專題01 平行線的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題01平行線的判定和性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?海倫市期末）如圖，點(diǎn)E在CA延長線上，DE，AB交于點(diǎn)F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，Q為PC上一點(diǎn)，且滿足∠FQP＝∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．下列結(jié)論：①CE∥BD；②AB∥CD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E＝140°；⑤∠QFM＝20°．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤解：①∵∠BDE＝∠AEF，∴CE∥BD，結(jié)論①正確；②∵CE∥BD，∴∠B＝∠EAF．∵∠B＝∠C，∴∠EAF＝∠C，∴AB∥CD，結(jié)論②正確；③∵AB∥CD，∴∠AFQ＝∠FQP．∵∠FQP＝∠QFP，∴∠AFQ＝∠QFP，∴FQ平分∠AFP，結(jié)論③正確；④∵AB∥CD，∴∠EFA＝∠FDC．∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，∴∠EFA＝40°．∵∠B＝∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA＝180°，∴∠B+∠E＝180°﹣∠EFA＝140°，結(jié)論④正確；⑤∵FM為∠EFP的平分線，∴∠MFP＝∠EFP＝∠EFA+∠AFP．∵∠AFQ＝∠QFP，∴∠QFP＝∠AFP，∴∠QFM＝∠MFP﹣∠QFP＝∠EFA＝20°，結(jié)論⑤正確．綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④⑤．故選：A．2．（2分）（2022春?瓊海期末）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段CD延長線上一點(diǎn)，∠BAF＝∠EDF，則下列結(jié)論正確的有（）①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，故①正確；②∵AB∥CD，∴∠AFD+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝∠EDF，∴∠AFD+∠EDF＝180°，∴AF∥DE，故②正確；③∵AF∥ED，∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DAF＝∠F，故③正確；故選：A．3．（2分）（2022春?齊河縣期末）如圖，給出下列條件①∠CAD＝∠ACB；②∠CAB＝∠ACD；③AD∥BE且∠D＝∠B；其中能推出AB∥DC的條件個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解：①∠CAD＝∠ACB，可判定AD∥BC，不能判定AB∥DC；②∠CAB＝∠ACD，可判定AB∥CD；③AD∥BE可得∠D+∠BCD＝180°，再由∠D＝∠B，可得∠B+∠BCD＝180°，可判定AB∥CD．所以能推出AB∥DC的條件個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．4．（2分）（2022春?廣饒縣期末）小穎學(xué)習(xí)了平行線的相關(guān)知識(shí)后，利用如圖所示的方法，折出了“過已知直線AB外一點(diǎn)P和已知直線AB平行的直線MN”，下列關(guān)于MN∥AB的依據(jù)描述正確的是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．以上選項(xiàng)均正確解：由題圖（2）的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA＝90°，由題圖（3）的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE＝∠NPE＝90°，所以∠MPE＝∠NPE＝∠AEP＝∠BEP＝90°，所以可依據(jù)同位角相等，兩直線平行或內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定AB∥MN，故選：D．5．（2分）（2022春?港北區(qū)期末）如圖，AB∥EF，C點(diǎn)在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．下列結(jié)論：①AC平分∠DCE；②AE∥CD；③∠1+∠B＝90°；④∠BDC＝2∠1．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，①正確；∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，②正確；∵∠BCF＝∠B，∠BCD＝∠BCF，∴∠B＝∠BCD，∴∠1+∠B＝90°，③正確；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，④正確；故選：D．6．（2分）（2021秋?禹城市期末）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯(cuò)誤；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正確．故選：C．7．（2分）（2021春?端州區(qū)校級(jí)月考）將一副三角板按如圖放置，有下列結(jié)論：①若∠2＝30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③若BC∥AD，則∠2＝30°；④若∠CAD＝150°，則∠4＝∠C．其中正確的是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝60°．∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°．∵∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°．∴AC∥DE，∴①的結(jié)論正確；∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，∴∠BAE+∠CAD＝180°．∴②的結(jié)論正確；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°．∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．∴③的結(jié)論錯(cuò)誤；∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°．∴AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④的結(jié)論正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④，故選：A．