專項(xiàng)19-一次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型

一次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【知識點(diǎn)1一次函數(shù)與實(shí)際問題】在研究有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問題時，要遵循一審、二設(shè)、三列、四解的方法：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)自變量。根據(jù)各個量之間的關(guān)系設(shè)滿足題意的自變量；第3步：列函數(shù)。根據(jù)各個量之間的關(guān)系列出函數(shù)；第4步：求解。求出滿足題意的數(shù)值?！绢}型1一次函數(shù)的應(yīng)用（行程問題）】【例1】（海門市期中）甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地同時出發(fā)相向勻速而行，已知甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，約定先到A地者停止運(yùn)動就地休息．若甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲行走的時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘，乙的速度是80米/分鐘；②甲出發(fā)30分鐘時，兩人在C地相遇；③乙到達(dá)A地時，甲與A地相距450米，其中正確的說法有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1-1】（巴彥淖爾期末）如圖，折線ABCDE描述了一輛汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s（km）與行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，判斷下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）①汽車在行駛途中停留了0.5h；②汽車在整個行駛過程的平均速度是40km/h；③汽車共行駛了240km；④汽車出發(fā)4h離出發(fā)地40km．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【變式1-2】（沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）某天上午，大學(xué)生小南從學(xué)校出發(fā)去重慶市圖書館查閱資料，同時他的同學(xué)小開從該圖書館看完書回學(xué)校．兩人在途中相遇，于是馬上就各自最近的研究課題交流了6分鐘，又各自按原速前往自己的目的地．直到小開回到學(xué)校并電話告知小南后，小南決定提速25%到達(dá)圖書館（接打電話的時間忽略不計(jì)）．在整個運(yùn)動過程中，小南和小開之間的距離y（m）與小南所用的時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．學(xué)校和圖書館的之間的距離為1200m B．小南提速前，小開的速度是小南的1.8倍 C．m＝1500 D．n＝62【變式1-3】（蒙陰縣二模）甲、乙兩車從M地到480千米的N地，甲車比乙車晚出發(fā)2小時，乙車途中因故停車檢修，圖中線段DE、折線OABC分別表示甲、乙兩車所行路程y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)圖象，請根據(jù)圖象所提供的信息，解決如下問題：（1）求兩車在途中第二次相遇時，它們距目的地的路程；（2）甲車出發(fā)多長時間，兩車在途中第一次相遇？【題型2一次函數(shù)的應(yīng)用（調(diào)運(yùn)問題）】【例2】（大安市期末）A城有肥料400噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)，從A城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)肥料費(fèi)為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，C鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料340噸，D鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料360噸．設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)鎮(zhèn)x噸肥料，請解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下列表格：城、鄉(xiāng)/噸數(shù)CDAxB（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少為多少元？【變式2-1】（尋烏縣模擬）疫情期間，甲、乙兩個倉庫要向M，N兩地運(yùn)送防疫物資，已知甲倉庫可調(diào)出50噸防疫物資，乙倉庫可調(diào)出40噸防疫物資，M地需35噸防疫物資，N地需55噸防疫物資，兩倉庫到M，N兩地的路程和運(yùn)費(fèi)如下表：路程/千米運(yùn)送1千米所需運(yùn)費(fèi)/（元/噸）甲倉庫乙倉庫甲倉庫乙倉庫M地20151212N地2520108（1）設(shè)從甲倉庫運(yùn)往M地防疫物資x噸，兩倉庫運(yùn)往M，N兩地的總費(fèi)用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）如何調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最少？總運(yùn)費(fèi)最少是多少？【變式2-2】（滿洲里市期末）已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，現(xiàn)決定將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)給C，D兩地，C，D兩地分別需要調(diào)運(yùn)蔬菜240t和260t．其中從A地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸．設(shè)A，B兩個蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案．【變式2-3】（昆明期末）某市A、B兩個倉庫分別有救災(zāi)物資200噸和300噸，2021年5月18日起云南大理州漾濞縣已連續(xù)發(fā)生多次地震，最高震級為5月21日發(fā)生的6.4級地震，為援助災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需將這些物資全部運(yùn)往甲，乙兩個受災(zāi)村．已知甲村需救災(zāi)物資240噸，乙村需救災(zāi)物資260噸，從A倉庫運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸20元和每噸25元，從B倉庫運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸15元和24元．設(shè)A倉庫運(yùn)往甲村救災(zāi)物資x噸，請解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下表格：倉庫甲村乙村Ax①B②③①＝；②＝；③＝．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式．（3）求怎么調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)為多少元？【題型3一次函數(shù)的應(yīng)用（利潤最大化）】【例3】（鎮(zhèn)雄縣二模）2020年6月1日上午，國務(wù)院總理在山東煙臺考察時表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī)．“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為了社會關(guān)注的熱門話題．小明從市場得知如表信息：甲商品乙商品進(jìn)價（元/件）355售價（元/件）458小明計(jì)劃購進(jìn)甲、乙商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小明購進(jìn)甲商品x件，甲、乙商品全部銷售完后獲得利潤為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明用不超過2000元資金一次性購進(jìn)甲，乙兩種商品，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若要求甲，乙商品全部銷售完后獲得的利潤不少于632.5元，請說明小明有哪些可行的進(jìn)貨方案，并計(jì)算哪種進(jìn)貨方案的利潤最大．