2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：矩形問題

矩形問題

一階方法突破練

1.如圖.在10X10的方格中有格點(diǎn)A,B,在網(wǎng)格中確定一組格點(diǎn)c,D,使得四邊形ABCD是以AB為較短

邊的矩形.

第1題圖

2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中有線段AB,點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，確定C,D,使得

以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)作出符合要求的矩形.

第2題圖

3.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中直線L經(jīng)過.A(-l,0),M(l,4)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn),

若以A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

第3題圖

4.如圖，拋物線y=|x2-|x-2^x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，平面內(nèi)存

在點(diǎn)N，使得以B,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

第4題圖

5.如圖，拋物線y=-/+2%+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面

內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

第5題圖

二階設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，拋物線y=~^X2+|x+4-^x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

⑴平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由；

例題圖①

⑵是否存在以BC為邊，且一個(gè)頂點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上的矩形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由；

例題圖②

⑶若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以C,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊

形是矩形?若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

例題圖③

三階綜合強(qiáng)化練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=必一八-5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,一次函數(shù)y

=kx+6的圖象經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，D(2,5)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).

⑴求一次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BDP的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)(對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)+任意一點(diǎn))將拋物線沿x軸向右平移兩個(gè)單位，得到的新拋物線與x軸交于E,F兩點(diǎn)(點(diǎn)

E在點(diǎn)F左側(cè)),若點(diǎn)M為新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以D,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊

形是矩形?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

2.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于點(diǎn)4(一3,0),B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,ACAO=

交拋物線于點(diǎn)E,且.4E=EC.

45。,直線y=kx

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)M為直線y=1上一點(diǎn)，點(diǎn)N為直線EC上一點(diǎn)，求(CM+MN的最小值；

(3)(拋物線上的動(dòng)點(diǎn)+任意一點(diǎn))點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,Q,使得以E,C,

P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+/>%+|(a0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)

A的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,S(0A-OB=1:3,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)M是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，連接AC,AM,BM,當(dāng)4ABM=2乙4co時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；

(3)(對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)+任意一點(diǎn))若點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，

是否存在點(diǎn)P,Q,使得以B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

考向3矩形問題

一階方法突破練

1.解：格點(diǎn)C,D的位置如解圖所示.

第1題解圖第2題解圖

2.解:如解圖，矩形ABDiG,矩形ABC2D2,矩形AC3BD3和矩形AC4BD4為所求作矩形.

3.解：①當(dāng)AM為矩形的對(duì)角線時(shí)，如解圖①，設(shè)N為AM的中點(diǎn)

?.A(-l,0),M(l,4),.-.N(0,2),

???MN=V5..-.NQi=NQ2=V5,

???QI（0,2+V^）,Q2（0,2—強(qiáng)）;

第3題解圖

②當(dāng)AM為矩形的邊時(shí),(i)當(dāng)AP±AM時(shí)，如解圖②，過點(diǎn)A作直線l，x軸作P3HL于點(diǎn)H,作MG±I于點(diǎn)

G,

ZGAM+ZHAP3=90：NHAP3+NAP3H=90：

?.ZGAM=ZAP3H,

?-?ZMGA=NAHP3=90°

“MGASAAHP。則箸=**

（j/1ri尸3Z

HP3=1,.-,AH=;P3（0,一Q3（2-1）；

(ii)當(dāng)MP±AM時(shí)，如解圖③，過點(diǎn)M作直線l」x軸，交x軸于點(diǎn)L,作「4以1'于點(diǎn))同理得必1_17|5人171升4,

則胃=培=；JP4=1,；?MJ=I，P4(0-1),.-.Q4(-2-5綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2+遍)或

(0,2-佝或(2,3］或(―2，|).

