2025年高考數(shù)學中的分段函數(shù)（六大題型）（解析版）

特訓15高考中的分段函數(shù)（六大題型）

方法歸納

1.根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值或解方程時，應根據(jù)分段函數(shù)各段的定義域分類討論，結合各段的

函數(shù)解析式求解，要注意求出的自變量的值應滿足解析式對應的自變量的區(qū)域.

2.分段函數(shù)的求值問題，應首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，然后選定相應的解析式代入求解.

3.分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問題，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論，最后應注意

檢驗所求參數(shù)值（范圍）是否適合相應的分段區(qū)間.

題型歸納

目錄：

?題型01分段函數(shù)

?題型02求參數(shù)范圍

?題型03解不等式

?題型04零點、方程根等問題

?題型05導數(shù)與分段函數(shù)

?題型06分段函數(shù)的綜合辨析

?題型01分段函數(shù)

x4,-l<x<0

1.函數(shù)，=〃/4卜丫。的值域為________.

【答案】

【分析】分-1W尤W0和0<xW2兩種情況，結合累函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域.

【解析】解：當-LWxWO時，>=/單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域為［05,

當0K2時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域為〔I,

綜上所述，函數(shù)'的值域為0，。.

故答案為：

2.已知函數(shù)/(x)=2；一八為奇函數(shù)，貝Ijo+b等于()

ax'+Zzx,尤>0

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出。涉值即可.

【解析】依題意，當x>0時，一x<0,貝IJ/(x)=-/(-x)=-[(-x)2+(-x)]=-x2+x,

而當x>0時，f(x)=ax2+bx,^i^ax1+bx=-x2+x,貝!]a=T6=l,f(x)=-x2+x,

當x<0時，一x>0,則f(x)=—f(—x)=—[―(―x)2+(―x)]=x1+x,

又/(0)=0=-/(0),于是VxeR,/(尤)=—〃T),

所以。=-1,6=1,所以a+Z?=0.

故選：C

log0/\,、

3.定義在R上的函數(shù)滿足/(》)=/(：?-l)-/(x-2),.>0-則7Mb—，，(2。23)=

【答案】1-1

【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)知/(x+6)=/(x),從而得到函數(shù)的周期為6,再計算相關值即可.

log(l-x),x<0

【解析】因為〃x)=:2

所以/(x+6)=/(x+5)-/(x+4)=/(x+4)-/(x+3)-/(x+4)=-/(x+3),

則〃x+3)=-f(x),故〃x+6)=〃x),

即函數(shù)的周期T=6,

貝"(2021)=/(6x337-1)=〃-1)=log22=1,

〃2023)=〃337x6+l)=〃l)=〃0)-〃-1)=幅1-1=-L

故答案為：1;—1.

?題型02求參數(shù)范圍

log,(x+l),-l<x<3

4.若函數(shù)/(無)=a，在(-LE)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

%+—,%>3

x

A.[-3,9]B.

C.[0,9]D.（f9]

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷-l<x43上/（無）的單調(diào)性和值域，結合其區(qū)間單調(diào)性及分式型函數(shù)的性質(zhì),

討論參數(shù)確定參數(shù)范圍.

【解析】當-1<XW3時，y=log2（x+l）單調(diào)遞增且值域為（-8,2],而“X）在（T,+?0上單調(diào)遞增,

則丫=尤+幺在（3,+8）上單調(diào)遞增，S.3+->2^a>-3,

x3

當—時，）=%+處在（3,+8）上單調(diào)遞增，滿足題設；

X

當〃〉0時，y=x+@在（?\+8）上單調(diào)遞增，此時只需&W3,即0<。（9；

綜上，-3<a<9.

故選：A

’2

—x—ax—5,%W1,

5.已知函數(shù)/（尤）=°是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是是（）

—,X>1

A.—3<a<0B.—3WaW—2C.a<—2D.a?0

【答案】B

【分析】兩段函數(shù)都要增，在1附近也要增，列不等式組求解即可.

—X2,—ax—5,xW1,

【解析】"》）=a是R上的增函數(shù)，則要滿足：

—,x>l

.X

a

1s—

2

<a<0,解得-3WaW-2.

