2025年春新湘教版數(shù)學七年級下冊課件 1.2.3 運用乘法公式進行計算和推理

利用乘法公式進行計算和推理①復習導入完全平方公式(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減.(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式注意：公式中的a與b既可以是數(shù)，又可以是單項式和多項式.探究新知運用乘法公式計算：(x+1)(x2+1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x-1)利用多項式的乘法的交換律和結(jié)合律以及平方差公式，可得=[(x+1)(x-1)](x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1運用乘法公式計算：(1)(a+b+c)2解:將完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入,可得(a+b+c)2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2將(a+b)看作一個整體提示：遇到多項式的乘法時，我們要先觀察式子的特征，看能否運用乘法公式，以達到簡化運算的目的.(2)(a-b+c)(a+b-c)解:利用平方差公式，可得(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2添括號時注意符號的變化。將(b-c)看作一個整體運用乘法公式注意事項：1.要根據(jù)具體情況靈活運用乘法公式、冪的運算性質(zhì)(正用與逆用)。2.式子變形添括號時注意符號的變化。運用乘法公式計算：(1)(a+b)2+(a-b)2(a+b)2+(a-b)2解：=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2a2+2b2(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab(2)(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab還有其他方法嗎？運用乘法公式計算：(x+y)3(x+y)3解：=(x+y)

(x+y)2=(x+y)

(x2+2xy+y2)=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3=x3+3x2y+3xy2+y3先填空：(1)152=100×1×______+25(2)252=100×2×______+25(3)352=100×______×______+______由此猜測：十位數(shù)字是a、各位數(shù)字是5的兩位數(shù)可以表示為__________,它的平方可表示為100×______×______+______23342510a+5a(a+1)251.運用乘法公式計算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；解:

(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16（2）(x+1)2(x-1)2；解:

(x+1)2(x-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x2-1)2

=x4-2x2+1[教材P21練習第1題]解:(a-b-c)2=[a-(b+c)]2=a2-2a(b+c)+(b+c)2=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.(3)(a-b-c)2（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；解：(x+2y-1)(x+2y+1)=(x+2y)2-1=x2+4xy+4y2-1（5）(2x+y-1)(2x-y+1)；解：[2x+(y-1)][2x-(y-1)]=(2x)2-(y-1)2

=4x2-(y2-2y+1)=4x2-y2+2y-1[教材P22練習第2題]2.運用乘法公式計算：(3x-2)2-(2x+5)2

解：(3x-2)2-(2x+5)2

=[(3x-2)+(2x+5)][(3x-2)-(2x+5)]

=(5x+3)(x-7)

=5x2-32x-21

3.若n是整數(shù)，則(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，試說明理由[教材P22練習第3題]解：(n+3)2-(5n+9)=n2+6n+9-(5n+9)=n2+6n+9-5n-9=n2-n=n(n-1)化簡后得n(n-1)，因為n為整數(shù),則n(n-1)為一個奇數(shù)乘以一個偶數(shù)，則結(jié)果必然為偶數(shù)，所以一定能被整除。4.一個正方形的邊長增加2cm，它的面積就增加16cm2，

求這個正方形原來的邊長。答：這個正方形原來的邊長為3cm.解設(shè)正方形原來的邊長為xcm.列方程，得(x+2)2=x2+16，解得x=3.x2+4x+4=x2+164x=12隨堂練習1.下列運算中，正確的是（）A.(a+3)(a-3)=a2-3B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2D.(x+2)(x-3)=x2-6C2.下列多項式的乘法中，可以用平方差公式

計算的是（）A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b-a)C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)B3.解方程：5x+54x2-24-54x2+6=25x=20x=45x+6(9x2-4)–54(x2-)=25x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-)(x+)=2解:4.計算：(1+)(1+)(1+)(1+)+.解：原式=2(1-)(1+)(1+)(1+)(1+)+=2(1-)+=25.已知=3,求的值.解：由=3，得()2=9即-2=9所以=11所以()2

=121即+2=121所以=1196.一個正方形花圃的邊長增加到原來的2倍還多1m，它的面積就增加到原來的4倍還多21m2,求這個正方形花圃原來的邊長。解：設(shè)正方形花圃原來的邊長為xm.由數(shù)量關(guān)系，得(2x+1)2=4x2+21，化簡，得4x2+4x+1=4x2+21，即4x=20，解得x=5.答:這個正方形花圃原來的邊長為5m。課堂小結(jié)完全平方公式(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b