2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的奇偶性與周期性 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（含解析）

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)23-函數(shù)的奇偶性與周期性-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】.

一'單選題

1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()

A.y=2xB.y=y［x

C.y=\x\D.y=—x2-\~l

JQ—2

2.設(shè)函數(shù)人功=干，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.>-2)-1B.>-2)+1

C.>+2)-1D.汽x+2)+l

3.已知函數(shù)於)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且周期為4,次—1)=—2,則/2025)

=()

A.2B.0

C.-2D.-4

1

4.已知函數(shù)兀v)=sin無(wú)+尤3+%+3,若#0=-1,則五一0=()

A.3B.5

C.6D.7

5.已知偶函數(shù)人乃對(duì)于任意xGR都有兀1+1)=—兀0，且兀0在區(qū)間［0,1］上

是單調(diào)遞增的，則五一6.5),五一1),五0)的大小關(guān)系是()

A.>M-6.5)</(-l)

B.汽一6.5)勺⑼勺(一1)

C.X-l)<A-6.5)</(0)

D.五-1)勺(0)勺一6.5)

6.若函數(shù)兀0=5111?111(如；+，?不方)的圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱(chēng)，則機(jī)=()

A.2B.4

C.±2D.±4

7.已知函數(shù)八%)=陰+9,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，且人3a—2)》。一1),則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.（，，+00

B.1-8,2)

C.1-8,2)u(j,+℃}

D.(o,jug,+8)

8.已知人x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的xGR都有人x+2)=-/(x),

當(dāng)xG［0,2］時(shí)，fix)=x2-\-ax-\-b,則a+6等于()

A.0B.-1

C.-2D.2

二、多選題

9.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.尸川x|)B.y=fi-x)

C.,=歡勸D.y=J(x)+x

10.已知定義在區(qū)間［—7,7］上的一個(gè)偶函數(shù)，它在［0,7］上的圖象如圖，則下

列說(shuō)法正確的有()

A.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間

B.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間

C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7

D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值一7

n.已知函數(shù)兀0是定義在R上的奇函數(shù)，＞+2)=-?,則下列說(shuō)法正確的

是()

A.人的的最小正周期為4

B.五x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)

C.而0的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)

D.兀0在(一5,5)內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)

12.已知人乃是定義在R上的奇函數(shù)，五2—x）=?r）,當(dāng)x?［O,l］時(shí)，火x）=R,

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.f（2021）=0

B.2是五x）的一個(gè)周期

C.當(dāng)—3）時(shí),於）=（1—x）3

D.火工）>0的解集為（4左必+2）（左?Z）

三、填空題

13.已知函數(shù)兀x）=2x—2riga是奇函數(shù)，則a的值等于.

14.已知奇函數(shù)人x）在區(qū)間［3,6］上是增函數(shù)，且在區(qū)間［3,6］上的最大值為8,

最小值為一1,則人6）+五-3）的值為.

15.設(shè)加）是周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，?=2x+3,則-8）=7.

一2★尤忘0時(shí)，y（%）=,.

16.已知函數(shù)/（x）,對(duì)VxGR滿(mǎn)足火l-x）=/（l+尤），/（x+2）=—/（x）,且汽0）

=1,則火26）=.

17.已知定義在R上的奇函數(shù)y=/（x）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，且/J）=o,

則人x）>0的解集為.

【B級(jí)能力提升】i.設(shè)火乃是R上的偶函數(shù)，且在（0,+8）上是減函數(shù)，若

Xl<0且Xl+x2>0,貝U（）

1.設(shè)/（X）是R上的偶函數(shù)，且在（0,+8）上是減函數(shù)，若xi<0且xi+x2>0,

則（）

A.

