2025高考數(shù)學(xué)解答題：三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形（6大題型）（解析版）

解答墓..三廊為小、■魯修得安柒鳥簫互窗影

°(KES°

題型一三角恒等變換與三角函數(shù)..............................................................1

題型二正余弦定理解三角形的邊與角..........................................................3

題型三利用正弦定理求三角形外接圓..........................................................6

題型四解三角形中邊長或周長的最值范圍.....................................................8

題型五解三角形中面積的最值范圍...........................................................10

題型六三角形的角平分線、中線、垂線.........................................................13

必刷大題....................................................................................16

題型一三角恒等變換與三角的數(shù)

念大題典例

1.(24—25高三上?河南?月考)已知向量用=(cosrc+sina;,V3sinx),n=(COST—sin%,2cos劣),函數(shù)g[x}

=man.

(1)求gQ)的最小正周期；

(2)若函數(shù)/3)=g(c)—a在區(qū)間[0,5]上恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴兀；⑵[2).

【解析】⑴g(劣)=m-n=cos2a;—sin2a;+2V3sina;cosT,=COS2T+V3sin2rc=2sin(2/+f)

(力)的最小正周期T=~^~=7U；

令"=22+4,.FC[o4],.?.uC[■1■考],

由圖知，當(dāng)l<aV2時，g=2sina(〃e的圖象與直線g=a有兩個交點,

???實數(shù)Q的取值范圍為［1,2).???

解法指導(dǎo)

此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。

1、首先要通過降塞公式降幕，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2a—2sinacosa(S2a)；cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a(C2ff)

(2)降塞公式：cos2a=1+片,sin2ff=~叩2a,

2、再通過輔助角公式“化一"，化為"=Asin(a)x+(p)+B

3、輔助角公式：asina+bcosa—Va2+d2sin((7+0),其中tan(p

a

4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計算：

一般將32+0看做一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的

問題(零點問題),通常通過函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點問題,再借助圖象進(jìn)行分析。

s變式制練

2.(24-25高三上?江蘇常州?月考)如圖，已知函數(shù)/(/)=2sinOc+G(o>0,|w|<5)的圖象過點

A(0,l)和B(g,—2)(g>0),且滿足|4B|=U.

(1)求/0)的解析式；

(2)當(dāng)rrC[―已,1]時,求函數(shù)/(為值域.

【答案】⑴/(±)=2sin(筌c+*);⑵[0,2]

【解析】(1)由A(0,1),B(x0,—2)(T0>0),\AB\得謨+9=13,g>0,則g=2

又/(0)=1,即sin?=:,|w|■得3=看，

由/(2)=-2,得sin(2co+~^")=—1,

\o7

根據(jù)圖象可知20+專=呼，解得°=穹

"0)=2sin(T/+。).

(2)VxG[—}j]^3~X+]~G，故+聿)[0,1],

fQ)=2sin(要①+「)E[0,2],即/(%)的值域為[0,2].

,3O7

3.(24—25高三上?北京?期中)已知函數(shù)/(2)=sin2rc+2sinxcosa;—COS2T.

⑴求/Q)的最小正周期;

（2）求不等式/（為＞—1的解集；

（3）從條件①，條件②，條件③選擇一個作為已知條件,求m的取值范圍.

①f（x）在（0,m）有恰有兩個極值點；

②/（為在（0,?。﹩握{(diào)遞減；

③于⑸在（0,小）恰好有兩個零點.

注:如果選擇的條件不符合要求，0分;如果選擇多個符合要求的條件解答,按第一個解答計分.

【答案】⑴兀；⑵*"W/W亨+k兀#⑶答案見解析

【解析】（1）因為/（x）=sin2a;+2sinj;cosT—cos2rc=2sin力cos6—（cos2x—sin2a;）=sin26—cos2/二

A/2sin（2x—）.

所以/（劣）的最小正周期為亳二=7T.

