2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：拋物線壓軸題考點(diǎn)存在性問題分類（解析版）

QL1EJ

題型一平行四邊形存在性..............................................................1

題型二菱形存在性...................................................................16

題型三矩形存在性...................................................................22

題型四正方好存在性.................................................................34

題型五直角三角形...................................................................46

題型六等晨直角三角形存在性.........................................................58

題型七等展三角形存在性.............................................................66

題型八等邊三角形存在性.............................................................76

題型九三角形相似存在性.............................................................82

題型十面積，面積比,等面積存在性.....................................................93

題型十一角度存在性................................................................106

題型一平行舊邊形存在性

1.（2023,棗莊）如圖，拋物線夕=—〃+阮+。經(jīng)過A（_I,0）,C（0,3）兩點(diǎn)，并交宓軸于另一點(diǎn)8,點(diǎn)河是拋

物線的頂點(diǎn)，直線AM與"軸交于點(diǎn)D

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求MH+的最小值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以O(shè),M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）?/=一爐+22+3（2）737（3）存在，Q（l,3）或Q（l,l）或Q（l,5）

【解析】

【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）作點(diǎn)。關(guān)于多軸的對(duì)稱點(diǎn)D,連接D'M,D'M與o：軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)笈,進(jìn)而得到AiH+的最小值為

D'M的長，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；

（3）分。河，DP,分別為對(duì)角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【小問1詳解】

解：；拋物線y——x2+be+c經(jīng)過A（—l,0）,C（0,3）兩點(diǎn)，???

J—l—b+c=O(b=2

(c=3，解得:(c=3

/.y=—x2+2/+3;

【小問2詳解】

*.*y——x2+2/+3=—(T—I)2+4,

設(shè)直線AM:y—kx+m(kW0),

則[[:";)」：『二;，

[k+m—4[m=2

AM-.y=2/+2,

當(dāng)c=0時(shí)，夕=2,

.-.0(0,2);

作點(diǎn)。關(guān)于o;軸的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'M,

則：。(0,-2),MH+DH=MH+D'H>D'M,

當(dāng)MH,。三點(diǎn)共線時(shí)，MH+OH有最小值為。叱的長,

2),河(1,4),

/.D'M=J"(4+2)2=居,

即：的最小值為：V37;

【小問3詳解】

解:存在；

?/y=-/+2/+3=一(刀一I)?+4,

.?.對(duì)稱軸為直線a；=1,

設(shè)P(p,t),Q(l,n),

當(dāng)以。，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：

①ZW為對(duì)角線時(shí)：

[1+n=4+2

當(dāng)p=0時(shí)，力=3,

n=3,

???Q(1,3);

②當(dāng)。P為對(duì)角線時(shí):出廠沖1,

[2+力=4+九

當(dāng)p=2時(shí)，1=—2?+2x2+3=3,

n=1,

③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí)：+

(4：+t—2+n

當(dāng)p=0時(shí)，力=3,

.-.Q(l,5);

綜上：當(dāng)以D,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q(l,3)或Q(l,l)或Q(l,5).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題.正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

2.(2023，淄博)如圖，一條拋物線y=a/+所經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(3,—3),

點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，對(duì)稱軸是直線2=言，且△048的面積為18

4

???

⑴求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）設(shè)C為線段的中點(diǎn)，P為直線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)人的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為4.問是否存在點(diǎn)P，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符

合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴吐%2-3?

O

(2)(6.6)

怎樣）或（-1，號(hào)）或（吟+6,嶗+6）或（一竽+6,一等+6）

（3）存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線；r=—擊=號(hào)■，將點(diǎn)A代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）設(shè)B（m,-|m2-3m）,過點(diǎn)人作石尸JL沙軸交于E點(diǎn)，過B點(diǎn)作BF±EF交于F點(diǎn)，繼而表示出的

面積，根據(jù)△OAB的面積為18,解方程，即可求解.

（3）先得出直線OB的解析式為g=，，設(shè)PQ,t）,當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得AP=AC,當(dāng)BC為平

行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BP=4C,進(jìn)而建立方程，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求解.

