2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式及其應(yīng)用（十八大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................................2

題型一：基本不等式及其應(yīng)用....................................................................2

題型二：直接法求最值..........................................................................3

題型三：常規(guī)湊配法求最值......................................................................3

題型四：化為單變量法..........................................................................3

題型五：雙換元求最值..........................................................................3

題型六：“1”的代換求最值.......................................................................4

題型七：齊次化求最值..........................................................................4

題型八：利用基本不等式證明不等式..............................................................4

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題............................................................5

題型十：與a+b、平方和、成有關(guān)問(wèn)題的最值....................................................6

題型十一：三角換元法..........................................................................7

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式..................................................................8

題型十三：待定系數(shù)法..........................................................................8

題型十四：多元均值不等式......................................................................8

題型十五：萬(wàn)能K法............................................................................9

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問(wèn)題....................................................9

題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題.................................................9

題型十八：整體配湊法.........................................................................39

02重難創(chuàng)新練.................................................................................40

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................................11

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

1.(2024?高三?安徽蕪湖?期末)《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成

了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱

之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，且。尸，A3,點(diǎn)C在直徑A3上運(yùn)動(dòng).作8LA3

交半圓。于點(diǎn)O.設(shè)AC=。，BC=b,則由FCWCD可以直接證明的不等式為()

A.2>0,6>0)B.a2+b~>2ab(a>0,b>0)

C.(a>0,Z>>0)D.^fab<Ja(a>0,b>0)

2.下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是()

①己知求2的最小值；解答過(guò)程：-+->2.EJ=2；

baba\ba

②求函數(shù)y=j的最小值;解答過(guò)程：可化得y=+4?2；

7

③設(shè)*>1,求？=彳+——；的最小值;解答過(guò)程：y=x+^->2.^,

X-Lx—1Vx—1

2把工=代入后^得最小值為

當(dāng)且僅當(dāng)》=二即x=2時(shí)等號(hào)成立,224.

x-1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.下列不等式一定成立的是()

A.1g卜+；j>lgx(x>0)

B.sinxH------22(xWkjr,kGZ)

sin%

C.x2+1>2|x|(xeR)D.—>1(xsR)

x+1

題型二：直接法求最值

4.（2024?上海普陀?二模）若實(shí)數(shù)〃，人滿足a—2b20,則2。+，的最小值為.

h2

5.（2024?高三?上海青浦?期中）若且滿足"=8,則/十一的最小值為.

16

6.若x>0,貝的最小值為.

x

題型三：常規(guī)湊配法求最值

7.若X>1,則％H的最小值是__.

x—1

8.若工>-1,則函數(shù)/（力二三的值域是.

9.若一Ivxvl,則y「2-2x+2有（）

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

題型四：化為單變量法

10.若a+b+c=4,3a+2b-c=0f貝！Jab的最大值為（)

B.3

A.-c.-D.—

6633

11.（2024?高三?河南漠河?期末）設(shè)正實(shí)數(shù)力、V、z滿足，-孫+黃-2=0,則父的最大值為（）

Z

A.4B.2C.3D.1

8

12.已知正數(shù)x,y滿足3A4=9,，則x+一的最小值為.

y

13.已知x,yeR+,若2x+y+孫=7,貝！|x+2y的最小值為.

題型五：雙換元求最值

62

14.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知0>0,0/71r1,則2i的最小值為一

15.（2024?高三?福建龍巖?期中）已知x>0,y>0且Y+3/+4町=8,貝|3x+5y的最小值為

題型六："1"的代換求最值

16.（2024?高三?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)y=log.（x+2）-3（。>0且。*1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A

九1

在直線儂+〃y+l=0上，其中〃機(jī)>0,則二+士的最小值為.

mn

17.（2024?四川南充?二模）已知x,y是實(shí)數(shù)，x>0,y>0,且x+y=4,則的最小值為

^y

18.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）若直線2wu+沖-4=0（加>0,”>0）過(guò)函數(shù)y=log"（x-l）+2（a>。，且awl）

H4

的定點(diǎn)T,則巴+2的最小值為.

mn

19.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)°、萬(wàn)滿足工+[=1,貝|2。+〃的最小值為_(kāi)___.

ab

題型七：齊次化求最值

1X

20.（2024?高三?浙江?開(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)羽V滿足1+2y=l,則一+一的最小值為_(kāi)_______.

xy

21.已知x>0,y>0,x3+y3=x_y,則匕f的最小值是（）

y

A.2B.2+73C.45+1D.2A/2+2

題型八：利用基本不等式證明不等式

22.已知a,b,c為正數(shù)，函數(shù)〃x）=|x+a|+|x+4+.一小

⑴若a=6=c=2,求/（X）的最小值；

⑵若/（0）=1且a,b,C不全相等，求證：/c+c'a+a3b>abc.