-l-a-5<a

故選：B.

1X

e—e」一

---------ax,x<\

6.已知/（尤）=:,（aeR）在R上單調(diào)遞增，貝M的取值范圍是（）

%+3/

-7=,X>]

+1

A.[—2,1]B.[―2,—1]C.（—8,1]D.[—2,+co）

【答案】A

X—1.1—Xx—1.1—X

【分析】根據(jù)條件，當XW1時，得至I]尸（尤）——a,由題知尸（無）——aNO在（一雙1]上恒成

x—1.1—x1—11—1I.o

立，利用基本不等式，得到41,從而有再根據(jù)題設有匚^—-a<—,即可求解.

221+1

ecl-eA-x

-ax,x<l

2

【解析】因為/（九）?

x+3

,x>l

、G+1

、[,、1(c_x+3Q(4_x+2?—3_(Vx+1)2-4

當X>1時’/⑴「不T"幻=2?(6+1)2=26(6+1)2'

x+3

所以時，r?>o,即/（X）=五石在區(qū)間（L+8）上單調(diào)遞增,

當xW1時，/(x)=-——-----ax,

x—1.1—Xx—1.1—X

所以/(元)=寶￡—一a，由題知/。)=—-a>0在(—8,1]上恒成立，

即'>a在(—8,1]上恒成立，

X—1.1—X1__________

又e*42而"2=1,當且僅當ei=ei,即x=l時取等號，所以

22

H_1-11,0

又由-一?<—=2,得至IJa之一2,所以一24a41,

21+1

故選：A.

—+cix^—a+4,x>0,

7.函數(shù)〃x）=3在R上單調(diào)，則。的取值范圍是（）

ax+cosx,x<0,

A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)

【答案】C

【分析】利用導數(shù)分別求解x40和x>0時的單調(diào)性，再結合Ax）在R上遞增，可得-。+421,即可求解.

【解析】由題意，函數(shù)Ax）在R上單調(diào)遞增，當xWO時，/（%）=ax+cosx,依題需使尸（x）=a—sinx^O恒

成立，貝

當x>0時，由一。+4在Q+8）上遞增，需使r（司=/+26上。在（0,+s）上恒成立，貝I]

-a<0,BPa>0；

又由了（無）在R上遞增，可得F+421,解得aW3.

綜上可得，”的取值范圍是工司.

故選：C.

8.已知函數(shù)〃元）=",（。>0且"1）,若函數(shù)/（尤）的值域為R,則實數(shù)a的取值范

-ax+2ax—a+3,x<l

圍是()

A.^0,—C[2,+co)D.[3,+8)

【答案】B

【分析】分析可知當x<l時，/(x)<3,由題意可知當xNl時，則/(力=優(yōu)+。的值域包含[3,+s),分。<。<1

和。>1兩種情況，結合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.

【解析】當x<l時，貝!]=-62+2辦-。+3=-a(x-l)2+3,

且a>0,所以=-a(x-l)2+3<3,

若函數(shù)/(無)的值域為R,可知當尤21時，則/(力=4+。的值域包含[3,依)，

若0<a<l,則/(x)="'+a在[1,+0°)內(nèi)單調(diào)遞減，

可得/(x)W/(l)=2a,不合題意；

若a>l,貝。/(力=優(yōu)+4在[La)內(nèi)單調(diào)遞增，

可得/(x)”(l)=2a,則2aW3,解得1<*；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是[1，1.

故選：B.

尤2—2Yy>Q

(2'一八在區(qū)間(列根+1)上單調(diào)遞增，則機的取值范圍是()

A.(e⑼B.[0,1]

C.[-1,0]D.S，-l]U[l，y)

【答案】D

【分析】通過分段函數(shù)的單調(diào)性，結合區(qū)間，轉化求解機的取值范圍即可.

【解析】分段函數(shù)=[:一個“的圖象如下：

\-X2+2X,X<0

yt

x

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(F,0],[l,+8),

九2-9rv->Q

(；+2；10在區(qū)間(w5祖+1)上單調(diào)遞增，

則機+1K0或加21,解得：加K-1或加21,

故選：D

(x2+9)0<%?]

