2025年春新人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)課件 8.1 平方根

8.1平方根第八章實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平方根平方根的性質(zhì)及表示方法算術(shù)平方根算術(shù)平方根的估算逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)平方根11.平方根內(nèi)容示例定義一般地，如果一個(gè)數(shù)x

的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x叫作a

的平方根或二次方根.∵(±4)

2=16，∴±4是16的平方根感悟新知知1－講特別提醒1.“正數(shù)a

的平方根是m、n”與“m、n

是正數(shù)a

的平方根”意義不完全相同，前者m、n

互為相反數(shù)，后者m、n

互為相反數(shù)或相等.2.平方根等于它本身的數(shù)只有0.3.平方與開平方是互逆運(yùn)算，平方的結(jié)果叫作冪，而開平方的結(jié)果叫作平方根.感悟新知2.開平方：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開平方.知1－講知1－練感悟新知

例1知1－練感悟新知解題秘方：先根據(jù)平方運(yùn)算找出平方等于這個(gè)數(shù)的數(shù)，注意不要遺漏符合條件的負(fù)數(shù).知1－練感悟新知解：序號(hào)思考過程因?yàn)椋ǎ?=a

所以a的平方根是（）（1）（±11）2=121121的平方根是±11（2）（3）（±0.3）2=0.090.09的平方根是±0.3（4）（5）-（-4）3=64，（±8）2=64-（-4）3

的平方根是±8（6）知1－練感悟新知1-1.下列說法正確的是(

)A.平方根是本身的數(shù)是0和1B.4的平方根是2C.-4的平方根是-2D.0.2是0.04的一個(gè)平方根D感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)平方根的性質(zhì)及表示方法21.平方根的性質(zhì)：(1)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒有平方根.感悟新知知2－講

知2－講感悟新知

感悟新知知2－練

例2

知2－練感悟新知解題秘方：先明確式子的意義，然后求解.

知2－練感悟新知

被開方數(shù)412－402

是一個(gè)整體，首先要將412－402

化簡(jiǎn)，再去計(jì)算它的算術(shù)平方根.

知2－練感悟新知

B知2－練感悟新知

感悟新知知2－練[母題教材P42練習(xí)T3]求下列各式中x的值：(1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2.例3知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知方法點(diǎn)撥：利用平方根的性質(zhì)解方程的一般步驟知2－練感悟新知3-1.求下列各式中x的值：(1)5x2=125；

(2)(x-1)

2=169.解：因?yàn)?x2＝125，所以x2＝25，所以x＝±5.因?yàn)?x－1)2＝169，所以x－1＝±13，所以x＝14或x＝－12.知2－練感悟新知(3)81(x-1)

2-25=0.感悟新知知2－練(1)一個(gè)正數(shù)的平方根是2a－1

和a－5，求這個(gè)正數(shù).(2)已知2a－1

與－a＋2是m

的平方根，求m

的值.例4

解題秘方：根據(jù)平方根的性質(zhì)，找出兩個(gè)平方根之間的關(guān)系列方程求解.知2－練感悟新知解：(1)根據(jù)題意，得(2a－1)＋(a－5)=0，解得a=2.∴這個(gè)正數(shù)為(2a－1)2=(2×2－1)2=9.(2)根據(jù)題意，分以下兩種情況：當(dāng)2a－1=－a＋2時(shí)，a=1，∴m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；當(dāng)(2a－1)＋(－a＋2)=0時(shí)，a=－1，∴m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.故m

的值為1或9.知2－練感悟新知4-1.

[期中·肇慶高要區(qū)]一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根分別是3m+2與4m-9.(1)求x

和m的值；解：由題意可得3m＋2＋4m－9＝0，解得m＝1，∴x＝(3×1＋2)2＝25.知2－練感悟新知(2)求x+11m

的平方根.解：將x＝25，m＝1代入x＋11m中，得25＋11×1＝36.∵36的平方根是±6，∴x＋11m的平方根是±6.知3－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)算術(shù)平方根3

知3－講感悟新知

感悟新知知3－講特別提醒1.求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)正數(shù)的平方是互逆運(yùn)算；2.由定義可知，算術(shù)平方根只有正數(shù)與0兩種情況.感悟新知2.性質(zhì)：(1)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；(2)0的算術(shù)平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根；(4)被開方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.知3－講感悟新知3.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系知3－講名稱關(guān)系算術(shù)平方根平方根區(qū)別個(gè)數(shù)不同一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)表示方法不同取值范圍不同正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)正數(shù)的平方根是一正一負(fù)聯(lián)系具有包含關(guān)系平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個(gè)（0除外）存在條件相同平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有，0的平方根與算術(shù)平方根都是0感悟新知知3－講

式子關(guān)系區(qū)別運(yùn)算順序不同先開方再求平方先求平方再開方a的取值范圍不同a≥0全體數(shù)聯(lián)系知3－練感悟新知

例5知3－練感悟新知解題秘方：先根據(jù)平方運(yùn)算找出平方等于這個(gè)數(shù)的非負(fù)數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出算術(shù)平方根.知3－練感悟新知解：知3－練感悟新知續(xù)表（4）72=72