23.不等式選講已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)/（》）=卜-4力+歸+叫+c的最小值為4.

（1）求證：ab+bc+ca>9abc；

（2）求證：6y/ab+3y[bc+2\[ca<4.

24.（2024?四川資陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知。>0,b>0,且o+〃=2.

⑴求Y+廿的最小值；

（2）證明：而T+屈

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

25.（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相

互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫(huà)圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖

中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角&滿足

cosa=1,則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（）

26.（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量卬（單位：平方米）的計(jì)算公式

是W=（長(zhǎng)+4）x（寬+4）,在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平

方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

27.（2024?高三?山東濟(jì)寧?開(kāi)學(xué)考試）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里

購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員現(xiàn)將5g的祛碼放在天平的左盤(pán)中，取出用黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；將天平

左右盤(pán)清空后，再將5g的祛碼放在天平右盤(pán)中，再取出翅黃金放在天平的左盤(pán)中，使天平平衡；最后將兩

次稱得的黃金交給顧客.則（）

A.x+y>10B.x+y=10

C.x+y<10D.以上都有可能

28.（2024?高三?北京朝陽(yáng)?期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水

平的影響，用。表示產(chǎn)量，力表示勞動(dòng)投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示

為0=4不〃，其中A>0,K>0,l>0,0<a<l,0</<1.當(dāng)A不變，K與乙均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，下面結(jié)論中正確

的是（）

A.存在a<:和夕<：,使得Q不變

B.存在a>g和夕>g,使得。變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

C.若加=:，則。最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

D.若才+加=3,則。最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

29.某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名女社員分

裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社員人數(shù)都不

足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.己知分裝這種蔬菜時(shí)會(huì)不可避免地造

成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會(huì)損耗蔬菜共80千克，參與任務(wù)

的所有女社員會(huì)損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損

耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

題型十：與。+瓦平方和、ab有關(guān)問(wèn)題的最值

30.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)〃，b滿足3/+3/+4必=5,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ab<1B.ab2—

5

c.a2+b2>2D.-y/2<a+b<y/2

31.（多選題）已知位于第一象限的點(diǎn)伍,。）在曲線J+（=l上，貝I（）

A.=B.ab>4

122

C.ci+4b<9D.-z~H—之一

a2b13

32.（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)x>0,y>0,且滿足x+y+3=孫，則（）

A.4x+y>13B.xy<9

C.x2+y2<lSD.-+-^-

xy3

i3

33.（多選題）已知，>0,b>0,一+；=1,則下列說(shuō)法正確的是（）

ab

A.ab的最小值為12

B.〃的最小值為48

C./+/的最小值為24

13

D.7+力士的最小值為2

a—1b—3

題型十一：三角換元法

34.（多選題）由知實(shí)數(shù)。，8滿足〃2+4/=2,則（）

A.次?的最大值為:

B.Q+6的最大值為26

c〃「揚(yáng)M

C.a-be-------,------

22

D.當(dāng)°>0,0<6<也時(shí)，的最大值為正

4a+2b4

35.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)〃，力滿足〃2+4/=2,則（）

A.ab<-

2

B.的最大值為

c,rvw呵

C.a-bG--------,-------

22

D.（。+26乂03+助3）的最大值為5

36.（多選題）若了,?滿足，+/一孫=1,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.x+y<lB.x+y>-2C.x2+y2<2D.x2+y2>-

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式

37.己知。＞0力＞0,貝ija+bn1■丁的最小值為_(kāi)___.

ab

lab

38.（2024?黑龍江?二模）已知實(shí)數(shù)4，b5.ab＞0,則取得最大值時(shí),a+b的值為（）

a2+b2+crb1+9

A.幣B.273C.-26D.2^/3或-

+4Z/+J-的最小值為（）

39.若實(shí)數(shù)a,6滿足M＞0,則儲(chǔ)

ab

A.8B.6C.4D.2

40.已知〃>0,">0則4a+b+1——的最小值為（）

7ab

A.2B.2A/2C.4D.5

題型十三：待定系數(shù)法

41.（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三4月月考數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)工,z不全為0,則

?+的最大值為（）

x+y+z

A.亞B.旦C.—D.立

2222

42.（2024?山西運(yùn)城?二模）若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，則一：手的最大值為（）

a+2b+c

題型十四：多元均值不等式

43.已知孫=1（%＞。），貝！|16x+y2的最小值為.