10.已知函數(shù)〃X)=>"在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值范圍為()

cuc~+3x+2,l<x<2

A.-1,+001B.[2,+co)C.[-5,-H?)D.

【答案】A

【分析】由題意，需%("=加+3%+2在(1,2)上單調(diào)遞增，且力⑴21g(1+9)=1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類

討論可求”的取值范圍.

【解析】易知當x?0,l]時，〃尤)單調(diào)遞增，

由題意，需〃(力=依2+3尤+2在(1,2)上單調(diào)遞增，且Ml)21g(l+9)=1,即心Y.

33

若a<0,貝1]一丁22,解得一:4。<。；

2a4

若a=0,則/?(x)=3x+2,滿足題意；

3

若。>0,則一丁41恒成立.

2a

綜上，a的取值范圍是一｝+④]

故選：A.

（3。-1）尤+4。，尤<1-/伍）

11.已知函數(shù)〃x)=滿足：對任意當無產(chǎn)工2時，都有>0成立,

x2-ax+6,x>l

Xx—X1

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[2,+s)B.Q,2C.Q,1D.[1,2]

【答案】C

【分析】利用增函數(shù)的定義并結合一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.

【解析】對任意和％eR,當玉二馬時都有3二9>。成立，

玉力2

f(3a—I)x+4Q,X<\

所以函數(shù)〃X)=、2<在R上是增函數(shù)，

[x-ax+o,x>l

3a—1>0

所以“1，解得:所以實數(shù)。的取值范圍是.

3a—1+4〃W1—〃+6

故選：C.

?題型03解不等式

12.已知函數(shù)小)=無，，若則實數(shù)a的取值范圍是_____

[4x-x,x<0,

【答案】(0,+8)

【分析】作出函數(shù)y=/(久)的圖象，從而得y=/O)在R上單調(diào)遞增，令尸(x)=〃x)-〃1-力，可得尸⑺上

在R上單調(diào)遞增，將問題轉化為尸(。)>/(0),即可得答案.

【解析】因為當尤>0時，-X<0,

f(-x)=-4x-x2=-/(x),

當x<0時，-x>0,

f(-x)=x2-4x=-f(x),

又/(0)=。，

綜上，/(X)為R上的奇函數(shù)，

當x>0時，/(x)=x2+4x,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知此時函數(shù)在(。,+8)上單調(diào)遞增,

又因為/(x)為R上的奇函數(shù)，

所以函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增，

作出函數(shù)y=/0)的圖象，如圖所示：

y=f(x)

令尸(x)=/(x)-/(l-x)，

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，-/(1-尤)在R上單調(diào)遞增，

則尸(x)上在R上單調(diào)遞增，且F(O)=/(O)-/(l)--5,

則將原不等式轉化為F(?)>-5=F(0),

解得a>0,

所以a的取值范圍是(0,+8).

故答案為：(0,+8).

|YY>/7

13.已知/("=；：>?<-2,則滿足不等式〃尤)-/。-力>-3的尤的取值范圍是____.

\X—3羽％VQ

【答案】(一1,依)

【分析】先利用導數(shù)研究y=/-3x的單調(diào)性，從而得出“X)的單調(diào)性，再構造/x)=〃x)-〃l-x)判定

其單調(diào)性，解不等式即可.

【解析】易知丫=三一3X=>;/=3(彳+1)(了-1),

則x<T時，/>0,y=_?-3x單調(diào)遞增，

而。4-2,所以、=丁-3工在(-8,4)上單調(diào)遞增，

且o3—3a—a=a(a+2)(a-2)W0,故有"x)在R上單調(diào)遞增，

由復合函數(shù)單調(diào)性知/(1-可在R上單調(diào)遞減，

令尸⑺="力-/(1-力，則F⑺在R上單調(diào)遞增,

XF(-l)=/(-l)-/(2)=-3,

故-〃1-司>一3。/⑺>b(—l)ox>-L

故答案為：

/、|logx,0<x<2/、/、

14.已知函數(shù)/(%)=：29若"4+1)—〃2，-1)20,則實數(shù)〃的取值范圍是_____.