8．（2分）（2021春?漢川市期末）如圖，AD∥BC，∠B＝∠D，延長BA至點(diǎn)E，連接CE，∠EAD和∠ECD的角平分線交于點(diǎn)P．下列三個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠AOC＝∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，則∠D＝80°．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180o，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180o，∴AB∥CD，故①正確；∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠E，∵AP平分∠EAD，∴∠EAP＝∠EAD∵∠AOC＝∠EAP+∠E，∴∠AOC＝∠EAD+∠ECD，故②正確；∴∠ECD＝∠E＝60o，∵CP平分∠ECD，∴∠ECP＝∠ECD＝30°，∵∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，∴∠EAP＝40°，∵AP平分∠EAD，∴∠EAD＝2∠EAP＝80°，∵AB∥CD，∴∠D＝∠EAD＝80°，故③正確；故選：D．9．（2分）（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，則下列結(jié)論：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解：∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，故①正確；∴∠1＝∠HGF，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根據(jù)已知條件不能推出∠F也等于∠DMF，故②錯(cuò)誤；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故③錯(cuò)誤；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故④正確；即正確的個(gè)數(shù)是2，故選：C．10．（2分）（2022春?上杭縣期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在直線MN、ST上，點(diǎn)C在MN與ST之間，點(diǎn)E在線段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．下列結(jié)論：①M(fèi)N∥ST；②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝2∠CBT，則∠CAE＝2∠CAN；④若∠ACB＝（n為整數(shù)且n≥2），∠MAE＝n∠CBT，則∠CAE：∠CAN＝n﹣1．其中結(jié)論正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)解：如圖，連接AB，作CF∥ST，∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∴∠MAB+∠SBA＝180°，∴MN∥ST，故①正確；∵CF∥ST，MN∥ST，∴MN∥ST∥CF，∴∠CAN＝∠ACF，∠CBT＝∠BCF，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠CAN+∠CBT，故②正確；設(shè)∠CBT＝α，則∠DAE＝2α，∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，∵AD∥BC，∠ACB＝60°，∴∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α）＝2∠CAN．即∠CAE＝2∠CAN，故③正確；設(shè)∠CBT＝β，則∠MAE＝nβ，∵CF∥ST，∴∠CBT＝∠BCF＝β，∴∠ACF＝∠CAN＝﹣β＝，∴∠CAE＝180°﹣∠MAE﹣∠CAN＝180°﹣nβ﹣+β＝（180°﹣nβ），∴∠CAE：∠CAN＝（180°﹣nβ）：＝：＝n﹣1，故④正確，故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?惠東縣期末）將一副三角板按如圖放置，有下列結(jié)論：①若∠2＝30°，則AC∥DE；②若BC∥AD，則∠2＝30°；③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，則∠4＝∠C．其中正確的是①③④．（填序號(hào)）解：∵∠1+∠2＝90°，∠2＝30°，∴∠1＝60°．∴∠CAD＝∠1+∠EAD＝150°．∵∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°．∴AC∥DE，∴①的結(jié)論正確；∵∠BAE＝90°﹣∠1，∠CAD＝90°+∠1，∴∠BAE+∠CAD＝180°．∴③的結(jié)論正確；∵BC∥AD，∴∠3＝∠B＝45°．∴∠2＝90°﹣∠3＝45°．∴②的結(jié)論錯(cuò)誤；∵∠CAD＝150°，∠D＝30°，∴∠CAD+∠D＝180°．∴AC∥DE．∴∠4＝∠C．∴④的結(jié)論正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故答案為：①③④．12．（2分）（2022春?陽新縣期末）如圖，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠ABE+∠CDF＝180°；③AC∥BD；④若∠ACD＝2∠E，則∠CAB＝2∠F．其中，正確的序號(hào)是①②④．解：∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠PAC＝∠BAC，∵CP平分∠ACD，∴∠2＝∠PCA＝∠DCA，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠ABE+∠CDF＝180°，故②正確；若∠ACD＝2∠E，∵∠ACD＝2∠PCA，∴∠PCA＝∠E，∴AC∥BD，∴∠F＝∠CAP，∵∠CAB＝2∠F，故④正確；故答案為：①②④．13．（2分）（2022春?青山區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，E、F、H分別為AB、CD、AC上一點(diǎn)（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK+∠HKE＝180°．則下列結(jié)論：①CD∥KH；②∠BEK+∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK﹣∠DFK＝∠GKH；④∠BAC+∠AGK﹣∠GKF+∠DFK＝180°；其中正確的是①②④．