（2）因為J（T）=，^sin（2力一子）＞—1,即sin（2c—（■）,

則一+2%兀＜26—+2kn,kGZ,解得％兀《力&+4兀,kEZ,

所以不等式/（力）＞一1的解集為{/,?！读?竽+k兀,kez}.

⑶因為66（0,772），所以21—手G（—j,2m—于）.

若選擇①：因為f{x}在（0,771）有恰有兩個極值點.

則萼V2m一弓&萼，解得WVMW坐，

242oo

所以小的取值范圍（萼,止］;

若選擇②：因為/（力）在（0,m）單調(diào)遞減

當(dāng)2c—卞e時，/（,）函數(shù)遞增，

所以/（乃在（o,m）不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；

若選擇③：因為f（x）在（0,771）恰好有兩個零點.

則兀＜2m—Y＜2兀，解得粵~＜m&等~,

所以小的取值范圍（粵,萼］.

,3oJ

題型二正余弦定理解三角冊的邊與角

S大題典例

4.（24-25高三上?福建南平?期中）在銳角△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c.已知

cos2（A+B）="1"

⑴求tan2C；

（2）當(dāng)仁=20,且匕=^^時，求Q.???

【答案】（1）—亨；（2）半

【解析】（1）因為cos2（A+B）=—告,

所以cos2（A+B）—sin2（A+B）=―1~,即cos2C—sin2C=―1~,

所以cos2。一sin2c_]—tan?。___3

cos2C+sin2C1+tan2C4'

所以tan2C=7,

又因為。為銳角，所以tanC=，7,

所以tan2C=2tan°=_4

1—tan2c3

⑵由（1）知tanC=〃7且。為銳角，

所以cosC=,

所以c2=a2+〃_2abcosC,即4a?=a2+]一2ax亨乂號,

所以12a2+V14a—7=0.解之得a—

解法指導(dǎo)

利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

⑴已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

(2)已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；

(3)已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

(4)已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

(5)已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；

2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化;若將條件轉(zhuǎn)化為

邊之間的關(guān)系,則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.

3、得結(jié)論:利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)(如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等)，

并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

S變式訓(xùn)練

5.(24-25高三上?江蘇蘇州?月考)記△4BC的內(nèi)角/,8,C的對邊分別為a,b,c,已知a(V2-cosB)

=2bcos2等.

(1)證明：b+c=V2a；

⑵若a=2,tanBtanG=3,求sinA.

【答案】(1)證明見解析；(2)sinA=1

【解析】⑴由已知結(jié)合正弦定理，得sin4，^—cos_B)=2sirkBcos2等，

化簡得sinA(V2—cosB)=sinB(l+cosA),

艮!7sinAcosB+cosAsinB+sinB=V2sinA,

所以sin(A+_B)+sinB=V2sinA,

又/L+_B=7U—C,所以sinB+sinC=A/2sinA,

故由正弦定理得b+c=V2a.

(2)因為tanBtanC=3,所以=3,

cosBcosG

所以sinBsinC—cosBcosC=2cosBcosC,

所以一cos(B+C)=2cosBcosC,

結(jié)合石+<7=兀->1,可得一cos(_B+C)=cosA,故cosA=2cosBcosC,

由(1)知b+c=V2a=2A/2,

(b+c)2—41—2

由余弦定理得cosA=°弋-4T-W1,

2bc2bc

則,T=2?——?號產(chǎn)

be4c4b

化簡得16—8bc—(4+c2—b2)(4+62—c2)=16—(b+c)2(b—c)2,

代入b+c=2V2,整理得16—8bc=16—8(6—c)?,所以be=§■,

5

所以cosA=*---1=4",

be4

故sinA=V1—cos2A=---.

4

6.（24-25高三上?上海?期中）在/XABC中，角4B、。所對的邊分別為a、b、c,已知a=5.

⑴若A=看，b=3c,求c；

o

⑵若A=3，5csin8=3b,求△ABC的周長.

6

【答案】(l)c=;(2)15+3V3或7+3V3.

【解析】⑴根據(jù)余弦定理o?=b2+c2-2bccosA,已知a=5,A=當(dāng)，b=3c.