I2x—J9X>2

【答案】1<?<2

【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性判斷分段函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可

求解.

【解析】因為當久6(0,2］時，〃x)=log2X是單調(diào)遞增函數(shù)，此時⑵=1,

當久6(2,+8)時,f(x)=2x-3是單調(diào)遞增函數(shù)，此時/(%)>f(2)=1,

/、Ilog9x,0<x<2

所以7%=；ag是定義在(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù),

2x—3,x>2

所以若/(a+1)—/(2a—1)>0即/(a+1)>f(2a—1),

則解得《<aW2.

2

故答案為：—<a<2

2

?題型04零點、方程根等問題

2"+2八

--------%W1

15.已知f(x)=2'一，則方程/"(切=2實數(shù)根的個數(shù)是()

|/og2(x-l)|,x>l

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由方程/"(切=2先求出/(X)=l或/(x)=3或/(幻=5,再解方程即可.

4

【解析】解：①當時，

解得，/(x)=l,

-i-?

^^=1或|1暇(方-1)|=1,

.〔XT」或x-1=2,

2

3

故尤=二?或尤=3；

2

②若/(幻>1,則/[/(x)]=llog2(/(x)-1)1=2,

.?"(x)-l=：或f(x)-l=4,

4

???/(x)=。或/(x)=5,

4

若/(x)=：,則<吆=4或|logz(xT)l=。，

4244

則x=T或x=i+21或片1+21

若/(元)=5,則^^=5或|log2(x-DI=5,

貝ljx=3(舍去)或X=1+2-5或%=1+25,

綜上所述，方程/"(切=2實數(shù)根的個數(shù)是7,

故選：C.

1_Y_1x<2

16.已函數(shù)/（尤）=：；則函數(shù)g（x）=/（x）—|l&d的零點個數(shù)為_______

—J一幺），X>Z.

【答案】6

【分析】根據(jù)函數(shù)g（x）的零點個數(shù)等價于函數(shù)/（尤）與〃⑴卻則的圖象交點個數(shù)，在同一坐標系下畫出了（無）

與〃（無）=|lgx|的圖象，由此求出結果.

【解析】函數(shù)g（x）的零點個數(shù)等價于函數(shù)/（元）與川x）=ll改I的圖象交點個數(shù)，

當x>2時，/（%）=-/（%-2）,

所以/（尤+4）=-/（尤+2）=/（天）,

所以當尤>2時，/（X）是周期為4的函數(shù)；

2-x,l<x<2

當x42時，f(x)=H=

x,x<l

所以/（X）的圖象如圖所示，

在同一坐標系下畫出/心）=1*1的圖象，

因為0<lg9<l,所以兩函數(shù)有6個交點，即函數(shù)g（x）有6個零點.

故答案為：6.

|lgx|,O<x<10

17.已知函數(shù)〃%)=<，若a,b,c,d互不相等,且/⑷=/(6)=〃c)=〃d),則a+b+c+d

—x+6,x>10

2

的取值范圍為()

A.[26,+00)B.(14,+co)

【答案】C

【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，若"a)=/(6)=/(c)=/(d)=〃?a5<c<d,將問題轉化為曲

線/(x)與直線y=〃z的交點問題，應用數(shù)形結合判斷交點的區(qū)間，結合絕對值函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

^<a<l<fe<10<c<12<tZ<14,c+d=W,ab=l,結合對勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍即可.

【解析】令|lgR=l,則x=A或x=10,令尤+6=1,則X=1O或X=14,

1V乙

由解析式知：/(尤)在(0,1］上遞減且值域為(0,E),在。,10］上遞增且值域為(0,1］,在(10,12)上遞減且值域

為(0,1),在(12,y)上遞增且值域為(0,+s).