【小問1詳解】

解：：對(duì)稱軸為直線c=—三=2，

2a4

?*-b-—■①，

將點(diǎn)A（3,—3）代入g=ax2+6/得，

9a+3b=-3（2）,

聯(lián)立①②得，卜二等，

[b=-3

：.解析式為y=-^-x2—3x;

【小問2詳解】

設(shè)B（館,M—3小），如圖所示，過點(diǎn)A作班_Ly軸交于E點(diǎn)，過B點(diǎn)作BF_LEF交于F點(diǎn),

???

則OE=3,AE=3,AF=m—3,BF=3m+3,

o

S4AoB=xf-^-?722-3館+3+3)—x3x3—(jn-3)-3?TI+3)—18

NDN乙D

解得：m=6或m=—3(舍去),

【小問3詳解】

存在點(diǎn)P,使得以4,P,。，8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：

?.?A(3,-3),B(6,6),

設(shè)直線OB的解析式為y^kx,

6k—6,解得:k=1,

直線OB的解析式為y^x,

設(shè)P("),

如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BC7/AF,

圖2

BC=A、P,

???AC=BC,

：.AC=A1P,

由對(duì)稱性可知AC=A.C,AP=ArP9

：.AP=ACf

5

V（i-3）2+（t+3）2=J（3—+（―3一~|~）

解得:±=±|~

...P點(diǎn)的坐標(biāo)為墻或（—9，號(hào)）

如圖3,當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BP〃AC,BP=4。,

圖3

由對(duì)稱性可知，

：.BP=AC,

V（6-i）2+（6-t）2=J（3—+（—3一件）,

解得：方=在/+6或力=—等+6,

.?.P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3系+6,及/+6）或（一』3+6,一當(dāng)？+6）

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為既?。┗颍ǖ忍?hào)）或（好+6,喑+6）或（—竽+6,一竽+6）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

3.（2023,聊城）如圖①，拋物線沙=￡^2+尻—9與立軸交于點(diǎn)4（—3,0）,B（6,0）,與“軸交于點(diǎn)C,連接

AC,BC.點(diǎn)P是，軸上任意一點(diǎn).

圖①圖②???

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)Q在拋物線上,若以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

⑶如圖②，當(dāng)點(diǎn)P(m,0)從點(diǎn)4出發(fā)沿立軸向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)4B不重合)，自點(diǎn)P分別作PE

HBC,交AC于點(diǎn)及作PD±8C,垂足為點(diǎn)D.當(dāng)m為何值時(shí)，APED面積最大，并求出最大值.

【答案】⑴y=—燕°一9

⑶館=￡■時(shí)，SAPDE有最大值,最大值為10卷.

2o

【解析】

【分析】(1)將A(-3,0),B(6,0)代入y=a/+ba；-9,待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

⑵由二次函數(shù)g=1~a;2—日力—9,求得點(diǎn)0(0,—9),設(shè)點(diǎn)Pg,0),點(diǎn)Q(?i3療—■九—9),分類討論：當(dāng)

力。為邊，4Q為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊，4P為對(duì)角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求

解；

(3)如圖，過點(diǎn)。作。G_LAB,過點(diǎn)E作即_L垂足為G,F,

可證，NFPE=2DBP,ZPDG=/DBF運(yùn)用待定系數(shù)法求直線AC解析式沙=一3劣—9,

直線BC解析式沙=亂一9;設(shè)點(diǎn)E(p,-3p—9),q-9),則PF=小一p,

PG=q-R,EF=3p+9,DG=-等q+9,運(yùn)用解直角三角形，R±ZWOC中，BC==

tan/OBC=亮,Rt/^PEF中，tan/FPE=*3

2PF2

可得P=!(館一6),PF=々(HI+3),PE=PQ+3);①APOG中，tan/PDG=冬=

3369DG

="I",可得，q=(4m+54),PG——小(m—6),PD=PG?=—(館—6),于是S^pDE=~^-PD

Z_LJJLOt7.LOZ

1Q1

?PE———(m+3)(m—6),從而確定?n=K時(shí)，最大值為10—.