【變式3-1】（青白江區(qū)模擬）在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，則該藥店購進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤y最大？【變式3-2】（連山區(qū)期末）由于新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，某經(jīng)銷商決定分兩次購進(jìn)甲、乙兩種型號的新能源汽車（兩次購進(jìn)同一種型號汽車的每輛的進(jìn)價相同）．第一次用270萬元購進(jìn)甲型號汽車30輛和乙型號汽車20輛；第二次用128萬元購進(jìn)甲型號汽車14輛和乙型號汽車10輛．（1）求甲、乙兩種型號汽車每輛的進(jìn)價；（2）經(jīng)銷商分別以每輛甲型號汽車8.8萬元，每輛乙型號汽車4.2萬元的價格銷售后，根據(jù)銷售情況，決定再次購進(jìn)甲、乙兩種型號的汽車共100輛，且乙型號汽車的數(shù)量不少于甲型號汽車數(shù)量的3倍，設(shè)再次購進(jìn)甲型汽車a輛，這100輛汽車的總銷售利潤為W萬元．①求W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；并寫出自變量的取值范圍；②若每輛汽車的售價和進(jìn)價均不變，該如何購進(jìn)這兩種汽車，才能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？【變式3-3】（鹿邑縣一模）草莓是一種極具營養(yǎng)價值的水果，當(dāng)下正是草莓的銷售旺季．某水果店以2850元購進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓．若按標(biāo)價出售可獲毛利潤1500元（毛利潤＝售價﹣進(jìn)價），這兩種盒裝草莓的進(jìn)價、標(biāo)價如表所示：價格/品種A品種B品種進(jìn)價（元/盒）4560標(biāo)價（元/盒）7090（1）求這兩個品種的草莓各購進(jìn)多少盒；（2）該店計(jì)劃下周購進(jìn)這兩種品種的草莓共100盒（每種品種至少進(jìn)1盒），并在兩天內(nèi)將所進(jìn)草莓全部銷售完畢（損耗忽略不計(jì)）．因B品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒．如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤最大，最大毛利潤是多少？【題型4一次函數(shù)的應(yīng)用（費(fèi)用最低）】【例4】（廣安期末）為積極響應(yīng)垃圾分類的號召，某街道決定在街道內(nèi)的所有小區(qū)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱．已知購買3個垃圾箱和2個溫馨提示牌需要280元，購買2個垃圾箱和3個溫馨提示牌需要270元．（1）每個垃圾箱和每個溫馨提示牌各多少元？（2）若購買垃圾箱和溫馨提示牌共100個（兩種都買），且垃圾箱的個數(shù)不少于溫馨提示牌個數(shù)的3倍，請寫出總費(fèi)用w（元）與垃圾箱個數(shù)m（個）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)購買垃圾箱和溫馨提示牌各多少個時，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元？【變式4-1】（環(huán)江縣期末）某縣園林局打算購買三角梅、水仙裝點(diǎn)城區(qū)道路，負(fù)責(zé)人小李去花卉基地調(diào)查發(fā)現(xiàn)：購買1盆三角梅和2盆水仙需要14元，購買2盆三角梅和1盆水仙需要13元．（1）求三角梅、水仙的單價各是多少元？（2）購買三角梅、水仙共10000盆，且購買的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆．①設(shè)購買的三角梅種花a盆，總費(fèi)用為W元，求W與a的關(guān)系式；②當(dāng)總費(fèi)用最少時，應(yīng)選擇哪一種購買方案？最少費(fèi)用為多少元？【變式4-2】（三水區(qū)校級二模）截至2021年4月10日，全國累計(jì)報告接種新冠疫苗16447.1萬劑次，接種總劑次數(shù)為全球第二．某社區(qū)有80000人每人準(zhǔn)備接種兩劑次相同廠家生產(chǎn)的新冠疫苗并被分配到A、B兩個接種點(diǎn)，A接種點(diǎn)有5個接種窗口，B接種點(diǎn)有4個接種窗口．每個接種窗口每天的接種量相同，并且在獨(dú)立完成20000人的兩劑次新冠疫苗接種時，A接種點(diǎn)比B接種點(diǎn)少用5天．（1）求A、B兩個接種點(diǎn)每天接種量；（2）設(shè)A接種點(diǎn)工作x天，B接種點(diǎn)工作y天，剛好完成該社區(qū)80000人的新冠疫苗接種任務(wù)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若A接種點(diǎn)每天耗費(fèi)6.5萬元，B接種點(diǎn)每天耗費(fèi)為4萬元，且A、B兩個接種點(diǎn)的工作總天數(shù)不超過85天，則如何安排A、B兩個接種點(diǎn)工作的天數(shù)，使總耗費(fèi)最低？并求出最低費(fèi)用．【變式4-3】（大同期末）在新冠疫情防控期間，某校新購進(jìn)A、B兩種型號的電子體溫測量儀共20臺，其中A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23，已知A、B兩種測溫儀的價格如表所示，請問購買A、B型號AB價格800元/臺600元/臺【題型5一次函數(shù)的應(yīng)用（工程問題）】【例5】（匯川區(qū)三模）為了主題為“醉美遵義，酒都仁懷”第十三屆遵義文化旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會召開，仁懷某社區(qū)計(jì)劃對面積為2000m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，經(jīng)投標(biāo)，由甲、乙兩個工程隊(duì)來完成，已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化面積的2.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為500m2區(qū)域的綠化時，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積．（2）設(shè)甲工程隊(duì)施工x天，乙工程隊(duì)施工y天，剛好完成綠化任務(wù)，求y與x的函數(shù)解析式．（3）若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是1.5萬元，乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.5萬元，且甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，則如何安排甲、乙兩隊(duì)施工的天數(shù)，使施工總費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．【變式5-1】（青羊區(qū)期末）甲、乙兩個工程隊(duì)分別同時鋪設(shè)兩條公路，所鋪設(shè)公路的長度y（m）與鋪設(shè)時間x（h）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息分析，解決下列問題：（1）在2時～6時段時，乙隊(duì)的工作效率為5m/h；（2）分別求出乙隊(duì)在0時～2時段和2時～6時段，y與x的關(guān)系式，并求出甲乙兩隊(duì)所鋪設(shè)公路長度相等時x的值；（3）求出當(dāng)兩隊(duì)所鋪設(shè)的公路長度之差為5m時x的值．【變式5-2】（沙坪壩區(qū)校級期末）甲、乙兩人同時開始共同組裝一批零件，工作兩小時后，乙因事離開，停止工作．一段時間后，乙重新回到崗位并提高了工作效率．最后40分鐘，甲休息，由乙獨(dú)自完成剩余零件的組裝．甲在工作過程中工作效率保持不變，乙在每個工作階段的工作效率保持不變．甲、乙兩人組裝零件的總數(shù)y（個）與工作時間x（小時）之間的圖象如圖．（1）這批零件一共有多少個？（2）在整個組裝過程中，當(dāng)甲、乙各自組裝的零件總數(shù)相差40個時，求x的值．【變式5-3】（鄭州期末）工廠某車間需加工一批零件，甲組工人加工中因故停產(chǎn)檢修機(jī)器一次，然后以原來的工作效率繼續(xù)加工，由于時間緊任務(wù)重，乙組工人也加入共同加工零件．