作出〃x)的草圖如下,

令〃a)=/?=〃")=〃?，不妨設a<b<c<d,則a,b,c,d為曲線/(無)與直線V=m的交點橫

坐標,

由圖知：c+d=24,"=1且一10<C<12<1<14,

貝。a+Z7+c+d=24+aH—,

a

由對勾函數(shù)可知丫=。+，在上遞減，故卜=。+,/2,學

a(1。)ayW

故Q+b+C+d=24+Q+—￡

a

故選：c

5

—x2,04x42

16

18.已知函數(shù)/'（x）是定義在R上偶函數(shù)，當尤>0時，/（尤）=<,若函數(shù)y=/（x）-5僅有4

+l,x>2

個零點，則實數(shù)機的取值范圍是（）

a-H）b-H）c-d-

【答案】A

【分析】首先根據(jù)“X）的性質(zhì)畫出函數(shù)“X）圖象，然后把函數(shù)y=/（x）-根僅有4個零點，轉化為函數(shù)y=

/（乃與丁=加有4個交點，數(shù)形結合即可求解.

【解析】當04x42時，/（x）=-1x2,此時〃尤）單調(diào)遞增，

當x>2時，=+1,此時/（X）單調(diào)遞減,

又函數(shù)了（無）是定義在R上偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱作出函數(shù)，（尤）圖象:

因為函數(shù)y=/（x）-機僅有4個零點，所以函數(shù)y=/（行與^^^有4個交點，

根據(jù)圖象可知：1<加<1,即實數(shù)加的取值范圍是

故選：A.

2X2,X>0f（x]-\

19.已知函數(shù)/（x）="c，若存在唯一的整數(shù)x,使得刀工」<。成立，則所有滿足條件的整

-4|x+l|+4,x<0x-a

數(shù)。的取值集合為（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【分析】作出“X)的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點與(0,1)連線的直線斜率小于0,結合圖象即

可求得。范圍.

【解析】作出"")的函數(shù)圖象如圖所示:

<0表示點(x"(x))與點(。,1)所在直線的斜率,

可得曲線了(無)上只有一個點(x"(x))(無為整數(shù))和點(區(qū)1)所在直線的斜率小于0,

而點(4,1)在動直線y=1上運動,

由〃-2)=0,/(-1)=4,/(0)=0,/(1)=2,且x為整數(shù)，

可得當aW-3時，至少有點(-2,0),(0,0)兩個點滿足工曲」<0,不滿足題意；

x-a

當-2VaV—l時，只有點(。,0)滿足"x)T<0,滿足題意；

x-a

當OWaWl時，只有點(-14)滿足""T<o,滿足題意；

x-a

當。22時，至少有兩個點(T,4),(1,2)滿足"IT<0,不滿足題意；

x-a

綜上所述，由〃為整數(shù)，可得〃的取值集合為卜2,-1,0,1}.

故選：A.

「Inxl0<xKe2,

20.已知/(x)=Fc'一，若。，仇c互不相等且a<b<c,且/(a)=/(6)=f(c),則4+/?+—e的范圍

[2-mx,x>eC

是.

【答案】(3,2e+1)

e

【分析】畫出函數(shù)一(X)的大致圖象，根據(jù)圖象知,<a<l,l<b<e,且|lna|=|lnb|,

lnb=2-]nc,再建

立b的函數(shù)并結合對勾函數(shù)求出范圍.

-Inx,0<x<1

【解析】函數(shù)/(尤)=<lnx,l<尤We在(0,1],(e,+8)上單調(diào)遞減，在Q,e]上單調(diào)遞增，/(e2)=0,

2-lnx,x>e

畫出/(x)=］：n，0<x,e的圖象，如圖,

12-lnx9x>e

因為avbvc,由/(a)=/S)=/(。)，得!<〃<1,l<Z?<e,e<c<e2,

e

由|lna|二|lnb|,得ln〃+lnZ?=0,即ab=l,由lnZ?=2—Inc,得bcK?,

P21hrA111

于是0+6+土,+。+幺,+26,由對勾函數(shù)性質(zhì)知，y=—+26在(l,e)上遞增，則3<：+28<2e+-,

cbcbbbe

2

e1

所以〃+Z?+—的范圍是(3,2e+-).

ce

故答案為：(3,2e+-)

e

2x2—x,x<0

21.設函數(shù)/(%)=且關于X的方程/(%)=m(meR)恰有3個不同的實數(shù)根再，%2,

—尤2+2x,x>0

%(占</<%),貝［|玉馬+玉4+x2x3的取值范圍是.