B.xi）=y（-%2）

C.八-Xl）勺（一X2）

D.八一Xl）與八一X2）的大小不能確定

2.（多選題）函數(shù)五x）的定義域?yàn)镽,且Hx）是奇函數(shù),Hx+l）是偶函數(shù)，則（）

A.?=1

B.汽x)是周期函數(shù)

C./U+3)為奇函數(shù)

D.於+5)為偶函數(shù)

3.若定義在R上的奇函數(shù)?x)在(一8,0)單調(diào)遞減，且/2)=0,則滿(mǎn)足求x

—1)20的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]U[l,+8)D.[—1,0]U[1,3]

4.已知函數(shù)_/(x)的定義域?yàn)镽,且y)=Xx)Ay),人1)=1,貝(1(左)

=()

A.l3B.—2

C.0D.1

5.已知函數(shù)兀0=/(02*—2「)是偶函數(shù)，則a=.

6.函數(shù)4x)=N+1是定義在(一8,十8)上的奇函數(shù)，且上J=5.

(1)求實(shí)數(shù)a，b,并確定函數(shù)的解析式；

(2)用定義證明人功在(一1,1)上是增函數(shù).

7.已知函數(shù)人x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng).

(1)求證：人》)是周期為4的周期函數(shù)；

(2)^fix)=A/X(0<X<1),求當(dāng)5,—4]時(shí)，函數(shù)4x)的解析式.

參考答案

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】.

一、單選題

1.［解析］A選項(xiàng)，根據(jù)y=2工的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知A錯(cuò)誤；B

選項(xiàng)，由y=G的定義域?yàn)椋?,+8),知該函數(shù)非奇非偶，可知B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，

當(dāng)X?(0,+8)時(shí)，y=|x|=x為增函數(shù)，不符合題意，可知C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)；由

-(-x)2+l=-x2+l,可知該函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在(0,+

8)上單調(diào)遞減，可知D正確.故選D.

4

2.［解析］化簡(jiǎn)函數(shù)火x)=l―分別寫(xiě)出每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的解析式，利用

44

奇函數(shù)的定義判斷.由題意得，?=l-^+2.MA,火彳一2)—1=—I是奇函數(shù)；

44

對(duì)B,於-2)+1=2-2關(guān)于(0,2)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)；對(duì)C,於+2)—1=—/

定義域?yàn)?一8,—4)U(—4,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)；對(duì)D,fix

4_

+2)+1=2—尤+4,定義域?yàn)?一8,—4)U(—4,+°°),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是

奇函數(shù).故選A.

3.［解析］依題意，函數(shù)五x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)1%)是奇函數(shù)，又

/%)的周期為4,且1)=一2,則42025)=7(1+506X4)=/⑴=一八-1)=2.

11

3

4.［解析］函數(shù)?0=sinx+R+x+3,j{—x)+/%)=sin(—%)+(—%)—x+3

1j_1

+sinx+^+x+3=—sinx—x3—^+sinx+%3+^+6=6,若五。)=一1,則火一。)

=6-/(0=6—(-1)=7.故選D.

5.［解析］由兀v+l)=—兀0，得人x+2)=—y(x+l)=/(x),函數(shù)人x)的周

期是2:?函數(shù)五x)為偶函數(shù)，.?次一6.5)=五一0.5)=人0.5),五一1)=九1).=貝沙在區(qū)

間［0,1］上是單調(diào)遞增的，.?拼0)勺(0.5)勺(1),即五0)勺(一6.5)勺(一1).

6.［解析］因?yàn)?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以為偶函數(shù)，又丁=5111%為

奇函數(shù)，所以y=ln(mx+)l+4x2)為奇函數(shù),即1比一見(jiàn)+71+4-(-%)2］=—ln(mx

+業(yè)+4%2),解得加=±2.故選?.

7.［解析］顯然人勸為偶函數(shù)且在［0,+8)上單調(diào)遞增，.?了3a—2)次a—

31

l)0|3a—2|〉|a—l|=(3a—2)2>(a—l)2Qq>W或a<2,故選C.

8.［解析］因?yàn)閤x)是定義在R上的奇函數(shù)，且%e［O,2］0f,y(x)=x2+ax+Z?,

所以汽0)=6=0,五-x)=一“X).又對(duì)任意的x?R都有人x+2)=—兀0，所以人工

a

+2)=五一力，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，所以一］=1,解得。=—2,所

以a~\~b=-2.