228

【小問1詳解】

將y1(—3,0),8(6,0)代入g=Q力?+b力—9,得

_1

f9a—35—9=0鏟尸a~~2

(36(1+66-9=0'解于

.?.拋物線解析式為：y二方"—_5-a；—9

【小問2詳解】

1Q

二次函數(shù)沙=5/一~^-x—9,當(dāng)rr=0時(shí)，y=-9

.?.點(diǎn)C(O,-9)

設(shè)點(diǎn)P(m,Q)，點(diǎn)Q(n,^-n2--^-n—9),

當(dāng)AC為邊，AQ為對(duì)角線時(shí)，

四邊形ACQP為平行四邊形，

：.AQ,CP互相平分

-^-n2—■^-n—9=-9解得，n=0(舍去)或n=3

???

點(diǎn)Q坐標(biāo)（3,-9）;

1Q

—n2—-|-n—9=9

???點(diǎn)Q坐標(biāo)傳+王興,9）或居一王務(wù),9）

綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)⑶一9）,或居+券巳,9）或居一考巳,9卜

【小問3詳解】

如圖，過點(diǎn)。作。G_LAB,過點(diǎn)E作EF±AB,垂足為G,F,

?：PE//BC,PD±BC

：.ZDPE=APDB=90°

：.4FPE+ZDFB=90°

?/NDPB+ZDBP=90°

/.AFPE=ADBP,同理可得4PDG=ADBP

設(shè)直線AC的解析式為：y=fcr+/z

則仁叱仁。，解得"u

[九二-9[h=-9

/.直線AC:y=-3力—9

同理由點(diǎn)B（6,0）,。（0,—9）,可求得直線BC:y=^x-9

設(shè)點(diǎn)E(p,—3P—9),9),

則PF—m—p,PG=q—m,EF=3p+9,DG=——Q+9

RtdBOC中，OB=6,OC=9

BC=VOC2+OB2=A/62+92=V1T7

tanZOBC=-7-=

o2

RtAPEF中，tan/FPE=等=tanZOBC=4

PF2

3?>+9=得，解得「=!(777,—6),

m—p23

9

/.PF=m—p=—(m+3)

o

../TpoTpPF/cqcOB6

.COSAFPE=—=cosZOBC=—=W

：.PE=PF-^^~+

69

Rt^PDG中，tan/PDG==tan/08。=日

DG2

???47n=~|■，解得，q==(4m+54)

—1Q+9213

/.PG—q—m——(m—6)

JLo

???sinZPDG=若PG=sinZOBC=~^Q=

PDVH7

.-.Fn=PG-^L=-^^(m-6)

913

；?S^pDE=~^PD-PE=y()(m-6)?()(m+3)=-y(m+3)(m-6)

即S.DE=-^-(m+3)(m—6)=-+10=.

V-y<0

=4時(shí),-3<zn<6，S"DE有最大值，最大值為10v.

2o

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動(dòng)

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.（2023,廣州）已知點(diǎn)Pg,%）在函數(shù)y=—菅Q<0）的圖象上.

⑴若nz=—2,求九的值；

（2）拋物線y=（2-巾）（2-?2）與c軸交于兩點(diǎn)河，N（M在N的左邊）,與“軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂點(diǎn)

為E.

①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②設(shè)△GAW的外接圓圓心為C,0c與4軸的另一個(gè)交點(diǎn)為尸，當(dāng)山+"#0時(shí)，是否存在四邊形

FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.???

【答案】⑴"的值為1;

⑵①7/2=—，^:②假設(shè)存在，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為,―，或~

【解析】

【分析】(1)把?n=—2代入g=——(x<0)得n=—=1,即可求解；

x—2

(2)①力二二；71，得n=3—m)(T—n)=―}(m—n)2=—2--^(m+n)2<—2，即可求解；

②求出直線TS的表達(dá)式為：0=一十小(力得嗎)一1,得到點(diǎn)0的坐標(biāo)為(衛(wèi)守土一方)；由垂徑定理知，點(diǎn)

。在FG的中垂線上，則FG=2(7/c-yG)=2x(一十+2)=3;由四邊形FGEC為平行四邊形，則CE=FG

17

=3=〃一麴=—3—外，求出牡=一萬，進(jìn)而求解.