【答案】一

【分析】畫出的圖象，得至卜："<0<%<1(三<2,0<m<l,并解得西=匕更也，因為

24

XX

f-2元+機=0的兩根為乙和%，所以％+%=2,x2^=m(O<m<l),故當馬+X1%3+23=----—+m,

換元后求出取值范圍.

/、2%2—%,%<0

【解析】畫出函數(shù)〃司=_r+2；尤>0的圖象，如下圖：

因為關于X的方程/(%)=根(m￡R)恰有3個不同的實數(shù)根x1,x2,x3(x1<x2<x3),

貝。一萬<%<0<々<1<W<2,0<m<1,2xf-xx=m,

所以a'匕呼甌或1+中礪(舍去)，

又一%2+2%=機，即X2—2_￥+帆=0的兩根為12和％3，所以々+%3=2,%冗3=機，

石/+石毛=%(%2+毛)=2石，x2x3=m(0<m<l),

1-J1+8-

xlx2+xlx3+無2無3=2芯+x2x3=--------------1-m,

_____p_1

令Jl+8+=t,則利=----,因為。<根<1,所以lvl+8帆v9,BPre(1,3),

8

2

1-\Zl+_8m\-tt-1=1(Z-2)2-1(1<?<3),

---------------\-m=--------1----------

228oo

當r=2時，1&+8〃?+一=J_82)2」取得最小值,最小值為一1,

2888

又，=1或3時，l~Vl+8m+m=l2_1=()>

288

所以一1?%龍2+XlX3+2%2%3<0.

8

故答案為:

【點睛】方法點睛：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化,

借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括

平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.

?題型05導數(shù)與分段函數(shù)

(x-1)5+2x+sin(x-l)=3

22.設尤,"R,滿足§,、，則彳+尸_____.

(J-1)+2y+sin(y-l)=l

【答案】2

(x-1)5+2(x-l)+sin(x-l)=l

【分析】根據(jù)式子結構，構造同構的形式'乙,1、，定義函數(shù)/(力=丁+2彳+血犬,

(y-1)+2(j-l)+sin(y-l)=-l

判斷出/'(x)在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，即可得至1|尤-1+〉-1=0,即可求出結果.

(JC-1)5+2x+sin(x-l)=3(尤_］丫+2(%_l)+sin(無-1)=1

【解析】<可化為<

(y-Iy+2y+sin(y-1)=1(y-1)5+2(j-l)+sin(^-l)=-l

記/(尤)=x5+2x+sin_x,函數(shù)定義域為R.

因為/"(X)=5X4+2+COSX>0,所以在R上單調(diào)遞增.

又/(一次)=(-工丫+2x(-%)+sin(-x)=-(x5+2x+sinx)=-f(x),所以/(%)為奇函數(shù).

所以由1;1可得%—1+y—1=0,所以x+y=2.

"(y-D=T

故答案為：2.

1flog,X,X>0r

23.若函數(shù)/(x)=lnxy+92的圖象存在垂直于y軸的切線，又gQ)=~且有grg⑴=1,

貝!Ja+b^-c的最小值為.

【答案】3

【分析】求出函數(shù)/(%)的導數(shù)/'(%),由導數(shù)的幾何意義可得/(%)=。有解，由此求出。的最小值，再由分

段求出?+〃的值即可得解.

【解析】依題意，函數(shù)/(x)=ln尤-的定義域為(0,+8),求導得/，(%)=J__c+x,

2x

由函數(shù)/(無)的圖象存在垂直于y軸的切線，則存在毛>0,使得/(%)=°-c+%=。成立，

因止匕。=,+及*2、'_"0=2,當且僅當工=%,即%=1時取等號，

*0V“0%

3

Xg[5(l)]=^(log31)=g(0)=(a+b)=1,即a+b=l,貝!]a+6+c=l+cDl+2=3,

所以a+b+c的最小值為3.