4.解:拋物線y=#-1久-2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,/.A(-l,0),B(4,0),C(0,-2),AB=5,

AC=VS,BC=2V5,

分兩種情況討論，如解圖，

①當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，

?.zCOB=90°,

，此時(shí)M點(diǎn)與O點(diǎn)重合，即Mi。。),.1Nia,-2);

②當(dāng)以BC為邊時(shí)，

(i)M點(diǎn)在x軸上時(shí),

???AB=5,4C=V5,BC=2V5,

：.AB2^AC2+BC2,：.ZACB=90°

二此時(shí)M點(diǎn)與A點(diǎn)重合,即M2(-l,0),

?：C點(diǎn)向右平移4個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位得到

B點(diǎn)坐標(biāo)，,Mz點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到?jīng)_點(diǎn)坐標(biāo)，

.2(3,2);

(ii)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，延長(zhǎng)(i)中BN2交y軸于M3*,即可組成矩形CBM3N3,此時(shí)點(diǎn)

N3在第二象限，

設(shè)直線BN2的解析式為y=kx+b,

代入B點(diǎn)和N2點(diǎn)的坐標(biāo)，

得(軌+6=0解得(k=-2

伯Uk+b=2'州守lb=8,

直線BN2的解析式為y=-2x+8,

當(dāng)x=0時(shí),y=8,

故M3(0,8),

???B點(diǎn)向左平移4個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得到M3點(diǎn)，「C點(diǎn)向左平移4個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位

得到用點(diǎn),

.■.N3(-4,6),

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,-2)或(3,2)或(-4,6).

5.解存在.

1?拋物線的解析式為y=—x?+2x+3,

.-.A(-l,0),C(0,3),

二.AC所在直線的解析式為：y=3x+3.

①當(dāng)AC為矩形的邊時(shí)，如解圖，過點(diǎn)A,C作AC的垂線，分別交拋物線于點(diǎn)Pi,P2.

設(shè)APi所在直線的解析為y=-jx+C,

」.APi所在直線的解析式為y=-7-洞理CP?所在直線的解析式為y=-梟+3.

_10

2

y——x+2%+3;二(舍去)-

聯(lián)立11解得:「3"（印譚）.???QWS

-yw，力一—萬

7

2

y——x4-2x+3%二；(舍去)?

聯(lián)立1,解得

y=--%+3

②當(dāng)AC為矩形的對(duì)角線時(shí)，如解圖，以AC為直徑畫圓，OI與拋物線無其它交點(diǎn).

..不存在以AC為對(duì)角線且符合題意的點(diǎn)Q.

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為用用或

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解:⑴存在.

???拋物線y=-；/+1”+4與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

令x=0碧y=4,二.C(0,4).

令y=0,解得.XI=-2,X2=8,.1A(-2,0),B(8,0).

AAC2=0A2+0C2=20,BC2=0B2+0C2=80,AB2=(0X+0B)2=100.

AC2+BC2=20+80=100=AB2.

."ABC為直角三角形，

?■.AC,BC為矩形的兩邊，AB為矩形的對(duì)角線，

.?.點(diǎn)D在AB下方.

?.點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)A，二點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位

得到點(diǎn)D,

.?.D(6,-4);

(2)存在.

■.B(8,0),C(0,4),

..BC所在直線的解析式為y=-|%+4.

?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3,

二設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,p).

過點(diǎn)B,C分別作BC±CP1于點(diǎn)P1,BP2±BC于點(diǎn)P2,

①當(dāng)點(diǎn)Pi在BC上方時(shí)，如解圖①，設(shè)CP】所在直線解析式為=2久+瓦，

將C(0,4)代入，解得b1=4,/.ycp=2x+4.

當(dāng)x=3時(shí),y=10,

②當(dāng)點(diǎn)Pz在BC下方時(shí)，如解圖②，設(shè)BP?所在直線的解析式為yBP2=2%+b2>

將B(8,0)代入，解得b2=-16,/.yBP=2x-16.