【小問1詳解】

解：把7n=—2代入y=——(TV0)得九=---1=1;

故打的值為1;

【小問2詳解】

解：①在y=(x-rrt)(x—n)中，令g=0,則(/一rn)(a?—n)=0,

解得x—m^x=n,

M(m,0),N(n,0),

，:點(diǎn)、P(m,n)在函數(shù)g=——(x<0)的圖象上，

mn=-2,

令#=7n..，得y=(6—m)(x—n)=--(m—n)2=—2—(m+n)2&-2,

即當(dāng)7n+?i=0,且mn=-2,

則m2=2,解得：m=—〃^(正值已舍去),

即m=—A/2時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②假設(shè)存在，理由:

對(duì)于g=(劣一m)(力一n),當(dāng)力=0時(shí)，g=mn=-2，即點(diǎn)G(0,—2),

由①得M(m,0),Ng0),G(O,—2)，鞏咒私，一《(小一九燈，對(duì)稱軸為直線t=生產(chǎn),

由點(diǎn)7W(?n,0)、G(0,—2)的坐標(biāo)知，tanZOMG=—=------,

OM-m

作MG的中垂線交MG于點(diǎn)T,交g軸于點(diǎn)S,交力軸于點(diǎn)K,則點(diǎn)T怎M,一1),

10

則tanZAiKT=gm,

則直線TS的表達(dá)式為：y="—1.

當(dāng)x=m^n,y=-m（^x-^-rn）-1=~,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（"?，一/）?

由垂徑定理知，點(diǎn)。在FG的中垂線上，則FG=2（yc-yG）=2X（-y+2）=3.

1.?四邊形FGEC為平行四邊形，

則CE=FG=3=yc-yB=-^--yE,

解得：yE=--^,

--手（m—n）2=—,且mn=—2,

則m+n=±V6,

.??頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（一粵，一日），或（萼，一日）.

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)基本知識(shí)、解直角三角形、平行四邊形的

性質(zhì)、圓的基本知識(shí)，其中（3）,數(shù)據(jù)處理是解題的難點(diǎn).

5.（2022,畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—〃+kc+c與c軸交于4口兩點(diǎn)，與"軸交于點(diǎn)

C,頂點(diǎn)為。⑵1），拋物線的對(duì)稱軸交直線8C于點(diǎn)E.

（1）求拋物線y=~x2+bx+c的表達(dá)式；

（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h>0），在平移過程中，該拋物線與直線BC

始終有交點(diǎn)，求拉的最大值；

（3）雙是⑴中拋物線上一點(diǎn)，N是直線上一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)O,E,Af,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案］⑴g——X1+4a?—3

⑵*

⑶存在；（1,—2）或（%叵,二）或（二產(chǎn)，——）或（3,。）

【解析】???

【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

⑵由題意得，求BC的表達(dá)式為：沙=力一3;拋物線平移后的表達(dá)式為：g=—/+4/一3—八,根據(jù)題意得,

2

ry=-x+4x-3-/i即可求解；

[y^x-3

（3）設(shè)”（山，一加2+4M—3）,?/（小，山一3）,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

解：由以2,1）可知，

2x(-1)

?4x（T）c-2_，解得：（二―T

4x（-1）T

：.y=-x2-\-4：x—3,

【小問2詳解】

分別令g=—/+40—3中，/=0,。=0得，B（3,0）,C（0,—3）;

設(shè)_8。的表達(dá)式為：y=k*+n（kWO）,

將_B（3,0）,C（0,—3）代入g=fcr+九得，

，武藍(lán)解得:歸1

：.BC的表達(dá)式為：沙=2-3;

拋物線平移后的表達(dá)式為：y=—x2+4rc—3—/i,

根據(jù)題意得,二丁-，即i+…

該拋物線與直線始終有交點(diǎn),

（—3）2—4xlx/i>0,

九的最大值為2.