故答案為：3

?題型06分段函數(shù)的綜合辨析

,、x2-2x,x>a

24.已知函數(shù)〃x)=(、給出下列四個結論：

①對任意實數(shù)。，函數(shù)f(x)總存在零點；

②存在實數(shù)“，使得函數(shù)/(x)恒大于0;

③對任意實數(shù)。，函數(shù)/'(x)一定存在最小值；

④存在實數(shù)。，使得函數(shù)/(x)在(f,a)上始終單調(diào)遞減.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①④

【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解零點，結合函數(shù)圖象即可求解①，根據(jù)a?0時，當

0<x<2時，/(X)=X2-2X<0,以及0<q時，由于/(O)=O,即可判斷②，根據(jù)結合二次函數(shù)

的性質(zhì)即可求解③，根據(jù)。<0時，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④.

【解析】令x?-2尤=0,貝Ux=0或x=2,令log2(W+l)=0,貝?。輝=0,

且y=Y-2x和y=log2(|x|+1)的圖象分別如下所示：

/、x-2x,x>a

當aW2時，/,?x的零點有x=0和x=2,

log2(|x|+l),x<a

當a>2時，-<的零點有x=0,故①正確,

log2(|x|+l),x<a

對于②，當a?0時，當0<x<2時，/(%)=x2-2x<0,不滿足題意，

當0<。時，由于/(。)=0,不滿足/(X)恒大于0；故不存在實數(shù)。，使得函數(shù)/(x)恒大于0,②錯誤,

對于③，當1<。<2時，/(X)的圖象如下所示：此時/>(X)不存在最小值；故③錯誤

對于④，當a<0,/'(x)圖象如下：函數(shù)/(X)在上始終單調(diào)遞減.故④正確

故答案為：①④

^3sin7rx,0<x<m

p|j.給出下列四個結論:

25.已知函數(shù)/(x)=3?mG

tan兀x,m<x<—

I2

①存在使得"X)沒有最值;

②不存在加，使得了(X)有單調(diào)減區(qū)間;

③當機1時,函數(shù)廣只有兩個零點;

互不相等，且/(a)=F3)=F(c),貝必+b+c的取值范圍是(2,1.

④當機=1時，若a,b,c

其中所有正確結論的序號是

【答案】①③④

1131

【分析】對于①，取〃，)畫出函數(shù)圖象可以判斷；對于②,當丁函數(shù)在產(chǎn)單調(diào)遞減；對

2

于③,當"=；時,畫出函數(shù)圖象'判斷其與有多少個交點即可；對于④,當加=1時畫出函數(shù)圖像'

數(shù)形結合求解范圍即可.

圖象如圖所示:

此時函數(shù)不存在最值，故①正確;

對于③，當根=，時，〃尤)圖象如圖所示:

此函數(shù)y=/(x)的圖象與，=1只有兩個交點，

所以函數(shù)y=/(x)-l只有兩個零點，故③正確;

對于④，當"2=1時，圖象如圖所示：

因為/(。)=，僅)="。),不妨設。<6<。，

14

貝U有0<〃<5<人<1vc<§,

又因為關于x=g對稱，

所以，+b=l,

所以a+gc=l+ce(2,￡|,故④正確.

故答案為：①③④

"l-|2x-3|,l<x<2

26.已知函數(shù)/(x)=1陵)c，給出下列四個結論.

1-2f,\①—\,x>2

①若函數(shù)y=/(x)-區(qū)有4個零點，則實數(shù)上的取值范圍為

②關于X的方程/⑺=O(〃eN*)有2〃+4個不同的解

2

③對于實數(shù)Xe[1,+?),不等式2于(X)-3<0恒成立

④當工€[21,2'](〃€z)時，函數(shù)/(x)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為:xlxl=；

其中所有正確結論的序號是

【答案】①③④

【分析】分區(qū)間討論去掉絕對值號，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可判斷①，特殊化取〃=1可判斷②，由數(shù)形

結合判斷③，借助圖象歸納規(guī)律可判斷④.