設(shè)甲組加工時間t（時），甲組加工零件的數(shù)量為y甲（個），乙組加工零件的數(shù)量為y乙（個），其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）求a的值，并說明a的實(shí)際意義；（3）甲組加工多長時間時，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個．【題型6一次函數(shù)的應(yīng)用（其他問題）】【例6】（沙河口區(qū)期末）為預(yù)防疫情傳播，學(xué)校對教室定期噴藥消毒．如圖為一次消毒中，某教室每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時間x（min）的函數(shù)圖象，它是由關(guān)閉門窗集中噴藥，通風(fēng)前和打開門窗后通風(fēng)三段不同的一次函數(shù)組成的．在下面四個選項(xiàng)中，錯誤的是（）A．經(jīng)過5min集中噴藥，教室每立方米空氣中含藥量最高達(dá)到10mg/m3 B．持續(xù)11min室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3 C．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于35分鐘，才有效殺滅病毒．由此判斷此次消毒有效 D．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于4mg/m3時，對人體是安全的．從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到10mg/m3開始，需經(jīng)過40min后學(xué)生才能進(jìn)入室內(nèi)【變式6-1】（朝陽區(qū)校級期末）某地自來水公司為限制單位用水，每月只給某單位計(jì)劃內(nèi)用水3000噸，計(jì)劃內(nèi)用水每噸收費(fèi)0.5元，超計(jì)劃部分每噸按0.8元收費(fèi)．（1）某月該單位用水3200噸，水費(fèi)是元；若用水2800噸，水費(fèi)是元；（2）寫出該單位水費(fèi)y（元）與每月用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若某月該單位繳納水費(fèi)1540元，則該單位這個月的用水量為多少噸？【變式6-2】（河?xùn)|區(qū)期末）一個水庫的水位在某段時間內(nèi)持續(xù)上漲，表格中記錄了連續(xù)5h內(nèi)6個時間點(diǎn)的水位高度，其中x表示時間，y表示水位高度．01234533.33.63.94.24.5（1）水位高度y是否為時間x的函數(shù)？若是，請求出這個函數(shù)解析式；（2）據(jù)估計(jì)，這種上漲規(guī)律還會持續(xù)，并且當(dāng)水位高度達(dá)到8m時，水庫報警系統(tǒng)會自動發(fā)出警報．請預(yù)測再過多久系統(tǒng)會發(fā)出警報？【變式6-3】（澗西區(qū)三模）某大型商場為了提高銷售人員的積極性，對原有的薪酬計(jì)算方式進(jìn)行了修改，設(shè)銷售人員一個月的銷售量為x（件），銷售人員的月收入為y（元），原有的薪酬計(jì)算方式y(tǒng)1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每銷售一件商品另外獲得15元的提成修改后的薪酬計(jì)算方式為y2（元），且y2＝k2x+b，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）求y1和y2的解析式，并說明b的實(shí)際意義；（2）求兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，并說明交點(diǎn)F的實(shí)際意義；（3）根據(jù)函數(shù)圖象請判斷哪種薪酬計(jì)算方式更適合銷售人員．

一次函數(shù)的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識點(diǎn)1一次函數(shù)與實(shí)際問題】在研究有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問題時，要遵循一審、二設(shè)、三列、四解的方法：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系；第2步：設(shè)自變量。根據(jù)各個量之間的關(guān)系設(shè)滿足題意的自變量；第3步：列函數(shù)。根據(jù)各個量之間的關(guān)系列出函數(shù)；第4步：求解。求出滿足題意的數(shù)值?！绢}型1一次函數(shù)的應(yīng)用（行程問題）】【例1】（海門市期中）甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地同時出發(fā)相向勻速而行，已知甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，約定先到A地者停止運(yùn)動就地休息．若甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲行走的時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘，乙的速度是80米/分鐘；②甲出發(fā)30分鐘時，兩人在C地相遇；③乙到達(dá)A地時，甲與A地相距450米，其中正確的說法有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】根據(jù)圖象可知A、B兩地相距3720米；利用速度＝路程÷時間可求出甲、乙的速度，由二者相遇的時間＝6+A、B兩地之間的路程÷二者速度和，可求出二者相遇的時間，再由A、C兩地之間的距離＝甲的速度×二者相遇的時間可求出A、C兩地之間的距離，由A、C兩地之間的距離結(jié)合甲、乙的速度，可求出乙到達(dá)A地時甲與A地相距的路程．【解答過程】解：由圖象可知，A、B兩地相距3720米，甲的速度為（3720﹣3360）÷6＝60（米/分鐘），乙的速度為（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分鐘），故①說法正確；甲、乙相遇的時間為6+3360÷（60+80）＝30（分鐘），故②說法正確；A、C兩地之間的距離為60×30＝1800（米），乙到達(dá)A地時，甲與A地相距的路程為1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③說法正確．即正確的說法有4個．故選：D．【變式1-1】（巴彥淖爾期末）如圖，折線ABCDE描述了一輛汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s（km）與行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，判斷下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）①汽車在行駛途中停留了0.5h；②汽車在整個行駛過程的平均速度是40km/h；③汽車共行駛了240km；④汽車出發(fā)4h離出發(fā)地40km．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解題思路】根據(jù)停留時距離S不發(fā)生變化可判斷①；根據(jù)速度＝路程÷時間列式計(jì)算即可判斷②；求得往返的路程和得出答案即可判斷③；先求出3h到4.5h的速度，再求據(jù)出發(fā)地的距離可判斷④．【解答過程】解：①汽車在行駛途中停留了2﹣1.5＝0.5h，故①正確；②平均速度：120×2÷4.5=160故②錯誤；③汽車共行駛了120×2＝240km，故③正確；④汽車自出發(fā)后3h到4.5h速度為：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小時，∴汽車出發(fā)4h離出發(fā)地距離為120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米，故④正確．∴正確的是①③④，故選：C．【變式1-2】（沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）某天上午，大學(xué)生小南從學(xué)校出發(fā)去重慶市圖書館查閱資料，同時他的同學(xué)小開從該圖書館看完書回學(xué)校．兩人在途中相遇，于是馬上就各自最近的研究課題交流了6分鐘，又各自按原速前往自己的目的地．直到小開回到學(xué)校并電話告知小南后，小南決定提速25%到達(dá)圖書館（接打電話的時間忽略不計(jì)）．在整個運(yùn)動過程中，小南和小開之間的距離y（m）與小南所用的時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．學(xué)校和圖書館的之間的距離為1200m B．小南提速前，小開的速度是小南的1.8倍 C．m＝1500 D．