【小問3詳解】

存在，理由如下：

招■力=2代入g=6—3中得E(2,—1),

①當(dāng)DE為平行四邊形的一條邊時(shí)，

???四邊形是平行四邊形，

：.DE//MNfDE=MN,

?:DEIIy軸,

:?MN〃y軸,

設(shè)M(m,—m2+4m—3),—,

當(dāng)一館2+4m—3—(m—3)=2時(shí)，解得：？ni=1,館2=2(舍去),

?e?N(l,-2),

2

當(dāng)Tn—3—(―m+4m—3)=2時(shí)，解得:=3+^^,m2=——,

.禽3+方V17-3\或U3-V17_yi7+3\

②當(dāng)DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)河（p,—p2+4p—3）,N（q,q—3）,

???。、石的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,0）,

的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,0）,

￡±￡-9

2—2

——+4p—3+q—3=<，

2—u

解得：2，，卜尸；（舍去），

助=3切=2

此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,0）;

綜上分析可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（1,—2）或（咒近，嗎二三）或（土產(chǎn)，—母土&）或（3,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

6.（2022,懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線"=<^+22；+。經(jīng)過點(diǎn)A（—1,0）、口（3,0）,與"軸

交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)。.在線段上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P

作PE±于點(diǎn)及作PFH48交8。于點(diǎn)F.

圖一備用圖

（1）求拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式，

（2）當(dāng)APEF的周長為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和4PEF的周長.

（3）若點(diǎn)G是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)及是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在以C、B、G、M為頂

點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）拋物線函數(shù)表達(dá)式為沙=一，2+23；+3,直線3。的函數(shù)表達(dá)式為9=一2+3

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（方,號(hào)），APEF的周長為：■（6+1）

⑶存在，（2,3）或（-2,-5）或（4,-5）

【解析】

【分析】（1）由點(diǎn)4B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求解析式；

（2）利用直線和拋物線的位置關(guān)系相切時(shí)對(duì)應(yīng)的等腰直角三角形PEF周長最大，二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方

程，根的判別式△=(),從而找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求出周長；

(3)根據(jù)平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)和中點(diǎn)公式，把BC是否為對(duì)角線分情況進(jìn)行分析,設(shè)出點(diǎn)G的橫坐標(biāo),利用

中點(diǎn)公式列方程計(jì)算即可求解.

【小問1詳解】

解:將點(diǎn)A(—1,0),B(3,0)代入y=ax2+2c+c,得:

十二:二-，解得，

[0=9a+6+c[c=3

所以拋物線解析式為g=—"+2/+3,C(0,3)

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式g=fcr+b,將6(3,0),C(0,3)代入得:

f0=3fc+6，解得仁「

[3=b

所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為^=-2+3

【小問2詳解】

解:如圖，設(shè)將直線BC平移到與拋物線相切時(shí)的解析式為y=-x+p，與拋物線聯(lián)立得：

(y=-x+p整理得"_3；r+p_3=0

[g=一方+2/+3

A=32-4(p-3)=0，解得p=*'

將。=?代入/-3力+p—3=0,解得力二卷，卜,D

=y代入沙=-x2+26+3得g=苧，

即△FEF的周長為最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為砥,%/"\\\\

將工=|■代入--工+3得"制，"'''、(

則此時(shí)「尸="一=?,

424

因?yàn)椤鱌EF為等腰直角三角形，=x容

428

則的周長最大為-^-(72+1)

【小問3詳解】

答:存在.

已知B(3,0),C(0,3),設(shè)點(diǎn)G(m,—m2+2m+3),N(l,n),

當(dāng)BC為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)公式得：nz+1=3，小=2,則G點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3);

當(dāng)為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，同樣利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：m+3=1或m—3=l,解得?n=—2或?n=4

則G點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-5)或(4,-5)

故點(diǎn)G坐標(biāo)為(2,3)或(一2,—5)或(4,-5)

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解

析式、直線與拋物線的位置關(guān)系、根的判別式，等腰直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵⑴根據(jù)

點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)求解析式；(2利用直線和拋物線的位置關(guān)系，巧妙利用判別式；(3)熟悉平行四邊形對(duì)

角線性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)公式分情況展開討論.