將b=3c,a=5,cosA=代入余弦定理公式可得：

52=（3c）2+。之—2x3cxc義［化簡得c?=孕

解得。因為邊長不能為負(fù)，舍去一弓1）.

（2）已知5csinB=3b,由正弦定理［=''可得5sinCsinB=3sin_B.

sinBsmC

因為sinBW0,可得sinC=.

5

因為Q=5,_A=2，QVC時。有兩解（C為銳角或鈍角）.

6

當(dāng)。為銳角時，COS。=W.

5

sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC,sinA=],cosA=

ZtOZiO-LU

5

再由正弦定理/五=，可得b=遮畔■=5x且呼亙X2=(4+3V3).

smz)smAsmA10

cQasinC=5xgx2=6.

可得c

sin。sinAsinA5

此時二角形周長為a+b+c=5+(4+3A/3)+6=15+3A/3.

當(dāng)C為鈍角時，cosC=—各.

5

sinB=sin(A+。)=sinAcosC+cosAsinC=]x(—曰)+§x1~=3—J.

由正弦定理，可得6=誓呼=5xa咚?x2=(3V3-4).

smBsmAsmA1U

caasinC3

，可得c==5x^-x2=6.

sinCsinAsinA5

此時二角形周長為a+b+c=5+(3,\/3—4)+6=7+3A/3.

則△ABO的周長為15+3/§或7+3，§.

題型三利用正裁定理求三角也外接展

9大題典例

川+02—Q2二

7.(24—25高三上?全國?專題練習(xí))△4BC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c,已知

ab

2sin°B—siii04

sin°sin°A

⑴求。的大小；

(2)若△ABC面積為6居,外接圓面積為粵乃，求△ABC周長.

O

【答案】⑴春；⑵18

【解析】(1)???>+c-2=2sindsin%=2b—a

absin°AQ

/.afe=fe2+a2—c2,

b2+a2-c2_1

cos0一2ab~1

??ce(o,兀)，二。*

o

(2)設(shè)AABC外接圓的半徑為7?,

由S圓=兀/？2=粵■兀，得R=7y,

oo

因為’77=2R="③，解得c=7,

smC3

i

S^BC—1absin°C—6V3，所以ab=24,

又c?=〃+稼—而=g+b)2—3ab,

所以49=(Q+b)2—72，故a+b=n,

所以4ABC周長a+b+c=18.

解法指導(dǎo)

利用正弦定理：」7=/不=177=2五可求解三角形外接圓的半徑。

smAsmBsmC

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將R用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑

的范圍。

S變式訓(xùn)練

8.（24-25高三上?海南?月考）如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓，且AB=5,8。=3西，人為鈍

角，sinA=.

5

(1)求sinZ.ABD；

⑵若瓦7=5,求ABCD的面積.

【答案】⑴答;⑵15

4

【解析】（1）因為4為鈍角，sinA=,所以cosA=—

由余弦定理得

整理得AD2+8AD-20=(AD+10)(4D—2)=0,解得AD=2(負(fù)根舍去),

2xt_2V5

ADBDADxsinA

由正弦定理得sinZABD=

smZ-ABDsinABD3V5—25

（2）由于圓的內(nèi)接四邊形對角互補，所以sinC=sinA=§且。為銳角，則cosC=3,

55

在三角形BCD中，由余弦定理得：

(3e)2=52+CD2_2X5xCDxW,CE>2_8GD_20=(CD-10)(CD+2)=0,

解得CD=10(負(fù)根舍去)，

所以三角形BCD的面積為春xBCxCDxsinC=JX5X10X*=15.

9.（23-24高三下?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在平面內(nèi)的四個動點A,B,C,。構(gòu)成的四邊形ABCD中,

AB=1,BC=2,CD=3,AD=4.

D

（1）求AACD面積的取值范圍；

（2）若四邊形A8CD存在外接圓，求外接圓面積.