（填序號(hào)）解：∵∠AEK+∠HKE＝180°，∴AB∥KH，∵AB∥CD，∴CD∥KH，故①正確；∵AB∥KH，CD∥KH，∴∠BEK＝∠EKH，∠DFK＝∠HKF，∴∠BEK+∠DFK＝∠EKH+∠HKF＝∠EKF，∵KG平分∠EKF，∴∠EKF＝2∠EKG，∴∠BEK+∠DFK＝2∠EKG，故②正確；根據(jù)題意可知∠BEK＝∠EKH，∠DFK＝∠FKH，∵KG平分∠EKF，∴∠FKG＝∠EKG，∵∠FKG＝∠FKH+∠GKH＝∠DFK+∠GKH，∠EKG＝∠EKH﹣∠GKH＝∠BEK﹣∠GKH，∴∠BEK﹣∠GKH＝∠DFK十∠GKH，∴∠BEK﹣∠DFK＝2∠GKH≠∠GKH，故③不正確；根據(jù)題意可知，∠BAC+∠AGK＝∠BAC十∠GKH+∠KHG，∴∠BAC+∠GKH+∠KHG﹣∠GKF+∠DFK＝∠BAC+∠GKH+∠KHG﹣∠GKH﹣∠HKF+∠DFK，將上式進(jìn)行整理，得∠BAC+∠KHG﹣∠HKF+∠DFK＝∠BAC+∠KHG＝180°，∴∠BAC+∠AGK﹣∠GKF十∠DFK＝180°，故④正確，綜上所述，①②④正確，故答案為：①②④．14．（2分）（2022春?秀山縣校級(jí)期末）如圖，AE∥CF，∠ACF的平分線交AE于點(diǎn)B，G是CF上的一點(diǎn)，∠GBE的平分線交CF于點(diǎn)D，且BD⊥BC，下列結(jié)論：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③與∠DBE互余的角有2個(gè)；④若∠A＝α，則∠BDF＝180°﹣．其中正確的是①②．（請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）解：∵CBD＝90°，∴∠ABC+∠EBD＝90°，又∵∠DBG＝∠EBD，∴∠ABC＝∠CBG，∴BC平分∠ABG，∴①正確，∵∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，∴AC∥BG，∴②正確，∵∠DBE＝∠DBG，∴與∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4個(gè)，∴③錯(cuò)誤，∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，又∵∠ACB＝×（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°﹣）]＝180°﹣，∴④錯(cuò)誤，故答案為：①②．15．（2分）（2021春?平江縣期末）如圖：已知點(diǎn)C、D是直線AB上兩點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且∠ACE+∠FDB＝180°，CF平分∠ECB，EH⊥AB于點(diǎn)H交CF于點(diǎn)O．則下列結(jié)論正確的是：②③④．①EF∥AB；②CE∥DF；③∠FDB＝2∠CFD；④∠FOE＝∠CDF．解：∵∠ACE+∠FDB＝180°，又∠ADF+∠FDB＝180°，∴∠ACE＝∠ADF，∴CE∥DF，故②符合題意，①不符合題意；∵CE∥DF，CF平分∠ECB，∴∠ECF＝DFC，∠ECF＝∠BCF，∴∠DFC＝∠BCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠BCF＝2∠CFD，故③符合題意；∵EH⊥AB，∴∠OCH+∠COH＝90°，∴∠FOE＝∠COH＝90°﹣∠OCH，又∠CDF＝180°﹣（∠DFC+∠DCF）＝180°﹣2∠DCF，∴∠FOE＝∠CDF，故④符合題意．故答案為：②③④．16．（2分）（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，PQ∥MN，A，B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)15秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)或18秒時(shí)，射線AM與射線BQ互相平行．解：∵|a﹣6|+（b﹣1）2＝0；∴a＝6，b＝1，設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行．如圖，射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)15秒后，AM轉(zhuǎn)動(dòng)至AM'的位置，∠MAM'＝15×6°＝90°，分兩種情況：①當(dāng)0＜t＜15時(shí)，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝（6t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝45°＝∠ABQ，∵∠MAM'＝90°，∴∠M'AB＝45°，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝（6t）°﹣45°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時(shí)，BQ'∥AM″，此時(shí)，45°﹣t°＝（6t）°﹣45°，解得t＝；②當(dāng)15＜t＜時(shí)，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝（6t）°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣[（6t）°﹣90°]＝135°﹣（6t）°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝135°﹣（6t）°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時(shí)，BQ'∥AM″，此時(shí)，45°﹣t°＝135°﹣（6t）°，解得t＝18；綜上所述，射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)秒或18秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行．故答案為：或18．17．（2分）（2021春?武昌區(qū)期中）今年3月，“爛漫櫻花地，最美英雄城”長江主題燈光秀在武漢展演，有兩條筆直且平行的景觀道AB、CD上放置P、Q兩盞激光燈（如圖所示），若光線PB按順時(shí)針方向以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線QC按順時(shí)針方向每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)至QD邊就停止旋轉(zhuǎn)，若光線QC先轉(zhuǎn)5秒，光線PB才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)光線PB旋轉(zhuǎn)時(shí)間為2.5或43.75秒時(shí)，PB1∥QC1．解：當(dāng)PB1∥QC1，則∠PB1Q＝∠CQC1，如下圖：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠CQC1＝∠BPB1．設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts，∴5×2+2t＝6t．∴t＝2.5．當(dāng)PB1∥QC1，則∠CQC1＝∠PB1C，如下圖：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠BPB1＝∠CQC1．