72

的算術(shù)平方根是7（5）52=（-5）2（-5）2

的算術(shù)平方根是5（6）規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0（7）（8）（9）任何數(shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù)，所以-16沒有算術(shù)平方知3－練感悟新知

解：∵152＝225，∴225的算術(shù)平方根是15.52的算術(shù)平方根是5.∵(－6)2＝36＝62，∴(－6)2的算術(shù)平方根是6.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知若4m+1的算術(shù)平方根為3，求m

的值．例6

解：因?yàn)?m+1的算術(shù)平方根為3，所以4m+1＝9，解得m

＝2．解題秘方：根據(jù)平方運(yùn)算求得4m+1的值，通過解方程求得m

的值.知3－練感悟新知

感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)算術(shù)平方根的估算41.求一個(gè)正數(shù)（非平方數(shù)）的算術(shù)平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點(diǎn)一點(diǎn)加強(qiáng)限制，使其所處范圍越來越小，從而達(dá)到理想的精確程度.感悟新知知4－講

確定整數(shù)部分確定小數(shù)部分知4－講感悟新知

感悟新知知4－講2.大多數(shù)計(jì)算器都有鍵，用它可以求出一個(gè)正有理數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值）.按鍵順序：先按鍵，再輸入被開方數(shù)，最后按鍵.計(jì)算器上就會(huì)顯示這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值）感悟新知知4－練

例75知4－練感悟新知解題秘方：找出與7最接近的兩個(gè)整數(shù)平方數(shù)，確定7的算術(shù)平方根的范圍.

???知4－練感悟新知

????知4－練感悟新知

B知4－練感悟新知

B感悟新知知4－練

例8

解題秘方：緊扣算術(shù)平方根的估算方法，通過估算比較兩組數(shù)的大小.知4－練感悟新知

知4－練感悟新知

感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

感悟新知知2－練

感悟新知知4－練

例90.2676267.60.0846284.62716知4－練感悟新知解題秘方：利用計(jì)算器求出各個(gè)算術(shù)平方根，對(duì)照被開方數(shù)和算術(shù)平方根尋找小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律.解：規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或向右）移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地向左（或向右）移動(dòng)一位.知4－練感悟新知

555555

平方根平方根算術(shù)平方根性質(zhì)正數(shù)有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根0的平方根是0負(fù)數(shù)沒有平方根應(yīng)用利用被開方數(shù)的非負(fù)性求值1

例10

思路引導(dǎo)：

應(yīng)用利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值2

例11技巧點(diǎn)撥算術(shù)平方根和絕對(duì)值一樣，都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0時(shí)，其中每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.解題秘方：根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都是0”求出x，y

的值后再求代數(shù)式的值.

應(yīng)用算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用3[月考·安順平壩區(qū)]小明制作了一張邊長(zhǎng)為16cm的正方形賀卡想寄給朋友.現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形信封的長(zhǎng)、寬之比為3∶2，面積為420cm2.(1)求此長(zhǎng)方形信封的長(zhǎng)和寬.(2)小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.例12思路引導(dǎo)：

特別解讀1.初中階段，在圖形面積和物理學(xué)中涉及算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用較多.面積問題主要利用相關(guān)公式列方程，并利用算術(shù)平方根的意義求解，物理學(xué)應(yīng)用主要體現(xiàn)在公式變形.2.此類問題多與算術(shù)平方根的估值相聯(lián)系.易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)平方根的概念理解錯(cuò)誤

例13

答案:C

[中考·內(nèi)江]16的平方根是（）A.2B.-4C.4D.±4考法求一個(gè)數(shù)的平方根或算術(shù)平方根1例14試題評(píng)析：本題考查平方根的計(jì)算，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵答案：D解：16的平方根是±4.[中考·廣東]完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，則正方形的邊長(zhǎng)是（）A.2B.5C.10D.20考法算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用2例15試題評(píng)析：本題根據(jù)題意得100÷4=25=5，則正方形的邊長(zhǎng)為5.答案：B

考法利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求字母的值3例161試題評(píng)析：本題考查算術(shù)平方根及偶次方的非負(fù)性，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出方程的解代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.

考法算術(shù)平方根的估算4例17試題評(píng)析：本題考查算術(shù)平方根的估算，用夾逼法解題.答案：C

1.平方根等于它本身的數(shù)是（）A.-1B.0C.1D.±1B2.[母題教材P46習(xí)題T3]下列說法正確的是（）A.-5是-25的平方根B.3是（-3）2

的算術(shù)平方根C.（-2）2的平方根是2D.8的平方根是±4B

>117.[中考·深圳]如圖，四邊形ABCD、四邊形DEFG、四邊形GHIJ

均為正方形，且S

正方形ABCD=10，S

正方形GHIJ=1，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)可以是_________（寫出一個(gè)答案即可）.2(答案不唯一)

n(n＋3)＋1

0的平方根是0.∵－2＜0，∴－2沒有平方根．10.[母題教材P47習(xí)題T6