7.(2022,婁底)如圖，拋物線沙=9d—2c—6與c軸相交于點(diǎn)4點(diǎn)B,與夕軸相交于點(diǎn)C?.??

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A,B，。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P(m,n)(0＜?。?)在拋物線上，當(dāng)小取何值時(shí)，APBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大

值.

(3)點(diǎn)R是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE//力。交力軸于點(diǎn)E,是否存在點(diǎn)尸，使得以人、C、E、R為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴4—2,0),5(6,0),(7(0,-6);

⑵m=3,APBC面積的最大值夸;

⑶存在，(2+2/7,6)或(2-277,6)或(4,-6).

【解析】

【分析】⑴令y=0得到十"―2,—6=0,求出rr即可求得點(diǎn)＞1和點(diǎn)_B的坐標(biāo)，令0=0,則y=-6即可求點(diǎn)

。的坐標(biāo)；

⑵過P作PQ〃沙軸交BC于Q,先求出直線BC的解析式，根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于直線直線與拋

物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，此時(shí)，△PBC的面積最大，利用三角形面積公式求解；

⑶根據(jù)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE〃人。交rc軸于點(diǎn)E得到AE〃CF,設(shè)F(a,]■a?一2&一6),當(dāng)點(diǎn)F在c

軸下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在c軸的上方時(shí)，結(jié)合點(diǎn)OC=6,利用平行四邊形的性質(zhì)來列出方程求解.

【小問1詳解】

解:令y=0,

則—X2—2?-6=0,

解得x1——2,X2—6,

.-.A(-2,0),B(6,0),

令2=0,則y=-6,

AC(0,-6);

【小問2詳解】

解:過P作PQ〃:y軸交于。，如下圖.

設(shè)直線BC為y=far+b(k聲0),將B(6,0)、0(0,—6)代入得???

0=6%+b

6=—6

k=l

解得

b=-6f

：.直線BC為y=x-6,

根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于直線直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到石。的距離最大，此時(shí)，△PBC

的面積最大,

P(m,n)(0<m<6),

P[rri,2m—6Q(m,m—6),

PQ=(m—6)—2m—6)=--(m—3)2+,

??T<o,

r.nt=3時(shí)，PQ最大為￡■，

而S5BC="Q'\xc-xB\=：x,x6=等，

^PBC的面積最大為苧；

【小問3詳解】

解:存在.

?.?點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE〃人。交/軸于點(diǎn)E,如下圖.

AE〃CF,設(shè)P(a,：a2-2a-6).

當(dāng)點(diǎn)F在c軸下方時(shí)，

V0(0,-6),

即OC=6,

--a?-2a-6=-6,

解得&=0(舍去),Q=4,

當(dāng)點(diǎn)F在a7軸的上方時(shí)，令y=6,

則---a2—2a—6=6,

解得a3=2+2，7,◎=2—2〃7,

/.F(2+2V7,6)或(2-2V7.6).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2+2/7,6)或(4,-6)或(2—2/7,6).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與平行四邊形、二次函數(shù)與面積等問題的綜合題，主要考查求點(diǎn)的坐標(biāo)，平行四邊形的

性質(zhì)，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等.

題型二菱形存在性

8.(2024,瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=axi+bx+3經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),與沙軸交于

點(diǎn)且關(guān)于直線rr=1對(duì)稱.???

⑴求該拋物線的解析式;

⑵當(dāng)一IWrrWt時(shí)，9的取值范圍是—1,求力的值；

(3)點(diǎn)。是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作c軸的垂線交直線于點(diǎn)。，在夕軸上是否存

在點(diǎn)E,使得以口，。，。，后為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長;若不存在，說明理由.

【答案］⑴y——x2+2rr+3

⑵T

(3)存在點(diǎn)以B,為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長為32一2或2

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想

進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

⑴待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)分和1>1,兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可.