設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts，此時(shí)光線PB由PA處返回，∴∠APB1＝6t﹣180°．∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（6t﹣180°）＝360°﹣6t．∴360°﹣6t＝2t+10°．∴t＝43.75．綜上，t的值為2.5s或43.75s．故答案為：2.5或43.75．18．（2分）（2019春?鄭州期末）學(xué)習(xí)了平行線的相關(guān)知識(shí)后，學(xué)霸君軒軒利用如圖所示的方法，可以折出“過已知直線外一點(diǎn)和已知直線平行”的直線．由操作過程可知他折平行線的依據(jù)可以是②③④．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）①平行于同一條直線的兩條直線平行；②同位角相等，兩直線平行；③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．解：如圖，由題圖（2）的操作可知PE⊥CD，所以∠PEC＝∠PED＝90°．由題圖（3）的操作可知AB⊥PE，所以∠APE＝∠BPE＝90°，所以∠PEC＝∠PED＝∠APE＝∠BPE＝90°，所以可依據(jù)結(jié)論②，③或④判定AB∥CD，故答案為②③④．19．（2分）（2021春?長葛市期末）將一副三角板按如圖放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，則：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，則有AC∥DE；④如果∠2＝45°，則有BC∥AD．上述結(jié)論中正確的是①②③④（填寫序號(hào)）．解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，故①正確；②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，∴∠CAD+∠2＝180°，故②正確；③∵∠2＝30°，∴∠1＝∠E＝60°，∴AC∥DE，故③正確；④∵∠2＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∴BC∥AD，故④正確．故答案為：①②③④．20．（2分）（2021秋?泉州期末）如圖，PQ∥MN，A，B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)15或22.5秒時(shí)，射線AM與射線BQ互相平行．解：設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行．如圖，射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒后，AM轉(zhuǎn)動(dòng)至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分兩種情況：①當(dāng)9＜t＜18時(shí)，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時(shí)，BQ'∥AM″，此時(shí)，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②當(dāng)18＜t＜27時(shí)，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時(shí)，BQ'∥AM″，此時(shí)，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；綜上所述，射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)15秒或22.5秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行．故答案為15或22.5．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?如皋市期中）如圖，直線MN分別與直線AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1＝∠2．作∠AEF，∠EFD的平分線分別交CD，AB于點(diǎn)G，H．（1）請(qǐng)利用量角器、直尺補(bǔ)全圖形；（2）判斷EG與FH的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若∠EHF＝40°，求∠EGF的度數(shù)．解：（1）如圖所示：；（2）EG∥FH，理由是：∵∠1＝∠2，∠1＝∠AEF，∴∠2＝∠AEF，∴AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD，∵EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠EFD，∴∠GEF＝AEF，∠HFE＝EFD，∴∠GEF＝∠HFE，∴EG∥FH；（3）∵∠EHF＝40°，AB∥CD，∴∠HFD＝∠EHF＝40°，∵EG∥HF，∴∠EGF＝∠HFD＝40°．22．（9分）（2022春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB＝145°；（2）如圖1，∠ACE＝∠DCB；若點(diǎn)E在AC的上方，設(shè)∠ACB＝β（90°＜β＜180°），則∠DCE＝180°﹣β（用含β的式子表示）；（3）當(dāng)∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，將三角尺ACD固定不動(dòng)，改變?nèi)浅連CE的位置，但始終保持兩個(gè)三角尺的頂點(diǎn)C重合．①當(dāng)BE∥AC（如圖2）時(shí)，直接寫出∠ACE＝45°；②當(dāng)EC∥DA時(shí)，直接寫出∠ACE＝120°；（4）在（3）的條件下，當(dāng)∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方，（3）中的兩種情況除外，這兩塊三角板是否還存在一組邊互相平行，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)∠DCE所有可能的角度數(shù)值為60°或45°或75°，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°，故答案為：145°；（2）∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB；∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝β﹣90°，∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣（β﹣90°）＝180°﹣β，故答案為：DCB，180°﹣β；（3）①當(dāng)BE∥AC時(shí)，∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°，故答案為：①45°；②當(dāng)EC∥DA時(shí)，如圖，∵EC∥DA，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°，故答案為：②120°；（4）①當(dāng)AD∥BC時(shí)，∵AD∥CE，∴∠DCB＝∠D＝30°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°；②當(dāng)BE∥CD時(shí)，∴∠DCE＝∠E＝45°；③當(dāng)BE∥AD時(shí)，過點(diǎn)C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°；故答案為：60°或45°或75°．