.?,P2(3,-10).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,10)或(3,-10);

【一題多解】,.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，，設(shè)P(3,p),如解圖①，當(dāng)CP_LCB時(shí)，過點(diǎn)Pi作PiF_Ly軸于點(diǎn)F,

.?.zP1FC=90°,/.zFCP1+zBCO=90°^FCP1+=90°???zBCO=^CP^F；:zP1FC=zCOB=90°,/.ACOB^△

PiFC,/.%=案,CF=6,.-.Pi(3,10);同理，如解圖②，當(dāng)BP±CB時(shí)，可得WzBEdBC。此時(shí)P2(3,-10).綜上所

CUDU

述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,10)或(3,-10).

例題解圖

⑶存在.

y=—+|x+4=--^(x—3)2+

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,9.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,m).①當(dāng)CE為矩形的邊時(shí)，如解圖③，過點(diǎn)E作EMJLCE交y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN

IlEC,過點(diǎn)C作CNllEM,兩直線交于點(diǎn)N,連接NE交MC于點(diǎn)F.

易得EM2=32+(m-=32+(y-47^CM2=(m-4)^

???EM1CE,.-.CE2+EM2=CM4

即等+32+(m-弓)-(.m-4)2,,的！N

解得小=今,...”(0勺,圖⑤

例題解圖③

，矩形的對(duì)角線交點(diǎn)F的坐標(biāo)為((0,57/8),

:點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3,8);

②當(dāng)CE為矩形的對(duì)角線時(shí)，如解圖④，

四邊形EMCN為矩形，

.北1\/14軸(1\1"軸,..1\/1(0,f),N(3,4)綜上所述點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3,8)或(3,4).

rf

“。門豌一十

圖④圖⑤

例題解圖

【一題多解】：y=+|久+4=-：世-3)2+R,.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3弓)，①當(dāng)CE為矩形的邊時(shí)，如解

4Zz

圖③,?((。⑷上⑶勺,二直線CE的解析式為y：=:久+4,.設(shè)ME的解析式為y=—1%+瓦將點(diǎn)E坐標(biāo)代入得，y

=一梟+?，,當(dāng)x=。時(shí),>=?，?,?M(0號(hào)),二矩［形的對(duì)角線交點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,57/8),.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3,8);②當(dāng)

CE為矩形的對(duì)角線時(shí)，如解圖⑤，以CE為直徑作圓交y軸于點(diǎn)M,連接ME,過點(diǎn)C作CNHME,.-.EM±y軸,C

N±y?,/.M(O,今川(3,4).綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3,8)或(3,4).

4

三階綜合強(qiáng)化練

1.解：(1)一次函數(shù)的解析式為y=x-5；

⑵如解圖①，連接BD,過點(diǎn)P作PQllBD交拋物線于點(diǎn)Q,:B(5,0),D(2,5),

設(shè)直線BD的解析式為y=ax+c,

，將B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，y=-|“+拳設(shè)PQ的解析式為y=-lx+d,

BD是定值,SBDP=?0.(點(diǎn)P到BD的距離)，

當(dāng)PQ與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到BD的距離最大,.?.聯(lián)立得%2-4X-5=-|X+d,即3x2—7X-15-3

d=0,

.?，b2-4ac=49-12x(-15-3d)=0,

解得d=-魯，

V=——5X---2-2-9,

z336

(7

5229y—L

茲'解得

{y=x2—4x—5y——

l36

\636)

(3)【思路點(diǎn)撥】得到新拋物線的解析式，分①DE為矩形的邊，②DE為矩形的對(duì)角線兩種情況討論，結(jié)合矩

形頂點(diǎn)的平移規(guī)律及相鄰兩邊垂直時(shí)系數(shù)相乘為-1求點(diǎn)M的坐標(biāo).

存在.