二'多選題

9.［解析］由奇函數(shù)的定義五-x)=一兀0驗(yàn)證，A項(xiàng)，川一衛(wèi))=川田)，為偶

函數(shù)；B項(xiàng)，咒一(一x)］=/(x)=一八一x),為奇函數(shù)；C項(xiàng)，一動(dòng);一x)=一戈.［一兀叨

=獷》,為偶函數(shù)；D項(xiàng)，|一x)+(—x)=—［/(x)+x］,為奇函數(shù).可知B、D正

確.

10.［解析］根據(jù)偶函數(shù)在［0,7］上的圖象及其對(duì)稱(chēng)性，作出其在［—7,7］上的圖

象，如圖所示.由圖象可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，

在其定義域內(nèi)有最大值7,最小值不是一7,故選BC.

n.［解析］因?yàn)槲鍃)是定義在R上的奇函數(shù)，且五x+2)=—而0,所以Hx+

4)=->+2)=?,即汽x+4)=/(x),所以4x)的周期為4,但人%)的最小正周期

(3式)「直"

不一定為4,如加)=sin(2xj,滿(mǎn)足小)為奇函數(shù)，且於+2)=sin［2(x+2)_=

③\4

sin(2x+37rj=—sin(2xj=-/(x),而/(x)=sinl2xj的最小正周期為5,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)槲鍃)為奇函數(shù)，且五x+2)=—五x),所以xx+2)=/(—x),即Hx)的圖象關(guān)于直

線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，故B正確；由4x+4)=/(x),及/(x)為奇函數(shù)可知<x+4)+<—x)

=0,即五x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，故C正確；因?yàn)槲鍃)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以H0)=0,又八x+2)=—Hx),1Kx+4)=Ax),所以汽2)=一五0)=0,/4)=?

=0,故人—2)=一五2)=0,五―4)=一五4)=0,所以在(一5,5)內(nèi)五x)至少有一4,

—2,0,2,4這5個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選BCD.

12.［解析］../x)是定義在R上的奇函數(shù),

，五2—x)=力>)=二負(fù)一無(wú))，

：.fi2+x)=-fix),

.?./4+x)=-/2+^)=?,

..次x)的最小正周期是4,故B錯(cuò)誤;

.2021)=/⑴=1,故A錯(cuò)誤；

?.?當(dāng)龍￡［0,1］時(shí),?=x3,五x)是定義在R上的奇函數(shù)，

.?.當(dāng)XG［—1,1］時(shí)，?=^3,

當(dāng)x?(l,3)時(shí)，2-xe(-l,l),

?=^2-x)=(2-x)3,故C錯(cuò)誤；

易知當(dāng)x?(0,2)時(shí)，?>0,

..一X)的最小正周期是4,

/.?>0的解集為(4匕必+2)(左?Z),故D正確.

三、填空題

13.［解析］由題設(shè)條件可知，可由函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程五x)+A—》)=0，

由此方程求出。的值.函數(shù)火x)=2'—2-，lga是奇函數(shù)，.?戎用+八一x)=0,

—2~xlga+2~x—2x\ga=0,KP2T+2-x—(2%+2-x)lgtz=0,/.lga=l,.'.a=10.

14.［解析］由于兀c)在［3,6］上為增函數(shù),所以兀I)的最大值為76)=在兀0

的最小值為X3)=—1,因?yàn)槲鍃)為奇函數(shù)，所以4—3)=一五3)=1,所以火6)+五一

3)=8+1=9.

15.［解析］因?yàn)槲鍃)是周期為3的函數(shù)，所以五8)=/(2)=2X2+3=7.當(dāng)一

2W_rW0時(shí)，y(x)=y(x+3)=2(x+3)+3=2x+9.

16.［解析］V>+2)=-?,

的周期為4,

，火26)=汽2).

,對(duì)Vx?R有五1—%)=火1+尤)，

.7Ax)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，

..猶2)=汽0)=1,即426)=1.