23．（9分）（2022春?武邑縣校級(jí)期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動(dòng)頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．解：【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；故答案為：AB∥CD；AB∥CD；【探究】∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：過E作EF∥AB，如圖所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE+∠MCD＝90°；【拓展】如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：過點(diǎn)過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACQ，∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．24．（6分）（2022春?齊齊哈爾期末）點(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在F右側(cè)時(shí)，求證：BD∥EF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在F左側(cè)時(shí)，求證：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；（3）如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠DBF﹣∠DNG＝∠EDN，則∠DBF的度數(shù)為60°．（1）證明：∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴BD∥EF；（2）證明：過點(diǎn)G作GH∥BD，交AD于點(diǎn)H，如圖，∵BD∥EF，∴GH∥EF，∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG；（3）解：設(shè)∠BDM＝∠MDG＝α，則∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∴∠PDM＝180°﹣α，∵DN平分∠PDM，∴∠PDN＝∠MDN＝90°﹣，∴∠EDN＝∠PDN﹣∠PDE＝90°﹣α﹣（180°﹣4α）＝﹣90°，∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°﹣﹣α＝90°﹣，∵DG⊥ON，∴∠DNG＝90°，∴∠DNG＝90°﹣（90°﹣）＝，∵DE∥BF，∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α，∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，∴180°﹣4α﹣＝﹣90°，解得：α＝30°，∴∠B＝180°﹣4α＝60°．故答案為：60°．25．（6分）（2022春?巴彥縣期末）如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)H在EF上，連接CG、CH，CG⊥CH，∠CHE+∠CGA＝90°．（1）求證：AB∥EF；（2）如圖2，若∠BAE＝90°，延長HC交BA的延長線于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出圖2中所有與∠AGC互余的角．解：（1）∵CG⊥CH，∴∠ACG+∠ECH＝90°，又∵∠CHE+∠CGA＝90°，∠A+∠E+∠ACG+∠ECH+∠CHE+∠CGA＝360°，∴∠A+∠E＝180°，∴AB∥EF；（2）∵∠BAE＝90°，∴∠ACG是∠AGC的余角，∵AB∥CD，∴∠ACD＝90°，∠M＝∠DCH，∵CG⊥CH，∴∠ACG＝∠DCH，∵AB∥EF，∴∠M＝∠CHE，∴與∠AGC互余的角有∠ACG，∠DCH，∠M，∠CHE．26．（8分）（2022春?溧陽市期末）去年汛期期間，防汛指揮部在某重要河流的一段危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是15度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是5度/秒．假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)4秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（2）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若燈A射出的光束與燈B射出的光束交于點(diǎn)C，過C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)直接寫出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．解：（1）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①在燈A射線到達(dá)AN之前，由題意得：15t＝（4+t）×5，解得：t＝2，②在燈A射線到達(dá)AN之后，由題意得：15t﹣180＝180﹣（4+t）×5，解得：t＝17，綜上所述，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)2秒或17秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（2）2∠BAC＝3∠BCD，理由如下：設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，則∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．∴∠CAN＝180°﹣15x，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣15x）＝15x﹣135°，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝180°﹣10x，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝10x﹣90