將拋物線沿x軸向右平移兩個(gè)單位得y=(x-2)2-4(x-2)-5,

，新拋物線的解析式為y=*2—8乂+7,

，E(LO),對(duì)稱軸為直線x=4,

1?以D,E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

，分兩種情況討論：

①DE為矩形的邊時(shí)，如解圖②，作DM±DE,fiD,E兩點(diǎn)得直線DE的解析式為y=5x-5,

，設(shè)直線DM】的解析式為V=-卜+e,將D(2,5)代入得y=-|%+^,

???新拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4,

，Mi的橫坐標(biāo)為4,代入y=-卜+/導(dǎo),Mi(4,加理當(dāng)EM±DE時(shí),M2(4,-1);

②當(dāng)DE為矩形的對(duì)角線時(shí)，如解圖③,作以DE為直徑的圓與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,設(shè)M(4,t),

?.D(2,5),E(1,O),t,直線EM的解析式為y=\V強(qiáng)

，直線DM的解析式為y=詈乂+10-

八&哪加金

-，?DM±EM,

.?.等1=-1解得t=2或t=3,

；.M3(4,3)或M4(4,2).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,學(xué)或(4,-|)或(4,2)或(4,3).第1題;圖②

警

W

1

第1胞解圖③

2.解：(1)拋物線的解析式為y=-jx2-i%+3；

(2)如解圖①，作點(diǎn)C關(guān)于直線y=l的對(duì)稱點(diǎn)C,過點(diǎn)C'作直線CE的垂線交CE于點(diǎn)N,交直線y=l于點(diǎn)M,連

接CM,EC',

CM=C'M,

CM+MN=CM+MN2C‘N“即CM+MN的最小值為C'N的長(zhǎng).

.?直線y=kx交拋物線于點(diǎn)E,AE=EC,

直線y=kx為線段AC的垂直平分線.

?zCAO=45。"?.直線E0的解析式為y=-x,

_(y=-x

聯(lián)立(y=--x2-~x+31

V22

解得償二屋矣(舍去),

.■.E(-2,2),.-.CE=V5,

C(0,3),點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于直線y=l對(duì)稱，

1/1

.?.S,=-EC-CN=-

ECC22

cc,-\xE\,

.?.|xV5-C/V=|x4x2,

CN=—.

5

r.CM+MN的最小值為?；

⑶【思路點(diǎn)撥】當(dāng)①CE為矩形的邊;②CE為矩形的對(duì)角線兩種情況，由直線CE的解析式設(shè)點(diǎn)C,Q所在直

線的解析式，與拋物線聯(lián)立求解點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用平移規(guī)律求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

存在.

分以下兩種情況：

①當(dāng)CE為矩形的邊時(shí)，如解圖②，過點(diǎn)C作CE的垂線,與拋物線交于點(diǎn)Pi,過點(diǎn)E作CE的垂線，與拋物線

交于點(diǎn)過點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)過點(diǎn)作的平行線,交直線】于點(diǎn)

P2,PiCEEPzQi,PzCECPQ2,

?.C(0,3),E(-2,2),

二直線CE的解析式為y=1x+3.

,.CE±CQ2/

，設(shè)直線CQ2的解析式為y=-2x+d,代入C(0,3),解得d=3,

，直線CQ2的解析式為y=-2x+3,

(y=-2%+3

'聯(lián)立=+

解得｛譯u舍2去)或2代m

1?點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位即可得到點(diǎn)E?.由矩形的性質(zhì)可知，將點(diǎn)Pi向左平移2個(gè)

單位，再向下平移1個(gè)單位即可得到點(diǎn)Qi，,Qi(l,-4),同理得

②當(dāng)CE為矩形的對(duì)角線時(shí)，如解圖③，以EC為直徑作圓，由解圖③可知與拋物線無交點(diǎn)，故此種情況不存

在符合條件的點(diǎn)P,Q.

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(L-4)或Q-11).

3.解：⑴拋物線的解析式為y=-|/+%+1；

(2)【思路點(diǎn)撥】由NABM=2NAC0,構(gòu)造等角，計(jì)算tan/ABM的值和點(diǎn)H的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線與直線BM的

解析式即可求解點(diǎn)M的坐標(biāo).

如解圖①，在0B上取一點(diǎn)R,

使OR=0A=1,連接CR廁

zACR=2zACO=zABM,.

過點(diǎn)A作AK±CR于點(diǎn)K,設(shè)直

線BM交y軸于點(diǎn)H,

-11121

SACR=^AROC=^CR-AK