3

【解析】當14x4］時，/(尤)=2尤一2；

當；3<尤42時，/(x)=4-2x；

當2<xV3,則1(分,==

當3<x<4,則:<92,/(x)=1/W=2-1;

當4<x46,則2<g?3,=;

當6<xW8,貝|3<彳44,/(x)=1/M=l-1；

依次類推，作出函數(shù)/(X)的圖像：

>

X

對于①，函數(shù)，=/(x)-履有4個零點，即＞=/(尤)與＞=自有4個交點,

如圖，直線y=丘的斜率應該在直線小，/的斜率之間，

又左“=:，左=5，；心(\號，故①正確；

對于②，當九=1時，有3個交點，與2力+4=6不符合，故②錯誤；

對于③，對于實數(shù)X￡[l,+8),不等式2#(%)-3Vo恒成立，即/(x)＜F恒成立，

2x

由圖知函數(shù)/(X)的每一個上頂點都在曲線y=丁3上，故/(元)工3三恒成立，故③正確;

2x2x

對于④，當xe[2"T,2"](〃eN*)時，由圖象可知：所求圖象為高為強的三角形，

所以函數(shù)/(x)的圖像與無軸圍成的圖形的面積為;x(2"-2"一卜擊=：,故④正確；

故答案為：①③④

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，

利用數(shù)形結合的方法求解.

27.已知函數(shù)若關于尤的方程"(x)f-24(x)+/—1=0有M左eN)個不等的實根

工1，工2,…4，且再<馬<…<4，則下列結論正確的是()

A.當。=0時，k=4B.當左=2時，。的取值范圍為“<1

C.當左=8時，改+匕+//=-3D.當左=7時，。的取值范圍為(L2)

【答案】C

【分析】令t=f(x),求出方程〃-2勿+/_1=0的兩根，數(shù)形結合可判斷A選項；根據(jù)零點個數(shù)得出關

于。的不等式組，求出“的范圍，可判斷BD選項；利用二次函數(shù)的對稱性與對數(shù)運算可判斷C選項.

【解析1號/=/(x),貝U廠一2af+—1=0乙=a—1,=a+1,

A.當。=0時，彳=-1,。2=1，由/(x)=-l有1解,/(x)=l有4解,故左=5,A錯;

B.當左=2時，則方程〃龍)=。一1、/'(X)=a+l各有一解，

當x40時，/(x)=-x2-4x+1=-(%+2)2+5<5,當且僅當無=一2時，等號成立，

fa-l<0

由圖可得?八，解得。<-1,B錯；

[a+l<0

C.當人=8時，如下圖所示：

由圖象可知，點(占,。—1)、(龍4，?！?)關于直線x=-2對稱，則芯+%=-4,

由圖可知，0<%<1，X7>1,由lln/kllnxj可得Inx,=Tn%,所以，x：=—,

X6

則毛毛=1，因此，玉+%4+%6工7=-4+1=-3,C對；

[0<a—1<1、[1<Q—1<5

D.當左=7時，有兩種情況：\〈=>1<。<2或<na=4,

從而可得。的范圍為（1,2）U{4},D錯.

故選：C.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結合的方法求解.

模擬精練

一、單選題

x1,x<\

1.（2017.山西呂梁.一模）已知函數(shù)〃無）=4，則的值域是（）

XH---3,X>1

Lx

A.[1,+℃）B.[0,+oo）C.。,+8）D.[0,l）U（l,+co）

【答案】B

【解析】考慮xWl和x>l兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)結合均值不等式計算得到答案.

【解析】當xWl時，y=fe[0,+oo）；

當x>l時，y=尤+*一3N2A/？-3=1,當尤=2時等號成立.

x

故函數(shù)值域為[。,+s）.

故選：B.

【點睛】本題考查了函數(shù)值域，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

*4x<1

2.（2018?江西南昌?一模）設函數(shù)〃x）='-，若"1）是/⑶的最小值，則實數(shù)。的取值范圍為（）

X+1,X>1

A.[-1,2)B.[-1,0]C口，2]D.[1,+co)

【答案】C

【分析】由X>1,求得/（無）的范圍；再求得=的單調(diào)性，討論0.」時函數(shù)/（尤）在％,1的最

小值，即可得到所求范圍.

2k-4x1

【解析】解：函數(shù)/。）='者’，

x+l,x>1

若%>1