17.［解析］由已知可構(gòu)造y=/(x)的示意圖象,

所以Cx)>0的解集為(一J

【B級(jí)能力提升】1.［解析］因?yàn)闉?lt;0且尤1+%2>0,所以X2>—Xl>0,又因?yàn)?/p>

“X)在(0,+8)上是減函數(shù)，且兀刈是R上的偶函數(shù)，所以八一X2)=/(X2)勺(一X)

1.［解析］因?yàn)閄l<0且Xl+x2>0,所以％2>一修>0,又因?yàn)?lt;x)在(0,+°°)

上是減函數(shù)，且兀0是R上的偶函數(shù)，所以五一X2)=y(X2)勺(一X1).

2.［解析］因?yàn)镠x+l)是偶函數(shù)，所以函數(shù)負(fù)%)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱(chēng)，即人一

x)=f(2+x),又函數(shù)40是定義在R上的奇函數(shù)，所以五一X)=一五%)，汽0)=0,于

是/(2+x)=—<%),即有人4+x)=—<x+2)=/(x),所以函數(shù)Hx)的一個(gè)周期為4,

故A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)g(x)=/(x+3),則g(—x)=/(—x+3)=/(—l+x)=/(x+3),

即g(x)=g(一無(wú)),所以。x+3)為偶函數(shù),C錯(cuò)誤;設(shè)人(尤)=/(尤+5),則人(一無(wú))=大一

x+5)=/(x—3)=/(x+5),即力(x)=/z(—x),所以汽x+5)為偶函數(shù)，D正確，故選

BD.

3.［解析］因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)加0在(一8,0)上單調(diào)遞減，且/2)=0,

所以1x)在(0,+8)上也單調(diào)遞減，且五—2)=0,汽0)=0,

所以當(dāng)x?(—8,—2)U(0⑵時(shí)，於)>0,

當(dāng)x?(—2,0)U(2,+8)時(shí)，人》)<0,

x<0,

所以由切>—1),0可得j—2Wx―1W0或X—1,2

x>0,

或［o4—1W2或x—1W—2或x=0.

解得一1W無(wú)WO或1W無(wú)W3,

所以滿(mǎn)足切>—1)>0的x的取值范圍是［―故選D.

4.［解析］因?yàn)槲?)=1,所以在兀v+y)+兀v—y)=Ax)#y)中，令y=l,得汽x

+1)+>-1)=?/(1),所以汽x+l)+_*x—l)=Ax)①，所以凡x+2)+五x)=/(x+

1)②.由①②相加，得人x+2)+汽x—1)=0,故人x+3)+<x)=0,所以汽x+3)=一

f(x),所以y(x+6)=—/(x+3)=/(x),所以函數(shù)人x)的一個(gè)周期為6.在/(x+y)+/(x

—y)=#x)m)中，令X=l,y=o,得人x)+y(x)=Ax)y(O),所以火0)=2.令x=l,y

=1，得人2)十八0)=火1求1),所以火2)=—1.由五x+3)=—Hx),得汽3)=一次0)=

—2,?=-/1)=-1,五5)=一五2)=1,火6)=一五3)=2,所以火1)+五2)+…+

^6)=1-1-2-1+1+2=0,根據(jù)函數(shù)的周期性知，(攵)={1)+五2)+汽3)+汽4)=1

—1—2—1=-3,故選A.

5.［解析］解法一（定義法）：因?yàn)槿?）=/32，一2七）的定義域?yàn)镽,且是偶

函數(shù)，所以五一x）=Xx）對(duì)任意的XCR恒成立，所以（一%）3（。2七一2工）=如（。2工一2

-x）對(duì)任意的x?R恒成立，所以爐伍一1）（2工+2r）=0對(duì)任意的x?R恒成立，所

以<2=1.

解法二（取特殊值檢驗(yàn)法）：因?yàn)槲鍃）=/（o2x—2「）的定義域?yàn)镽,且是偶函

數(shù)，

所以五—1）=/⑴，所以一I,2）=2a—

解得a=l,經(jīng)檢驗(yàn)，?￥）=/（28一2七）為偶函數(shù)，

所以a=l.