【答案】（1）（0,2遍）；（2）段|工

【解析】（1）由三角形的性質(zhì)可知，AB+3O47,即力。<3,

且AC+CD>A。，即4。>1,所以1<4。<3,

△ADC中,cosAADC=9*16］華=25:產(chǎn)2

2x3x424

所以cos/ADCC信,1）,則sin/ADCC（0,李），

S/WXJ='x3X4XsinZ.ADC—6sinZ.ADC,

所以4ADC面積的取值范圍是（0,2遍）；

⑵△ADC中，AC2=9+16—2X3X4XcosAADC=25-24cos/ADC,

△ABC中，AC2=1+4—2xlx2xcosZABC=5—4cos/ABC,

即25—24cos/ADC=5—4cos/ABC

因為四邊形4BCD存在外接圓，所以AADC+/ABC=180°,即cosAADC=-cosAABC,

即25—24cos/ADC=5+4cos/ADC,得cosAADC=-1-,sin/ADC=5_2V6

此時松=25-24x1=5■，即等，

4_AC_V23W._V23W

由729RR—U亞——-nAR—

四邊形ABCD外接圓的面積S=兀7?2=兀x（縹頁f=1155兀

v24/288

題型四解三角形中邊長或周長的最值范圍

S大題典例

10.（24-25高三上?四川綿陽?月考）在銳角AABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,b2=c2—ab.

（1）求證：C=2B；

（2）b=2,求a的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）2<a<4.

【解析】（1）在銳角△ABC中，由余弦定理〃=a?+c?—2accosB及〃=c?—ab,得2ccos8=a+b,

由正弦定,理得2sinCcosB=sinA+sinB=sin（_B+C）+sinB=sinBcosC+cosBsinC1+sinB,

則5由（0—3）=5皿3,由0<（7<拳0<3<會得一5<0—3<5，

所以=B，即。=23.

(2)在銳角4ABC中，由正弦定理得上y=,則,(:g=-A7，

smAsmBsm(7U-B-2B)smB

工日2sin(B+2B)2(sinBcos2B+cosBsin2B)。cc,5?c小

于是a=----V—---=---------------------=2cos2B+4cos2B=8cos92B-2,

sinBsmB

由得看<B<]'則8sBe(亨，號)，cos2BC(H),

所以a的取值范圍是2VaV4.

解法指導(dǎo)

利用正、余弦定理等知識求解三角形邊長或周長最值范圍問題，一般先運用正、余弦定理進(jìn)行邊角

互化，然后通過三角形中相關(guān)角的三角恒等變換,構(gòu)造關(guān)于某一角或某一邊的函數(shù)或不等式,再利

用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等來處理。

S變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?山西?月考）在△48。中，角人昆仁的對邊分別是明仇小且（fe+c）cosA=

a(cosB—cosC).

(1)證明：A=2B.

（2）若△ABC是銳角三角形，求衛(wèi)的取值范圍.

a

【答案】（1）證明見解析;

【解析】(1)由題設(shè)(sinB+sinC)cosA=sinA(cosjB—cosC),

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

貝IsinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sinBcosA,RRsin(A+C)=sin(A—B),

又4+。=兀一則sin(7t—B)=sinB=sin(_A-_B),且Z,_Be(0,7U),

所以8=>1-石0入=26,得證.

0<A<f0<2B<f

⑵由題設(shè)，0<B<-1，即＜0<B<f，得=

/64

n

號VA+BVTU<3B<7r

sinB_sinB1

由—,而cosBGe

asinAsin2B2cosBa

12.（24-25高三上?貴州遵義?月考）記△ABC的內(nèi)角A,B,。對應(yīng)的三邊分別為a,b,c,且《sinB+

cosB=1.

⑴求8；

（2）若b=3,求△ABC的周長的取值范圍.