n＝62【解題思路】從圖象上直接可以得出圖書館到學(xué)校的距離，從而可以判斷A；先求出小南和小開的和速度，再求出小開的速度，從而可以判斷B；通過圖象和題意可以求出m，從而可以判斷C；先求出小南提速后的速度，再根據(jù)路程÷速度＝時間，即可判斷D．【解答過程】解：由圖象可知：圖書館到學(xué)校的距離為2400米，故A錯誤；小南和小開的和速度為：2400÷24＝100（米/分），小開走完2400米所用時間為：46﹣6＝40（分），∴小開的速度為：2400÷40＝60（米/分），∴小南的速度為：100﹣60＝40（米/分），∴小南提速前，小開的速度是小南的60÷40＝1.5，故B錯誤；相遇后到小開到達(dá)學(xué)校所用時間為46﹣（24+6）＝16（分），∴m＝100×16＝1600（米），故C錯誤；小南提速后的速度為40（1+25%）＝50（米/分），∴n＝（2400﹣1600）÷50+46＝16+46＝62（分），故D正確．故選：D．【變式1-3】（蒙陰縣二模）甲、乙兩車從M地到480千米的N地，甲車比乙車晚出發(fā)2小時，乙車途中因故停車檢修，圖中線段DE、折線OABC分別表示甲、乙兩車所行路程y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)圖象，請根據(jù)圖象所提供的信息，解決如下問題：（1）求兩車在途中第二次相遇時，它們距目的地的路程；（2）甲車出發(fā)多長時間，兩車在途中第一次相遇？【解題思路】（1）設(shè)甲車所行使路程y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，利用待定系數(shù)法求出其函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)解答即可；（2）求出線段BC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算兩車在途中第一次相遇的時間．【解答過程】解：（1）設(shè)甲車所行使路程y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，把（2，0）和（10，480）代入，得2k解得：k1∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝60x﹣120；由圖可得，交點(diǎn)F表示第二次相遇，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，此時y＝60×6﹣120＝240，∴F（6，240），故兩車在途中第二次相遇時它們距目的地的路程為480﹣240＝240（千米）；（2）設(shè)線段BC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x+b2，把（6，240）、（8，480）代入，得6k解得k2故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝120x﹣480，則當(dāng)x＝4.5時，y＝120×4.5﹣480＝60．可得：點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為60，∵線段AB表示因故停車檢修，∴交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為60，把y＝60代入y＝60x﹣120中，有60＝60x﹣120，解得x＝3，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，60），∵交點(diǎn)P表示第一次相遇，∴甲車出發(fā)的時間為：3﹣2＝1（小時）．【題型2一次函數(shù)的應(yīng)用（調(diào)運(yùn)問題）】【例2】（大安市期末）A城有肥料400噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)，從A城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)肥料費(fèi)為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，C鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料340噸，D鄉(xiāng)鎮(zhèn)需要肥料360噸．設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)鎮(zhèn)x噸肥料，請解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下列表格：城、鄉(xiāng)/噸數(shù)CDAx400﹣xB340﹣xx﹣40（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)題意，可以將表格補(bǔ)充完整；（2）根據(jù)題意和（1）中表格的數(shù)據(jù)，可以寫出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）根據(jù)（2）中函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少，最少為多少元．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，表格填寫如下：城、鄉(xiāng)/噸數(shù)CDAx400﹣xB340﹣xx﹣40故答案為：400﹣x；340﹣x；x﹣40；（2）由題意可得，W＝20x+25（400﹣x）+15（340﹣x）+24（x﹣40）＝4x+14140，∵340﹣x≥0且x﹣40≥0，∴40≤x≤340，即W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式是W＝4x+14140（40≤x≤340）；（3）∵y＝4x+14140，k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∵40≤x≤340，∴當(dāng)x＝40時，y取得最小值，此時y＝14300，400﹣x＝360，340﹣x＝300，x﹣40＝0，答：從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)40噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)360噸；從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)300噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)0噸，此時總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最小值是14300元．【變式2-1】（尋烏縣模擬）疫情期間，甲、乙兩個倉庫要向M，N兩地運(yùn)送防疫物資，已知甲倉庫可調(diào)出50噸防疫物資，乙倉庫可調(diào)出40噸防疫物資，M地需35噸防疫物資，N地需55噸防疫物資，兩倉庫到M，N兩地的路程和運(yùn)費(fèi)如下表：路程/千米運(yùn)送1千米所需運(yùn)費(fèi)/（元/噸）甲倉庫乙倉庫甲倉庫乙倉庫M地20151212N地2520108（1）設(shè)從甲倉庫運(yùn)往M地防疫物資x噸，兩倉庫運(yùn)往M，N兩地的總費(fèi)用為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）如何調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最少？總運(yùn)費(fèi)最少是多少？【解題思路】（1）設(shè)甲倉庫運(yùn)往M地的防疫物資為x噸，甲倉庫運(yùn)往N地的防疫物資為（50﹣x）噸，乙倉庫運(yùn)往M地的防疫物資為（35﹣x）噸，乙倉庫運(yùn)往N地的防疫物資為（5+x）噸，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，并求出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最小值．【解答過程】解：設(shè)甲倉庫運(yùn)往M地的防疫物資為x噸，甲倉庫運(yùn)往N地的防疫物資為（50﹣x）噸，乙倉庫運(yùn)往M地的防疫物資為（35﹣x）噸，乙倉庫運(yùn)往N地的防疫物資為（5+x）噸，根據(jù)題意得：y＝12×20x+10×25（50﹣x）+12×15×（35﹣x）+8×20（5+x）＝﹣30x+19600，∵x≥0，50﹣x≥0，35﹣x≥0，∴0≤x≤35，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣30x+19600（0≤x≤35）；（2）∵y＝﹣30x+19600，﹣30＜0，∴y隨x的增大而減小，∵0≤x≤35，∴當(dāng)x＝35時，總運(yùn)費(fèi)最少，即從甲倉庫運(yùn)往M地35噸，甲倉庫運(yùn)往N地：50﹣35＝15（噸），乙倉庫運(yùn)往M地：55﹣15＝40（噸），乙倉庫運(yùn)往N地：40﹣40＝0（噸），∴總運(yùn)費(fèi)最少為：﹣30×35+19600＝18550（元）．