44.函數(shù)y（x）=------------------------的最小值是（）

\79x+2-3-J

Q1Q

A.25/2B.3C.—D.—

題型十五：萬(wàn)能K法

45.已知實(shí)數(shù)。力滿足/+462+。6=1，貝心的最大值為.

46.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)羽兒滿足M+孫+3/=3,則x+V的最大值為（）

AR6A/H「A/3+1口g+3

A.--------D.----------C.-----------D.-----

11II33

47.（2024?高三?重慶?期中）已知x,yeR,且/+4/=3,則;x+y的最大值為.

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問(wèn)題

o12

48.（2024?遼寧大連?一模）對(duì)于任意的正數(shù)辦n,不等式三+±2二'成立，則入的最大值為一

49.（2024?高三?山東濱州?期末）若不等式尤2一族+420對(duì)任意xw[l,3H亙成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.[0,4]B.（-?,4]C.1―D.（-8,5]

12

50.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)X，'滿足一+—=1且不等式2云+?>/+2利恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

xy

A.（-4,2）B.（-2,4）

C.（-00,^l）o（2,+00）D.（-00,-2）1（4,+00）

題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題

51.已知x>0,y>0,向量d=（x,y）,b=（2,l）,a-A=l,則孫的最大值為.

52.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在直三棱柱AB?-ABC中，ABA.BC,ACt=2AA,=4,則該三棱柱的體積

的最大值為.

53.（2024?四川南充?二模）在JLBC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.己知。=2,

2sinB+2sinC=3sinA.則cosA的最小值為.

54.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知以力為銳角,_@.tana-tan；0+2tanatan2^=O,則tana的最大值為（）

A.也B.克C.也D.72

432

A.2B.2A/2C.4D.472

7.（2024?江蘇南通?二模）設(shè)x>0,y>0,-+2y=2f則1+,的最小值為（）

%）

33

A.-B.2>/2C.—+\/2D.3

22

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知%>0,）>0且x+y=l,則盧3+7^的最小值為（）

1+x1+/

A1「2-3

A.—B.—C.-D.一

5555

9.（多選題）（2024?河北保定?二模）已知/+4戶+2而=1,貝IJ（）

A.他的最大值為1B.儲(chǔ)+4爐的最小值為力

O

的最小值為

C./+432的最大值為2D.-g

10.（多選題）（2024?浙江紹興?二模）已知a>0,b>0,a+b=ab,貝!J（）

A.a>lRZ?>1B.ab>4

b1

C.a+Ab<9D.—n—>1

ab

11.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0,且a+Z?=2,貝|（）

A.a2+b2>2B.C.loga+log&>0D.a2-b>0

422

12.（多選題）（2024?高三?浙江湖州?期末）已知正數(shù)。力滿足。（。+勸=1,下列結(jié)論中正確的是（）

A.Y+/的最小值為2虛-2B.2a+6的最小值為2

C."的最小值為羋

D.〃■-揚(yáng)的最大值為1

13.（2024?湖北黃石?三模）設(shè)。，beR+，若。+43=4,則&蘭歷的最小值為_(kāi)___，此時(shí)。的值為.

7ab

14.（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)久6的四個(gè)不等式中，恒成立的是.（請(qǐng)?zhí)钊肴?/p>

正確的序號(hào)）

①a+b之2五K；②Nab；③141一網(wǎng)旦。一切；@a1+b2>2b-\■

15.（2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足/+孫+yz+xz+x+z=6,則3x+2y+z的

最小值是.

16.（2024怏西咸陽(yáng)模擬預(yù)測(cè)汨知函數(shù)〃x）=2024，-2024T，若=>0,〃>0,且〃根-2）+?）=*0）,

31

則的最小值為_(kāi)___.

m+1n+\

1.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）若。則2+9+6的最小值為_(kāi)_______.

ab

2.（多選題）（2022年新高考全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題）若x,y滿足一+必一孫=1,則（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

3.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在ABC中，8c=1,/A=60，AO=gAB,CE=gc￡>,記AB=a,AC=b,

用。,〃表示AE=;若BF=；BC,則A￡.AF的最大值為.