【答案】（1）B=等；（2）（6,2g+3]

O

【解析】（1）因為sirkB+cos_B=1,所以2sin（B+看）=1,即sin（B+[■）=],

因為BE（0,兀），所以石+5=萼，即R=警；

663

（2）因為8=等，b=3,由正弦定理得acb3

OsinAsinCsinBV3_

2

則a=2V3sinA,c=2V3sin(7,又_4+_8+。=兀,

則0=兀-8—4=專一4且AC(0,兀

所以a+b+c=2V3sinA+2V3sin^—A)+3=2A/SsinA+3cosA—VSsinA+3

=VSsinA+3cos>4+3=2V3sin

因為AC（0晝），所以A+號G

所以a+b+cG（6,2A/3+3],

綜上可知,三角形48。的周長的取值范圍是（6,2盜+3].

題型五解三角形中面積的最值皰國

s大題典例

13.（24—25高三上?遼寧沈陽?月考）已知△ABC中，角45。的對邊分別為a,b,c,滿足，^bsinC—

ccosB=c.

⑴求角R

⑵若△48。為銳角三角形，且a=2,求△ABC面積的取值范圍.

【答案】⑴,⑵（卓,2⑹

【解析】（1）因為V3bsinC—ccosB=c,由正弦定理得VSsinBsinC—sinCcosB=sinC,

因為OVCV兀，可得sinC>0,所以V3sinB—cosB=1,所以sin（B—,

又因為OVBV兀，所以B—￡解得8二3.

663

⑵由⑴知_B二5,且a=2,

O

aca

又由正弦定理得可得c?sinC,

sinAsinC'sinA

血sinC_血sin(弩一⑷_四(烏cosA+/sinA

所以S=-^-acsinB—^-c—-sinC=

222sinAsinAsinAsinA

V3?3

22tanA'

因為△ABC為銳角三角形，所以0VAV=■，且0<0=孕一AV3，可得《〈人〈會,

23262

則tanA>^，所以0<—J<維之，所以△4BC面積的取值范圍是（項,26）.

32tanA2\2，

解法指導(dǎo)

1、常用三角形的面積公式:

⑴S=9總；

(2)S=JabsinC=JacsinB=JbcsinA；

(3)S=]~r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)；

⑷S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)，即海倫公式，其中p=-y(tt+6+c)為三角形的半周長。

2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形面積用所設(shè)變量表示出來，再利

用正余弦定理列出方程求解。注意函數(shù)思想的應(yīng)用。

S變式訓(xùn)練

14.(24-25高三上?江西?期中)已知△ABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,且空￥+必鏟=

0ab

3

4acosB

(1)求cosB；

(2)若b=4,求△ABC面積的最大值.

【答案】⑴等；⑵4a.

【解析】(1)由等。+空鏟---——,得acosC+ccosA=3b

bab4acosB4cos8

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=產(chǎn)口金

4cosG

因為sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin_B,且0VBVBsiirBW0,

綜上，3=1ncosB=:.

4cosB4

⑵因為b=4,cosB=(,

由余弦定理，得16=Q?+。2—2accosB=a2+c2—QC》2ac—^-ac—^-ac,

所以QC432,當(dāng)且僅當(dāng)Q=c=4V2時取等號，

因為sinB=A/1—cos2B=J1—(菖)=,

所以△ABC面積S=]acsinB<1~X32x4=4，f,即△ABC面積的最大值為477.

15.(24-25高三上?河南?月考)在△ABC中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足a+b

cosA+cosB

c

sin。

(1)求。的值;

⑵若ZVIBC內(nèi)有一點P,滿足AAPB=AAPC=/CPB=與，CP=1,求△ABC面積的最小值.

O

【答案】⑴告；⑵等+3

【解析】(1)因為——旺久-c

cosA+cosBsinC

由正弦定理得2RsirM+2、sinB_2RsinC

'cosA+cosBsinC'

所以sin—+sin'=1，9口sin_A—cosA=cosB—sinB,

cosA+cosB

艮!7sin（A—=—sin（_B—等）=sin（_B—年+兀）=sin（_B+^~）,

又因為ABC是三角形得內(nèi)角，顯然4—§WB+普，所以（4—］）+（B+苧）=兀,

即4+8=5,所以C=5.