∴從甲倉庫運(yùn)往M地35噸，運(yùn)往N地15噸；從乙倉庫運(yùn)往N地40噸時總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最少是18550元．【變式2-2】（滿洲里市期末）已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，現(xiàn)決定將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)給C，D兩地，C，D兩地分別需要調(diào)運(yùn)蔬菜240t和260t．其中從A地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸．設(shè)A，B兩個蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案．【解題思路】根據(jù)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸，可以用含x的式子表示出運(yùn)往各地的噸數(shù)，然后即可寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，即可得到總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案，【解答過程】解：設(shè)從B地運(yùn)往C地的蔬菜為x噸，則從B地運(yùn)往D地的蔬菜為（300﹣x）噸，從A地運(yùn)往C地的蔬菜為（240﹣x）噸，從A地運(yùn)往D地的蔬菜為（x﹣40）噸．w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，由題意得，240?x≥0x?40≥0解得40≤x≤240，∵w＝2x+9200，k＝2＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝40時，總運(yùn)費(fèi)w有最小值9280元，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260，答：w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝2x+9200，總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案是從A地運(yùn)往C地200噸，B地運(yùn)往C地40噸，B地運(yùn)往D地260噸．【變式2-3】（昆明期末）某市A、B兩個倉庫分別有救災(zāi)物資200噸和300噸，2021年5月18日起云南大理州漾濞縣已連續(xù)發(fā)生多次地震，最高震級為5月21日發(fā)生的6.4級地震，為援助災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需將這些物資全部運(yùn)往甲，乙兩個受災(zāi)村．已知甲村需救災(zāi)物資240噸，乙村需救災(zāi)物資260噸，從A倉庫運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸20元和每噸25元，從B倉庫運(yùn)往甲，乙兩村的費(fèi)用分別為每噸15元和24元．設(shè)A倉庫運(yùn)往甲村救災(zāi)物資x噸，請解答下列問題：（1）根據(jù)題意，填寫下表格：倉庫甲村乙村Ax①B②③①＝200﹣x；②＝240﹣x；③＝x+60．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W（元），求出W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式．（3）求怎么調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)題意用含x的代數(shù)式表示即可；（2）根據(jù)題意直接列式：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）化簡即可；（3）由（2）中的一次函數(shù)可知，y隨x的減小而減小，要使總運(yùn)費(fèi)最低，x必須取最小值，計(jì)算各個運(yùn)貨數(shù)量設(shè)計(jì)方案即可．【解答過程】解：（1）∵A、B兩個倉庫分別有救災(zāi)物資200噸和300噸，甲村需救災(zāi)物資240噸，乙村需救災(zāi)物資260噸，∴設(shè)A倉庫運(yùn)往甲村救災(zāi)物資x噸，則運(yùn)往乙村（200﹣x）噸，B倉庫運(yùn)往甲村（240﹣x）噸，運(yùn)往乙村[300﹣（240﹣x）]＝（x+60）噸，∴①＝200﹣x，②＝240﹣x，③＝x+60．故答案為：200﹣x，240﹣x，x+60．（2）W＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）＝4x+10040（0≤x≤200）．（3）∵一次函數(shù)W＝4x+10040，k＝4＞0，∴y隨x的減小而減小，∴要使總運(yùn)費(fèi)最低，x必須取最小值．∴當(dāng)x＝6時，總運(yùn)費(fèi)最少是10040元．調(diào)運(yùn)方案為：從A村運(yùn)往乙?guī)?00噸，從B村運(yùn)往甲庫240噸，運(yùn)往乙?guī)?0噸．【題型3一次函數(shù)的應(yīng)用（利潤最大化）】【例3】（鎮(zhèn)雄縣二模）2020年6月1日上午，國務(wù)院總理在山東煙臺考察時表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī)．“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為了社會關(guān)注的熱門話題．小明從市場得知如表信息：甲商品乙商品進(jìn)價（元/件）355售價（元/件）458小明計(jì)劃購進(jìn)甲、乙商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小明購進(jìn)甲商品x件，甲、乙商品全部銷售完后獲得利潤為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明用不超過2000元資金一次性購進(jìn)甲，乙兩種商品，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若要求甲，乙商品全部銷售完后獲得的利潤不少于632.5元，請說明小明有哪些可行的進(jìn)貨方案，并計(jì)算哪種進(jìn)貨方案的利潤最大．【解題思路】（1）由y＝甲商品利潤+乙商品利潤，可得解析式；（2）由用不超過2000元資金一次性購進(jìn)甲，乙兩種商品，列出不等式組，即可求解；（3）由獲得的利潤不少于632.5元，列出不等式可求x的范圍，由一次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【解答過程】解：（1）由題意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300；（2）由題意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，∴x≤50，又∵x≥0，∴0≤x≤50，且x為整數(shù)；（3）由題意可得：（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）≥632.5，∴x≥47.5，∴47.5≤x≤50，又∵x為整數(shù)，∴x＝48，49，50，∴進(jìn)貨方案有：甲商品進(jìn)48件，乙商品進(jìn)52件；甲商品進(jìn)49件，乙商品進(jìn)51件；甲商品進(jìn)50件，乙商品進(jìn)50件；∵y＝7x+300，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝50時，有最大利潤．∴當(dāng)甲商品進(jìn)50件，乙商品進(jìn)50件，利潤有最大值．【變式3-1】（青白江區(qū)模擬）在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，則該藥店購進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤y最大？【解題思路】（1）設(shè)每只A型口罩銷售利潤為a元，每只B型口罩銷售利潤為b元，根據(jù)“銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為180元”列方程組解答即可；（2）根據(jù)題意即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題意列不等式得出x的取值范圍，再結(jié)合y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式解答即可．