(3)分BD為菱形的邊和菱形的對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論求解即可.

【小問1詳解】

解：：拋物線y—ax1+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),與沙軸交于點(diǎn)B,且關(guān)于直線,=1對(duì)稱，

f—4=1a=-l

???2a，解得:

[9a+3&+3=0b=2

y=—/+2/+3;

【小問2詳解】

,/拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線rr=1,

拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸上的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

—1Wa;4力時(shí),0WyW2t—1,

①當(dāng)力W1時(shí)，則：當(dāng);r=力時(shí)，函數(shù)有最大值，即：2t-1=一伊+2t+3,

解得：t=—2或t=2,均不符合題意，舍去；

②當(dāng)力>1時(shí)，則：當(dāng)￡C=1時(shí)，函數(shù)有最大值，即：2%一1=—12+2+3=4,

解得:力=微；

故t=方；

【小問3詳解】

存在；

當(dāng)y=—〃+2T+3=0時(shí)，解得：力i=3,力2=-1,當(dāng)力=0時(shí)，g=3,

???4(3,0),石(0,3),

設(shè)直線AB的解析式為g=kr+3,把4(3,0)代入，得：k=—1,???

y——x+3,

設(shè)C(m,—m2+2m+3)(0<m<3),5!']:D(m,—m+3),

CD——ni2+2m+3+m—3——m?+3m,BD—(—m+3—3)2=V2m,BC2—m2+(—m2+2m)2,

當(dāng)B,C,O,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)BD為邊時(shí)，則：BD=CD，即—m2+3m=V2m,

解得:m—0(舍去)或m=3—V2,

此時(shí)菱形的邊長為方巾=32一2;

②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則：BC=CD,即：/+(—*+2叫2=(_館2+3咽2,

解得:m=2氮m=0(舍去)

此時(shí)菱形的邊長為：-22+3x2=2;3V2-2

綜上：存在以B,。，。，石為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，邊長為32一2或2.

9.(2024,內(nèi)江)28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)9=—24+6的圖象與力軸交于點(diǎn)人,與“軸交于

點(diǎn)8,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過4、B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。，非軸于

點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)瓦

⑴求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在點(diǎn)D,使得4BDE和4ACE相似？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，

請(qǐng)說明理由；

(3)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，過點(diǎn)尸作刀軸的垂線交于點(diǎn)G,連接OF,當(dāng)四

邊形EGFD為菱形時(shí),求點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

【答案】⑴夕=—“2+3；+6

⑵點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,6)或(十,苧)

⑶3+2斯-儂

【解析】

【分析】(1)先求出4B的坐標(biāo)，然后代入g=—/+匕/+°,求出b、c的值即可；

(2)由對(duì)頂角的性質(zhì)性質(zhì)知ZAEC=NDEB,若存在4BDE和LACE相似，則有AACE?4BDE和AACE

?△CB石兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(3)設(shè)點(diǎn)D(m,—m2+m+6),E(m,—2m4-6),F(n,—n2+n+6),G(n,—2n+6),則DE——rn?+3m,FG—

—n2+3n,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出一小?+3m=—療+3"，可求出口二3—nz,過點(diǎn)G作GKJ_D?E于K?,可得?

NEGK=/皿。,利用等角的余弦值相等得出卷苧=，求出EG=逐（3—2山），根據(jù)菱形的性質(zhì)得出

m2—（3+2V5）m+3V5=0,解方程求出m的值即可.

【小問1詳解】

解：令g=0,則一2力+6=0,則力=3;令力=0,則g=6

/.A(3,0),B(0,6)

把A(3,0),B(0,6)代入g=—/+b/+c,得：

「9+3b+c=0。解得：pu

[c=6lc=6

這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=—x2+x+6;

【小問2詳解】

解：存在點(diǎn)。，使得△BDE和LACE相似.

