專項08 特殊平行四邊形的解題技巧

專項08特殊平行四邊形的解題技巧技巧一在菱形中巧添對角線轉化為三角形問題解讀(1)在菱形中，通過連結一條對角線，可得到兩個等腰三角形，再借助等腰三角形的相關性質可求解；(2)在菱形中，連結兩條對角線，根據(jù)菱形對角線互相垂直平分，得到直角三角形，再借助勾股定理求解；(3)特殊情形：含60°角的菱形，可通過連結對角線，構造等邊三角形求解.1.如圖，菱形ABCD的邊長為13，對角線AC=24，點E、F分別是邊CD、BC的中點，連結EF并延長與AB的延長線相交于點G，求EG的長.2.如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，連結EF，交AC于點G.(1)求證：EF⊥AC；(2)若∠DAC=30°，AB=2，求EF的長.3.在菱形ABCD中，P、Q分別是邊BC、CD的中點，連結AP、AQ.(1)如圖1，求證：AP=AQ；(2)如圖2，連結PQ，若AP⊥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有等于30°的角. 圖1 圖2技巧二借助軸對稱求最值解讀在正方形中，要求兩條線段長度和的最小值，只需借助軸對稱，將兩線段長度和轉化為一條線段的長度求解.4.如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在CD上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為()A.6 B.8 C.10 D.825.如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，AC=12，若點E，F(xiàn)是AC的三等分點，點P在正方形ABCD的邊上從點A開始按逆時針方向運動一周，直至返回點A，則在此過程中PE+PF的最小值為.

技巧三巧作垂直證明線段的和差關系解讀通過作垂線，將四邊形問題轉化為三角形問題求解.6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足為E.求證：AE+BE=AD.技巧四利用平移求解解讀根據(jù)平移的性質，得出線段平行或相等，判定四邊形是平行四邊形，再利用特殊平行四邊形的判定求解.7.如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8.將△ABC沿射線BC方向平移10個單位長度，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F(xiàn)，連結AD.求證：四邊形ACFD是菱形.8.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，將△ABE沿BC方向平移，使點B落到點C處，點E落到點F處.(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)若BF=8，DF=4，求AB的長.

專項08特殊平行四邊形的解題技巧答案全解全析1.解析如圖，連結BD交AC于O，∵點E、F分別是邊CD、BC的中點，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=12BD，EF∥BD∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=12AC=12，AC⊥BD，BD=2BO，CD∥AB，∴∠AOB=90°由勾股定理得，BO=AB2-AO∴BD=2BO=10，∵EF∥BD，DE∥BG，∴四邊形BDEG是平行四邊形，∴EG=BD=10.2.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵E為邊AB的中點，∴AE=12同理AF=12AD，∴AE=AF∵AE=AF，∠DAC=∠BAC，∴AC⊥EF.(2)如圖，連結BD，∵∠DAC=30°，四邊形ABCD是菱形，∴∠DAB=60°，AD=AB，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=2，∵E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，∴EF=123.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∵P、Q分別是邊BC、CD的中點，∴BP=DQ，在△ABP和△ADQ中，AB=AD,∴△ABP≌△ADQ(SAS)，∴AP=AQ.(2)如圖，連結AC.∵BP=PC，AP⊥BC，∴AB=AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠B=∠D，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠D=60°，∵∠APB=90°，∴∠BAP=30°，∵△ABP≌△ADQ，∴∠DAQ=∠BAP=30°，∵AB∥CD，∴∠PCQ=180°-∠B=120°，易知CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=30°，∴∠BAP=∠DAQ=∠CPQ=∠CQP=30°.4.C如圖，連結BN，BM，∵四邊形ABCD是正方形，∴對角線AC所在直線是其一條對稱軸，∴BN=DN，∴DN+MN=BN+MN≥BM，∴DN+MN的最小值為BM的長，在Rt△BCM中，BC=8，CM=CD-DM=8-2=6，∴BM=BC2+CM即DN+MN的最小值為10.故選C.5.答案45解析∵點E，F(xiàn)是AC的三等分點，∴點P在正方形ABCD的任何一條邊上情況相同，不妨設點P在邊AD上，如圖，作點E關于AD的對稱點E'，連結E'F，交AD于點P，此時PE+PF的值最小.過點F作FO⊥E'E的延長線于點O，∵正方形ABCD中，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC=12，∴AE=EF=FC=4，易知E'O∥AB，∴∠FEO=∠CAB=45°，∵FO⊥E'E，∴△OEF為等腰直角三角形，∴OE=OF=22，設EE'交AD于G，易證△OEF≌△GEA，∴GE=OE=GE'，∴E'O=62，根據(jù)勾股定理，得E'F=OF2+E'O2∴PE+PF的最小值為45.6.證明如圖，作CF⊥BE于F，∴∠BFC=∠CFE=90°.∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠BED=90°.∴∠ABE+∠A=90°，又∵∠ABC=∠ABE+∠FBC=90°，∴∠A=∠FBC.又∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE=CF.在四邊形FEDC中，∠BED=∠CFE=∠CDE=90°，∴四邊形FEDC是矩形，∴CF=DE.又∵BE=CF，∴BE=DE.∵AD=AE+ED，∴AD=AE+BE.7.證明由平移變換的性質，得AD∥CF，AD=CF=10，∴四邊形ACFD是平行四邊形.∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC=AB∴AC=CF，∴?ACFD是菱形.8.解析(1)證明：由平移的性質得AE∥DF，AE=DF，∴四邊形AEFD是平行四