【解答過程】解：（1）設(shè)每只A型口罩銷售利潤為a元，每只B型口罩銷售利潤為b元，根據(jù)題意得：80a+45b=2140a+60b=18解得a=0.15b=0.2答：每只A型口罩銷售利潤為0.15元，每只B型口罩銷售利潤為0.2元；（2）根據(jù)題意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根據(jù)題意得，2000?x≥x2000?x≤3x解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），∵﹣0.05＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝500時，y取最大值，則2000﹣x＝1500，即藥店購進(jìn)A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使銷售總利潤最大．【變式3-2】（連山區(qū)期末）由于新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，某經(jīng)銷商決定分兩次購進(jìn)甲、乙兩種型號的新能源汽車（兩次購進(jìn)同一種型號汽車的每輛的進(jìn)價相同）．第一次用270萬元購進(jìn)甲型號汽車30輛和乙型號汽車20輛；第二次用128萬元購進(jìn)甲型號汽車14輛和乙型號汽車10輛．（1）求甲、乙兩種型號汽車每輛的進(jìn)價；（2）經(jīng)銷商分別以每輛甲型號汽車8.8萬元，每輛乙型號汽車4.2萬元的價格銷售后，根據(jù)銷售情況，決定再次購進(jìn)甲、乙兩種型號的汽車共100輛，且乙型號汽車的數(shù)量不少于甲型號汽車數(shù)量的3倍，設(shè)再次購進(jìn)甲型汽車a輛，這100輛汽車的總銷售利潤為W萬元．①求W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；并寫出自變量的取值范圍；②若每輛汽車的售價和進(jìn)價均不變，該如何購進(jìn)這兩種汽車，才能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？【解題思路】（1）設(shè)甲種型號汽車的進(jìn)價為a萬元、乙種型號汽車的進(jìn)價為b萬元，根據(jù)“第一次用270萬元購進(jìn)甲型號汽車30輛和乙型號汽車20輛；第二次用128萬元購進(jìn)甲型號汽車14輛和乙型號汽車10輛”得到相應(yīng)的二元一次方程組，解方程組即可得到甲、乙兩種型號汽車每輛的進(jìn)價；（2）①根據(jù)題意可以得到利潤與購買甲種型號汽車數(shù)量的函數(shù)關(guān)系；②根據(jù)乙型號汽車的數(shù)量不少于甲型號汽車數(shù)量的3倍，可以得到購買甲種型號汽車數(shù)量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最大利潤和此時的購買方案．【解答過程】解：（1）設(shè)甲種型號汽車的進(jìn)價為a萬元、乙種型號汽車的進(jìn)價為b萬元，30a+20b=27014a+10b=128解得：a=7b=3答：甲、乙兩種型號汽車每輛的進(jìn)價分別為7萬元、3萬元；（2）①由題意得：購進(jìn)乙型號的汽車（100﹣a）輛，則W＝（8.8﹣7）a+（4.2﹣3）×（100﹣a）＝0.6a+120，乙型號汽車的數(shù)量不少于甲型號汽車數(shù)量的3倍，∴100﹣a≥3a，且a≥0，解得，0≤a≤25，∴W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為W＝0.6a+120（0≤a≤25）；②W＝0.6a+120，∵0.6＞0，∴W隨著a的增大而增大，∵0≤a≤25，∴當(dāng)a＝25時，W取得最大值，此時W＝0.6×25+120＝135（萬元），100﹣25＝75（輛），答：獲利最大的購買方案是購進(jìn)甲型汽車25輛，乙型汽車75輛，最大利潤是135萬元．【變式3-3】（鹿邑縣一模）草莓是一種極具營養(yǎng)價值的水果，當(dāng)下正是草莓的銷售旺季．某水果店以2850元購進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓．若按標(biāo)價出售可獲毛利潤1500元（毛利潤＝售價﹣進(jìn)價），這兩種盒裝草莓的進(jìn)價、標(biāo)價如表所示：價格/品種A品種B品種進(jìn)價（元/盒）4560標(biāo)價（元/盒）7090（1）求這兩個品種的草莓各購進(jìn)多少盒；（2）該店計(jì)劃下周購進(jìn)這兩種品種的草莓共100盒（每種品種至少進(jìn)1盒），并在兩天內(nèi)將所進(jìn)草莓全部銷售完畢（損耗忽略不計(jì)）．因B品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒．如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤最大，最大毛利潤是多少？【解題思路】（1）根據(jù)某水果店以2850元購進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓，按標(biāo)價出售可獲毛利潤1500元和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出毛利潤和購買A種草莓?dāng)?shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)水果店計(jì)劃購進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒，可以得到相應(yīng)的不等式，求出A種草莓?dāng)?shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤最大，最大毛利潤是多少．【解答過程】解：（1）設(shè)A品種的草莓購進(jìn)x盒，B品種的草莓購進(jìn)y盒，由題意可得，45x+60y=2850(70?45)x+(90?60)y=1500解得x=30y=25答：A品種的草莓購進(jìn)30盒，B品種的草莓購進(jìn)25盒；（2）設(shè)A品種的草莓購進(jìn)a盒，則B品種的草莓購進(jìn)（100﹣a）盒，毛利潤為w元，由題意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000，∵k＝﹣5＜0，∴w隨a的增大而減小，∵水果店計(jì)劃購進(jìn)B品種的盒數(shù)不低于A品種盒數(shù)的2倍，且A品種不少于20盒，∴a≥20100?a≥2a解得20≤a≤3313∴當(dāng)a＝20時，w取得最大值，此時w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80，答：當(dāng)A品種的草莓購進(jìn)20盒，B品種的草莓購進(jìn)80盒時，才能使毛利潤最大，最大毛利潤是2900元．【題型4一次函數(shù)的應(yīng)用（費(fèi)用最低）】【例4】（廣安期末）為積極響應(yīng)垃圾分類的號召，某街道決定在街道內(nèi)的所有小區(qū)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱．已知購買3個垃圾箱和2個溫馨提示牌需要280元，購買2個垃圾箱和3個溫馨提示牌需要270元．（1）每個垃圾箱和每個溫馨提示牌各多少元？（2）若購買垃圾箱和溫馨提示牌共100個（兩種都買），且垃圾箱的個數(shù)不少于溫馨提示牌個數(shù)的3倍，請寫出總費(fèi)用w（元）與垃圾箱個數(shù)m（個）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明當(dāng)購買垃圾箱和溫馨提示牌各多少個時，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)購買3個垃圾箱和2個溫馨提示牌需要280元，購買2個垃圾箱和3個溫馨提示牌需要270元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)垃圾箱的個數(shù)不少于溫馨提示牌個數(shù)的3倍，即可得到m的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當(dāng)購買垃圾箱和溫馨提示牌各多少個時，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為多少元．【解答過程】解：（1）設(shè)每個垃圾箱和每個溫馨提示牌分別為x元、y元，由題意可得，3x+2y=2802x+3y=270解得x=60y=50答：每個垃圾箱和每個溫馨提示牌分別為60元、50元；（2）設(shè)購買垃圾箱m個，則購買溫馨提示牌（100﹣m）個，w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，∵垃圾箱的個數(shù)不少于溫馨提示牌個數(shù)的3倍，∴m≥3（100﹣m），解得m≥75，∴當(dāng)m＝75時，w取得最小值，此時w＝5750，100﹣m＝25，答：總費(fèi)用w（元）與垃圾箱個數(shù)m（個）之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝10m+5000，當(dāng)購買垃圾箱和溫馨提示牌分別為75個、25個時，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為5750元．