

【分析】舉特殊值可判斷A；令：=m,f=n,結(jié)合題意得加+”2=1,利用三角代換判斷

bb

B；將（a-6+c）仕轉(zhuǎn)化為（加+〃-1）（竺叱T），令t=m+n,繼而轉(zhuǎn)化為

\abc）mn

,再結(jié)合換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求得+的范圍，即可判

斷C,D.

【詳解】對于A,由題意知a,b,ce（O,4w）,關(guān)于x的不等式優(yōu)+c工＞0的解集為

(-℃,2),

不妨取a=c=等,6=1,則/一//+。*>0,即2(日廠>1,.

其解集為(-8,2),即a=c=等,6=1滿足題意，故A錯誤；

(1r

對于B,ax-bx+cx>0^(-r+(-r>l,

bb

令f=相,；=",由于不等式。'-6'+/>0的解集為(-℃,2),

bb

故需滿足0<相<1,。<〃<1,且療+”2=1,

令m=cos0,n=sin0,0G(0,—),則m+n=cos0+sin0=0sin(。+—),3e(0,—),

242

由于6+工e(工,包)，則應(yīng)sin(e+q)e(l,0],即得加+〃>1,

4444

又a+c=6(機+〃)，故〃+B正確；

…1111/11八1/11八C7C

對于C,D,--------F—=一(—I-----1)=—(-+——--1)>0,a-b+c>Q,

abcbmnbcos。sin。

I1111rn+n

故(〃―/7+c)(------+—)=(m+n-l)(——l------1)=(m+n-l)(----------1),

abcmnmn

71Lt2-\

令，=根+〃=cos6+sin46￡(0,—)tG(1,v2],則mn=------

2-2+1

則(a-6+c)(：J+f=(I)(M2r-?+l

—1)=(D-

t2-\z+1

2

e(2,0+1],則竺士1=也-+1=-八*-2

令,+1=

t+1rr

=4-(r+-),

r

由于函數(shù)y=r+—在(2,&+l］上單調(diào)遞增,

r

,W3=2+-<r+-<V2+l+^J—=3A/2-1

2rA/2+1

貝|]5—3&44—(r+2)<l,gp5-3V2<(fl-ZJ+c)(--i+i)<l,

rabc

即工_工+!<-------,(<2-Z?+C)|--y+—j>5-3^,C,D正確,

abca-b+cbcJ

故選：BCD

【點睛】難點點睛：本題考查了由指數(shù)型不等式的解集求解參數(shù)范圍問題，綜合性較強,

難度較大，解答的難點在于C,D項的判斷，解答時要利用三角代換以及換元法，將

(0-6+。)［,-；+'］等價轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.

\abc)

10.ABC

【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.

【詳解】對于A,因為2J4abVa+4Z?=2,所以abV；,當且僅當a=48=l,即

a=l,b=：時，取到等號，故A正確；

4

對于B,2"+16"22,2"?16"=2A/2"助=4，當且僅當a=4Z?=l,即。=11=；時，取到等

號，故B正確；

9

對于C,叱+訃生+")>—5+2=-,當且僅當

ab2'2

21

a=2b,即〃=§時，取到等號，故C正確；

對于D,(6+2礪)=(2+4Z?+^4ab<4,所以&+2揚(2,當且僅當a=4b=l,即

八1年。時，取到等號，故D錯誤.

故選：ABC.

11.ABD

【分析】利用已知條件、基本不等式逐項判斷可得答案.

【詳角星】對于A：1ax>0,y>0,x+2y=\.

￡1

回x-2yVxy<-.

Hl48

\x=2y11

當且僅當/,,即X=；,>=：,取回A正確；

[x+2y=\24

對于B：尤？+4y?=(x+2y)2-4孫=l-4.p,由(1)知孫W!，^\-4xy>-—.

82

回f+4/=l-4xy=正確；

對于C：+yjly^=x+2y+2“?2y=l+2，x?2y?l+x+2y=1+1=2.

⑦G+必工O,回c錯誤；

對于D：f-+->|(x+2y)=l+^+—+6=7+^+—>7+2>/6,

y)%y%y

2y3x|2y2=3x2

當且僅當一=一，BP',,取"=回D正確.

尤y[x+2y=l

故選：ABD.

12.ABD

【分析】利用基本不等式可判斷各選項.

14H~414

【詳解】A選項：由2=上+322」匕蘭，得必24,當且僅當一=7，即。=1,人=4時取

ab\abab

等號，故A選項正確；

9

B選項:a+b=當且僅當

2

b4a3

g=￥，即°==,%=3時取等號，故B選項正確;

ab2

14

C選項：由一+7=2,得2〃/?一4。一〃二0,

ab

所以2仍+°=5?=；卜力（5?）0半"b20^_9+4

ab2

當且僅當，*即0=\|巨~+百時取等號，故C選項錯誤:

D選項：由A的分析知必24且a=l,〃=4時取等號,

所以，16。2+廿2J2-4a6=茄之反=40，當且僅當4。=沙，即。=1,8=4時取等

號，故D選項正確；

故選：ABD.

13.ACD

【分析】對于A,B,D,利用基本不等式即可求得答案；對于C,利用6=4-即求出

幺7+〃==425_3）2+4,結(jié)合〃的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

33

【詳解】對于A,a>0,b>0,a+b>2y/ab,BPy/ab<=2?當且僅當〃=b=2時等號

成立，所以A正確；

對于B,a>0,b>0,(,^+4b)2=a+b+2^=4+2,y/ab<4+2x2=8,

又&+斯>0,則&+也V20,當且僅當。=6=2時等號成立，所以B錯誤;

對于C,a+b-4,6=4-。>0,所以0<a<4,

則《+/=《+（4—〃）2=M—8〃+16=q（。—3>+424,并且i=3時等號成立.，所以C

3333

正確；

對于D,a>0,b>0,a+b=4,所以包心=1,

4

11,1la+b=IX（2+b+a.）1X（—2+八2ba、