4.（2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（湖南卷））若實(shí)數(shù)。力滿足疝，貝的

ab

最小值為

A.72B.2C.2A/2D.4

5.（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（福建卷））要制作一個(gè)容積為4nP,高為1m的無(wú)

蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總

造價(jià)是（）

A.80元B.120元

C.160元D.240元

1\a\

6.（2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷））設(shè)a+>=2,b>0,則干+岸的最小值為一.

2|a|b

7.（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（陜西卷））設(shè)"m,九eR,且/+〃=5,3+,訪=5,

則Vm2+n2的最小值為

8.（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（浙江卷））己知實(shí)數(shù)。、b、c滿足。+6+c=o,

a2+b2+c2=l,則。的最大值為_(kāi)____.

第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................................2

題型一：基本不等式及其應(yīng)用....................................................................2

題型二：直接法求最值..........................................................................3

題型三：常規(guī)湊配法求最傅......................................................................3

題型四：化為單變量法..........................................................................3

題型五：雙換元求最值..........................................................................3

題型六：“1”的代換求最值.......................................................................4

題型七：齊次化求最值..........................................................................4

題型八：利用基本不等式證明不等式..............................................................4

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題............................................................5

題型十：與a+b.平方和、成有關(guān)問(wèn)題的最值....................................................6

題型十一：三角換元法..........................................................................7

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式..................................................................8

題型十三：待定系數(shù)法..........................................................................8

題型十四：多元均值不等式......................................................................8

題型十五：萬(wàn)能K法............................................................................9

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問(wèn)題....................................................9

題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題.................................................9

題型十八：整體配湊法.........................................................................39

02重難創(chuàng)新練.................................................................................40

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................................11

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

1.(2024?高三?安徽蕪湖?期末)《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成

了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱

之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，且。尸J_A3,點(diǎn)C在直徑A3上運(yùn)動(dòng).作CDLAB

交半圓。于點(diǎn)O.設(shè)AC=a,BC=b,則由尸C28可以直接證明的不等式為

A.(6z>0,Z?>0)B.a2+b2>2ab(^a>0,b>0)

C-怒…)D.(a>0,6>0)

【答案】D

【解析】連接AT),8。，由題知CO_LAB,AD±DB,

所以ZADC+NCD3=NCD8+NCB￡),BPZADC=ZCBD,

因?yàn)镹ACD=Nr)CB=90,

所以/XACDADCB,

由zACCD

所以次=正'即CD=4ab，

因?yàn)?C=a,BC=b,

所以0尸=土心，OC=a-a+b_a-b

222

a+ba2+b2

所以/C=

2

所以由尸CNCD可以證明J瓶<(a>0]>0)

故選：D

2.下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知而。，求小3的最小值；解答過(guò)程：?厝二2；

②求函數(shù)3=：產(chǎn)的最小值;解答過(guò)程：可化得y=，尤2+4+22,

Vx-+4

22

③設(shè)X>1,求i+口的最小值;解答過(guò)程：y=x-\------->2

%—1

2

當(dāng)且僅當(dāng)％=二即％=2時(shí)等號(hào)成立,把x=2代入2J三得最小值為4.

x-1Vx-1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【解析】對(duì)①：基本不等式適用于兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)必<o,f與2均為負(fù)值,

ba

n.?b

止匕n時(shí)一十一

ba

當(dāng)且僅當(dāng)f=即。=b<0時(shí)等號(hào)成立，故①的用法有誤，故①錯(cuò)誤;

ba

對(duì)②：y=7x2+4+^J->2,

1.-------

=J.+4，即J-+4=1時(shí)取等號(hào)，

但在工22,則等號(hào)取不到，故②的用法有誤；

22

對(duì)③：x>l,x—1>0,y=x~\-------=x-l~\--------F1N2A^+1,

x—1x—1

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=&,即％=亞+1時(shí)取等號(hào)，故③的用法有誤；

故使用正確的個(gè)數(shù)是。個(gè)，

故選：A.

3.下列不等式一定成立的是（）

A.1g|%2+—|>1gx（x>0）B.sinx+—>2（x手k兀，k^Z）

\4Jsinx

C.x2+l>2k|（xeT?）D.—一>1（XGH）

11x+1

【答案】C

【解析】A：當(dāng)x時(shí)，有/+J=x,故不等式不一定成立，故A錯(cuò)誤；

24

B：當(dāng)sinx=—l,即％=24%+￥（左EZ）時(shí)，有sinx+一一=-2<2,故不等式不一定成立，故B錯(cuò)誤;

2sinx

C：/+1-2禺=（|刈—1）220恒成立，故C正確；

D：當(dāng)x=l時(shí)，有上=:<1,故不等式不一定成立，故D錯(cuò)誤；

X+12

故選：C

題型二：直接法求最值

4.（2024?上海普陀?二模）若實(shí)數(shù)。，。滿足a-220,則2。+京的最小值為.