【變式4-1】（環(huán)江縣期末）某縣園林局打算購買三角梅、水仙裝點(diǎn)城區(qū)道路，負(fù)責(zé)人小李去花卉基地調(diào)查發(fā)現(xiàn)：購買1盆三角梅和2盆水仙需要14元，購買2盆三角梅和1盆水仙需要13元．（1）求三角梅、水仙的單價各是多少元？（2）購買三角梅、水仙共10000盆，且購買的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆．①設(shè)購買的三角梅種花a盆，總費(fèi)用為W元，求W與a的關(guān)系式；②當(dāng)總費(fèi)用最少時，應(yīng)選擇哪一種購買方案？最少費(fèi)用為多少元？【解題思路】（1）根據(jù)購買1盆三角梅和2盆水仙需要14元，購買2盆三角梅和1盆水仙需要13元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，解方程組即可得到三角梅、水仙的單價各為多少元；（2）①根據(jù)題意，可以寫出W與m的關(guān)系式；②根據(jù)①中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到使總花費(fèi)最少的夠花方案，并求出最少費(fèi)用．【解答過程】解：（1）設(shè)三角梅、水仙的單價分別為x元、y元，根據(jù)題意得x+2y=142x+y=13解得x=4y=5答：三角梅、水仙的的單價分別為4元、5元；（2）①由題意可得，W＝4a+5（10000﹣a），即W與a的關(guān)系式是W＝﹣a+50000（3000≤a≤5000）；②∵W＝﹣a+50000，∴W隨a的增大而減小，∵3000≤a≤5000，∴當(dāng)a＝5000時，W取得最小值，此時W＝45000，10000﹣a＝1000﹣5000＝5000，答：當(dāng)購買三角梅、水仙各5000盆時，總花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為45000元．【變式4-2】（三水區(qū)校級二模）截至2021年4月10日，全國累計(jì)報告接種新冠疫苗16447.1萬劑次，接種總劑次數(shù)為全球第二．某社區(qū)有80000人每人準(zhǔn)備接種兩劑次相同廠家生產(chǎn)的新冠疫苗并被分配到A、B兩個接種點(diǎn)，A接種點(diǎn)有5個接種窗口，B接種點(diǎn)有4個接種窗口．每個接種窗口每天的接種量相同，并且在獨(dú)立完成20000人的兩劑次新冠疫苗接種時，A接種點(diǎn)比B接種點(diǎn)少用5天．（1）求A、B兩個接種點(diǎn)每天接種量；（2）設(shè)A接種點(diǎn)工作x天，B接種點(diǎn)工作y天，剛好完成該社區(qū)80000人的新冠疫苗接種任務(wù)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若A接種點(diǎn)每天耗費(fèi)6.5萬元，B接種點(diǎn)每天耗費(fèi)為4萬元，且A、B兩個接種點(diǎn)的工作總天數(shù)不超過85天，則如何安排A、B兩個接種點(diǎn)工作的天數(shù)，使總耗費(fèi)最低？并求出最低費(fèi)用．【解題思路】（1）設(shè)A接種點(diǎn)每天接種量為5x劑次，B接種點(diǎn)每天接種量為4x劑次，由題意：在獨(dú)立完成20000人的兩劑次新冠疫苗接種時，A接種點(diǎn)比B接種點(diǎn)少用5天．列出分式方程，解方程即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)“A、B兩個接種點(diǎn)的工作總天數(shù)不超過85天”可得x+y≤85，再把（2）的結(jié)論代入可得關(guān)于x的不等式，解不等式求出x的取值范圍；設(shè)總耗費(fèi)為w萬元，由題意求出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【解答過程】解：（1）設(shè)A接種點(diǎn)每天接種量為5x劑次，B接種點(diǎn)每天接種量為4x劑次，由題意得：20000×24x解得：x＝400，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝400是原方程的解，且符合題意，則4x＝1600，5x＝2000，答：設(shè)A接種點(diǎn)每天接種量為2000劑次，B接種點(diǎn)每天接種量為1600劑次；（2）由（1）得2000x+1600y＝80000×2，∴y=?5（3）由題意，得x+y≤85，即x+（?5解得x≥60，設(shè)總耗費(fèi)為w萬元，則w＝6.5x+4（?54x+∵1.5＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝60時，w取值最小，最小值為：1.5×60+400＝490（萬元），∴y=?5答：安排A接種點(diǎn)工作60天，B種接種點(diǎn)工作25天，使總耗費(fèi)最低，最低費(fèi)用為490萬元．【變式4-3】（大同期末）在新冠疫情防控期間，某校新購進(jìn)A、B兩種型號的電子體溫測量儀共20臺，其中A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23，已知A、B兩種測溫儀的價格如表所示，請問購買A、B型號AB價格800元/臺600元/臺【解題思路】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出費(fèi)用與A種型號測溫儀臺數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)某校新購進(jìn)A、B兩種型號的電子體溫測量儀共20臺，A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23，可以得到A種型號臺數(shù)的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到購買A、B【解答過程】解：設(shè)購買A種型號的測溫儀x臺，則購買B種型號的測溫儀（20﹣x）臺，所需費(fèi)用為w元，由題意可得，w＝800x+600（20﹣x）＝200x+12000，∴w隨x的增大而增大，∵某校新購進(jìn)A、B兩種型號的電子體溫測量儀共20臺，A型儀器的數(shù)量不少于B型儀器的23∴23（20﹣x）≤x解得8≤x≤20，∴當(dāng)x＝8時，w取得最小值，此時w＝200×8+12000＝13600，20﹣x＝12，答：購買A、B兩種測溫儀分別為8臺、12臺時，可使所購儀器的總費(fèi)用最少，最少需13600元．【題型5一次函數(shù)的應(yīng)用（工程問題）】【例5】（匯川區(qū)三模）為了主題為“醉美遵義，酒都仁懷”第十三屆遵義文化旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會召開，仁懷某社區(qū)計(jì)劃對面積為2000m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，經(jīng)投標(biāo)，由甲、乙兩個工程隊(duì)來完成，已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化面積的2.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為500m2區(qū)域的綠化時，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積．（2）設(shè)甲工程隊(duì)施工x天，乙工程隊(duì)施工y天，剛好完成綠化任務(wù)，求y與x的函數(shù)解析式．（3）若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是1.5萬元，乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.5萬元，且甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，則如何安排甲、乙兩隊(duì)施工的天數(shù)，使施工總費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．【解題思路】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是xm2，則乙甲隊(duì)每天能完成綠化面積2.5xm2，根據(jù)在獨(dú)立完成面積為500m2區(qū)域的綠化時，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用6天，列方程求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出y與x的函數(shù)解析式．