（2）法一：由（1）得：C=5,PA—m,PB—n,

在APAB中,由余弦定理得，AB2=m?+九2-2mncos-^=m2+n2+mn,

tj

同理在/\PBCAPAC中有：BO?="2+i_2ncos等=n2+l+n,

O

AC2=m2+1—2mcos-^-=m2+1+m,

o

又因為△ABC是直角三角形，所以AB?=602+^02,

所以m2+n2+mn=m2+稼+館+九+2,即mn=m+n+2,

所以71=恒+?-，因為n>0,m+2>0,所以nz—l>0,即？n>l,所以

m—1

LABC~z\B4B^/\PAC~~2+方義1,~2乂

=（m+n+mn）=^-（m+n+l）=（m+1+m++^^（m+7n+：）,

422'm—1/22'm—1）

V3V3加+2=V3V3,（（館一1）2+2（館一1）+3

FF.m—l~~T~F.\m-1

多年+乎7r+2）=乎+亨.（2小2）=竽+3,

當(dāng)且僅當(dāng)771—1=—^―-，即771=h=1+V3時取等號.

m—1

△ABC的面積的最小值為心乎+3.

法二:在△ABC中，設(shè)_B4=c,PB=g,

2222222

由余弦定理可得，AC=x+x+lfBC=y+y-il,AB=x-ixy+y.

由勾股定理可得:力2+力+1+靖+^+1=/2+力"+沙2,即2+/+"=Xy

而SAABC=,（1Xrc+lXy+a；v）sin爭={x+y+xy）=（2xy-2）.

由基本不等式力+g>'ly/xy，所以g/>2+2yfxy,可解得迎>4+2，^（由上g/>2）,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=V3+1時等號成立，???

所以△ABC面積最小值為6+曠

題型六三角形的角平分線、中線、垂線

S大題典例

16.（24-25高三上?江蘇徐州?月考）已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c=2bcosA-

a.

⑴求角8；

（2）若8。是角B的平分線，40=4/7,CD=2。,求線段的長.

【答案】⑴3二等；（2）4.

O

abc

【解析】（1）已知2c=2fecosA—a,由正弦定理=2R（R為△ABC外接圓半徑）,

sinAsinBsinC

可得2sinC=2sinBcosA—sinA.

因為4+B+C=7U,所以。=兀一Q4+_B),那么sinC=sin(7U—(A+B))=sin(A+B).

根據(jù)兩角和的正弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

貝U2(sinAcosB+cosAsinB)=2sinBcosA—sinA.

展開可得2sin力cos_B+2cosAsinB=2sinBcosA—sinA.

移項可得2sinAcosB=—sinA.

因為71￡（0,兀），所以sinAW0,兩邊同時除以sinA得2cosB=-1,解得cosB=——

又因為Be(o,n)，所以B=誓.

o

(2)因為BD是角B的平分線，根據(jù)角平分線定理袈=華，

ZJG

已知40=4/,CE>=2〃7,所以怨■=生2=2,設(shè)則AB=2x.

BC2V7

在△ABC中,根據(jù)余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

AC=AD+66,B=爭，則(6/)2=0名尸+d—2x2/xa；x)

即252=4爐+/+2爐=7d,解得0=6,所以3。=6,AB=12.

B_AB2+BD2-AD2

在4ABD中，根據(jù)余弦定理COS

T一2AB?BD

B兀

因為8=等，所以cos萬cos—=￡B

OoI,

122+^2-(4V7)2AC

設(shè)_8。="則y=D

2xl2y

即12y=144+y2-112,整理得y2-12y+32=0.

分解因式得(y—8)(y—4)=0,解得y=8或y=4.

CB2+BD2-CD2_36+64-28_72

當(dāng)y=8,在△CBD中，=菖WcosZ-DBC,舍去.

2CB-BD2x6x8-96

CB2+BD2-CD2_36+16-28_241

當(dāng)沙=4,在△CBD中,cosADBC,滿足.

2CB-BD2x6x4482

故BO的長度為4.