【答案】2

【解析】因?yàn)?">0,不a—2b>0,

所以2"+，=2"+522^2”?表亞=2,

當(dāng)且僅當(dāng)2"=},即。=6=0時(shí)等號(hào)成立，

所以2。+1的最小值為2.

故答案為：2.

b2

5.（2024?高三?上海青浦?期中）若a,beR且滿足仍=8,則/+一的最小值為_(kāi)______.

16

【答案】4

【解析】因?yàn)?=8,所以〃2>0萬(wàn)>0,

當(dāng)。2=而，即6=4々=4^笈或Z?=4a=—時(shí)取等號(hào)，

h2

所以/+幺的最小值為4.

16

故答案為：4.

A

6.若%>0,則%+-的最小值為.

X

【答案】4

【解析】因?yàn)閤>0,則X+=當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)，等號(hào)成立,

故答案為：4.

題型三：常規(guī)湊配法求最值

7.若x>l,則x+—1的最小值是__.

x-1

【答案】3

【解析】Vx>l,

???x+^-=x-l+^—+l>2j(x-l)x-^+l=3,

x-1x-1V7x-1

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=工即X=2時(shí)取等號(hào)，

x-1

「?％=2時(shí)x-\---^取得最小值3.

x-1

故答案為：3.

8.若兀>—1,則函數(shù)”司=57的值域是.

【答案】[0,+8)

【解析】?.?小)==G+])2_2(x+l)+]+J__2.

v7x+1x+1v7x+1

當(dāng)%>一1時(shí)，/(x)>2^(x+l)x-^--2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)兀+1=工，即尤=0時(shí)取等號(hào)；

故函數(shù)的值域?yàn)閇0,+8).

故答案為：[0,+8).

9.若,則,=廠—2x+2有()

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因—Ivxvl,貝!]0<l-x<2,

于是得y=立±1=-匕（1一無(wú)）+」—］《一」.2八二口二=-1,當(dāng)且僅當(dāng)1_彳=3，即x=0時(shí)取

21—x21—x2丫1—x1—x

—2x+2

所以當(dāng)x=0時(shí),y=有最大值-1.

2x-2

故選：A

題型四：化為單變量法

10.若a+b+c=4,3〃+2b-c=0,則次?的最大值為（）

A.-B.立C.-D.且

6633

【答案】C

【解析】由。+匕+。=4,3a+2Z?-c=0,

可消去。得到4a+3Z?=4,

則a=l——b,令y=ab,

4

y=_22+Z?=—|（Z?--|）2+g,

，當(dāng)6=1■時(shí)，

故油的最大值為;.

故選：C.

11.（2024?高三?河南漠河?期末）設(shè)正實(shí)數(shù)X、y、z滿足/一肛+y2-z=o,則組的最大值為（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、丁、Z滿足i2一肛+y2-z=0,貝|Jz=A：2+y2一孫，

現(xiàn)=—毛—-1--1

所以，z廠+丁一孫i+z_l2l±.y_1，

y%，?7一

當(dāng)且僅當(dāng)'=）（x>0，y>。）時(shí)，即當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，

y尤

故芷的最大值為1.

Z

故選：D.

Q

12.已知正數(shù)尤，y滿足3一=夕，則x+一的最小值為.

■y

【答案】12

8

【解析】由3"一4二夕，可得％—4=2y,即x=2y+4,代入1+一中，

y

82IQ-

可得2>+4+—=2y+—+4222y—+4=12,

yyVy

當(dāng)且僅當(dāng)y=2,x=8時(shí)，取等號(hào)，

g

所以X+一的最小值為12.

y

故答案為：12.

13.已知x,y￡R+,若2x+y+q=7,貝！J%+2y的最小值為.

【答案】672-5

光

【解析】由x,ycR+,且2x+y+沖=7,可得y=一7—2

X+1

mil_LO,O7-2Xx2—3x+14

貝I]%+2y=x+2x-------=----------------，

x+\x+1

設(shè)，=x+l,可得x=，—1且，>1,

—r，曰——3x+14/—5/+1818__I18_c

可得---------=---------=t+——5>2jt-------5=6j2—5，

x+1ttxt

當(dāng)且僅當(dāng)f時(shí)，即r=3應(yīng)時(shí)，等號(hào)成立，所以x+2