（3）根據(jù)甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，得到x的取值范圍，設(shè)施工總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【解答過程】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是xm2，則乙甲隊(duì)每天能完成綠化面積2.5xm2，根據(jù)題意得：500x解得x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解并滿足題意，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是：50×2.5＝125（m2），答：甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是125m2、50m2；（2）根據(jù)題意，得：125x+50y＝2000，整理得：y＝40﹣2.5x，∴y與x的函數(shù)解析式為：y＝40﹣2.5x；（3）∵甲乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過19天，∴x+y≤19，∴x+40﹣2.5x≤19，解得：x≥14，設(shè)施工總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意得：w＝1.5x+0.5y＝1.5x+0.5×（40﹣2.5x）＝0.25x+20，∵k＝0.25＞0，∴w隨x減小而減小，∴當(dāng)x＝14時，w有最小值，最小值為0.25×14+20＝23.5（萬元），此時y＝19﹣14＝5．答：安排甲隊(duì)施工14天，乙隊(duì)施工5天時，施工總費(fèi)用最低為23.5萬元．【變式5-1】（青羊區(qū)期末）甲、乙兩個工程隊(duì)分別同時鋪設(shè)兩條公路，所鋪設(shè)公路的長度y（m）與鋪設(shè)時間x（h）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象所提供的信息分析，解決下列問題：（1）在2時～6時段時，乙隊(duì)的工作效率為5m/h；（2）分別求出乙隊(duì)在0時～2時段和2時～6時段，y與x的關(guān)系式，并求出甲乙兩隊(duì)所鋪設(shè)公路長度相等時x的值；（3）求出當(dāng)兩隊(duì)所鋪設(shè)的公路長度之差為5m時x的值．【解題思路】（1）根據(jù)圖象即可求出在2時～6時段時，乙隊(duì)的工作效率；（2）根據(jù)圖中的信息利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)關(guān)系式；再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式列方程解答即可；（3）利用（2）中的函數(shù)關(guān)系式可以解決問題．【解答過程】解：（1）在2時～6時段時，乙隊(duì)的工作效率為：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（m/h），故答案為：5；（2）當(dāng)0≤x≤2時，設(shè)乙隊(duì)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx，可得2k＝30，解得k＝15，即y＝15x；當(dāng)2≤x≤6時，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝nx+m，可得2n+m=306n+m=50解得n=5m=20即y＝5x+20，∴y乙10x＝5x+20，解得x＝4，即甲乙兩隊(duì)所挖河渠長度相等時x的值為4；（3）當(dāng)0≤x≤2時，15x﹣10x＝5，解得x＝1．當(dāng)2＜x≤4時，5x+20﹣10x＝5，解得x＝3，當(dāng)4＜x≤6時，10x﹣（5x+20）＝5，解得x＝5．答：當(dāng)兩隊(duì)所挖的河渠長度之差為5m時，x的值為1h或3h或5h．【變式5-2】（沙坪壩區(qū)校級期末）甲、乙兩人同時開始共同組裝一批零件，工作兩小時后，乙因事離開，停止工作．一段時間后，乙重新回到崗位并提高了工作效率．最后40分鐘，甲休息，由乙獨(dú)自完成剩余零件的組裝．甲在工作過程中工作效率保持不變，乙在每個工作階段的工作效率保持不變．甲、乙兩人組裝零件的總數(shù)y（個）與工作時間x（小時）之間的圖象如圖．（1）這批零件一共有多少個？（2）在整個組裝過程中，當(dāng)甲、乙各自組裝的零件總數(shù)相差40個時，求x的值．【解題思路】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以分別計(jì)算出甲的速度、乙開始和后來的速度，然后即可計(jì)算出這批零件一共有多少個；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和分類討論的方法，可以求得x的值．【解答過程】解：（1）由圖象可得，甲的工作效率是：（690﹣420）÷（5﹣2）＝90（個/小時），乙剛開始的工作效率是：420÷2﹣90＝120（個/小時），乙后來的工作效率是：（1320﹣690）÷（8?401320+180×＝1320+120＝1440（個），答：這批零件一共有1440個；（2）當(dāng)0≤x＜2時，（120﹣90）x＝40，解得x=4當(dāng)2≤x＜5時，120×2﹣90x＝40或90x﹣120×2＝40，解得x＝229或x＝31當(dāng)5≤x＜8?4090x﹣120×2﹣180（x﹣5）＝40或120×2+180（x﹣5）﹣90x＝40，解得x＝689或x＝77當(dāng)8?4060120×2+180（x﹣5）﹣90×（8?40解得x＝759由上可得，在整個組裝過程中，當(dāng)甲、乙各自組裝的零件總數(shù)相差40個時，x的值是43，229，319，68【變式5-3】（鄭州期末）工廠某車間需加工一批零件，甲組工人加工中因故停產(chǎn)檢修機(jī)器一次，然后以原來的工作效率繼續(xù)加工，由于時間緊任務(wù)重，乙組工人也加入共同加工零件．設(shè)甲組加工時間t（時），甲組加工零件的數(shù)量為y甲（個），乙組加工零件的數(shù)量為y乙（個），其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）求a的值，并說明a的實(shí)際意義；（3）甲組加工多長時間時，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個．【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到y(tǒng)乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到甲的速度，然后即可計(jì)算出a的值，然后再說明a的實(shí)際意義即可；（3）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，然后即可得到甲組加工多長時間時，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個．【解答過程】解：（1）設(shè)y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙＝kt+b，5k+b=08k+b=360解得k=120b=?600即y乙與t之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）；（2）由圖象可得，甲的工作效率為120÷3＝40（個/時），a＝120+40×（8﹣4）＝280，即a的值是280，實(shí)際意義是當(dāng)甲加工8小時時，一共加工了280個零件；（3）設(shè)甲組加工c小時時，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個，120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480，解得c＝7，即甲組加工7小時時，甲、乙兩組加工零件的總數(shù)為480個．【題型6一次函數(shù)的應(yīng)用（其他問題）】【例6】（沙河口區(qū)期末）為預(yù)防疫情傳播，學(xué)校對教室定期噴藥消毒．如圖為一次消毒中，某教室每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時間x（min）的函數(shù)圖象，它是由關(guān)閉門窗集中噴藥，通風(fēng)前和打開門窗后通風(fēng)三段不同的一次函數(shù)組成的．在下面四個選項(xiàng)中，錯誤的是（）A．經(jīng)過5min集中噴藥，教室每立方米空氣中含藥量最高達(dá)到10mg/m3 B．持續(xù)11min室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3 C．當(dāng)室