設(shè)點(diǎn)D(t,—=2+±+6),則E(t,—2%+6),C(t,0),H(t,6)

EC=—2t+6,AC=3—t,BH=t,DH=—t2+t,DE=—t2+3t

■：ABDE和LACE相似，ABED=NAEC

：.AACE?ABDE或4ACE?△DBE

①如圖1,當(dāng)△ACE?ABDE時(shí)，NBDE=NACE=9Q°

：.BD//AC

??.O點(diǎn)縱坐標(biāo)為6

t2+1+6=6,解得：t=0或t=1

.-.0(1,6)

②如圖2,當(dāng)/XACE?ADBE時(shí)，2BDE=2CAE

過石作。。于H

???ZBHD=90°

=tan/RDE=tan/CAE=

DHOA

=2

—2t2+2t=t,解得：t—0(舍去)或1=]■

綜上所述，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（1,6）或.

【小問3詳解】

如圖3,；四邊形EGFD為菱形

：.DE//FG,DE=FG,ED=EG

22

設(shè)點(diǎn)D(m,—m+m+6),E(mf—2m+6),F(n,—n+n+6),G(n,—2n+6)

DE=—m2+3m,FG=—n?+3n

C.—rn?+3m=—n2+3n,艮!3(m—n)(m+n—3)=0

m-n#0

.?.zn+Ti—3=0,即m+n=3或九=3一Tn???

vA(3,0),B(0,6)

:.AO=3,BO=6

???AB:VAO2+BO2=3V5

過點(diǎn)G作GKLDE于K

：.KG//AC

???4EGK=ABAC

??第=cos/EGK=cos/BAC=端,即/

-C/(_72(_T3A/5

=A/5(n—m)=V5(3—2m)

?：DE=EG

m2+3m=A/5(3—2m)

m2—(3+2V5)m+3A/5=0

3+2V5+V293+2V5-V29

解得:m=（不合題意，舍去）或?72=

22

3+2V5-V29

故m二

2

答：點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為3+2V5-V29

2

【點(diǎn)睛】本題是常見的中考數(shù)學(xué)壓軸題型，綜合性比較強(qiáng)，涉及到知識(shí)點(diǎn)較多；主要考查了待定系數(shù)法求二次函

數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；解題時(shí)要能夠靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，要會(huì)分類討論.

10.（2022,煙臺(tái)）如圖，已知直線4=今力+4與立軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)。，拋物線y=ax2+bx+c^

O

過4。兩點(diǎn)，且與刀軸的另一個(gè)交點(diǎn)為8,對(duì)稱軸為直線c=—1.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）。是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為小，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)。

點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,Q,使以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線

的菱形？若存在，請(qǐng)求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】—普,+4

OO???

⑵s最大=爭(zhēng),。（~1,5）

⑶存在,Q（-2,號(hào)）

【解析】

【分析】（1）先求得A,。，B三點(diǎn)的坐標(biāo),將拋物線設(shè)為交點(diǎn)式，進(jìn)一步求得結(jié)果；

（2）作DF_L43于F,交47于E,根據(jù)點(diǎn)。和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出座的長，進(jìn)而表示出三角形ADC的面積,

進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；

（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得R4=PC,進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：當(dāng)力=0時(shí)，g=4,

AC（0,4）,

,,4

當(dāng)g=0時(shí)，-—X+4=0,

O

.,?/=-3,

???4（-3,0）,

對(duì)稱軸為直線x=—l,

設(shè)拋物線的表達(dá)式：y—a（x—1）?（力+3）,

4=—3a,

a=一告,

o

拋物線的表達(dá)式為：y=―?。σ?）?（/+3）=―^-x2—■|~力+4;

OOO

【小問2詳解】

如圖1,

作AB于交于E,

D(m,-^館2__1_7n+4),—^M+4),

OOO

DE=-—1-m+4—+=--^m2—4m,

oo'J

_3-?(--1-m2—4m^=—2m2—6m,

?e?二2

=[AB-OC=

?*S^ABC~~2x4x3=6,

S=-2m(2—6m+6=—2—*

33

/.當(dāng)772二:一5時(shí),s最大二

-4，

34

當(dāng)m——了時(shí)，9=一可X(號(hào)T)XT+3)=5,

?1?0（-,，5）；

【小問3