解法指導(dǎo)

1、解三角形角平分線的應(yīng)用

如圖，在AABC中，AO平分。，角A、B,C所對的邊分別問a,b,c

⑴利用角度的倍數(shù)關(guān)系：乙民4。=2乙BAD=2/CAD

（2）內(nèi)角平分線定理：AD為XABC的內(nèi)角ABAC的平分線，則、著=倦.

說明:三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu),

就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的,涉及到三角形中“定比”類問題,運用向量知識解決起來都較為簡捷。

⑶等面積法:因為4cD=S^.c，所以-y-c-ADsin等+Jb-ADsin等=-^-bcsinA,

2bccos等

所以（b+c）4D=2bccos”■，整理的：AD=——----（角平分線長公式）

2、解三角形中線的應(yīng)用

⑴中線長定理:在△ABC中，AD是邊石。上的中線，則A&+AC2=2（BD2+AD2）

【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中

（2）向量法：AD2=（b2+c2+2bccosA）

【點睛】適用于已知中線求面積（已知黑的值也適用）.

3、解三角形垂線的應(yīng)用

⑴4,h2,%分別為A4BC邊a,b,c上的高，則4:卷：用=—：

bcsin/sinBsinC

（2）求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度

高線兩個作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。

S變式訓(xùn)練

17.（24-25高三上?福建福州?月考）△ABC的內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,已知

C

sin（A—B）

⑴求Z;

（2）若。為中點，入。=嘩^,人。=3,求△48。的周長.

【答案】⑴春；⑵4+/

O

.c-b_sin(A-B)sinC—sinB_sin(A-B)

【解析】⑴1，由正弦定理得,

即sinC-sinB=sin(A-B)，因為A+B=n—C,所以sinC=sin(A+B),

所以sin（A+B）—sinB=sin（A—B）,

化簡得2cosAsinB=sinB,又sinBW0,

可得COSA=-1-,0<A<7T,

貝“|AD|2=AD2=J（AB+AC）2=J（AB2+AC2+2AB-AC）^,

|AB|2+9+2|AB|x3Xq=13,整理得|AB|2+3|AB|-4=0,解得AB=1或一4（舍去）,

在△ABC中，由余弦定理可得BO?=AB?+AC2-2ABxACxcosA=l+9-2xlx3Xy=7,

.?.BC=e,所以△ABC的周長為l+3+，7=4+〃7.

18.（24-25高三上?廣西南寧?月考）已知△ABC的三個內(nèi)角A,8,C所對的邊分別是a,b,c.已知—

C

sin2R

2sinA+sinB

（1）求角c；

（2）若點。在邊48上，b=2,CD=1,請在下列兩個條件中任選一個,求邊長AB.

①CD為△ABC的角平分線;②CD為△ABC的中線.

【答案】⑴等；⑵2遮

O

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理知立=國與，

csmC

所以sinB_sin2B_2sinBcosB

sinC2sinA+sinB2sinA+sinB'

又BC（0,兀），所以sinB>0,°.2胃”,

smC2smA+smB

2sinA+sin_B=2cosBsinC,

又4=兀一（_B+C）,2sin（B+C）+sinB=2cosBsin（7,

2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC,

化簡得2sinBcosC+sinB=0,即cos。=—,

又ce（o,兀），所以。=穹.

（2）選①，CD為△ABC的角平分線，

由S^CD+SABCD=S^ABC得：春d?CD?sin/力CD+yCB-CE?-sinZBCD=^-CA-CB-sinAACB,

即［bT?-+-1-a-1，所以a+b=ab,

又b=2,所以Q=2,

在AABC中,由余弦定理得c2^a2+b2-2abeosC=22+22-8cos等=12,

所以AB—c—2A/3.

選②，CD為△ABC的中線，

-?-?-?-?Q->o->9-?O->9

則C4+CB=2CD,平萬得C4+CB+2a4?CB=4CD,

15

所以〃+02+2而（：05。=4X12,所以稼+62-。6=4,

又6=2,所以a=2,

在AABC中，由余弦定理得c2=a2+&2-2abcosC=22+22-8cos等=12,

所以AB—c—2V3.